3：傅氏变换
常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
਼ᰦ F ^g x exp j 2Sf a x ` G f x f a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
㪉
[ f ( x)] F (P ) ᷍ x0 㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱
[ f ( x r x0 )] exp(r j 2SP x0 ) F (P ) ᷉㠞䄧㾵䐫᷊ [exp p(r j 2SP0 x) f ( x)] F (P P0 ) ᷉㼁䄧㾵䐫᷊
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
= sinc ( u)
2
结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方
9
七、符号函数的傅里叶变换
1 F [sgn( x )] = jπ u
二维 留待推算
1 1 F [sgn( x )sgn( y )] = • jπ u jπ v
八、exp[ jπx ] 函数的傅里叶变换 1 F {exp[ jπx ]} = δ ( u − ) 2
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )ห้องสมุดไป่ตู้x
a x ≤ 2 其它
rect（x）
F.T.
sinc（u）
5
普遍型
x F rect a
§1、2 傅氏变换
∫
+∞
−∞
f (t )e − j( −ω )t d t = ∫
+∞
−∞
f (t )e − jω ( −t ) d t
令τ =− t
=
∫
+∞
−∞
f (−τ )e − jωτ
⎧ +∞ f (τ )e − jωτ d τ = F (ω ), 若f (t )为偶函数； ⎪ ∫−∞ d τ = ⎨ +∞ ⎪− ∫ f (τ )e − jωτ d τ = − F (ω ), 若f (t )为奇函数． ⎩ −∞
π∫
2
+∞
0
Fc (ω ) cos ωt d ω
（c2）
称为 Fc (ω ) 的傅氏余弦逆变换式（简称为余弦逆变换） ，即
f (t ) = ℱc −1[ Fc (ω )] ．
例 1、求 f (t ) = ⎨
⎧2, 0 ≤ t ≤ 1; 的傅氏变换． 其它 ⎩0,
解： F (ω ) = ℱ [ f (t )] =
=∫ e
0
+∞
−βt
⋅e
− jωt
dt = ∫ e
0
（β + jω ) t e− 1 β − jω dt = ． = = 2 β + jω β + ω 2 − （β + jω ) 0
+∞
（2）傅氏积分公式： f (t ) = ℱ
−1
[ F (ω )] =
1 2π
∫
+∞
−∞
F (ω )e jωt d ω =
δ －函数是一个广义函数，它没有普通意义下的“函数值” ，所以，它不能用通常意义下“值的 对应关系”来定义．在广义函数论中， δ －函数定义为某基本函数空间上的线性连续泛函，但要讲
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
信号课件第三章傅里叶变换
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
傅氏变换公式
傅氏变换公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：傅氏变换公式，又称傅里叶变换公式，是数学中一种非常重要的变换公式，它在信号处理、图像处理、物理学、工程等领域都有广泛应用。
傅氏变换公式的提出，来源于法国数学家傅里叶的研究成果，其贡献被誉为“物理学之母”。
傅氏变换公式的核心思想是将一个函数表示为频域中的若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而实现对信号的频域分析。
简单来说，就是将时域的函数转换为频域的函数。
通过傅氏变换，我们可以了解信号的频率成分，进而对信号进行分析和处理。
傅里叶变换的数学表达式如下：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt\]\(f(t)\)表示原始信号函数，\(F(\omega)\)表示信号在频域中的表示，\(\omega\)为频率，\(e\)为自然对数的底，\(j\)为虚数单位。
在实际应用中，傅氏变换公式经常与傅里叶逆变换公式相对应使用。
傅里叶逆变换公式可以将频域中的函数恢复到时域中，实现频域到时域的转换。
傅氏变换公式在信号处理领域有着广泛的应用。
利用傅氏变换可以将时域中的信号转换为频域中的频谱图，从而对信号的频率成分进行分析。
在音频处理和图像处理中，傅氏变换也被广泛应用。
在通信系统中，傅氏变换有助于信号的调制和解调，提高信号传输的效率。
除了傅里叶变换外，还有一种相关的变换称为离散傅里叶变换（DFT）。
离散傅里叶变换是将离散信号转换为频域中的频谱图，通常应用于数字信号处理和通信系统中。
傅里叶变换公式是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、物理学和工程等领域都有着广泛的应用。
通过傅氏变换，我们可以实现对信号的频域分析，了解信号的频率成分和特征，为信号处理和系统设计提供有力支持。
希望通过本文的介绍，读者对傅里叶变换有一个初步的了解，并深入学习其更多的应用和理论知识。
【字数已超2000字】第二篇示例：傅氏变换公式，又称为傅立叶变换，是数学中常见的一个重要工具，用于描述一个信号在频域上的分解和重建。
第7章3傅氏变换性质
例2
1 +πδ (ω ) F[H ( t ) = ] iω 1 +πδ (ω )] i t0 ω [ F[H ( t + t0 ) = e ] iω − i t0 ω 1 [ +πδ (ω )] F[H ( t − t0 ) = e ] iω
2
象函数的位移性质的应用1 象函数的位移性质的应用1 如果 F[ f ( t ) = F (ω ) 则 F[ e iω 0 t f ( t ) ] = F (ω − ω 0 ) ]
−∞ +∞
如果 F[ f ( t )]= F (ω )
a≠0
x = at + b f ( at +F[)f =t ∫−∞ f]= e iωb )F (ω )t d t b ] ( + b ) ( at + b e − iω F[ x−b t= x ωb 1 −∞ − iω a i a < 0 b = 0 得相似性质( x ) e a e a dx 令 时 ∫+∞ f a 1 ωx ω i −( t) f ω at +∞ = (b ) F a F[ i ] 1 t ta = − e a ∫ f (|x )| e a d x −∞ a ω 1 i ωab 1 i ωb ω F( ) = − e a F( ) = e a a |a| a 6 若 a > 0 则也正确
n
−∞
t n f ( t )] = i n F ( n ) (ω ) F[
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
122页例 （ 122页例7.9（1）. 页例7.9 Fourier变换 求函数 t ⋅ H ( t ) 的Fourier变换 1 解 因为 F[ H ( t )]= +πδ (ω ) iω 1 1 所以 F[t ⋅ H ( t ) = i [ +πδ (ω ) ]′ = − 2 + iπδ ′(ω ) ] ω iω Fourier变换 练习 求函数 t n ⋅ H ( t ) 的Fourier变换 1 (n) n n [ ] ] 解 F[t ⋅ H ( t ) = i iω +πδ (ω ) n ( −1) n ! (n) n [ = i iω n+1 +πδ (ω )]
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
§3-5 傅里叶变换的性质
FT x ( t ) e jΩ 0 t ← ⎯→ X [ j ( Ω − Ω 0 )]
ℱ x ( t ) e jΩ 0 t
{
} = ∫ x (t ) e
−∞
∞
∞
jΩ 0 t
e − j Ω t dt =
−∞
∫
x ( t ) e − j ( Ω − Ω 0 ) t dt
19
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
于是
X * (− jΩ) = X (− jΩ) e − jϕ( − Ω ) = X R (−Ω) − jX I (−Ω)
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ← ⎯→ j dΩ
FT
例如： du ( t )
dt
= δ (t )
对应的傅里叶变换
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ ( Ω ) + =1 δ(t ) ←⎯→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如：
1 d [πδ ( Ω ) + ] 1 jΩ FT ′ = jπ δ ( Ω ) − 2 tu ( t ) ← ⎯→ j Ω dΩ
x(t )
1
τ −2 τ 2
τ
X ( jΩ )
t
2π τ
Ω
τ
X ( jt )
x (Ω )
2π
若x(t)是偶对称的，则
FT X ( jt ) ←⎯→ 2πx(Ω)
信号与系统3章_傅里叶变换
2A t A sin n0t f AC (t ) cos n0 d T0 n1 π n1 n
fD A / 2
故
A A sin n0t f (t ) 2 π n 1 n
（2）利用直接法求解
1 a0 T0
0 T0
A A tdt T0 2
（2）双边频谱：
1 Fn T
1 e jn1 t / 2 e dt T jn1
/2
jn1 t / 2 / 2
2 sin 21 b b 2 4ac T n1 2a
n
1 n1 sin n 2 n1 Sa( ), T T 2 2
偶谐函数
2．横轴对称性
（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 （2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。
如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，
那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐 波分量也包含有偶次谐波分量。
！ 利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将
其直流分量去掉，以免发生误判。
an 0
2 bn T0
故
A A T0 T0 t sin n0tdt nπ
0
A A sin n0t f (t ) 2 π n 1 n
3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现
常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。
f (t )
n N
Fe
n
N
jn1t
t
f (t ) E
2
f (t )
E 2 T1 2
T1 2
o
sin 21 t
E 2
求下列函数的傅氏变换
傅里叶变换是将一个函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的过程。下面分别求解 给定函数的傅里叶变换：
(1) f(t) = sin(ω0t)u(t)
其中，ω0为常数，u(t)为单位阶跃函数。
根据傅里叶变换的定义，函数的傅里叶变换为：
F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt
(2) f(t) = e^(-βt)sin(ω0t)u(t) 根据傅里叶变换的性质和公式，我们可以将f(t)拆分为两个部分进行傅里叶变换。首先， 对于e^(-βt)的傅里叶变换，我们可以利用傅里叶变换的公式进行求解，结果为：
F1(ω) = 1/( jω + β)
然后，对于sin(ω0t)u(t)的傅里叶变换，我们可以利用傅里叶变换的性质和公式进行求解 ，结果为：
最后，根据傅里Байду номын сангаас变换的线性性质，我们可以将F1(ω)和F2(ω)相乘，得到f(t) = e^(βt)cos(ω0t)u(t)的傅里叶变换：
F(ω) = F1(ω) * F2(ω) = 1/( jω + β) * (1/2)[δ(ω-ω0) + δ(ω+ω0)]
求下列函数的傅氏变换
请注意，以上是对给定函数的傅里叶变换的求解过程，具体数值计算需要根据函数中的参 数进行。
求下列函数的傅氏变换
对于f(t) = sin(ω0t)u(t)，我们可以使用傅里叶变换的性质和公式进行求解。根据傅里叶 变换的性质，我们知道正弦函数的傅里叶变换是一个复数函数，具体形式为：
F(ω) = (1/2j)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)]
其中，δ(ω)为狄拉克（Dirac）δ函数。
求下列函数的傅氏变换
积分变换第2讲----傅氏变换的概念
31
图例: O
t
32
工程上将d-函数称为单位脉冲函数, 可将d-函
数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线
段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的
强度.
d(t)
1
O
t
33
d-函数有性质
d (t)dt 1
d (t) f (t)d t f (0)
及
d (t
t0 ) f
(t)d t
如f(t)在0点连续, 则在0附近的非常小的一个 领域可以看作是常数c=f(0). 因此, 任给一个 在(,)上积分值为1的函数g(t)
g(t) d t
1,则
1
g t
d t 1
e e
令d e
(t )
1
e
g
t
e
, 则d
(t )
lim
e 0
de
(t )
当e非常小, 则
de (t) f (t) d t de (t)c d t c f (0)
cost
d
042
因此可知当t 0时,有
| t | 1 | t | 1 | t | 1
sin x d x
sinc( x) d x
0x
0
2
9
普阿松积分公式
I et2 dt ,
证 I 2 ex2 y2 dydx,
作极坐标变换,令x r cos , y r sin , 积分元为rdrd ,则
1.傅氏变换的概念
15
我们知道, 若函数f(t)满足傅氏积分定理的条 件, 则在f(t)的连续点处, 有
f (t) 1
2
f
(
)
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表在数学和工程领域，傅里叶变换是一种极其重要的工具，它能够将复杂的时域信号转换为频域表示，从而帮助我们更好地理解和处理各种信号。
而了解常用的傅里叶变换表，则能让我们在解决实际问题时更加得心应手。
傅里叶变换的基本概念可以简单地理解为：任何一个周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。
而傅里叶变换就是找到这些正弦和余弦函数的频率、振幅和相位的过程。
下面我们来看看一些常见的函数及其对应的傅里叶变换：1、单位冲激函数（狄拉克δ函数）单位冲激函数在时域中只在一个瞬间有值，其他时间为 0。
其傅里叶变换是常数 1。
这意味着单位冲激函数包含了所有频率的成分，且各个频率成分的幅度相同。
2、单位阶跃函数单位阶跃函数在 t ＜ 0 时为 0，在t ≥ 0 时为 1。
它的傅里叶变换是1 ／（jω) ＋πδ(ω) ，其中 j 是虚数单位，ω 是角频率，δ(ω) 是狄拉克δ函数。
3、正弦函数对于正弦函数sin(ω₀t) ，其傅里叶变换是π δ(ω ω₀) δ(ω ＋ω₀) 。
这表明正弦函数在频域中只在正负ω₀处有值。
4、余弦函数余弦函数cos(ω₀t) 的傅里叶变换是π δ(ω ω₀) ＋δ(ω ＋ω₀) 。
5、矩形脉冲函数矩形脉冲函数在一个有限的时间区间内有值，其他时间为 0。
其傅里叶变换是一个 sinc 函数，即Sa(ω) ，其中Sa(ω) ＝sin(ω) ／ω 。
6、指数函数指数函数 e^（at) （a ＞ 0）的傅里叶变换是 1 ／（a ＋jω) 。
这些只是常见傅里叶变换中的一部分，掌握它们对于解决信号处理、通信、控制等领域的问题非常有帮助。
在实际应用中，傅里叶变换有着广泛的用途。
例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制和解调，傅里叶变换可以帮助我们理解信号在频域的特性，从而设计更有效的调制方式和滤波器。
在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像的滤波、增强和压缩等操作。
通过对傅里叶变换表的熟悉和运用，我们能够从不同的角度分析和处理问题，揭示隐藏在复杂信号背后的规律和特征。
傅里叶变换的性质
E
−
τ
2
o
τ
2
t
−
2π o 2π
ω
τ
τ
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 时域扩展，频带压缩。
t f 2
2Eτ
−
2F (2ω )
E
t
π τ
−τ
o
τ
o
π τ
ω
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 脉冲持续时间增加 倍 变化慢了， 带压缩a倍 高频分量减少，幅度上升a倍 带压缩 倍。高频分量减少，幅度上升 倍。
第 1 页
付立叶变换的性质主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质 线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
X
第
意义
傅里叶变换具有惟一性。 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： •了解特性的内在联系； 了解特性的内在联系； 了解特性的内在联系 •用性质求 用性质求F(ω)； 用性质求 ； •了解在通信系统领域中的应用。 了解在通信系统领域中的应用。 了解在通信系统领域中的应用
u(t) ↔ F (ω ) 直流 1 ↔πδ(ω ) 2 1 1 1 余下部分 f2 (t ) = u(t ) − = sgn(t ), u(t) ↔πδ(ω ) + 2 2 jω 1 ′ f2 (t )微分f2 (t ) = δ (t) ↔ 1, f2 (t ) ↔ jω d[u(t ) − f1 (t )] u(t ) f (t )
1 即 ↔ − jπ sgn(ω ) t
3傅立叶变换
第三章傅立叶变换第一题选择题1、连续周期信号f （t ）的频谱)(ωj F 的特点是 （4）（1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱； （3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。
2、满足抽样定理条件下，抽样信号f s （t ）的频谱)(ωj F s 的特点是 （1）（1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱； （3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。
3、信号的频谱是周期的离散谱，则原时间信号为 （2） 。
（1）连续的周期信号 （2）离散的周期信号 （3）连续的非周期信号 （4）离散的非周期信号4、已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t -4）的频带宽度为（ 1 ）（1）2Δω （2）ω∆21（3）2（Δω-4） （4）2（Δω-2）5、已知信号f （t ）的频带宽度为Δω，则f （3t -2）的频带宽度为（ 1 ）（1）3Δω （2）13Δω （3）13（Δω-2） （4）13（Δω-6）6、已知：1()F j ω=F 1[()]f t ，2()F j ω=F 2[()]f t 其中，1()F j ω的最高频率分量为12,()F j ωω的最高频率分量为2ω，若对12()()f t f t ⋅进行理想取样，则奈奎斯特取样频率s f 应为（21ωω>）:（ 3 ）（1）2ω1 （2）ω1+ω2 （3）2（ω1+ω2） （4）12（ω1+ω2）7、已知信号2()Sa (100)Sa (60)f t t t =+，则奈奎斯特取样频率f s 为（ 2 ）（1）π50（2）π120（3）π100（4）π608、信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率f s 为（ 1 ）（1）π100（2）π200（3）100π （4）200π9、若对f （t ）进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为f s ，则对)231(-t f 进行取样，其奈奎斯特取样频率为（ 2 ）（1）3f s （2）s f 31 （3）3（f s -2） （4）)2(31-s f10、若=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f （ 4 ）（1）ωω41)(21j ej F - （2）ωω41)2(21j ejF --（3）ωωj e j F --)(1 （4）ωω21)2(21j ejF --第二题判断题1、若周期信号f （t ）是奇谐函数，则其傅氏级数中不会含有直流分量。
3：傅氏变换-答案
3.1 选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入（ ）内） 1．已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t -4）的频带宽度为—————（ 1 ）（1）2Δω （2）ω∆21 （3）2（Δω-4） （4）2（Δω-2） 2．已知信号f （t ）的频带宽度为Δω，则f （3t -2）的频带宽度为————（ 1 ）（1）3Δω （2）13Δω （3）13（Δω-2） （4）13（Δω-6）3．理想不失真传输系统的传输函数H （jω）是 ————————（ 2 ）（1）0j tKe ω- （2）0t j Keω- （3）0t j Keω-[]()()c c u u ωωωω+--（4）00j t Keω- （00,,,c t k ωω为常数）4．理想低通滤波器的传输函数)(ωj H 是——————————（ 2 ）（1）0t j Ke ω- （2）)]()([0C C t j u u Ke ωωωωω--+- （3）)]()([0C C tj u u Keωωωωω--+- （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+均为常数αωωαω,,,,00K t j KC 5．已知：1()F j ω=F 1[()]f t ，2()F j ω=F 2[()]f t 其中，1()F j ω的最高频率分量为12,()F j ωω的最高频率分量为2ω，若对12()()f t f t ⋅进行理想取样，则奈奎斯特取样频率s f 应为（21ωω>）————————————（ 3 ）（1）2ω1 （2）ω1+ω2 （3）2（ω1+ω2） （4）12（ω1+ω2） 6．已知信号2()Sa(100)Sa (60)f t t t =+，则奈奎斯特取样频率f s 为——（ 4 ）（1）π50 （2）π120 （3）π100 （4）π607．若=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f —————————（ 4 ）（1）ωω41)(21j e j F - （2）ωω41)2(21j e j F --（3）ωωj e j F --)(1（4）ωω21)2(21j e j F -- 8．若对f （t ）进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为f s ，则对)231(-t f 进行取样，其奈奎斯特取样频率为————————（ 2 ）（1）3f s （2）s f 31 （3）3（f s -2） （4）)2(31-s f9．信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率f s 为—————————（ 1 ）（1）π100（2）π200（3）100π （4）200π10．一非周期连续信号被理想冲激取样后，取样信号的频谱F s （j ω）是——（ 3 ） （1）离散频谱； （2）连续频谱；（3）连续周期频谱； （4）不确定，要依赖于信号而变化 11．图示信号f （t ），其傅氏变换F )()()()]([ωωωjX R j F t f +==，实部R （ω）的表示式为———————————————————（ 3 ）（1）3Sa （2ω） （2）)2(Sa 3ω（3）3Sa （ω） （4）2Sa （ω）t12．连续周期信号f （t ）的频谱)(ωj F 的特点是———————（ 4 ）（1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱； （3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。
第三章 傅里叶变换
τ τ
2 2
其傅里叶变换为 ：
F (Ω ) =
∫
∞
2E Ωτ = ∫ τ Ee dt = sin( ) −2 Ω 2 Ωτ sin( ) 2 = E τ Sa Ω τ = Eτ Ωτ 2 2
τ
2
−∞
f ( t ) e − j Ω t dt
− jΩ t
可以看出傅里叶变换与傅里叶系数有如下关系： 可以看出傅里叶变换与傅里叶系数有如下关系：
傅里叶的两个最主要的贡献—— 傅里叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可以表示为成谐波关 系的正弦信号的加权和” 系的正弦信号的加权和”——傅里 傅里 叶的第一个主要论点 “非周期信号都可以用正弦信号的 加权积分来表示” 加权积分来表示”——傅里叶的第 傅里叶的第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号的傅里叶变换 信号的傅里叶变换
E f (t) = 0 | t |<
f(t) E
τ
2 T 2
-T -τ
2
τ
< | t |<
0
τ
2
T
t
τ：脉冲宽度， E：幅度， T：重复周期。 ：脉冲宽度， ：幅度， ： 这个周期性脉冲函数可以展开成傅里叶级数： 这个周期性脉冲函数可以展开成傅里叶级数：
f (t ) =
n = −∞
π ϕ (Ω ) = 2 π − 2 Ω < 0 Ω > 0
-
-α
0
α
Ω
ϕ(Ω) π
2
π
2
Ω
４ 单位冲激函数
其傅里叶变换为： 其傅里叶变换为： ∞ F (Ω ) = ∫ δ (t )e − ∞ 根据冲激函数的定义， 根据冲激函数的定义，有
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选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入（ ）内） 1．已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t -4）的频带宽度为—————（ ）（1）2Δω （2）ω∆21（3）2（Δω-4） （4）2（Δω-2）2．已知信号f （t ）的频带宽度为Δω，则f （3t -2）的频带宽度为————（ ）（1）3Δω （2）13Δω （3）13（Δω-2） （4）13（Δω-6） 3．理想不失真传输系统的传输函数H （jω）是 ————————（ ）（1）0j tKe ω- （2）0t j Keω- （3）0t j Keω-[]()()c c u u ωωωω+--（4）00j t Keω- （00,,,c t k ωω为常数）4．理想低通滤波器的传输函数)(ωj H 是——————————（ ）（1）0t j Ke ω- （2）)]()([0C C t j u u Ke ωωωωω--+- （3）)]()([0C C tj u u Keωωωωω--+- （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+均为常数αωωαω,,,,00K t j KC 5．已知：1()F j ω=F 1[()]f t ，2()F j ω=F 2[()]f t 其中，1()F j ω的最高频率分量为12,()F j ωω的最高频率分量为2ω，若对12()()f t f t ⋅进行理想取样，则奈奎斯特取样频率s f 应为（21ωω>）————————————（ ）（1）2ω1 （2）ω1+ω2 （3）2（ω1+ω2） （4）12（ω1+ω2） 6．已知信号2()Sa(100)Sa (60)f t t t =+，则奈奎斯特取样频率f s 为——（ ）（1）π50（2）π120（3）π100（4）π607．若=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f —————————（ ）（1）ωω41)(21j e j F - （2）ωω41)2(21j e j F --（3）ωωj e j F --)(1 （4）ωω21)2(21j e j F --8．若对f （t ）进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为f s ，则对)231(-t f 进行取样，其奈奎斯特取样频率为————————（ ）（1）3f s （2）s f 31 （3）3（f s -2） （4）)2(31-s f9．信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率f s 为—————————（ ）（1）π100（2）π200（3）100π （4）200π10．一非周期连续信号被理想冲激取样后，取样信号的频谱F s （j ω）是——（ ） （1）离散频谱； （2）连续频谱；（3）连续周期频谱； （4）不确定，要依赖于信号而变化 11．图示信号f （t ），其傅氏变换F )()()()]([ωωωjX R j F t f +==，实部R （ω）的表示式为———————————————————（ ）（1）3Sa （2ω） （2）)2(Sa 3ω（3）3Sa （ω） （4）2Sa （ω）t12．连续周期信号f （t ）的频谱)(ωj F 的特点是———————（ ）（1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱； （3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。
13．欲使信号通过线性系统不产生失真，则该系统应具有——————（ ）（1）幅频特性为线性，相频特性也为线性； （2）幅频特性为线性，相频特性为常数； （3）幅频特性为常数，相频特性为线性； （4）系统的冲激响应为)()(0t t k t h -=δ。
14．一个阶跃信号通过理想低通滤波器之后，响应波形的前沿建立时间t r 与—————————————————（ ）（1）滤波器的相频特性斜率成正比； （2）滤波器的截止频率成正比； （3）滤波器的相频特性斜率成反比； （4）滤波器的截止频率成反比；（5）滤波器的相频特性斜率和截止频率均有关系。
是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×）1．若周期信号f （t ）是奇谐函数，则其傅氏级数中不会含有直流分量。
（ ） 2．奇函数加上直流后，傅氏级数中仍含有正弦分量。
（ ） 3．周期性冲激序列的傅里叶变换也是周期性冲激函数 （ ） 4．阶跃信号通过理想低通滤波器后，响应波形的前沿建立时间t r 与滤波器的截 止频率成正比 （ ） 5．周期性的连续时间信号，其频谱是离散的、非周期的 （ ） 6．非周期的取样时间信号，其频谱是离散的、周期的 （ ） 填空题1．已知F )()]([ωj F t f =，则F =-)]33([t f F [f （2t -5）]= F [f （3-2t ）] =F [f （t ）cos200t ]= F =-]cos )([0t t f ωτ F =])([0t j e t f ωF =-∑∞-∞=])()([1n nT t t f δF 0)([t j e j F ωω--1]=F 10[(()]F j ωω--=2．已知=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f F )],([2t f 其中：)(1ωj F 的最高频率分量为,1ω)(2ωj F 的最高频率分量为,2ω且,12ωω>则)()()(221t f t f t f +=的最高频率分量m f = ，若对f （t ）进行取样，则奈奎斯特取样周期T s =3．若理想低通滤波器截止频率KHz f c 1=，则阶跃信号通过该滤波器后响应的上 升时间t r = 。
4．无失真传输系统，其幅频特性为 ，相频特性为 ； 理想低通滤波器的系统函数H （jω）=5．已知=)(ωj F F )()],([ωj F t f 的最高频率为m f ，现对)(t f 进行理想冲激取样， 则取样信号)(t f s 的傅氏变换=)(ωj F s F =)]([t f s ，若要保证能从)(t f s 中恢复出原信号，则最大取样周期T smax = 。
6．信号f （t ）= Sa （60t ），其最高频率分量为ωm = ， 最低取样率f s = 。
7．信号f （t ）=Sa 2（60t ）+Sa （100t ），其最高频率分量为ωm = ， 最低取样率f s = 。
8． 信号f （t ）=Sa 2（100t ），其最高频率分量ωm = ，最低取样频率f s = 。
9．无失真传输系统的系统函数H （j ω）=10．阶跃信号通过理想低通滤波器，其响应的上升时间t r 与滤波器的 成反比。
11．已知f 1（t ）的频谱函数在（-500Hz ，500Hz ）区间内不为零，f 2（t ）的频谱函数在（-1000Hz ，1000Hz ）区间内不为零，现对f 1（t ）与f 2（t ）相乘所得 的信号进行理想取样，则奈奎斯特取样频率为 。
12． 已知f （t ）的最高频率分量f m 为103Hz ，则信号f （t ）的最低取样率 f s = ，则信号f （2t ）的最低取样率f s = 13．已知理想低通滤波器的系统函数为0)]()([)(t j e u u j H ωπωπωω---+=y (t )x (t )若x 1(t )=δ(t )，则y 1(t )=h (t )= 若x 2(t )=sin t +2sin 3t ，则y 2(t )=上述哪些信号通过该系统,实现了不失真传输? 14．已知()()Sa[()]c g t f t d τωττ∞-∞=-⎰和F [f （t ）]=F （j ω）则G （j ω）=F [g （t ）]= 15．图示周期方波信号f （t ）包含有哪些频率分量？粗略画出信号频谱图。
16．F {}=t t 0cos ]1*)([ωδ已知F []2sgn()t j ω=，求 F 1t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦17．已知信号f （t ）的频谱函数在（-500Hz ，500Hz ）区间内不为零，现对f （t ）进行理想取样，则奈奎斯特取样频率为 Hz 。
18．周期信号f （t ）如题图所示，若重复频率f =5KHz ，脉宽s μτ20=，幅度E =10V ，则直流分量= V 。
2219．F 2[()]j te u t =F ][t = 。
20．f （t ）的波形如右图所示，则f （t ）的偶分量f e （t ）= 而f （t ）的奇分量f o （t ）= 其F e （j ω）= F [f e （t ）]= F o （j ω）=F [f o （t ）]=已知某周期信号的傅里叶级数：]5cos 513cos 31[cos 2)(111Λ-+-=t t t E t f ωωω试画出f （t ）的幅度频谱|F n |~ω的图形。
t信号f （t ）如题图所示，求=)(ωj F F )]([t f ，并画出幅度谱)(ωj F 。
t已知周期方波信号f （t ）的傅氏级数为f （t ）=∑∞=11cos 2sin 12n t n n n Eωππ 画出信号f （t ）的频谱图与波形图。
周期信号f （t ）前四分之一周期的波形如题图所示，已知f （t ）的傅氏级数中只含有奇次谐波的余弦分量，且无直流，试绘出f （t ）一个周期（2T -～2T） 的波形。
已知周期性锯齿信号的指数傅里叶级数 ∑∞≠-∞=-+=01122)(n n tjn e njE E t f ωπ 试画出幅度频谱|F n |～ω图与相位频谱φn ～ω图，（频谱为离散谱，级数中ｎ为±1、±2…±∞）。
已知=)(ωj F F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22sin t t ,画出频率)(ωj F ～ω图形。
周期信号)(t f 的41周期如题图所示，已知)(t f 的傅氏级数中仅含有奇次谐波的余弦分量，无直流，试绘出)(t f 的一个周期（2T -～2T）的波形。
定性判断题图所示周期信号f （t ）的傅氏级数中含有哪些频率分量。
已知)]1()1([)(--+=t u t u E t x ，求t t x t y π200cos )()(=的频谱=)(ωj Y F )]([t y ，并画出y （t ）的频谱图Y （j ω）。
求图示频谱函数F （j ω）的傅里叶反变换，f （t ）=F -1[F （j ω）]，并画出f （t ）的波形图。
ω3.14 f 1（t ）与f 2（t ）的频谱如图所示，分别求f 1（t ）+f 2（t ），f 1（t ）*f 2（t ）及f 1（t ）·f 2（t）的频谱表达式，并画频谱图。
ωω系统如题图（a ）所示，低通滤波器的传输函数如题图（b ）所示，已知()Sa(2)x t t π=，()()3n ns t t δ∞=-∞=-∑ω(t )x （a ）（b ）ω 21．求信号的频谱)(t x =)(ωj X F )()],([ωj X t x 并画出～ω图形； 2．求输出信号y （t ），并粗略画出其波形。