北师大微积分上在线作业答案
【走向高考】高考数学总复习 3-3定积分与微积分基本定理(理)课后作业 北师大版
【走向高考】2013年高考数学总复习 3-3定积分与微积分基本定理(理)课后作业 北师大版一、选择题1．(2010·山东理)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410 ＝112. 2．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-666f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 [答案] D[解析] ∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图像对称． ∴对应的面积相等． 原式＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.3．(2012·沈阳)由三条直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43 C.185 D ．6[答案] A [解析] S ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎪⎪⎪x 442＝4.4．(2011·湖南理，6)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1C.32D. 3[答案] D[解析] 本小题考查定积分的计算与几何意义．S ＝⎠⎜⎜⎛－π3π3cos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π3－π3＝sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ 3.5．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ∵⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1xd x ＝(x 2＋ln x )|a1＝a 2＋ln a －(12＋ln1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2 ∴a ＝2.6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4) 令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323.二、填空题7. ⎠⎛－43|x ＋2|d x ＝________.[答案]292[解析] 原式＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－23 (x ＋2)d x ＝292.8．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5m/s 的速度自由落下，则下落后第二个4s 内经过的路程是________．[答案] 261.2m[解析] ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 三、解答题 9．求下列定积分：(1)⎠⎛01(x 2－x )d x ；(2) ⎠⎜⎜⎛－π2π2cos 2x 2d x ；(3)⎠⎛12|3－2x |d x ；(4) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (3x 3＋4sin x )d x . [解析]一、选择题1．已知力F 和物体移动方向相同，而且与物体位置x 有如下关系：F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ≤0，x 2＋1， x >0.那么力F 使物体从x ＝－1点运动到x ＝1点做功大小为( )A ．0 B.116 C.56 D ．1[答案] B[解析] ⎠⎛-11F (x )d x ＝⎠⎛-10|x |d x ＋⎠⎛01(x 2＋1)d x＝⎠⎛-10 (－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋1)d x＝12(－1)2＋13×13＋1＝116. 2．(2012·梅州模拟)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π[答案] C[解析] 由定积分的几何意义知⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝94π.故选C.二、填空题3．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.[答案] －2[解析] ∵⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x ，∴⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛01f (x )d x ＝－1－1＝－2.4．(2011·陕西理，11)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.[答案] 1[解析] 本小题考查分段函数求函数值、定积分的计算．f (f (1))＝f (lg1)＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2dt ＝t 3|a＝a 3＝1.∴a ＝1.三、解答题5．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0，∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝[13ax 3＋(2－a )x ]|10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6， 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.6．如下图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310 ＝16.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x2y ＝kx可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k0 ＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－342.7．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x ＝－t (0<t <1)，把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等的实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，所求面积＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0-1 ＝13. (3)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t0 (x 2＋2x ＋1)d x .∴⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x －t －1＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0-t ，∴－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0 ∴2(t －1)3＝－1，于是t ＝1－132.。
《微积分》上册部分课后习题答案
《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 d x x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。
2019-2020年高中数学 第4章 2微积分基本定理课时作业 北师大版选修2-2
2019-2020年高中数学 第4章 2微积分基本定理课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．⎠⎜⎜⎛－π2π2 (1＋cos x )d x 等于( ) A ．π B ．2 C ．π－2 D ．π＋2[答案] D[分析] 利用微积分基本定理求定积分．[解析]⎠⎜⎜⎛－π2π2 (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2 －π2＝(π2＋sin π2)－[－π2＋sin(－π2)]＝π＋2，故选D.2．(xx·昆明一中模拟)曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴所围成图形的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．π2D ．π[答案] B[解析] ⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝－cos π＋cos0＝2.3．若⎠⎛1a (2x ＋1x)d x ＝3＋ln2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2. ∴a ＝2.4．(xx·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D [解析] 如图所示⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x y ＝x 3∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义：S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.求曲边图形的面积通常是应用定积分计算．5．(xx·大连模拟)已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 因为f (x )为偶函数，图像关于y 轴对称，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.二、填空题6．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．[答案] 3[解析] 由⎠⎛0T x 2dx ＝x 33|T0＝T 33＝9，解得T ＝3.7．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－11(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4， 即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13.8．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是________．[答案] c <a <b[解析] a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20＝－cos2＋1<2，∴c <a <b .三、解答题 9．求定积分： (1)⎠⎛014x 3d x ；(2)⎠⎛25d xx；(3) sin x d x .[分析] 利用微积分基本定理解决．其中计算定积分⎠⎛ab f (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．[解析] (1)⎠⎛014x 3d x ＝x 4|10＝1－0＝1；(2)⎠⎛25d x x＝ln x |52＝ln5－ln2＝ln 52；(3) sin x d x ＝－cos x |π20＝－(cos π2－cos0)＝1.10．计算下列定积分： (1)⎠⎛0e33x ＋2d x ； (2)⎠⎛012xd x ；(3) (2x ＋cos x )d x ； (4) sin 2x d x . [解析] (1)因为[ln(3x ＋2)]′＝33x ＋2， 所以⎠⎛0e33x ＋2d x ＝ln(3x ＋2)|e0＝ln(3e ＋2)－ln(3×0＋2)＝ln 3e ＋22.(2)因为(2xln2)′＝2x ，所以⎠⎛012x d x ＝(2xln2)|10＝2ln2－1ln2＝1ln2.(3)因为(sin x ＋x 2)′＝cos x ＋2x ，所以 (2x ＋cos x )d x ＝(sin x ＋x 2) ⎪⎪⎪⎪π2 π2＝sin π2＋(π2)2－sin(－π2)－(－π2)2＝2.(4)对原式化简sin 2x d x ＝1－cos2x 2d x ，因为(12x －14sin2x )′＝1－cos2x 2，所以sin 2x d x＝1－cos2x 2d x ＝(12x －14sin2x )⎪⎪⎪⎪π2 π2＝π2.一、选择题1. ⎠⎛-ππ (sin x ＋cos x )d x 等于( )A ．0B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] ⎠⎛-ππ (sin x ＋cos x )d x＝⎠⎛-ππsin x d x ＋⎠⎛-ππcosxd x＝(－cos x )|π－π＋sin x |π－πv ＝0＋0＝0. 2.⎠⎛01(e x＋e －x)d x 等于( )A ．e ＋1eB ．2eC ．2eD ．e －1e[答案] D[解析] ⎠⎛01(e x ＋e －x )d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛01e －xd x＝e x |10＋(－e －x )|10＝e －e 0－e －1＋e 0＝e －1e.3．设a >0，a ≠1，若⎠⎛02a xd x ＝＝－2a x |20，则a 的值为( )A ．e －2B ．e 2C ．e －12 D ．e 12[答案] C[解析] ⎠⎛02a x d x ＝1ln a a |20＝a 2ln a －1ln a ＝－2a x |2＝－2a 2＋2∴(a 2－1)(1ln a＋2)＝0 ∵a >0且a ≠1，∴ln a ＝－12，∴a ＝e －124．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋2D ．－3x ＋4[答案] A[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )|1＝12a ＋b ＝5，①⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝(13ax 3＋12bx 2)|10＝13a ＋12b ＝176.②联立①②，解得a ＝4，b ＝3， ∴f (x )＝4x ＋3. 二、填空题5.已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (12，1)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．[答案] 14[解析] 本题主要考查了定积分求面积，由条件得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤12－2x ＋2，12<x ≤1xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤12－2x 2＋2x ，12<x ≤1 S ＝⎠⎛01xf(x)dx ＝⎠⎜⎛012 2x 2dx ＋⎠⎜⎛－121 (－2x 2＋2x)dx＝(23x 3)⎪⎪⎪⎪120＋(－23x 3＋x 2)⎪⎪⎪⎪112＝23×(12)3＋(－23＋1)－[－23×(12)3＋(12)2]＝14. 由图形得函数解析式，注意f(x)的图像是折线段，故f(x)的解析式要写成分段函数的形式，进一步xf (x )的解析式也要写成分段函数的形式．6．(xx·汕头模拟)由三条曲线y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________． [答案] 43[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝1得交点坐标(－1，1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．则S ＝2[⎠⎛01(x 2－x 24)d x ＋⎠⎛12(1－x24)d x]＝2(14x 3|10＋x|21－112x 3|21)＝43.三、解答题7．求下列函数的定积分：(1)⎠⎛02(3x 2＋4x 3)d x ；(2) ⎠⎜⎛0π2 sin 2x 2d x ；(3)⎠⎛12(x －1)d x . [解析] (1)原式＝⎠⎛023x 2d x ＋⎠⎛024x 3d x ＝3⎠⎛02x 2d x ＋4⎠⎛02x 3d x ＝⎪⎪⎪3×13 x 320＋ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×14x 420＝x 320＋x 420＝8＋16＝24. (2)原式＝⎠⎜⎛0π2 1－cos x 2d x ＝⎠⎜⎛0π2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝12⎠⎜⎛0π2 (1－cosx)dx ＝12⎠⎜⎛0π2 1dx －12⎠⎜⎛0π2 cosxdx ⎪⎪⎪⎪π2＝12x ⎪⎪⎪⎪ π20－12×sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝π4－12. (3)原式⎠⎛12xdx －⎠⎛121dx ＝⎠⎛12x 12dx －1＝23 x 32 ⎪⎪⎪21－1＝23×(8－1)－1＝23×(22－1)－1＝423－23－1＝423－53＝42－53.8.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01 f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．[解析] 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，又f′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＝0，而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋12b ＋c ，所以13a ＋12b ＋c ＝－2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，13a ＋12b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝0，c ＝－4.2019-2020年高中数学 第4章 3定积分的简单应用课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．已知自由下落物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( ) A ．13gt 20 B ．gt 20 C.12gt 20 D ．14gt 20 [答案] C[解析] ⎠⎛0togt d t ＝12gt 2|⎪⎪⎪to＝12gt 20. 2．如果1 N 的力能把弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( )A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx .当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100， 所以F (x )＝100x ，所以W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 J.3．(xx·湖北理，6)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由题意，要满足f (x )，g (x )是区间[－1,1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0.① ⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝(－12cos x )|1－1＝0，故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；②⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝(x 33－x )|1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数；③⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 44|1－1＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是2.4．直线y ＝2x ，x ＝1，x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为( )A ．28π3B ．32πC ．4π3D ．3π[答案] A[解析] 由V ＝⎠⎛12π·(2x )2d x ＝π⎠⎛124x 2d x ＝4π⎠⎛12x 2d x ＝4π·13x 3|21＝4π3(8－1)＝28π3. 5．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．14 B ．15 C ．16 D ．17[答案] C[解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型的算法，联立⎩⎨⎧y ＝x y ＝x∴O (0,0)，B (1,1)，∴S 阴影＝⎠⎛01(x －x )dx ＝(23x 32 －x 22)|10＝23－12＝16，∴P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16.定积分的几何意义是四边梯形的面积，几何概型的概率计算方法是几何度量的比值． 二、填空题6．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01 f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案]33[解析] 因为(a3x 3＋cx )′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01 f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(a3x 3＋cx )|10＝a3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．故填33. 7．(xx·福建理，13)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．[答案]512[解析] 由已知得阴影部分面积为4－⎠⎛12x 2d x ＝4－73＝53.所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512.8．(xx·宁波五校联考)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．[答案]163[解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得直线与抛物线的交点横坐标为x ＝－1， 由题意得，由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2， 直线x ＝1围成的封闭图形的面积为：⎠⎛－11 (2x 2＋4x ＋2)d x＝(23x 3＋2x 2＋2x ) ⎪⎪⎪1-1＝23＋2＋2＋23－2＋2＝163. 三、解答题9．求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ，得x 1＝0，x 2＝2.如图所示，所求图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x＝(x 2－13x 3)|20－(23x 3－2x 2)|20＝4.10．求由曲线y ＝sin x 与x 轴在区间[0,2π]上所围成的图形的面积S .[分析] y ＝sin x 在[0，π]上的积分为正值，在[π，2π]上的积分为负值，其面积应取绝对值．[解析] 如图所示，所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋|∫2ππsin x d x |＝(－cos x )|π0－(－cos x )|2ππ＝4.一、选择题1．求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 作出图形，容易判断应选B.2．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4 C.163D ．6[答案] C[解析] 由题意知，所围成的面积⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝(23x 32 －12x 2＋2x )|40＝23×432 －12×42＋2×4＝163.[点评] 本小题重在考查由两条曲线与y 轴所围成的曲边形的面积，要注意用函数值较大的减去函数值较小函数的积分值，并注意积分上、下限范围．3．(xx·广州模拟)物体A 以v ＝3t 3＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间t (s )为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)|t 0＝t 3＋t －5t 2＝5⇒(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.二、填空题4．由直线y ＝x 和曲线y ＝x 3(x ≥0)所围成的图形绕x 轴旋转，求所得旋转体的体积为________．[答案]4π21[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝x 3x，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以V ＝⎠⎛01πx 2d x －⎠⎛01πx 6d x＝π⎠⎛01x 2d x －π⎠⎛01x 6d x＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17 ＝π×421＝4π21.5．抛物线y ＝x 2与直线y ＝23x 所围成的图形的面积是________．[答案]481[解析] 如图，y ＝x 2与y ＝23x 的交点坐标为(0,0)和(23，49)，所以所求的面积为S ＝⎠⎜⎛023 (23x －x 2)d x ＝(13x 2－13x 3) ⎪⎪⎪⎪23＝13[(23)2－(23)3]－0＝481. 6．曲线y ＝e x，直线x ＝0，x ＝12与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________．[答案]e －π2[解析] V ＝⎠⎜⎛012 π(e x )2d x ＝π⎠⎜⎛012 e 2xd x ＝π×12e2x⎪⎪⎪⎪120＝π2(e －1)＝－π2.三、解答题7．计算(y －1)2＝x ＋1及y ＝x 所围的平面图形的面积．[分析] 首先画出草图(如图所示)，若选x 为积分变量，则需将图形分割，运算繁琐，可选用y 作为积分变量，为此求出两线交点的纵坐标，确定出被积函数和积分的上、下限．[解析] 将已知条件改写为x ＝y 以及x ＝(y －1)2－1，由图知所求面积为阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝y －2－1，得交点的纵坐标为y 1＝0及y 2＝3，因此，阴影部分面积S ＝⎠⎛03{y －[(y －1)2－1]}d y ＝⎠⎛03(3y －y 2)d y ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2－13y 330＝92.[点评] 解此类问题要注意观察草图及被积函数式子的特点，灵活选用积分变量． 8．求由曲线y ＝x 2，直线y ＝x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． [解析] 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的图形如图中阴影部分．设所得旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于直线y ＝x ，x ＝1与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝x 2，直线x ＝1与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．因为V 1＝⎠⎛01πx 2d x ＝⎪⎪⎪π·13x 310＝π3×(13－03)＝π3， V 2＝⎠⎛01π(x 2)2d x ＝π⎠⎛01x 4dx ＝⎪⎪⎪π·15x 510＝π5，所以V ＝V 1－V 2＝π3－π5＝2π15.[点评] 求旋转体的体积时，要先画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用定积分求解，本题中所求的旋转体的体积是由两个不同的旋转体的体积作差得到的．。
北师15春《微积分(上)》在线作业 答案
A.
B.
C.
D.
正确答案：C满分：4分
5.
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y = x对称
正确答案：B满分：4分
6.
A.
B.
C.
D.
正确答案：D满分：4分
7.
A.
B.
C.
D.
正确答案：B满分：4分
8.
A.至少有一条平行于x轴
B.至少有一条平行于y轴
C.没有一条平行于x轴
D.可能有一条平行于y轴
正确答案：A满分：4分
9.
A.
B.
C.
D.
正确答案：B满分：4分
10.
A.
B.
C.
D.
正确答案：A满分：4分
11.
A.关于原对称
B.关于x轴对称
C.关于y轴对称
D.关于直线y=x对称
正确答案：D满分：4分
12.
A. 1
B. 0
C. -1
D.不存在
正确答案：D满分：4分
13.
A.
B.
C.
D.
正确答案：B满分：4分
14.
A.单调增加
B.单调减少
C.有增有减
D.有界函数
正确答案：B满分：4分
15.
A.
B.
C.
D.
正确答案：C满分：4分
北师15春《微积分（上）》在线作业
试卷总分：100测试时间：--
单选题其他题
二、其他题（共4道试题，共40分。）V 1.
参考答案：
满分：10分
2.
参考答案：
满分：10分
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
北师大微积分上在线作业答案
若打(x)N = F(x)+<r 则"丁@Y)N X二()Q+C© Xlim(l + -)"+3 is n =()设/(x) = (x-l)(x-2)(x-3)>则方程/V) = 0有(:0—个实根■二个实根◎三个实根设/⑴连续可导.则在下列各等式中，正确的是( Q j /©MX = /(X)c$r/(x)dx = /(；O© a 二 7b = 2,a = l,i = 2a = 0t 2> = 0/a)在a 旬上连续.且().则在区间s®内至少有〜点t.使得/«)=o t/w=/w e /(a) /(/>)< 0/(x) = 设O1 00/⑴在［恥］上连练 且（）•则在区间（恥）内至少有一个点匚 使得e /(a)*/(6) ./(a) ”)<O *+3 x-2 hm 如果fl .2 = = -2 + ax +b = 0 丿•则叭〃为（）W.b 常数）连续函数，则（/(a) /W>0沁“0已知/（兀）=以+1, g （^）= Vx+1 则/（g （力）二（） 〔严+2 /+2eoe e© J•i设广⑴■】，且/(°)w°f 则”(小二() ©6*© *• 2■ F + C .. 莎-9『 hm ----- 「 i°3"#81/+l=()* 3 O”+l - 曲/(*)・") 设函数『⑴在"2可导.且/V) = 2・则2 2h =() x^O 2°连练则J()hm x[ln(x- 2)-ln(x+l)]X-Wo eo•-3___________________________03ei __________________________函数兀*一2戸+1的拐点是()• (0,1)和(1,0)广(0,-1)和(1,0) ________g_ (0,1)和(-L0).K |2xsin 丄x^O /«=X函数k “°则在点“o处() b无意义O不连续o可导•连续但不可导______________4x-l 曲线E可() e只有水平渐近线e只有垂直渐近线 o没有渐近线•有水平渐近线，也有垂宜渐近线设/⑴为连续函数.则」皿)=() e/Wo/(0-/WM)■ m⑷叽()。
北大版高等数学第三章 积分的计算及应用答案 习题3.1
31.∫
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 dx 2 1 u 2 du 1 = ∫ ∫ x 4 1 + x 2 2 1 + u (u = x 2 ) 2 x6 1 + x2 x 7 1 + x 2 2 2 1 (v 1) 1 v 2v + 1 dv(v = 1 + u ) = ∫ 1/ 2 dv = ∫ 2 v 2 v1/ 2 1 = ∫ (v3/ 2 2v1/ 2 + v 1/ 2 )dx 2 1 12 5 2 3 = v 2 2i v 2 + 2i v 2 25 3 dx =∫ dx = 1 1 2 2 1 2 1 2 = 1 + 2 + 1 + 2 1 + 2 + C 5 x 3 x x
33.∫ dx 3 + x x2 x =∫ dx 1 1 3 x + 2 4
2
=∫
1 dx 2 13 1 x 4 2
2
= arcsin
1 2 + C = arcsin 2 x 1 + C. 13 13 2
2 2 2
1 1 29 1 1 34.∫ 7 + x x dx = ∫ 7 x + dx = ∫ x d x 2 4 4 2 2 1 2 x 1 1 29 1 29 2 +C = x x + arcsin 2 2 4 2 8 29 2 2x 1 29 2x 1 = 7 + x x 2 + arcsin + C. 4 8 29
27.∫
x2 a2 dx(a > 0).x > 0时, 令x = a sec t , t ∈ (0, π / 2). x
微积分(上)习题200题及答案
填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧<≤+<<-=πf x xx xx f代入函数可得答案,220≤≤π答案：412π+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2≠≥x x答案：](()∞+⋃-∞-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x fx g f x x g5.()()()x f d c b a dcx b ax x f1求反函数为常数,,,设-++=()可知反函数,--,--,0--,acy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx b ax y ===+++=答案：acx dxb -- 6._________1sinlim 3310=→x xx答案：07.______sin lim=+∞→xxx x答案:是有界的由于x x xx x sin 1sin lim =+∞→ 8.()0______1lim 0>=-→a x a x x答案:a aa x a x x x x ln 1ln lim 1lim00==-→→ 9.()_____1lim 1=-→xx x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==→m xmxx答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin limk 0==→xxx12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()∞+⋃-⋃-∞-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-→b a b x ax x x 解：()34lim 145lim,5,04lim 12121=+=+++===++-→-→-→x x x x b a ax x x x x 。
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
微积分北京大学出版社课后详解
2、选择适当的坐标系计算下列二重积分. （1）
∫∫ (
D
x + y )dσ ，其中 D 由坐标轴与抛物线 x + y = 1 所围.
4
解：设 x = r cos
θ , y = r sin 4 θ ， dσ = 4 cos3 θ sin 3 θ rdrdθ
y 1 0
x + y =1
2
1
x
D: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤
1 2
x
π π π 1 34 1 34 1 34 4 2 2 θ + θ θ = + θ θ = cos sin d 1 sin 2 d ) ) π ( π ( π (1 + 2sin 2θ + sin 2θ ) dθ ∫ ∫ ∫ − − − 3 4 3 4 3 4
3π
π 1 34 1 + cos 4θ ⎛ = ∫ π 1 + 2sin 2θ + ⎜ 3 −4 ⎝ 2
1⎛ 3 1 ⎞ ⎞ 4 π ⎟ dθ = ⎜ θ + 2sin 2θ + cos 4θ ⎟ π = 3⎝ 2 2 2 ⎠ ⎠−
4
（3）
∫∫
D
1 − x2 − y 2 dxdy ，其中 D 由 x 2 + y 2 = 1, x = 0, y = 0 所围. 1 + x2 + y 2
解：D: 0 ≤ θ ≤
∫π
π
3
4
dθ ∫ cosθ
π π
3 4
π π π 1 1 1 3 3 cosθ dθ = rdr = ∫ π3 r 0 d θ = π π sec θ dθ ∫ ∫ r cos θ 4 4 4
北师大版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练16定积分与微积分基本定理
课时规范练16定积分与微积分基本定理基础巩固组1.给出如下命题:①∫ba -1d x=∫bad t=b-a(a,b为常数,且a<b);②∫0-1√1-x2d x=∫1√1-x2d x=π4;③∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x(a>0).其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析由于-1dx=a-b,dt=b-a,所以①错误;由定积分的多少意义知,dx和dx都表示半径为1的圆面积的,以是都即是,所以②正确;只有当函数f(x)为偶函数时,才有f(x)dx=2f(x)dx,所以③错误,故选B.2.(2019山东淄博期末,5)dx=( )A.16B.18C.20D.22解析∫4-2-12x2+x+4d x=-16x3+12x2+4x-24=18.3.若∫1(x2+mx)d x=0,则实数m的值为()A.-13B.-2 C.-1 D.-23解析∫10(x2+mx)d x=13x3+12mx201=13+12m=0,∴m=-23.4.如果1 N的力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为()A.0.18 JB.0.26 JC.0.12 JD.0.28 JF=kx知,1=0.01k,所以k=100 N/m,则W=∫0.06100x d x=50x2|00.06=0.18(J).故选A.5.由曲线y=√x,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B.4 C.163D.6剖析由题意知,所围成的面积为-(x-2)]dx=42+2×4=6.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,则过C ,M ,D 三点的抛物线与CD 围成的阴影部分的面积是( ) A .23B .43C .52D .83剖析由题意,建立如图所示的坐标系,则D(2,1).设抛物线方程为y2=2px(p>0),将D(2,1)代入,可得p=,∴y=,∴S=2∫ 20√12x d x=√2·23x 32 02=83,故选D .7.设f (x )={√1-x 2,x ∈[0,1],1+x ,x ∈[-1,0),则∫ 1-1f (x )d x 等于( ) A.(-1,+∞) B .12+π2C .12+π4D.1+π4解析依题意得∫ 1-1f (x )dx=∫ 0-1(1+x)dx+∫ 10√1-x 2d x=(x +x 22) -10+14×π×12=12+π4.8.如图,圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点A,则点A落在区域M 内的概率为.2∫π0sin x d x=2(-cos x)|π=4,圆的面积为π3,所以点A落在区域M内的概率是4π3.9.(2019四川成都七中一模,15)设a>0,b>0,e为自然对数的底数,若+b=dx,则的最小值是.解析∫e1e-xxd x=∫e1(ex-1)d x=(eln x-x)|e1=1,∴a2+b=1,∴2a+1+1b=2 3(1a2+12+1b)a2+b+12≥23(1+1+2)=83.10.已知函数f(x)=x3-x2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.解因为(1,2)为曲线f(x)=x3-x2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=(3x2-2x+1)|x=1=2,所以在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x,其与函数g(x)=x2围成的图形如图.由可得交点A(2,4).所以y=2x与函数g(x)=x2围成的图形的面积S=∫2(2x-x2)d x=(x2-13x3)02=4-83=43.综合提升组11.若∫21(x-a)d x=∫π4cos 2x d x,则a等于()A.-1B.1C.2D.421(x-a)d x=12x2-ax|12=32-a;cos 2xdx=sin 2x,两定积分相称,则12=32-a,解得a=1,故选B.12.已知3a=5b=c,且1a+1b=2,则∫c(x2-1)d x=() A.±2√ B.2√ C.±√ D.4√3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,则1a=log c3,1b=log c5,因为1a+1b=2,所以log c 15=2,即c2=15,c=√15,∫ c 0(x 2-1)d x=(13x 3-x) 0√15=4√15.13.(2019河南洛阳三模,13)若n=6cos xdx,则x+n 的展开式中,含x2项的系数为 .2 295解析若n=∫ π26cos x d x=6sin x 0π2=6,则(1x-2x 2)(x +3√)n=1x-2x 2x+3√6=(1x-2x 2)x 6+18x 92+135x 3+160x 32+1 215+4 374x -32+729x -3,展开式中,含x 2项的系数为135-2×1 215=-2 295.14.已知∫ 20(3x 2-1)d x=m ,则(1-x )(x 2+1x)m的展开式中x 4的系数是 .20∫ 20(3x 2-1)d x=(x 3-x )|02=6,∴(x 2+1x)6的通项为T r+1=C 6r (x 2)r (1x)6-r=C 6r x 3r-6.令3r-6=3得r=3,∴(x 2+1x )6的展开式中含x 3的系数为C 63=20,令3r-6=4得r=103,舍,∴(x 2+1x)6的展开式中不含x 4项.∴(1-x )(x 2+1x )m的展开式中x 4的系数为-1×20=-20.15.(2019湖南雅礼中学质检)在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为试求:切点A的坐标和过切点A的切线方程.,设切点A(x0,y0),由y'=2x,得过A点的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2x0x-x02,令y=0,得x=x02,即C(x02,0).设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S,则S=S曲边△AOB-S△ABC.S曲边△AOB=∫x00x2d x=13x30x0=13x03,S△ABC=12|BC|·|AB|=12(x0-x02)·x02=14x03,即S=13x03−14x03=112x03=112,所以x0=1.从而切点为A(1,1),切线方程为y=2x-1.创新应用组16.若f(x)=x3+3∫10f(x)d x,则∫1f(x)d x=()A.-1B.-13C.-14D.-18m=∫ 10f (x )dx ,则f (x )=x3+3m ,∫ 10f(x)dx=∫ 10(x 3+3m )d x=∫ 10x 3d x+∫ 103m d x=14x 4|01+3mx |01=14+3m ,即m=14+3m ,解得m=-18.故∫ 1f (x )d x=-18,故选D . 17.(2019安徽安庆二模,16)在数学实践活动课中,某同学在如图1所示的边长为4的正方形模板中,利用尺规作出此中的实线图案,其步骤如下:(1)取正方形中心O 及四边中点M,N,S,T;(2)取线段MN 靠近中心O 的两个八等分点A,B;(3)过点B 作MN 的垂线l;(4)在直线l(位于正方形区域内)上任取点C,过C 作l 的垂线l1;(5)作线段AC 的垂直平分线l2;(6)标记l1与l2的交点P,如图2所示;……不断重复步骤(4)至(6)直到形成图1中的弧线(Ⅰ).类似方法作出图1中的其他弧线,则图1中实线围成区域面积为 .剖析由作法可知,弧(Ⅰ)为抛物线y2=2x(0≤y≤2)弧,则实线围成的区域面积为S=4dx=4x318.过点(-1,0)的直线l 与曲线y=√x 相切,则曲线y=√x 与l 及x 轴所围成的封闭图形的面积为 .解析因为y=的导数为y'=,设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为,解得x0=1,即切线的斜率为, 所以直线l 的方程为y=12(x+1),所以所围成的封闭图形的面积为∫ 1[12(x +1)-√x]d x+12×1×12=14x 2+12x-23x 32 01+14=13.。
微积分上册部分课后习题答案
《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 dx x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。
微积分上册 课后习题答案
微积分上册课后习题答案微积分是数学中的重要分支，它研究的是函数的变化规律以及相关的数学工具和方法。
对于学习微积分的学生来说，课后习题是巩固知识和提高技能的重要方式。
本文将为大家提供微积分上册课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握微积分的知识。
第一章：函数与极限1. 设函数 f(x) = x^2 + 3x - 2，求 f(2) 的值。
解：将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到f(2) = 2^2 + 3×2 - 2 = 4 + 6 - 2 = 8。
2. 求函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 1 的零点。
解：零点即为函数 f(x) 的解，即 f(x) = 0。
将函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 1 置零，得到 2x^2 - 5x + 1 = 0。
通过求根公式可以解得x = (5 ± √(5^2 - 4×2×1)) / (2×2) = (5 ± √(25 - 8)) / 4 = (5 ± √17) / 4。
3. 计算极限lim(x→1) (3x^2 - 2x + 1)。
解：将 x = 1 代入函数 3x^2 - 2x + 1 中，得到lim(x→1) (3x^2 - 2x + 1) =3×1^2 - 2×1 + 1 = 3 - 2 + 1 = 2。
第二章：导数与微分1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 4x + 2 的导数。
解：导数表示函数在某一点的斜率，对于函数 f(x) = 3x^2 - 4x + 2，求导得到f'(x) = 6x - 4。
2. 求函数 f(x) = sin(x) + cos(x) 在x = π/4 处的导数。
解：对于函数 f(x) = sin(x) + cos(x)，求导得到 f'(x) = cos(x) - sin(x)。
将x = π/4 代入得到f'(π/4) = cos(π/4) - sin(π/4) = √2/2 - √2/2 = 0。
微积分北京大学出版社课后详解
（2）
∫∫ ( x + 2 y)dσ ，其中 D 由直线 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围.
D
解：D: 0 ≤ x ≤ 1 , 原式=
0 ≤ y ≤ 1− x
1 1− x 0
y
1 1 (1 − x)dx 2 ∫0
∫
1 0
dx ∫
1− x 0
( x + 2 y )dy = ∫ ( xy + y 2 ) 0 dx =
y
ln 2 ≤ y ≤ ln 3
ln3 ln2
解：D: 2 ≤ x ≤ 4 , 原式=
1n3
ln3 ln2
∫
dy ∫ ye xy dx = ∫
2 2 y ln 3
4
e xy dy = ∫
2
4
(e
4y
− e 2 y ) dy
1n2
o
=
1 1 1 1 e − e = ( e 4ln 3 − e 4ln 2 ) − ( e 2ln 3 − e 2ln 2 ) ln 2 ln 2 4 2 4 2 1 4 1 55 3 = 13 = ( 3 − 24 ) − ( 32 − 22 ) = 4 4 2 4
1
x+ y=1
0 ≤ x ≤1,
原式=
0
-1
−x − y = 1
− e−1 ) dx + ∫ ( e − e2 x −1 ) dx
1 0
o
∫
0 −1
dx ∫
1+ x
1+ x
−1− x
e x + y dy + ∫ dx ∫
1 1− x x −1 0
微积分北京大学出版社课后详解
)
∞ ⎞ (2n)!⎛ 1 ⎜− 1 ⎟ 当 x = − 时，级数为 ∑ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2⎠ 2 n=1 ( n !) ⎝
2 n−1
2n 2 n−1 ∞ 4π n ( 2n) e−2n (1 + o (1) ) ⎛ 1 ⎞2n−1 2n) ! ⎛ 1 ⎞ ( −2 un = − = − = ； ∵ ∑ ⎟ ⎟ 2 ⎜ 2 ⎜ π n (1 + o (1) ) n =1 ( n!) ⎝ 2 ⎠ ( 2π nnne−n (1+ o (1))) ⎝ 2 ⎠
故收敛区间和收敛域均为 (− ∞,+∞ ) . （4） ∑ (−1) n
n =0 ∞
3n n x ； n!
解
收敛半径 R = lim
n →∞
an 3n ( n + 1) ! = lim ⋅ n +1 = ∞ ， an +1 n→∞ n ! 3
故收敛区间和收敛域均为 (− ∞,+∞ ) . （5） ∑ 解
∵ ∑ nx
n =1
∞
n −1
= ∑( x
n =1
∞
n '
)
′ ′ ′ 1 ⎞ 1 ⎛ ∞ n⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ = ⎜∑ x ⎟ = ⎜ ， ⎟ = ⎜ −1 + ⎟ = 1 − x ⎠ (1 − x)2 ⎝ n =1 ⎠ ⎝ 1 − x ⎠ ⎝
∴ ∑ nx n =
n=0
∞
x (1 − x ) 2
（4） ∑ (−1) n
n =0
∞
x 2 n +1 ； 2n + 1
5
解
令 S ( x) =43;1 ( −1 ≤ x ≤ 1) ， 2n + 1
北大微积分1(2018.4.21号答案)
x0处
连续. lim x0
f1 x f1 0
x0
lim H x0
x 极限不存在，故
f1 x 在 x
0 不可导.易证，在其他的
无理点或有理点均不连续，故也不可导.
f2
x
xH
x
x2 , x 2
,
xQ , lim
x Q x0
f2
x
lim x0
f2 x
f2 0 0 f1 x 在
x0处
连续. lim x0
f2 x f2 0
x0
lim xH x 0 ,故 x0
f1 x 在 x
0 可导.
易证，在其他的无理点或
有理点均不连续，故也不可导.
5.形如 y kx2 的抛物线与 x2 2 y2 c2 的椭圆在交点处的切线相互垂直.
证：由对称性不妨设 k 0 ,设抛物线和椭圆相较于点 P x0 , y0 ，则 P 在 x 轴上方.抛物线在
2
x2 2017x 2018 ex 20182x 2017 ex 2018 2017 2ex 2
y2018 0 2018 2018 2017 2018 2017 2018
3.证明一辆 10s 内前进了 1000m 的高铁在这 10s 内必有 2s 的时间内恰好前进了 200m.
，求 .
1 x 1 x dx
解：
2
y ln 1 x 1 x ln
1 x 1 x
ln 2 2 1 x2 ln 1 1 x2 ln x
1 x 1 x
1 x 1 x 1 x 1 x
2x
dy d ln 1
1 x2
ln x
1 2x
2
1 1 x2 1
微积分(上册)习题参考答案
参考答案0. 预备知识习题0.11.（a ）是 （b ）否 （c ）是 （d ）否2.（a ）否 （b ）否 （c ）否 （d ）是 （e ）否 （f ）否 （g ）是 （h ）否 （i ）是3. {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4f , {}{}2,3,4,1,2,3,4.4. 11,,0,1,2,3,4A B禳镲?--睚镲铪 ，10,1,4A C 禳镲-=--睚镲铪 ，11,,0,1,2,74A D A 禳镲?=--睚镲铪.5. 1,32A Bx x R x 禳镲??<睚镲铪， {,12}A B x x R x =危 ，{},23A B x x R x -=?<.6~15. 略。
16. 证明：先证()()()A B C A B A C --?惹.若()x A B C ?-，则,x A x B C 蜗-①如果x C Î，则,x A B C 蜗-;②如果x C Ï，则x B Ï，所以x AB ?，也有()()x A B AC ?惹，因此有()()()A B C A B A C --?惹.再证()()()A B C A C A B C --惹?-.若()()x A B A C ¢?惹，则，x A B ¢?或x A C ¢吻.①如果x A C ¢吻，有x C ¢Î，所以，x B C ¢?，又x A ¢Ï，于是()x A B C ¢?- ②如果x A C ¢锨，x A B ¢?，则有x A ¢Î，x C ¢Ï，x B ¢Ï，所以，x B C ¢?，于是()x A B C ¢?-. 因此有()()()A B A C A B C -惹?-.综上所述，()()()A B C A B A C --=-惹，证毕. 17~19. 略。