高考中含参数线性规划问题专题(学生版)

题目灵活多变，要引起高度重视.
近三年全国卷是这样考
x 1 0
1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T15)若
x,y
满足约束条件
x x
y y
0 4
则 0
y x
的最
大值为
.
x y20
2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T15)若
x,y
满足约束条件
x
2
y
1
0
则
2x y 2 0
z=3x+y 的最大值为
.
3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T14)若 x,y 满足约束条件
则 z=x+y
的最大值为
.
x y50 4.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T4)若 x,y 满足约束条件 2x y 1 0 则 z=2x+y
x 2 y 1 0
的最大值为
.
x y 1 0 5. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T9) 设 x,y 满足约束条件 x y 1 0 则
zmax 8
当 3 s 4时，直线 z 3x 2y 过 y x s 与 y 2x 4 的交点时， z 取得 最大，结合图形分析，此时，当 s 3 ， z 的最大值中的最小值为 7. 故答案为 D。
图（4） 点评：该题在作可行域时，由于直线方程 y x s 中含有参数“ s ” 且给定了该参数的取值范围，使问题变得复杂。解决此类问题的主 要思路是：先将能够画出图形的部分全部画出来，再分析“动直线” 的运动趋势，确定好运动的“最大位置”及“最小位置”，将“最大位置” 及“最小位置”固定（静）下来，使“动”在“静”下做，借用运动的观念 逐步分析，确定答案。 规律总结：在约束条件中的二元不等式若含有参数且给定了该 参数的取值范围的问题，就意味着直线是“动直线”，则应将该动直
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“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获
解。
规律总结：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域
要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中
的条件进行全方面分析才能准确获得答案。
二、恒成立问题
x0
例
2.（2008
浙江，17）若
Hale Waihona Puke Baidu
a
0,
b
0
，且当
y0
时，恒有
为 （）
A． 5 B. 1 C. 2 D. 3
x y 1 0
解析：作出不等式组
x 1 0
所围成的平面区域。如图（1）所
ax y 1 0
示
由题意可知，公共区域的面积为 2 AC 4
C 的坐标为 (1,4) ，代入 ax y 1 0
得 a 3，故选 D .
图（1） 点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程 ax y 1 0中含 有参数 a 这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确 ax y 1 0 可变形为 y 1 ax 的形式，则此直线必过定点 (0,1) ，此时，可行域的
7
线运动的“最大”“最小”位置固定下来，根据运动的趋势确定好不同情
况下的可行域，再针对解答目标逐步分析方能获解。
四、转移模型问题
x 2y 3 0
例
4.（2006
重庆，16）已知变量
x,
y
满足约束条件
x
3y
3
0
，若
y 1 0
目标函数 z ax y （其中 a 0 ）仅在点 (3,0) 取得最大值，则 a 的取值
2
2
故答案为 a 1
2
点评：此题的目标函数中含有参数 a 且 a 0 ，因此目标函数所确
定的直线 ax y 0的斜率 k2 ＜0，直线 ax y 0大致图象能确定下 来，由线性规划的“平移”解法可知，欲使直线 ax y 0平移过点 (3,0)
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处取得最大值，只需控制 ax y 0 的斜率 k2 直线 x 2y 3 0 的斜 率 k1即可，问题就转化为研究“斜率”问题（模型）了。
高考中含参数线性规划 问题专题(学生版)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考中线性规划专题
纵观近几年高考试题，线性规划问题是每年的必考内容。题
型多以选择题、填空题出现，它是直线方程在解决实际问题中的运
用，特别是含参数线性规划问题，与数学中的其它知识结合较多，
点评：该题与常规型的线性规划相比：在约束条件及目标函数中 均多了一个“参数 z ”，但题中确给出了一个含“ z ”的等式。因此，总 可以用" x, y"线性表示“ z ”，分别消去约束条件及目标函数中的“ z ”， 从而构造出了常规线性规划的问题。
规律总结：线性规划解决的是“约束条件”、“ 目标函数”中是二元 的问题，若“约束条件”、“ 目标函数”中含有“三元”时，则应通过消元 化归成“二元” 线性规划问题进行解答。
制”先求 a,b 的约束条件，再画出其约束的平面区域，是正确解答此
题的突破口。
规律总结：在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结
合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成
立，再进行解答就轻松多了。
三、“动”“静”结合问题
y0
例
3.（2006
广东.9）在约束条件
x0 yxs
x 1
x y3
若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=
(
)
y
a
x
3
A. 1 B. 1 C.1 D.2
42
8.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设 x, y 满足约束条件
x y 1 0,
x y 1 0,，则 z 2x 3y 的最小值是（ ）
x 3,
A. 7
B. 6
C. 5
D. 3
a
b
a 1且b 1
点 P(a,b) 所成的平面区域如图（3）.
故所形成的平面区域的面积是 1.故选 C。
5
图（2）
图（3）
点评：正确解答此题的关键是：“恒有 ax by 1 ”的巧妙运用，
因 ax by 1中含有两个参数两个变量，故用“恒成立”的“数值解法”比
较困难，只能用“图形控制”来解答；根据“恒有 ax by 1”的“图形控
10
9．（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ14）设 x，y 满足约束条件
1 1
x
x
3
y
0
，则
z
2
x
y
的最大值为______.
10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ15）若 x、y 满足约束条件
x 0,
x
3y
4,
则
z
x
y的最小值为
.
3x y 4,
x 0,
11.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）记不等式组 x 3y 4, 所表
3x y 4,
示的平面区域为 D.若直线 y ax 1与D有公共点，则a的取值范围是 .
3
含参问题的探究
一、恒过“定点”问题
例 1.（2009 福建，9）在平面直角坐标系中，若不等式组
x y 1 0
x 1 0
（ a 为参数）所表示的平面区域的面积等于 2，则 a 的值
ax y 1 0
于是 F 2x 6y 4(1 x y) 2x 2y 4
同时 3y z 2 可变为 2y x 1
则题设中的不等式即线性约束条件变形为：
0 x 1
0
y
2
2 y x 1
满足上述约束条件的区域如图（6）所示，
其中 A(0, 1) ， B(1,1) , C(1,2) , D(0,2)
范围为＿＿＿＿＿＿。
解析：依据约束条件,作出可行域，如图（5）
图（5）
由可行域可知，要使目标函数 z ax y （其中 a 0 ）仅在点 (3,0) 取得
最大值，则必有直线 x 2y 3 0 的斜率 k1 >直线 ax y 0 的斜率 k2
又 k1
1 2
， k2
a
1 a 得： a 1
x 3y 3 0
z=x+2y 的最大值为( )
A.8
B.7
C.2 D.1
2
x y 7 0 6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T9)设 x,y 满足约束条件 x 3y 1 0 则
3x y 5 0
z=2x-y 的最大值为 ( )
A.10 B.8 C.3 D.2
7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知 a>0,x,y 满足约束条件
下，当 3 s 5 时，目标函
y
2
x
4
数 z 3x 2y 的最大值的变化范围是
（）
A.[6，15] B.[7,15] C.[6,8] D.[7,8]
6
解析：当 4 s 5 时，约束条件所表示的可行域就是 y 2x 4 与 x 轴、 y 轴在第一象限围成的三角形区域， 直线 z 3x 2y 过点 (0,4) 时， z 取最大值，
规律总结：目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意
转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究。
五、消元化归问题
例 5.（2003 天津）已知 0 x 1， 0 y 2 ， 3y z 2 且 x y z 1，
求函数 F 2x 6y 4z 的最大值。
解：由 x y z 1得 z 1 x y
x y 1
ax by 1 ，则以 a,b 为坐标的点 P(a,b) 所成的平面区域的面积是
（）
A. 1 B. C. 1 D.
2
4
2
x0
解析：作出满足条件
y0
的点 (x, y) 的可行域，如图（2）所示.
x y 1
a 0,b 0 ，
且恒有 ax by 1 ，
结合直线 ax by 1，与可行域可知: 1 1且 1 1
2
图（6）
9
设 2m 2y 2x ，则 y x m m 是经过区域且斜率为 1 的直线在 y 轴上的截距 易知当这些平行直线经过点 B(1,1) 时，截距 m 0 为最小 当直线经过点 D(0,2) 时，截距 m 取最大值 m 2
Fmax 2mmax 4 8 Fmin 2mmin 4 4