勾股定理

勾股定理研究

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李熠霖

【摘要】：勾股定理是初等几何中最精彩、最著名和最有用的定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。从古巴比伦发现至今的悠悠4000年的历史长河里，它的身影若隐若现。勾股定理不仅是一些数学定理的基础,在生产和生活中的应用也很广泛。许多重要的数学、物理理论中都能发现它的踪迹。本文研究勾股定理的起源和发展,总结勾股定理可考的名称和证明方法;分析勾股定理的推广以及在现实生活中的应用。

【关键词】：勾股定理起源证明应用

【正文】: 作为世界上应用最广泛的定理之一，勾股定理有着它光辉的历史。欧几里得几何、代数几何、微积分、黎曼几何、爱因斯坦相对论，一个个我们熟悉的数学发现的背后无不渗透着勾股定理的影响，古典数学和现代数学的历史轨迹竟然一脉相承，从未走远。历史的变迁、科学史上的重要发现的背后都有勾股定理的身影——若隐若现。

勾股定理的别名

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日”。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。甚至叫做“欧几里得I 47”（它是欧几里得《几何原本》卷I中的第47个命题。）

勾股定理的起源和发展

现在人们一般认为是毕达哥达斯首次证明了勾股定理。当然他不是第一个发现这一定理的人，因为据可靠的资料，在他之前至少一千年，古巴比伦人就已经知道了这个定理，那时，中国人可能也已经知道。从毕达哥拉斯首次证明它并由此确立其不朽的地位开始，探索这一定理已经经历了大约2500年的演变过程。

今天，我们认为毕达哥拉斯定理是一个代数关系，a^2+b^2=c^2，当已知直角三角形两个边的长度时，根据这个关系式可以求得这个直角三角形的第三条边的长度。但是，当年毕达哥拉斯却不这样看它，对他来说，这是一个关于面积的几何陈述。大约在公元1600年，随着现代代数学的出现，这个定理才拥有了我们现在所熟悉的代数形式。无数的先贤们证明过它：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”。

毕达哥拉斯定理虽然生根于几何学，但是，人们普遍认为，毕达哥拉斯发现的这个定理在科学的几乎所有分支都有其身影，无论是纯理论科学还是应用科学。至今为止已经知道了它有400多种证明方法，这一数字仍在增长。这其中有美国第20任总统加菲尔德的原创证明，有爱因斯坦年十二岁时的证明，也有一位盲人姑娘的证明。

这一定理在很多应用领域起着重要作用。也许每个人都会记得自己在初中的时候学习过这个定理，当然他可能并不会用到它，但是无论如何，它都是数学中最有名的定理。

很多作家都评论说毕达哥拉斯定理很美。1895年，查尔斯·路德维希·道奇森，也就是人们所熟悉的刘易斯·卡罗尔写道：“它如毕达哥拉斯最早发现它的时候一样美丽耀眼。”2004年，《物理世界》杂志要求读者写出科学世界中最美的20个方程。名列第一的是欧拉公式，其后依次是麦克斯韦的4个电磁场方程、牛顿的力学第二定律F=ma，以及毕达哥拉斯定理a^2+b^2=c^2。

最早的勾股定理应用

从很多泥板记载表明，古巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图

设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米

∵a=√[l2-（l-h)2]=√[52-(5-1)2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。

勾股定理的部分证明方法

这个定理有数百种证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。单单是路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。而且还在不断增多。

有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。

也有很多证明是基于相似三角形的，这里提出一些经典的证明。

①。传说中毕达哥拉斯的证法（图1）

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。

②。赵爽弦图的证法（图2）

第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直

角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的

角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。

③。美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

勾股定理在现实的应用

我们常说的电视的尺寸实际上就用到了勾股定理。40寸电视其说的不是电视的长宽，而是对角线的长短，（长^2+宽^2=对角线^2）。

可以通过物体的投影计算高度。比较飞机以自身为参照物的角度变化，估测其时速。