清华大学微积分题库

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。

(4455)．过点)0,2

1(且满足关系式11arcsin 2

=-+

'x

y x y 的曲线方程为

2

1arcsin -

=x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2

2

1x C C y +

=。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且

C x y x y x y x y ≠--)

()()

()(1312，则该微分方程的通解为

)())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。

(3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=2123。 (4725)．设出微分方程x e xe

x y y y x x

2cos 32++=-'-''-的一个特解形式

)2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。

(4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x

e x C e

C y 222141⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++=-。

(4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为

04=+''y y 。

(4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2

()(20

+=⎰

x

dt t

f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分

⎰

--L

x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶

连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A)

)(2

1x x e e --。 (B) )(21

x x e e --。

(C) 1)(21-+-x x e e 。 (D) )(2

1

1x x e e -+-。 答B

注：根据题意，y e x f y x f x cos ])([cos )(-='-，解得x x

Ce e x f -+=

2

1)(。由0)0(=f ，得21-=C ，所以)(2

1

)(x x e e x f --=，即选项(B)正确。

6907．若函数x y 2cos =是微分方程0)(=+'y x p y 的一个特解，则该方程满足初始条件

2)0(=y 的特解为[ ]

(A) 22cos +=x y 。 (B) 12cos +=x y 。 (C) x y cos 2=。 (D) x y 2cos 2=。 答D

注：根据解的结构，通解为x C y 2cos =，由2)0(=y 得2=C 。故选项(D)正确。

其他选项经验证不满足方程或定解条件。

6126．设函数)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，则该方程的通解为[ ]

(A)2211y C y C y +=。 (B) 21Cy y y +=。 (C) )(211y y C y y ++=。 (D) )(12y y C y -= 。 答D

注：因为)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，所以12y y -是该

方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为)(12y y C y -=，即选项(D)正确。另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当02≡y 时，选项(B)不对。当12y y -=时，选项(C)不对。

6579．已知函数)(x y y =在任意点x 处的增量π=∆++∆=∆)0(),(12

y x o x

x

y y ，则)1(y 等于[ ]

(A)π2。 (B)π。 (C)4

π

e 。 (D) 4π

πe 。

答D

注：根据微分定义及微分与导数的关系得2

1x

y y +=

'，解得C x y +=arctan ln ，由

π=)0(y ，得πln =C ，所以41arctan )1(π

ππe e y ==。因此选项(D)正确。

6215．设函数)(x f y =是微分方程042=+'-''y y y 的一个解。若0)(,0)(00='>x f x f ，则函数)(x f 在点0x [ ]

(A) 取到极大值。 (B) 取到极小值。 (C) 某个邻域内单调增加。 (D) 某个邻域内单调减少。 答A

注：因为0)(0='x f ，0)(4)(00<-=''x f x f ，所以选项(A)正确。

6316. 设21,y y 是二阶常系数线性齐次方程0=+'+''qy y p y 的两个特解，21,C C 是两个任意常数，则下列命题中正确的是[ ] （A ） 2211y C y C +一定是微分方程的通解。 （B ）2211y C y C +不可能是微分方程的通解。 （C ）2211y C y C +是微分方程的解。 （D ）2211y C y C +不是微分方程的解。 答C

注：根据叠加原理，选项（C ）正确，选项（D ）错误。当21,y y 线性相关时，选项（A ）

错误, 当21,y y 线性无关时，选项（B ）错误。

1897. 微分方程1+=-''x

e y y 的一个特解应具有形式[ ]

(A)b ae x +。 (B)b axe x

+。

(C) bx ae x +。 (D) bx axe x

+。

答B

注：相应齐次方程的特征根为1,1-，所以x e y y =-''的一个特解形式为x

axe ，