线性代数试卷

深圳大学线性代数试卷(1)

一、 选择题（共15分，每题3分）

1.设A 为4阶矩阵且2-=A ，则=A A （ ）

（A ）4 （B ）52 （C ）5

2- （D ）8

2．设A ，B 为n 阶矩阵，O A ≠且AB=O ，则（ ）

（A ） B=O （B ） 00==A B 或

（C ） BA=O （D ） ()222B A B A +=- 3．下列矩阵中， 是正交矩阵。

（A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1221，（B ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212

32321，（C ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453，（D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0211 4．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+0042

31x x x x 的基础解系含（ ）个线性无关的解向量：（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

5．设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1，2，3，则=x （ ）

（A ） 3 （B ） 4 （C ） 1- （D ） 5

二 、填空题（共28分，每题4分）

1．4阶方阵A 的行列式3=A ，则行列式=-1A ，=--*2

11A A 。 2．当 t = 时，线性方程组⎪⎩

⎪⎨⎧=++=++=++000tz y x z ty x z y tx 有非零解。

3．若方阵A 可逆，其逆阵1-A 和伴随阵A*都可逆，且()=--11A ，()=-1*A 。

4．⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=300041003A ，则 =--1)2(E A

5．向量组⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221,021,001,1114321αααα的秩是 ，

最大线性无关组是 。

6．若n 阶方阵A 与单位阵E 相似，则A =

7．当t 取值在 范围内时，二次型xy ty tx f 422++= 是正定的。

三、 计算及应用（共50分，第1，2，3题各12分，第4题14分）

1．计算n 阶行列式a a a a a a a a a a a

a D 333

32

2

221111

1= 2．⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--==232110301),3,2,1(B A ，求矩阵T T BA A )(2+

3．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+233321321

321321x ax x ax x x x x x

（1） 讨论a 取何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？

（2） 方程组有无穷多解时，求其通解（用向量形式表示）

4．已知二次型 322122x x x f +=

（1）写出二次型的矩阵表达式；

（2）用正交变换把二次型化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

四、 证明题 （7分）

设11,,,--++B A B A B A 均为n 阶可逆阵，则 B B A A B A 1111)()(----+=+