导数题型方法总结(绝对经典)

第一章

导数及其应用

一.导数的概念 1..已知x

f x f x

x f x ∆-∆+=→∆)

2()2(lim

,1

)(0

则的值是（ ）

A. 4

1- B. 2 C. 41

D. －2

变式1：()()()为则设h

f h f f h 233lim ,430--='→（ ）

A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3

D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于

（ ）

A ．()02x f '

B ．()0x f '

C ．()03x f '

D ．()04x f '

。

导数各种题型方法总结

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 \

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('

=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， #

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

（请同学们参看2010省统测2）

例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，

()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432

3()1262

x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；

（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.

解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32

()332

x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- }

（1）

()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，

则 2

()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

(0)030

2

(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨

⎨<--<⎩⎩

解法二：分离变量法：

∵ 当0x =时, 2

()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, …

当03x <≤时, 2

()30g x x mx =--<恒成立

等价于233

x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3

()h x x x

=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==

2m ∴>

(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”

则等价于当2m ≤时2

()30g x x mx =--< 恒成立

变更主元法

再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于

m 的一次函数最值问题）

]

22

(2)023011(2)0230

F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪

⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩

2b a ∴-=

例2),10(32R b a b x a ∈<<+-

（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

…

解：（Ⅰ）()()2

2

()433f x x ax a x a x a '=-+-=---

01a <<

令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）

令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）

∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4

33

b a +-

当x=3a 时，)(x f 极大值=b.

（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2

2

43a x ax a a -≤-+≤恒成立①

则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a

≤⎧⎨≥-⎩ 22

()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =

01,a <<

12a a a a +>+=（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.

（

max min ()(2)2 1.

()(1)4 4.

g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+

∴

于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于

(2)44,4

1.(1)215g a a a a g a a a +=-+≤⎧≤≤⎨

+=-+≥-⎩

解得 ：

又,10<

.15

4

<≤a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数32

()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，

32

6()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+

-++>

》

（Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

解：（Ⅰ）/

2

()32f x x ax =+∴/(1)31f b a

⎧=-⎨=+⎩， 解得3

2a b =-⎧⎨=-⎩

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]-

（Ⅲ）令2

()()()(1)3

[1,4]2

t h x f x g x x t x x =-=-++-∈ >

思路1：要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2

(2)26t x x x -≥-分离变量 思路2：二次函数区间最值

《

2x a =

[]1,

2a a ++