《圆锥曲线统一的极坐标方程》教学案

1.6《圆锥曲线统一的极坐标方程》教学案

一、教学目的：

知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程

能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识.

二重难点：

教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式

教学难点：方程中字母的几何意义

三、教学方法：

启发、诱导发现教学.

四、教学过程：

(一)、复习引入：

1、问题情境

情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？

情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？

2、学生回顾

(1)．求曲线方程的方程的步骤

(2)．两种坐标互化前提和公式

(3)．圆锥曲线统一定义

(二)、讲解新课：

1、由必修课的学习我们已经知道：与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定直线上)的距离的比等于常数e的点的轨迹，当e=1时，是抛物线.那么当01时，点的轨迹是什么曲线呢？可以借助极坐标系进行讨论.

2、圆锥曲线的统一方程

设定点的距离为P，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程.分析：

①建系

②设点

③列出等式

④用极坐标ρ、θ表示上述等式，并化简得极坐标方程

说明：⑴为便于表示距离，取F为极点，垂直于定直线l的方向为极轴的正方向.

⑵e表示离心率，P表示焦点到准线距离.

学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θ

ρ= 3、圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θ

ρ=化为直角坐标方程为222222(1)2px y p e x e e -+-=，由此可由e 与0和1的大小关系确定曲线形状.

4、思考交流：学生讨论交流课本P 18页的问题：当01时，方程(1)表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？

2、例题讲解

例题：2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点(离地面最近的点)和远地点(离地面最远的点)距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道.若地球半径取6378km ，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程.

变式训练

已知抛物线x y 42

=的焦点为F .

(1)以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；

(2)过取F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角.

(三)、巩固练习：从极点O 作圆C ：ρ=8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程.

答案：ρ=4cosθ

(四)、小结：本课学习了以下内容：1、我们推导了圆锥曲线统一的极坐标方程，体会和掌握了求曲线的极坐标方程的方法步骤.2、把圆锥曲线统一的极坐标方程化为了直角坐标方程，从而判断了曲线形状，强化了互化公式的应用. 3、进一步理解和掌握了圆锥曲线统一的定义.

(五)、作业：课本P19页A组中8、9、10B组中2