例题分析牛顿定律

a E a Dy a a sin Dy D
Leabharlann Baidu
aE
y mg
图2
对于物体ABC，在水平方向上有
N1 sin Ma B
13
N1 sin Ma B
A
aB
R
α
1
A
C
α
N1
D
对于物体E有 mg N 2 maE
N 2 Mg N1 cos Ma sin D
23
G FA 3 [m A (m A m B mC )]rA d G 2 3 [m A (m A m B mC )]rA m A rA d 由此可得
A
rA FAC d •O d rB rC C B• d m• mB C
图1
FAB
A
1
h
2
因此，球所受的浮力等于F2与F1的差
F浮＝F2－F1 2 ( 2 1 ) ghr g ( 1 2 )r 3 3
2
F 1 图1
F2
ρ1
ρ2
m1 g P0 S F2 m2 g P0 S 图2 图3
•
F1
图4
21
A 例5 解 （矢量运算法） • mA 设系统的质心在O点处，因为系统 FAB rA FAC 不受外力作用，所以三角形形状不变， d •O d 质心位置不变，因而质心参考系是惯 rB rC B• •C 性参考系. mC mB d 以质心O为原点，设A、B、C的位置 图1 r 矢量分别为 r A 、r B 、 C , 则质心坐标满足 m A rA mB rB m C rC 0 (1)
E
a质心＝0 或 Ma Bx Ma Dx maEx＝0 因为 a Bx＝a B ， Ex 0 , a a D a DB a B
故 a Dx a cos a B D
Mg
x y
Mg N2
aE
mg
， a Dy a Dy
图2
12
Ma Bx Ma Dx maEx＝0
m3 m2 m 1
图2
3
3. 如图3所示，长为 2 l 的刚性轻棒AB的B端 沿水平地面向右匀速运 动，速度为v ，A端沿 墙壁竖直下滑，棒的中 点处固定一质量为m的 45 小球C，试求当 时， 小球的加速度和小球对 棒的作用力.
A
C
v
α B
图3
4
4. 如图4所示，小圆筒A的 底部有一半径为r的圆孔， 大圆筒套于A的外面，一半 径为r的不透液体的球盖着 圆孔，里外圆筒中分别盛有 密度分别为1和2的液体， 两圆筒的液面相平，且距小 圆筒的底部为h，试求球所 受的浮力.
x
又 x A x AM x 2 x , xB xBM x 1 x 由以上三式可解得：x 2m A mB M m A mB 代入有关数据得 x 4 (m) 9 25 ∆x>0表示小车的位移沿x轴正方向.
要使板抽出后小木块不致于 例7 解： l m F A M 从桌上掉下，这就要求：⑴木板相对 小木块运动的距离为l；⑵木板抽出后， L 小木块落在桌面上继续运动，但应至 图1 少在桌边停下，此时其速度为零. 木板在抽出过程中，木板与小木块之间的摩擦力为 滑动摩擦力，大小为f1=μmg ,木板还受到桌面所给的 滑动摩擦力作用，其大小为f2=μ(M+m)g . 对于小木块有 f1 mg ma1 其向前运动的加速度为 a1 g
例3 解 因为C到O的距离始终等于l，所 A 以小球C作圆周运动.C的坐标满足
C α
1 故总有 vC x v ＝ 恒量 2 因而 aC x 0 aC aC y ˆ j 所以
1 又总有 xC x B 2
x2 y2 l 2
小球C的轨迹方程
y A
v
B
图1
N C
vC an α mg B O 图2
• mA
1 G(m A mB mC ) d d
当 m A mB mC m 时，三个质点的角速度为
1 3Gm d d
24
B A 例6 解 设最后A、B都碰到车 护栏上的钉子而被钉住 时，A、B、车的位移分 别为 x A 、x B 、x , 图1 A、B相对车的位移分别为 x AM 、 x BM . 由于系统水平方向不受外力作用，且各物都无初 速度，所以系统质心的x坐标不变.因此有 Mx mA x A mB xB 0
r1 m1 ● r2 m2 ●
图9
11
例1 解： 建立如图2所示坐标系，各物体 A D α 的受力情况如图2所示.由于受到桌面的 约束，物体ABC的加速度aB必水平向左； B α C 由于受到ACD的约束，物体E的加速度 图1 aE必竖直向下. N1 A A α D R 由于系统水平方向不受外 a B 力作用，所以，系统水平方 a'D α N2 C BN 向上质心加速度为零. 即有 1 C
2
y A
当N′> 0 时，方向竖直向下； 当N′< 0 时，方向竖直向上.
vC an α mg B O 图2
N C
v
x
19
例4 解 如图2所示，因为球上方液体 A 处于平衡状态，所以球上方液体的重力、 1 外界大气产生的压力与球对这部分液体 的支持力平衡.设球上方液体的表面积 2 为S，得 F1 m1 g P0 S 图1 2 3 F1 即 F1 1 (hr 2 r ) g P0 S 3 据牛顿第三定律可知，球上方液体对 ρ1 球的向下的压力大小也为F1.
同理，从图3可得下面的液体对球 向上的支持力为 2 3 2 F2 2 (hr r ) g P0 S 3
h
F2
ρ2
m1 g P0 S m2 g P0 S 图2 图3
20
2 3 2 F1 1 (hr r ) g P0 S 3 2 3 2 F2 2 (hr r ) g P0 S 3
l
m M
A
L
F
图6
8
8. 如图7所示，平面σ与水平面成夹角为φ，两 平面的交线为AB，在σ平面上有一个以AB为 底、半径为R的固定光滑半圆环.设环的一端A 处有一个小球以初速度v0沿环的内侧运动，若 小球与环光滑接触，小球与平面σ之间的摩擦 系数为μ，试求能使小球在环的最高处继续沿 环的内侧运动的v0的取值范围.
v
x
v 当α＝45°时， C x v C cos 45 2 v 故 vC 2 2 vC v 2 此时小球C的向心加速度为 a n l 2l
17
2 vC v 2 an l 2l
y A
小球加速度的大小为 an 2v 2 方向竖直向下 aC cos 45 2l
vC an α mg B O 图2
A B
图5
7
7. 质量为M、厚度可以忽略的薄板静止地置于 长为L的水平桌面上，其一端A与桌的一边对 齐，薄板上距A端为l处 放一质量为m的木块， 如图6所示.一水平恒力F作用于板上，把木板 从小木块下抽出，为了使木板抽出后木块m不 致于从桌上掉下地面，则F至少为多大？已知 各接触面之间的摩擦系数均为μ.
m1 m2 m3
图1
a
M
• •m
a
图2 4Mm F 2T g M m M 这表明原来系统对天花板的作用与图3物体M′ 对 图3 天花板的作用等效，只要M′取值为
15
M m 2Mm 4Mm a g , T g ，F 2 T g M m M m M m
4Mm M m1 m2 m3 M m 图1 m 因此，只要令 M m2 ， m3 就可用图4等效 于图1,此时m1、m2、m3的加速度分别为 M m1 M a1 g 图3 m1 M m2 m3 m2 m3 m1 M a2 g a1 g g a a m2 m3 m2 m3 m1 M m 1 • • M′ m2 m3 m2 m3 m1 M 图4 a3 g a1 g g m2 m3 m2 m3 m1 M 16
6
6. 如图5所示，长为3m，质量为4kg的小车静止 在光滑水平面上，车两端的护栏上各装有质量 不计的钉子，小车上距车右端1m处放着质量分 别为mA＝3kg，mB＝2kg的小滑块A和B，小滑 块A和B的宽度都可忽略.A和B之间有质量和长 度都不计的已压缩的弹簧.现释放这弹簧，滑块 A和B相对小车沿相反方向运动，最后都碰到车 护栏上的钉子而被钉住，试求小车在整个过程 中通过的位移.
A
aB
R
α
A
C
α
N1
D
a Bx＝a B ， Ex 0 , a BN 1 a Dx a cos a B ， Dy a a D Dy
x
a'D
N2 Mg N2
Mg
C
于是 Ma B M (a cos a B )＝0 D 1 a B a cos 得 D 2 因为物体E紧贴物体ACD，所以
a'D
BN
x
N2 Mg N2
Mg
C
对于物体ACD，在竖直方向上有 由以上几个方程可解得
M m aE g M M m cot 2 2
aE
y mg
图2
14
例2 解（等效法） 先看图2的情况，设轻绳的拉力大小为T，则 Mg T Ma T mg ma 由上一两个方程可解得 M m 2Mm a g , T g M m M m 天花板所受的拉力为
N C
v
x
因为小球只受重力和棒对它的作用力N的作用，且重 力竖直向下，所以棒对它的作用力N也必沿竖直方向. 因为 mg N maC 2v 2 N mg m 得 2l 据牛顿第三定律得小球对棒的作用力大小也为
2v 2 N mg m 2l
18
2v N mg m 2l
奥赛典型例题
分析(牛顿定律)
1
1. 如图1所示，两斜面重合的楔形块ABC和 ACD的质量都是M，AD、BC两面成水平， E为质量为m的小滑块，楔形块的倾角为α， 各面均光滑，整个系统放在水平台角上， 从静止开始释放，求两斜面分离前E的加速 度. E
A
α
D
B
α
C
图1
2
2. 如图2所示，设 m1 m2 m3 ，不考 虑滑轮质量，求各物体的加速度.
σ

A
B
图7
9
9.如图8所示，赛车在水平赛道上作90°转弯， 其内、外车道转弯处的半径分别为和，车和路 面间的动摩擦系数和静摩擦系数都是μ，试问 竞赛中车手应选择内道还是外道转弯？在上 述的两条转弯路径中，车手的正确选择较错误 选择赢得的时间是多少？
外道 内道
图8
10
10. 质量分别为m1和m2的两个小 球，分别系于一根细绳中的一点 和一端，，细绳的另一端悬挂在 固定处，已知上、下两段绳子的 长度分别为r1和r2，如图9所示. 开始时两球静止，细绳处于竖直 位置，现给小球m1一个打击， 使它突然在水平方向上获得一个 速度，试求小球m1获得速度前 后瞬间，上、下两段绳子张力改 变量的比值. 设小球获得速度后 瞬间，绳子仍处于竖直位置.
A
1
2 h
图4
5
5. 三个质点A、B、C组成一个边长为d 的等边三角形，质点间有万有引力作用， 为保持这三角形形状不变，（1）若三个 质点的质量都等于m，那么它们应以多 大的角速度绕过质心O且垂直三角形平面 的轴转动？（2）若它们的质量互不相等， 那么它们又应以多大的角速度绕过质心O 且垂直三角形平面的轴转动？
质点A受到质点B、C对它的引力分别为 m A m B rB rA FAB G 2 d d m A m C rC rA FAC G 2 d d
22
m A rA mB rB m C rC 0 (1) m A m C rC rA m A m B rB rA A FAC G FAB G ， • mA 2 2 d d d d FAB rA FAC d •O d 合力为 rB rC B• FA FAB FAC •C d mC mB G 图1 3 [m A (m B rB mC rC ) m A (m B mC )rA ] d 结合(1)式得 G FA 3 [m A (m A m B mC )]rA d 由此可知，此力方向是从A指向O，表明此力完全充 当质点A转动时所需的向心力，所以有