习题课6-力矩与角动量

习题课6－力矩与角动量
例6.1
在半角为α的圆锥面内壁距顶角h的高
处，有一个小球以初速度v0沿内壁水平方向射
出。设锥面内壁光滑。
（1）为使小球在高h处的水平面上作匀速圆周 运动，v0＝？； （2）若v1=2v0，求小球在运动过程中的最大高 度和最小高度（最大高度处沿内壁向速度为0）。
v0
N mg
h

1
r2 2
G M e Re Me G r 2 2r
4 r 2 8 Re r 3 Re 0
(5) (6)
r1
3 2
Re , r2 1 2
1 2
Re ( 舍 去 )
最大高度
h r1 R e
Re
例6.3 一质量为Ma、半径为a的圆筒A，被另一 质量为Mb、半径为b的圆筒B同轴套在其外，均 可自由转动。在圆筒A的内表面上散布了薄薄 的一层质量为Mo的沙子，并在壁上开了许多小 孔。在t＝0时，圆筒A以角速度ω0 绕轴匀速 （不代表恒定角速度，即可变）转动，而圆 筒B静止。打开小孔，沙子向外飞出并附着于 B筒的内壁上。设单位时间内喷出的沙子质量 为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。
(3)
代入(1)式得
v v0 = 2 vc =
2 L
(4) (5)
代入(2)式得
2 L
球、杆合系统机械能守恒，有
1 2
2 m v0
L 2 2 2 m v + m vc + m 2 2 1
2 2 2 vc
2
即
2 v0
v +
+
1 2
L2 2
(6)
联立解得
a
b
【解】将圆筒A、沙子看作一个系统。由于对于转轴的 外力矩为零，对于轴的角动量不变。 在t时，角动量 在t+dt时，角动量
J t dt M a M 0 kt kdt a
2
2
J t M a M 0 kt a a
2
a d a kdta 2 a
J r1 m v1 r2 m v 2 2 r1 m v1
r v1， 1 v 2 v , r = L v 1 1
2 J J 2 m L v 2 m L sin
注意：J不是常矢量，其大小不变，但方向变化，绕竖直轴以 恒定角速度ω旋转。
令 dr/dt=0，得
2r
3

13 2
ar
2

9 2
a3 0 (9)
即
( r a )( r 3 a )(2 r
3 2
a) 0 (10)
由此得
r a , r 3a , r
3 4
a
最后一解不合解，舍去 。
例6.7 一根长为L的轻质刚性杆，其两端连着
1
2
，得到 (2)
2 Re
2 G M e r 2 r
抛体在在有心力场中运动，对地球中心角动量守
恒，即 可得
1 2
Re mv0 sin 60 mr 2
r
2
(3)
G M e Re 2r
2
G M e Re
或

2
(4)
代入(2)式 经整理得到 解得
G
Me 2 Re
2 2 2
M a M 0 kt a a kdta a
Ma
M 0 kt a d a ka dtd a kdta a
2
2 2
M a M 0 kt a a M a M 0 kt a d a
【解】采用极坐标系，则质点A、B的运动微分方程 分别为
m ( r 2 ) T mr 2 mh r (1) (2) T mg mr (3)
由（1）及（3），得
又由题所给条件，知
2 r 2 g r (4)
两个质量为m的质点，将此杆放在光滑的桌面
上，用一个质量为m，速度为v0 的质点与杆的
一端相碰。已知v0的方向与杆的夹角为45o，并 设为弹性碰撞。碰后，质点沿原直线返回。求 碰后杆的运动。
设碰撞时间为Δt，碰撞时平均作用力为F，碰后小
球返回的速度为V，杆作平面平行运动，其质心C点的 速度为Vc，杆的角速度为ω。 对小球，由动量定理，有
注意：J不是常矢量，其大小不变，但方向变化，绕竖直轴以 恒定角速度ω旋转。故此该系统被施以外力矩。 据角动量定理
M dJ dt
o 是J的单位矢量 J o o d J = J dt o o d d o M JJ = J J J J J dt dt 2 2 M M J cos 2 m L sin cos
2
gr c ( 7)
ga
代入（7）式，得
r2 1 h2 2 a 1
2

1 h2 2 r
2
gr ga
2a 2 r 2 ga 2 2a 2 r 2
( h 2 r 2 h 2 a 2 2 ga 2 r 3 2 ga 3 r 2 ) 9 3 13 2 ar a 2r 3 (8) 2 2
＝
4
2
7L
v0
(7 )
代入(5)式，得 v c = 而
4 7
v0 1 7 v0
(8 )
v 2 vc v0 =
(9)
小球失去的动能为△Ek
Ek Ek Ek 0 1 48 1 48 2 mv mv ( m v0 ) Ek 0 2 2 49 2 49
2 0 2
1
习题（6）
可得：
b
a
2 2
kt
b kt M b
0
例6.4
两个质量均为m的质点，用一根长为2L
的轻杆相连。两质点以角速度ω绕轴转动，轴
线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。试求以O为 参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
y
ω
L
v1
O L v2
J
x
【解】以O为参考点，两小球的位矢分别是：r1,r2。系统的角 动量为：
对于轴的角动量不变，则有 对照上两式则有
d a 0
J t J t dt
这说明A筒的角速度不变
a 0
将内筒B与附着的沙（包括即将附着的沙）视为一个系 统，对于转轴的外力矩为零，对于轴的角动量守恒。 在t时， 角动量： 在t+dt时， 角动量：
J t kt M b b b kdta 0
动。 机械能守恒，设上升得最大高度x，其速度为v2则
1 2
m v mg ( h x )
2 2
1 2
m v1 mgh
2
（3）
• 沿圆锥轴线得角动量分量守恒
htg mv1 ( h x )tg mv 2
2 h gh hx
（4）
上两式联立可得
v2
（5）
由（4）、（5）式得到 x3 − 3h2x=0
E0 1 2 mv G
2
0
M em Re
2 G M e m E mr r 2 r
2 2
1
(1)
在最高点
1 2 mv G
2
0
r 0
M em Re 1
，即有
2
2 G M e m mr 2 r
(1)’
代入
v0
G Me
GM e / R e
P152 3-13, 3-16,
3-19, 3-27, 3-28, 3-32
dt
d
o JJ








注意：M不是常矢量，其大小不变，但方向变化，绕竖直轴以பைடு நூலகம்恒定角速度ω旋转。
例6.5
小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑
块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，
并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A、B之间的距离为L/2， A、B间的连
线与小槽垂直。突然给滑块A一个冲击，使其
α
α
x
v1
h
α
【解】 （1）小球受力：重力mg，约束反力N。小球的运 动方程
N sin mg N cos m v0
2
（1） m gh v
2 0
v0 r
2
htg
（ 2） v 0＝ gh
（） 2 得 tg ＝ 1 （）
tg
(2) 当初速度v1＝2v0时，平衡不成立。小球作螺旋运
) a 9 ga h r ( r 2
1 2
故
h
２
a
9 2
ga３ (5)
利用（2），将（4）式中的 消去，得到
2 r h２ r
3
g (6)
r2
1 h2
2
r a , r 0, c
2 r 1 h2 2 r
F t mv m ( v 0 ) m ( v v 0 ) (1)
m
对杆系统，有
F t 2 mv c (2)
c v0
L
45o
m
m
对于杆系统，相对质心C，由角动量定理，有
F t L 2 sin 45 L 2m 2
2
即有
F t
2 mL