自动控制原理 第八章 习题解答
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z1, 2 0.4 2 0.2 2 0.447 1
特征根z1,2在z平面的单位圆内，故闭环离散系统稳定。
应用终值定理求得稳态误差：
ess lim ( z 1) e ( z ) R ( z ) 0 0.5
z 1
解法二：根据系统结构图上误差的定义，开环脉 冲传递函数为 C ( z) G1 ( z ) 0.2( z 1) G( z) E ( z ) 1 G1 H1 ( z ) z ( z 1)
输出 C ( z ) ( z ) R( z ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.368 z 0.264 z 2 z z 0.632 z 1
使用长除法得 C ( z ) 0.368 z 1 z 2 1.399 z 3 1.399 z 4 1.147 z 5 0.895 z 6
w1
w0
3.20031
2.32953
由Routh阵列表第一列元素全大于零可知新特征方程 没有w平面右半平面的根，即离散系统没有z平面单位圆 外的根，故离散系统稳定。
8-12
解法一：系统结构图为 r(t) e(t) x(t) c(t)
G1(s) H1(s)
K (1 e Ts ) 其中 G1 ( s) ，H1 (s) 0.5s 3 s 0.2( z 1) 1 求Z变换得G1H1 ( z ) ，G1 ( z ) ( z 1) 2 z 1
习题解答
8-2
1、部分分式展开 X ( s)
查Z变换表，得
s3 2 1 ( s 1)( s 2) s 1 s 2
2z z z ( z e T 2e 2T ) X ( z ) Z [ X ( s)] T 2T z e z e ( z e T )( z e 2T )
则单位阶跃响应为 c* (t ) 0.368 (t T ) (t 2T ) 1.399 (t 3T ) 1.399 (t 4T ) 1.147 (t 5T ) 0.895 (t 6T )
8-9 传递函数的部分分式展开 2 0.3 0.005 0.04 Ts G( s) (1 e )[ 2 ] s s 0.05 s 1 0.1s 1 0.152 z 2 0.179 z 0.00795 开环脉冲传递函数 G ( z ) ( z 1)( z e 4 )( z e 2 ) 闭环脉冲传递函数 G( z) 0.152 z 2 0.179 z 0.00795 ( z) 3 1 G ( z ) z z 2 0.335 z 0.00547 特征方程 D( z ) z 3 z 2 0.335 z 0.00547 0
2、部分分式展开 X ( s)
1 1 1 1 2 s 2 ( s 1) s s s 1
查Z变换表，得 Tz z z z[(e T T 1) z 1 (1 T ) e T ] X ( z) 2 T ( z 1) z 1 z e ( z 1) 2 ( z e T )
同解法一，利用特征方程可判定闭环系统稳定。 用静态误差系数法求ess: R(s) E(s) K p lim G ( z ) z 1 K/s2 K v lim ( z 1)G ( z ) 0.4 z 1 0.5s K a lim ( z 1) 2 G ( z ) 0
8-3
8 z 1 z 2、部分分式展开 X ( z ) 7 z 0.8 7 z 0.1 查Z变换表，得 8 1 t /T x(t ) 0.8 0.1t / T 7 7 8 1 * n n 则 x (t ) [ 0.8 0.1 ] (t nT ) 7 n 0 7 8 1 n 或 x(nT ) 0.8 0.1n 7 7 (n 0,1,2,3,)
特征方程 D( z ) z 3 z 2 0.335 z 0.00547 0 w 1 令z ，作双线性变换得新特征方程 w 1 D( w) 0.34047 w3 1.64859 w2 3.68141 w 2.32953 0
Routh阵列表 w3 w2 0.34047 1.64859 3.68141 2.32953
z 1
C(s)
ess essp essv essa
图 与题8-12图对 应的连续系统 2 1 T T ess= essp+ essv+ essa 0 0 .5 1 K p Kv Ka =0+0.5+∞=∞
则误差脉冲传递函数为
e ( z)
E( z) 1 G1 H1 ( z ) z ( z 1) 2 R( z ) 1 G1 ( z ) G1 H1 ( z ) z 0.8 z 0.2
则误差脉冲传递函数可知特征方程为 z2-0.8z+0.2=0 解出特征根z1,2=0.4±j0.2
x(t)在各采样时刻nT的值为： x(0)=1， x(T)=0.25， x(2T)=0.625，· · ·
8-7
1 e Ts 0.368 z 0.264 开环脉冲传递函数 G ( z ) Z [ 2 ] s ( s 1) ( z 1)( z 0.368 )
G( z) 0.368 z 0.264 2 闭环脉冲传递函数 ( z ) 1 G ( z ) z z 0.632
8-3
3、部分分式展开 X ( z )
z ( z 1) z ( z 0.25)( z 1) z 0.25
t /T 查Z变换表，得 x(t ) 0.25
x (t ) 0.25 n (t nT ) 则
* n 0
或 x(nT ) 0.25 n
(n 0,1,2,3,)
特征根z1,2在z平面的单位圆内，故闭环离散系统稳定。
应用终值定理求得稳态误差：
ess lim ( z 1) e ( z ) R ( z ) 0 0.5
z 1
解法二：根据系统结构图上误差的定义，开环脉 冲传递函数为 C ( z) G1 ( z ) 0.2( z 1) G( z) E ( z ) 1 G1 H1 ( z ) z ( z 1)
输出 C ( z ) ( z ) R( z ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.368 z 0.264 z 2 z z 0.632 z 1
使用长除法得 C ( z ) 0.368 z 1 z 2 1.399 z 3 1.399 z 4 1.147 z 5 0.895 z 6
w1
w0
3.20031
2.32953
由Routh阵列表第一列元素全大于零可知新特征方程 没有w平面右半平面的根，即离散系统没有z平面单位圆 外的根，故离散系统稳定。
8-12
解法一：系统结构图为 r(t) e(t) x(t) c(t)
G1(s) H1(s)
K (1 e Ts ) 其中 G1 ( s) ，H1 (s) 0.5s 3 s 0.2( z 1) 1 求Z变换得G1H1 ( z ) ，G1 ( z ) ( z 1) 2 z 1
习题解答
8-2
1、部分分式展开 X ( s)
查Z变换表，得
s3 2 1 ( s 1)( s 2) s 1 s 2
2z z z ( z e T 2e 2T ) X ( z ) Z [ X ( s)] T 2T z e z e ( z e T )( z e 2T )
则单位阶跃响应为 c* (t ) 0.368 (t T ) (t 2T ) 1.399 (t 3T ) 1.399 (t 4T ) 1.147 (t 5T ) 0.895 (t 6T )
8-9 传递函数的部分分式展开 2 0.3 0.005 0.04 Ts G( s) (1 e )[ 2 ] s s 0.05 s 1 0.1s 1 0.152 z 2 0.179 z 0.00795 开环脉冲传递函数 G ( z ) ( z 1)( z e 4 )( z e 2 ) 闭环脉冲传递函数 G( z) 0.152 z 2 0.179 z 0.00795 ( z) 3 1 G ( z ) z z 2 0.335 z 0.00547 特征方程 D( z ) z 3 z 2 0.335 z 0.00547 0
2、部分分式展开 X ( s)
1 1 1 1 2 s 2 ( s 1) s s s 1
查Z变换表，得 Tz z z z[(e T T 1) z 1 (1 T ) e T ] X ( z) 2 T ( z 1) z 1 z e ( z 1) 2 ( z e T )
同解法一，利用特征方程可判定闭环系统稳定。 用静态误差系数法求ess: R(s) E(s) K p lim G ( z ) z 1 K/s2 K v lim ( z 1)G ( z ) 0.4 z 1 0.5s K a lim ( z 1) 2 G ( z ) 0
8-3
8 z 1 z 2、部分分式展开 X ( z ) 7 z 0.8 7 z 0.1 查Z变换表，得 8 1 t /T x(t ) 0.8 0.1t / T 7 7 8 1 * n n 则 x (t ) [ 0.8 0.1 ] (t nT ) 7 n 0 7 8 1 n 或 x(nT ) 0.8 0.1n 7 7 (n 0,1,2,3,)
特征方程 D( z ) z 3 z 2 0.335 z 0.00547 0 w 1 令z ，作双线性变换得新特征方程 w 1 D( w) 0.34047 w3 1.64859 w2 3.68141 w 2.32953 0
Routh阵列表 w3 w2 0.34047 1.64859 3.68141 2.32953
z 1
C(s)
ess essp essv essa
图 与题8-12图对 应的连续系统 2 1 T T ess= essp+ essv+ essa 0 0 .5 1 K p Kv Ka =0+0.5+∞=∞
则误差脉冲传递函数为
e ( z)
E( z) 1 G1 H1 ( z ) z ( z 1) 2 R( z ) 1 G1 ( z ) G1 H1 ( z ) z 0.8 z 0.2
则误差脉冲传递函数可知特征方程为 z2-0.8z+0.2=0 解出特征根z1,2=0.4±j0.2
x(t)在各采样时刻nT的值为： x(0)=1， x(T)=0.25， x(2T)=0.625，· · ·
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1 e Ts 0.368 z 0.264 开环脉冲传递函数 G ( z ) Z [ 2 ] s ( s 1) ( z 1)( z 0.368 )
G( z) 0.368 z 0.264 2 闭环脉冲传递函数 ( z ) 1 G ( z ) z z 0.632
8-3
3、部分分式展开 X ( z )
z ( z 1) z ( z 0.25)( z 1) z 0.25
t /T 查Z变换表，得 x(t ) 0.25
x (t ) 0.25 n (t nT ) 则
* n 0
或 x(nT ) 0.25 n
(n 0,1,2,3,)