旋转提高专题

旋转提高专题

旋转专题

【方法剖析】

1.旋转中心可以在图形内部，也可以在图形外部，还可以在图形上。中心对称图形的对称中心一定在图形内部。旋转中心的确定方法：对应点连接线段的垂直平分线的交点为旋转中心。

2.确定旋转角的度数时，关键是确定旋转中心和选择前、后对应点的位置。任意2条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角。

3.确定对称中心的常用方法：

（1）连接一对对称点，取对称点连接线段的中点即为对称中心。（2）连接任意2对对称点，2条连接线段的交点为对称中心。

4.利用旋转性质解题的步骤：

（1）找旋转点，得等边，等角；（2）证全等或相似；（3）利用全等或相似得边角关系。

【例题分析】

如图，在等腰直角三角形ABC中，90

∠=,P是CAB

CAB︒

∆内

一点，且PA＝1,PB＝3,PC 7,求CPA

∠的度数。

解：∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，

∴把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C，连

PP ′，如图， ∴∠P ′AP ＝90°，P ′A ＝PA ＝1，P ′C ＝PB ＝3，

∴△PAP ′为等腰直角三角形，

∴2P P PA '=

＝2，45APP ∠'︒＝， 在P PC ∆' 中，32P C P P '='=，，PC ＝7， ∵222723+=（）（）

∴222PC P P P C +'='，

∴P PC ∆'为直角三角形，90CPP ∠'=︒，

∴9045135CPA CPP APP ∠=∠'+∠'=︒+︒=︒．

变式：如例题，把题中“等腰直角三角形ABC ”改为“等边三角形ABC ”，PA=2,其余条件不变，求CPA ∠的度数。（答案150︒）

【综合训练】

1．如图，在正方形ABCD 中，AD ＝23，把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP ，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接PC ，则PCE ∆ 的面积为 ．

2．如图，在正方形ABCD 内作45EAF ∠︒＝， AE 交BC 于点

第1题图 第2题图 第3题图

第4题图 第5题图 第6题图

E ，A

F 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH ⊥EF ，垂足为H ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB

G ，若BE ＝2，DF ＝3，则A

H 的长为 ．

3．如图，A 点坐标为（﹣1，5），B 点坐标为（3，3），C 点坐标为（5，3），D 点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ．

4．在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠︒＝，M 是AD 边的中点，若线段MA 绕点M 旋转得到线段MA ′

（1）如图①，当线段MA 绕点M 逆时针旋转60°时，线段AA ′的长＝ ；

（2）如图②，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 ．

5．如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，若AC ＝AD 且60ACD ∠︒＝，则对角线BD 的长最大值为 ．

6．如图，正方形AEFG 与正方形ABCD 的边长都为2，正方形AEFG 绕正方形ABCD 的顶点A 旋转一周，在

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 此旋转过程中，线段DF 的长可取的整数值可以为 ．

7．如图，在△ABC 中，78CAB ∠︒＝，

在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，BC 与B ′C ′交于点P ，则∠BPB ′的大小为 ．

8．如图，在△ABC 中，ACB ∠＝90°，ABC ∠＝25°，O 为AB 的中点．将OA 绕点O 逆时针旋转θ︒至OP 0180θ（＜＜），当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为 ．

9．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30︒后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 3，则HD 的长为 ．

10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y 3x 经过点A ，作AB ⊥x 轴于点B ，将△ABO 绕点B 逆时针旋转60︒得到△CBD ，若点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标为 ．

11．在直角坐标系中，点3M （，1） 绕着坐标原点O 旋转

60°后，M对应点的坐标是．

12．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．已知PA ＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为．

第12题图第13题图第14题图第15题图

13．如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90︒，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为60︒，边长为2，则该“星形”的面积是．

14．如图，点E是正方形ABCD内一点，连结AE、BE、DE．若AE＝2，BE＝15，135

＝，则正方形ABCD的

AED

∠︒

面积为．

15．如图，△ABC中，9020

＝，＝，点O是AB的

ACB BAC

∠︒∠︒

中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时0180

α

︒︒

（＜＜），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为．16．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连

接OH ．

（1）如图1所示，易证：12

OH AD OH AD ⊥＝且（不需证明） （2）将△COD 绕点O 旋转到图2，图3所示位置时，线段OH 与AD 又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．

17．如图1，四边形ABCD ，将顶点为A 的∠EAF 绕着顶点A 顺时针旋转，角的一条边与DC 的延长线交于点F ，角的另一边与CB 的延长线交于点E ，连接EF ．

（1）如果四边形ABCD 为正方形，当45EAF ∠︒＝时，有EF ＝DF ﹣BE ．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；

（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，