清华大学微积分题库

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清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答

k =1
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以为周期的级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明，并计算定积分． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
第4页共5页

清华大学一元微积分

x→+∞
x→+∞
∃M > 0 ，使得 x ≥ M 之后 f (x) ≥ a / 2 ，从而 ∀K > M
∫ ∫ +∞ |
f
(x) | dx
≥
K
|
f
(x) | dx
≥
a
(K
−
M)
2
0
M
+∞
∫ 而 K > M 的任意性与 f (x)dx 绝对收敛矛盾。这说明只有 lim f (x) = 0 。 x→+∞ 0
+∞
∫ 证明：由已知 f ′(x)dx 绝对收敛，从而收敛，所以
0
A
+∞
∫ ∫ lim f (A) = f (0) + lim f '(x)dx = f (0) + f '(x)dx 存在。
A→+∞
A→+∞
0
0
如果 lim f (x) ≠ 0 ，不妨令 lim f (x) = a > 0 ，则由极限保序性
0
0 ⎝2⎠
2．计算上半心形线：
⎧x
⎨ ⎩ ) cosθ = a(1 + cosθ ) sinθ
，0
≤θ
≤
π
，绕
x
轴旋转一周所得到的旋转体的体积V
。
解： dx = −a[(1 + cosθ )sinθ + cosθ sinθ ]dθ
π
π
∫ ∫ 所以 V =| πy 2 (θ )dx(θ ) |= πa3 | (1 + cosθ )2 sin 2 θ (1 + 2 cosθ )d (cosθ ) |

清华大学微积分

v(t0)lt i0m x(t0tt)x(t0)
如果极限存在, 这个极限值就是质点的
瞬时速度.
2019/9/1
4
[例2] 曲线的切线斜率问题
设曲线 L,其方程y为 f(x)(axb) f(x)C[a,b]. x0(a, b),求曲线 L在点 M0(x0, y0)的切线 (其中 , y0 f(x0)).
[注1意 ]当确x定 0时 ,点微d分 f(x0)是
xxx0的线性 . 函数
[注意2] 当x很小时 ,微分df(x0)可作为增量f (x0)的近似,值其误差 f (x0)df(x0) 是x的高阶无穷. 小
2019/9/1 微分是增量的“线性主部” 15
四、可导、可微与连续的关系
y

x2
si
n1 x
,
x0
0,
x0
x2 sin 1 0
则 y(0) lim
x
x0
x
limxsin 1 0
x0
x
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24
微分的几何意义
y
T
y f(x)
o
2019/9/1
N
P M0
x Q
y
dy
微分三角形

x 0 x0 x
2019/9/1
yx在x0不
可
导 20
y x
2019/9/1
o
x
尖点
21
[例 ] 研究 f(x)x1 3 在 x0的可导
[解]
y
f(0x)f(0)
1
( x)3
1
x
x
x(x)3 2
y
1
lxi m 0xlxi m 0(x)3 2

清华大学微积分全

在z轴上的分量微元为
y
o
dFz
dF cos
k
1
dV
r2
z r
x
其中k为引力常数, r x2 y2 z2
2020/5/11
19
于是
Fz k
(x2
z y2
z2 )32 dV
k
2
d
0
d
0
h
cos
0
cos
3
2
s
ind
2kh0 sind
2kh(1 cos )
2020/5/11
*
a cos
a2 r2
2 d
rdr
dz
0
0
0
2 d
a cos
a2 r2 rdr 1 a3
2 (1 sin3 )d
0
0
30
1 ( 2)a3
32 3
2020/5/11
所以V
4V1
4 (
32
2 )a3 315
[例2]设球体x2 y2 z2 2Rz上任一点 ( x, y, z)处的密度等于该点到坐标原点距离的平方, 求该球体的质心.
( ex2 dx)2
即 ex2 dx
因为上述广义积分收敛，且被积函数为偶函数，所以有
ex2 dx 2 e x2 dx
0
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7
于是，有
ex2 dx
0
2
令 u ax, 则 dx 1 du, 得 a
e a2x2 dx 1 e u2 du
作业 P125 习题4
10. 13.
P134 习题5

清华大学微积分期末试题

期末样题参考解答一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上）1．积分⎰⎰xdy xy f dx 03)(在极坐标下的累次积分为。

答案：⎰⎰=θπθθθcos 30240)sin cos (rdr r f d2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分()=+⎰⎰Ddxdy yx x )sin(12。

答案：2==⎰⎰Ddxdy3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且x x f cos 2)1,(=，⎰⎰=Ddxdy y x f 1),(，则⎰⎰=∂∂Ddxdy yy x f y),( 。

答案：11sin 2-4．计算积分值⎰⎰=-1)1ln(yydx xx dy。

答案：⎰⎰⎰-=--=-=101041)1ln()1()1ln(2dx x x dy x x dx x x5. 设}2:),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x )( 。

答案：ππθπ4222302020====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线，则第一型曲线积分=-⎰Lds y x )(22 。

答案：07. 设S 为上半球面222y x R z --=，则第一型曲面积分=++⎰⎰SdS z y x )( 。

答案：3222R dxdy zRzzdS R y x S π===⎰⎰⎰⎰≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ，则第二型曲线积分=+⎰Lydy xdx 。

答案：2222),1()1,0(22),1()1,0(22e y x y x d e e =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ 9．设32),,(z xy z y x f =，则在1===z y x 点=)],,(div[grad z y x f 。

清华微积分题库

x y z 如何？( B ) y z x
x y z 1 y z x Fy Fy Fz Fx F F ) ( z ) ( x ) 1 (B) 该式 ( Fx Fy Fz Fx Fy Fz
(C) 因为一个方程 F ( x, y , z ) 0 可以确定一个函数，不妨设 z 为函数，另两个变量 x, y 则为自变量，于是给表达式为 0 。 (D) 仿(C)不妨设由 F ( x, y , z ) 0 确定 z 为 x, y 的函数,因 58．设
dy dt , t' 。 dx dx (B) Fx Fy ( f x f t t x ) Ft t x 0 。
(A) Fx Fy y ' Ft t ' 0 ,其中 y ' 60． lim

x y （ 0 x x xy y 2 y
(A) .设方程 z x y a , Fx 2 zz x 2 x, Fz 2 z , 代入 z x
2 2 (C) 求 z x y 平行于平面 2 x 2 y z 0 的切平面,因为曲面法向量 n (2 x,2 y,1) //( 2,2,1) ,
54．以下各点都是想说明 lim f ( x, y ) 不存在的，试问其理由是否正确？( B
x , y 0
)
xy ，理由是 y x 时函数无定义。 x y xy , y x (B) 对 f ( x, y ) x y , 理由是令 y x 2 或 x 2 x 将得到不同的极限值 0,1 。 0, y x y ,x 0 , 理由是令 y 1 x ，即知极限不存在。 (C) 对 f ( x, y ) x 0, x 0

清华大学多元函数微积分题库

=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ）设函数 z = z(x，y) 由方程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ）函数 z = x 2 - xy + y 2 在点 (-1，1) 处沿方向 l =
（B）函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C）函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；

清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)

（）求极限． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
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2/3
3．求下列极限
（）求．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（）． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
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．已知，求证：． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列单调，且，证明：． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞

清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)

(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求，． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（）设函数由方程确定，求． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r

清华大学微积分(数列极限的运算、存在性判断、柯西准则)题目

lim
n→∞
an
=
A
lim
n→∞
bn
=
B
lim a1bn + a2bn−1 + ⋯ + anb1 = AB
n→∞
n
．设极限存在，证明． 2
lim
n→∞
(a1
+
a2
+⋯
+
an
)
=
a
lim a1 + 2a2 + ⋯ + nan = 0
n→∞
n
3．设θ ≠ kπ ，证明数列{sin nθ}发散．
三、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖）
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3．下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例．
（）对于任意的，均有． 1
p ∈ ℕ*
lni→m∞(an+ p − an ) = 0
（），，只要，就有． 2 ∀ε > 0 ∃N ∈ℕ*
n>N
| an − aN |< ε
（），以及，只要，就有． 3 ∀ε > 0 ∃Nε ∈ℕ*
Aε ∈ ℝ
n > Nε
| an − Aε |< ε
．证明：有界数列若不收敛，则必存在两个子列，，使得 4
{an }
{ank } {amk }
lim
k →∞
ank
= a,
lim
k →∞
amk
=b
且a≠b．
5．（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛；
（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛．

清华大学微积分考试真题3

bn m bn an1q
n 1
an 2 q
n 2
an m q
nm
M q
n 1
1 qm 1 q

M n 1 q ． 1 q
由此易证数列 bn 是一 Cauchy 列，所以收敛． 6．若数列 {a n } 满足 a n 1 a n q a n a n 1 ( n 1,2, ) ，其中 0 q 1 ，试证数列 {a n } 收敛．证明： 0 ，因为
k →∞ k →∞
存在。 9. 证明：有界数列 {an } 若不收敛，则必存在两个子列 ank
{ } 、 {a } ，使得
mk
lim ank = a, lim amk = b 且 a ≠ b 。
k →∞ k →∞
10.（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛。（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛
n →∞
a1 + a2 + L + an = A ，证明： lim an = A 。 n →∞ n
二、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖） 4．设 an = 收敛． 5．设 bn = a 0 + a1 q + a 2 q 2 + L + a n q n ，其中 q < 1 且数列 {a k } 有界，试证数列 {bn } 收敛． 6．若数列 {a n } 满足 a n +1 − a n ≤ q a n − a n −1 ( n = 1, 2, L) ，其中 0 < q < 1 ，试证数列{a n } 收敛． 7.下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例。（1）对于任意的 p ∈ ¥* ，均有 lim( an + p − an ) = 0 。

清华大学微积分期末试题

切线与横轴交点的坐标等于切点横坐标的一半。
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
∫ ∫ ∫ 1.（8 分）设 f ∈ C[0,1]，利用分部积分证明
1⎡ 0 ⎢⎣
x x2
f (t)dt⎥⎦⎤dx =
1
(
0
x − x2 ) f (x)dx 。
2.（7 分）设 a(x) 和 b(x) 为 (−∞,+∞) 上以 2π 为周期的连续函数，考虑一阶线性常微分方程
d
2x
ln(1 + sin t)dt =
dx x2
。
5. 求曲线 y = ex 、 y = − cosπ x 、 x = − 1 、 x = 1 围成的区域面积
2
2
∫ 6. π sin x − sin3 xdx = 0
。
∫ 7.
dx =
x(x2 + 1)
。
∫ 8. 2 dx =
1 x+ x
。
9. 悬链线 y = 1 (ex + e−x ) ，| x |≤ 1的弧长 L = 2
dy = a(x) y + b(x) 解的情况。 dx （I）举出 a(x),b(x) 的一个例子，使得该方程的解为下列三种情况之一：
（a）没有以 2π 为周期的解；（b）只有一个以 2π 为周期的解；（c）任意解都以 2π 为周期。
（只要就上面三种情况中的一种举一个例子即可）（II）证明该方程解的情况只能是上述三种之一。
10. 二阶方程 x2 y''−xy'−3y = 0 的通解为
。。
11.
⎧ dy
一阶线性常微分方程组
⎪ 43; 2z
的通解为

清华大学微积分考试真题6

α
M > 0, α > 1 是常数。证明： f ( x ) 在 [a, b] 上恒为常数。
12．设 f ( x ) 在 ( a, b) 内有定义，且在 x 0 ∈ ( a, b) 处可导.数列 {x n }, { y n } 满足条件：
a < x n < x 0 < y n < b, lim x n = lim y n = x0 .
1 α x cos x 0
x>0 x=0
则 α 的取值范围是[ 在 x = 0 处右连续但右导数不存在，
]
B 0 < α ≤ 1．
C α > 1． D α < 1．
3．设 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内有定义， F ( x ) = x f ( x ) ，则 F ( x) 在 x = 0 处可导的充分必要条件是[
′ dy x + 1 x + 1 x +1 −2 ， = f ′( ) • = arctan dx x −1 x −1 x − 1 ( x − 1) 2
所以
dy dx
x=2
2 = −2 arctan 3 = − π . 3
（3）设函数 y = y ( x ) 由方程 x y + y 2 ln x + 4 = 0 确定，求 y ′ ；
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作者：闫浩
2011 年 9 月
解（隐函数求导，幂指型函数求导）在 x y + y 2 ln x + 4 = 0 两端关于 x 求导得
2
ey
2
ln x
(2 yy ′ ln x +
5.已知 f ( x) =

清华大学微积分考试真题1

像是 C 2 , C 2 关于原点对称的图像为 C 3 , 则C 3 对应的函数解析式是 _________________． 10.试写出一个从 [0,1] 到(0,1)的一一对应映射．三、不等式 11．1）试证明 Cauchy 不等式： ai (i = 1, 2,L n), bi (i = 1, 2, L n) 为两组实数，求证：
2.设 A, B 均是非空有界数集，定义 A+B = {x +y | x ∈ A, y ∈ B} 。证明：（1） inf( A + B ) = inf A + inf B ；（2） sup( A + B ) = sup A + sup B
证明：仅证（1）；（2）的证法类似于（1）。设 a = inf A, b = inf B ，由确界的定义， ∀x ∈ A, y ∈ B 均有 x ≥ a, y ≥ b ，因此
1 1 > 0 ，因此 y = 2 有下界。 2 x x 1 1 1 ，得到 yG = 2 = 4G > G ，因此 y = 2 无上界。 x xG 2 G 1 1 1 ≤ 2 ，此时 y = 2 有界。 2 x δ x
∀G > 0 ，取 xG =
2） δ > 0 ，当 x ∈ ( −∞, −δ ] U [δ , +∞ ) 时，有 0 <
(4) 已知函数 y = f ( x ) 存在反函数，那么与函数 y = f ( x ) 的反函数图像关于原点对称的图像所对应的函数表达式为 (5)函数 f ( x) = .
x−3 3 , ( x ≠ ) ，若 y = f ( x + 1) 的图像是 C1 ，它关于直线 y=x 对称图 2x − 3 2

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1）Jensen不等式:设)(x f 为],[b a 上的下凸函数,则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλ ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλ ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk ==λ时，就是AG 不等式。

（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11.（4）Holder 不等式:设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k ,则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。

（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。

（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。