《圆锥曲线统一的极坐标方程》教学案
高二数学选修4-4教案04圆锥曲线的统一极坐标方程
圆锥曲线的统一极坐标方程教学目标掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．教学重点：圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程．活动设计：1．活动：思考、问答、讨论．2．教具：尺规、挂图．教学过程：一、问题引入大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义．学生1答：列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心e∈(0，1)时椭圆，e∈(1，f∞)时双曲线，e=1时抛物线．二、数学构建建立统一方程在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系．设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．|FK|=常数，设为p．∵|MA|=|BK|=|KF|+|FB|，∴|MA|=p+ρcosθ．这就是圆锥曲线统一的极坐标方程．三、知识理解对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点：(1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？(讨论后)学生2答：无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．(2)根据统一的极坐标方程，由几何条件求出e、p后即可写出曲线的极坐标方程，这要明确e、p的几何意义分别是离心率和焦准距(ep为有关几何量e，p，a，b，c？(讨论后)学生3答：此式为统一极坐标方程的标准式得到一个二元一次方程组，使问题的计算得以简化．e∈(0，1)时，表椭圆．e=1时，表抛物线．e∈(1，+∞)时，表双曲线．但注意到，e＞1时，1-ecosθ≤0关于θ有解，而ep＞0，这样ρ＜0，甚至无意义．前面学过，通常情况下，ρ≥0，这就似乎出现矛盾，如何解决这一矛盾？(讨论后)学生4答：(如图3-26)上面推导统一方程过程中，当m在左支时，|MA|=|BK|=此时方程与右支的情况不同．这时，若设θ=θ′+π，ρ′=-ρ，上述推导与分析实际上是：若射线OP与双曲线有两个交点；当视θ=∠xOP时，则ρ＞0(∵cosθ＜0)，此时所表点是右支上的点；当视θ=∠xOP-π时，则ρ＜0，此时所表点是左支上的点．综上知，e＞1时，统一极坐标方程所表双曲线情况是：若ρ＞0，即1-ecosθ＞0，则表右支；若ρ＜0，即1-ecosθ＜0，则表左支；取θ∈[0，2π)，则θ范围所对曲线如下：线左支；条渐近线．如图3-27所示，只有掌握这一对应关系，才能在有关计算中不会造成混乱和错误．四、应用举例线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M=θ(0≤θ＜π)，求θ的值，使|MN|等于短轴长．解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系椭圆的极坐标方程为设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则五、课堂小结(1)三种圆锥曲线的统一极坐标方程，常数的几何意义．(2)曲线的极坐标方程求法，根据极坐标方程确定a、b、c的注意点及进行有关计算．(3)双曲线左、右支所对的ρ及θ的范围．六、布置作业1．第二教材．2．选择题：线方程是(C) A ．ρcosθ=1 B ．ρcosθ=2(2)椭圆、双曲线、抛物线三条曲线的焦点是极点(椭圆左焦点和双曲线右焦点)，它们的图形如图3-28所示，则图中编号为①、②、③的曲线应分别是(D)．A ．椭圆、双曲线、抛物线B ．抛物线、椭圆、双曲线C ．椭圆、抛物线、双曲线D ．双曲线、抛物线、椭圆双曲线θρcos 5115-=的两渐近线的夹角是 。
圆锥曲线的统一定义的教学设计1
圆锥曲线的统一定义的教学设计一、教材分析1、教材的地位与作用圆锥曲线是高中数学的重要组成部分，也是高中数学的一个难点。
圆锥曲线的统一定义是我准备在学生学习完椭圆、双曲线、抛物线的标准方程以及它们的性质之后,对圆锥曲线进行一节总结性的专题课.它一方面可以使学生进一步加深对圆锥曲线的理解与认识,使学生对圆锥曲线之间的关系有一个更加系统、完整的认识。
同时也让学生进一步提高用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合思想和分类讨论思想。
2、学情分析（1）知识分析：学生已经掌握圆锥曲线的基础知识，但知识还不系统、不完整。
已经掌握了化简、推导圆锥曲线的基本方法。
（2）年龄分析：本课的教学对象为高二学生，这个年龄段的学生思维活跃、求知欲强，已经具备对数学问题进行合作探究的能力。
但高二学生程度参差不齐，两极分化已经形成,个性差异比较明显。
(3）思维分析：学生的思维已经基本完成从形象思维向理性思维的过度，但对形象思维还有依赖，思维习惯上还有待教师引导，因此数形结合是引导学生的较好方法。
3、教学重点与难点根据学生的认知方式，这一节课内容特点，结合学情实际，我确定如下的教学重点和难点:教学重点：圆锥曲线的统一定义的生成、理解、应用。
教学难点：圆锥曲线的统一定义的应用。
4、教学目标:新课标指出“三维"目标是一个密切联系的有机整体,应该在渗透知识和技能过程，同时成为学生树立正确价值观的过程。
这要求我们在教学中以知识技能为主线,渗透态度情感价值观.因此,我制定了以下的教学目标。
（1）知识与能力目标（直接性目标）:掌握圆锥曲线的共同性质,对圆锥曲线有一个系统、完整的认识；会用圆锥曲线的统一定义解决距离、最值问题。
（2）过程与方法目标（发展性目标）:引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主构建圆锥曲线的统一定义等概念，使学生领会数形结合的数形思想和分类讨论思想.培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（3）情感态度价值观目标（可持续性目标)：在探究圆锥曲线的统一定义的过程中，培养学生主动探究知识、合作交流的意识，体验在探究问题的过程中获得的成功感。
圆锥曲线统一定义的教学设计-无锡洛社高级中学
圆锥曲线统一定义的教学设计洛社高中徐建强一教材分析1．教学内容高级中学课本《数学》必修第八章－－圆锥曲线方程。
本章主要研究圆锥曲线的定义方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。
2．教材的地位与作用前一章中学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。
本章是在这个基础上学习求圆锥曲线方程，研究它们的几何性质，进一步熟悉和掌握坐标法。
由于高考试卷中区分度较大的题目都涉及本章内容，所以难度不易把握。
考虑到本校学生的实际情况，设计例题时难度应适中。
本节课是学习完圆锥曲线几何性质之后的第二节复习课，上节课总结椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的几个共同特征，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。
这节课继续利用圆锥曲线的第二定义及方程形式上的共同点，进行多题一解的训练。
3．教学重点和难点圆锥曲线统一定义及其应用。
突破方法：（1）引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。
（2）引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。
4．教学目标知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标（1）分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
（2）利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
（3）解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标（1）在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系” 的观念分析事物。
（2）讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
二教法分析高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。
所以设计问题时应考虑灵活性。
采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主题能动性，教师的主导作用。
在教学过程中采用讨论法，向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨论。
通过讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力。
圆锥曲线的极坐标的统一形式
球坐标系在地理学、天 文学中有着广泛的 应用，在测量实践中， 球坐标中的角称为 被测点P(r , , )的方位角， 90 －称为高低角
0
z
P (r , , )
r
o
x Q
y
5、利用抛物线的极坐标方程，证明抛物线 过焦点的弦中通径最短，其长为2P。
M
O N
x
证明：
1、圆锥曲线的极坐标的统一形式
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
A
K
F B
x
eP 整理得： 1 e cos
称此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)
y
F
x
1、有一个椭圆，它的极 坐标方程是 5 5 A、＝ , B、 3－2 cos 3 3 cos 2 3 cos 5 C、 , D、＝ 5 2－ 3 cos
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
把建立上述对应关系的 坐标系叫做柱坐标系， 有 序数组( , , z )叫做P的柱坐标，记作 P ( , , z ), 其中 0， 0 2，－ z
(
D
)
2：确定方程 表示曲线的离心 率、焦距、长短轴长。
P
· O
x
3 c 3 a c a 5 5 且还有a 2 b 2 c 2 2 10 b 10 2 b c 3 3 c 25 15 得a , c 8 8
5 3、椭圆 的长轴长是 3 2 cos
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平 面极坐标系与空间直角坐标系中的部 分建立起来的。
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案1
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案教学目标：(1)了解圆锥曲线的共同特征.(2)熟练利用坐标法求解曲线方程.(3)培养类比、联想、归纳、总结的能力.教学重点、难点：重点:圆锥曲线统一定义的推导难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用.教学程序设计：(1)创设情境，引入新课：用平面截取圆锥面，得到椭圆、抛物线、双曲线，它们都是由平面截圆锥面所得，因此都称为圆锥曲线，这节课我们就一起来研究圆锥曲线的统一定义.(这个问题的设计：起了承上启下的作用，承上：前面的圆锥曲线第一定义，启下：本节所研究的圆锥曲线的统一定义，通过多媒体的演示，激发学习和探究知识的兴趣；通过图象说明问题.由“形”上共同特点类比得出“数”上的共同特点.)为了便于下面的探索活动，我设计知识回顾.复习回顾：1．平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做____．表达式：2．平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于F 1F 2且不等于零)的点的轨迹叫做______．表达式：3．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做______．表达式：(这个环节的设计：是引导学生复习回顾旧知，为新知的探究打好基础.)接下来，我设计了问题1：(2)提出问题，探究新知y )到定点F (2，0)的距离和它到定直线x =-2的距离的比是常数1，问题1：曲线上点M (x ，求曲线的方程.(这个问题学生可能会从两个角度求解：1.定义法，2.坐标法，肯定定义法，强化坐标法的运用，为问题2，3的解决做好铺垫，强调如何解决有关根式化简的问题.由学生通过实物投影仪展示他们的解题过程，由其他学生点评，培养学生叙述和书写的正规化，完善学生的知识结构.这个问题的设计：是为了进一步让学生熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神)(在充分肯定学生回答后，依次提出)问题2：曲线上点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定线l:x=8的距离的比是常数曲线还是抛物线吗？如果不是，又会是什么呢？问题3：曲线上点M(x，y)到定点F(-4，0)的距离和它到定线l:x=-1的距离的比是常数2，求曲线的方程.曲线还是抛物线或者椭圆吗？如果不是，又会是什么呢？(学生同样采用分组讨论，通过实物投影仪展示解题过程，这样的设计：是让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般.)通过上面3个问题的研究，提出问题4：让学生们观察对比动点到定点和到定直线的距离的比值，与该动点轨迹图形有什么关联呢？分组讨论交流，最后由学生表述结论，老师最后给出标准的圆锥曲线的统一定义，结论：椭圆、抛物线、双曲线都可以看作到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数e的点的集合.当0<e<1时，圆锥曲线是椭圆；当e >1时，圆锥曲线是双曲线；当e=1时，圆锥曲线是抛物线.其中常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线的焦点，定直线l就是该圆锥曲线的准线.(强调比值的顺序性)强调此定义中三个关键词：比值、定点、定直线，并分别给予定义.(这个环节的设计：突出了本节课的重点，圆锥曲线的统一定义，通过学生展示解决问题的方法，培养学生的语言表达能力和沟通能力，增强学生思维的严谨性，重点和难点初步突破.把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识.培养学生的类比、联想、归纳、概括能力)通过课前的预习学生知道抛物线只有一个焦点和一条准线，而椭圆和双曲线都有两个焦点和两条准线，强调焦点准线对应关系.为了巩固圆锥曲线的统一定义，我设计如下的例题：(3)巩固新知，深化理解例求证：通过椭圆的两个焦点的直线垂直于椭圆的一条准线.证明：如图，已知圆锥面S.平面σ截S所得截线为一椭圆.圆锥面的两个内切球O1和O2分别与平面σ相切于点F1和F2.球O1的切点圆所在的平面记为平面δ，平面δ和平面σ相交于直线l，则l为椭圆的准线.1，2分别作球的半径O 1F 1和O 2F 2，则O 1F 1⊥平面σ，O 2F 2⊥平面δ因此O 1F 1//O 2F 2，O 1F 1和O 2F 2确定一平面O 1O 2F 1.平面σ的交点必在F 1F 2上，并且F 1F 2为O 1O 2在平面所以直线F 1F 2为平面O 1O 2F 1与平面σ的交线，O 1O 2与σ内的射影.又因为直线l 是平面σ和平面δ的交线，所以O 1O 2⊥l ，从而F 1F 2⊥l .(三垂线定理)即通过椭圆两个焦点的直线垂直于椭圆的准线.为了让学生与已经学过的圆锥曲线第一定义联系起来，我设计如下的变式训练：(4)．变式探究，强化方法x 2y 2变式训练：已知双曲线-=1上一点P 到其左焦点的距离是10，求点P 到右准线的169距离.(此题是双曲线的两个定义的综合应用，强调焦点与准线的关系.)为了检查学生本节课对圆锥曲线的统一定义掌握情况，我设计了以下当堂检测.(5)．知识应用【当堂检测】：1.动点P 到点(3，1)的距离与它到直线x =8的距离之比为3，则点P 的轨迹是；2.动点P 到点(-1，2)的距离与它到直线x =8的距离之比为0.8，则点P 的轨迹是；3.动点P 到点(6，0)的距离与它到直线x =-9的距离相等，则点P 的轨迹是；4.动点P 到直线x =6的距离与它到点(2，1)的距离之比为0.5，则点P 的轨迹是；5．已知双曲线4x 2－9y 2 =36，①若双曲线右支上的点P 到右焦点的距离为2，求它到左焦点的距离.②若双曲线右支上的点P 到右焦点的距离为2，求它到左准线的距离.③求双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比.(这5题由浅入深，符合学生的思维发展规律，目的是突出重点，突破难点.)(6)．课堂小结(通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法)。
高中数学第一章2.5圆锥曲线统一的极坐标方程学案北师大版选修0
2．4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程[对应学生用书P12][自主学习]曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合． ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴的正半轴重合． ③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：ρ＝ep1－e cos θ.[合作探究]ρ＝1和ρ＝－1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？提示：唯一的一个，x 2＋y 2＝1.[对应学生用书P13][例1] (1)x ＋y ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)(x －5)2＋y 2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此题，需要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，及x 2＋y 2＝ρ2代入直角坐标方程，再化简即可．[精解详析] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ. ∴tan θ＝－1.∴θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．综上所述，直线x ＋y ＝0的极坐标方程为 θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2a ρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0. ∴ρ＝－2a cos θ.∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ. (3)(x －5)2＋y 2＝25，即：x 2＋y 2－10x ＝0. 把x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式得： ρ2－10ρcos θ＝0. 即ρ＝0或ρ＝10cos θ.∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上， ∴所求圆的极坐标方程为ρ＝10cos θ.将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直角坐标方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2化为极坐标方程．解：把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，得(ρcos θ－a )2＋(ρsin θ－b )2＝r 2.如果设圆心(a ，b )的极坐标为(ρ0，θ0)，则a ＝ρ0cos θ0，b ＝ρ0sin θ0，再代入上方程可得：(ρcos θ－ρ0cos θ0)2＋(ρsin θ－ρ0sin θ0)2＝r 2.∴ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)－2ρ0ρ(cos θcos θ0＋sin θsin θ0)＋ρ20(cos 2θ0＋sin 2θ0)＝r 2.∴ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 这就是所求的圆的极坐标方程.[例2] (1)ρsin θ＝1；(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0； (3)ρ＝－2cos θ； (4)ρ＝cos θ－2sin θ.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用，解答此题需要利用ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 求解．有时需要在等式两边同乘ρ，构造出ρcos θ和 ρsin θ.[精解详析] (1)ρsin θ＝1⇒y ＝1，表示的是一条直线． (2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0⇒ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， ∴x ＋y －4＝0，表示的是一条直线．(3)ρ＝－2cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝－2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＋2x ＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝1.表示的是以(－1,0)为圆心，以1为半径的圆． (4)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝x －2y ，即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. 表示的是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1为圆心，半径为52的圆．极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以ρ，尽可能使得ρcos θ换成x ，ρsin θ换成y ，ρ2换成x 2＋y 2.但注意ρ＝0是原方程的解时，所得到的直角坐标方程与原极坐标方程等价．若ρ＝0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x ，y 不同时为0的限制．2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝8； (2)ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 解：(1)因为ρ2cos 2θ＝8， 所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝8. 所以化为直角坐标方程为x 2－y 2＝8. (2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.[例关系．[思路点拨] 本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题，解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解．[精解详析] 法一：ρ＝4cos θ的圆心为(2,0)，半径为2，ρ＝4sin θ的圆心为(2，π2)，半径为2. 两圆圆心的距离为d ＝22＋22－2×2×2cos π2＝2 2.而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0. ∴两圆相交．法二：ρ＝4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcos θ， ∴ρ＝4cos θ可化为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4，∴表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆． ρ＝4sin θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρsin θ，∴ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，∴表示的是以(0,2)为圆心，半径为2的圆． 两圆的圆心距为d ＝－2＋－2＝22，两圆半径之和为4，之差为0， ∴两圆相交．对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．3．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4到这条直线的距离．解：把点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4化为直角坐标为(2，－2)．把直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22化为直角坐标方程为 ρsin θ·cos π4＋ρcos θ·sin π4＝22，即22x ＋22y ＝22，∴x ＋y ＝1. ∴点A (2，－2)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|2－2－1|1＋1＝22， 故点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22.本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化．[考题印证](辽宁高考改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos (θ－π4)＝2 2.求C 1与C 2的交点的极坐标．[命题立意] 本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． [自主尝试] 由ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得， 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以圆C 1，直线C 2的交点直角坐标为(0,4)，(2,2)，再由ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，将交点的直角坐标化为极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.所以C 1与C 2的交点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.[对应学生用书P14]一、选择题1．将方程θ＝π4(ρ≥0)化为直角坐标方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝x (x ≥0)C ．y ＝x (x ≤0)D ．y ＝22x (x ≥0) 解析：选B `∵tan π4＝y x (x ≠0)，∴yx ＝1(x ≠0)．∴y ＝x .而θ＝π4(ρ≥0)表示射线，∴所求的直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)．2．圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( ) A ．ρ＝2(sin θ－cos θ) B ．ρ＝2(cos θ－sin θ) C ．ρ＝2sin θD ．ρ＝2cos θ 解析：选A 如图所示，圆的半径为－2＋12＝2，∴圆的直角坐标方程为 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝－2(x －y )，化为极坐标方程，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，即ρ＝2(sin θ－cos θ)． 3．直线l 1：ρsin(θ＋α)＝a 和l 2：θ＝π2－α的位置关系是( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1和l 2重合D ．l 1和l 2斜交解析：选B 对于l 1可化为x sin α＋y cos α＝a ，k 1＝－sin αcos α，对于l 2可化为x cos α－y sin α＝0，k 2＝cos αsin α，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2，故选B.4．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ表示的曲线为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝y ＋2x ，即x 2＋y 2－2x －y ＝0，表示圆． 二、填空题5．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3. 答案： 36．在极坐标系中，定点A (1，π2)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________．解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2化为直角坐标得A (0,1)，如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA |＝1，则|OB |＝22，θ＝3π4，故B 点的极坐标是B ⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，3π47．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，则ON 的中点M 的轨迹方程是________． 解析：法一：如图，圆C 的圆心为C (4,0)，半径为|OC |＝4，连接CM .∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． ∴点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． ∵N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1，①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将它代入①式得2ρ＝8cos θ，故点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. 答案：ρ＝4cos θ8．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则CP ＝________.解析：如图，由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ知OC ＝2，又因为点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，所以OP ＝4，∠POC ＝π3，在△POC 中，由余弦定理得CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos π3＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以CP ＝2 3.答案：2 3 三、解答题9．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝2x .即x 2＋y 2－2x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程． 同理x 2＋y 2－2x －2y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0， ①x 2＋y 2－2x －2y ＝0， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0；⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0.即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,0)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝0. 法二：①－②得y ＝0，即y ＝0为过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得， ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为 12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0); 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33. 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为 θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．11．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求直线AB 的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，则ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1. |AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1＝6， ∴11－4cos 2θ1＝±1.∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2或θ＝π4或θ＝3π4.。
高中数学 《圆锥曲线》教案(高考回归课本系列)新人教A版
高考数学回归课本教案圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。
从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。
2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+by a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。
若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+by a y (a>b>0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ac e =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。
高中数学第一章常见曲线的极坐标方程第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用学案苏教版
圆锥曲线的极坐标方程及应用1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程．3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．[基础·初探]圆锥曲线的统一极坐标方程 ρ＝ep1－e cos θ，(***)其中p 为焦点到相应准线的距离，称为焦准距． 当0＜e ＜1时，方程ρ＝ep1－e cos θ表示椭圆；当e ＝1时，方程(***)为ρ＝p1－cos θ，表示抛物线；当e ＞1时，方程ρ＝ep1－e cos θ表示双曲线，其中ρ∈R .[思考·探究]1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？【提示】 应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，cos θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝42－cos θ的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为ρ＝4×121－12cos θ，则e ＝12，表示椭圆．2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________已知A 、B 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上两点，OA ⊥OB (O 为原点)．求证：1OA2＋1OB 2为定值．【自主解答】 以O 为极点，x 轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1中得1ρ2＝cos 2θa 2＋sin 2θb 2.设A (ρ1，α)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，α±π2.1OA2＋1OB2＝1ρ21＋1ρ22＝1a 2＋1b2(为定值)． [再练一题]1．本例条件不变，试求△AOB 面积的最大值和最小值． 【解】 由例题解析得，S △AOB ＝12ρ1ρ2，而ρ1＝ab a 2sin 2α＋b 2cos 2α，ρ2＝aba 2cos 2α＋b 2sin 2α，∴S △AOB ＝12·a 2b 2a 2sin 2α＋b 2cos 2αa 2cos 2α＋b 2sin 2α＝12·a 2b 2b 2＋c 2sin 2αa 2－c 2sin 2α＝12a 2b 2－c 4⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α－122＋a 2b 2＋14c4∴当sin 2α＝1时，(S △AOB )max ＝12ab ；∴当sin 2α＝12时，(S△AOB )min ＝a 2b2a 2＋b2.过双曲线x 24－y 25＝1的右焦点，引倾斜角为π3的直线，交双曲线于A 、B两点，求AB .【思路探究】 求出双曲线极坐标方程，得出A 、B 两点极坐标，进而求AB . 【自主解答】 双曲线x 24－y 25＝1中，a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以e ＝32，p ＝b 2c ＝53.取双曲线的右焦点为极点，x 轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.代入数据并化简，得ρ＝52－3cos θ.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π＋π3，于是AB ＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－3cos π3＋52－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝807.应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.[再练一题]2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝94－5cos θ，求双曲线的实轴长、虚轴长和准线方程．【解】 双曲线方程ρ＝94－5cos θ可以化为ρ＝54×951－54cos θ，所以e ＝54，p ＝95.设c ＝5r ，a ＝4r ，则b 2＝c 2－a 2＝9r 2.由p ＝b 2c ＝95，得r ＝1.所以2a ＝8,2b ＝6.所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6.准线方程ρcos θ＝－p ，即ρcos θ＝－95；或ρcos θ＝－p －2a2c ，即ρcos θ＝－415.(1)以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角．【自主解答】 (1)极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(2)设A (ρ1，θ)，B (ρ2，π＋θ)．AB ＝ρ1＋ρ2＝21－cos θ＋21－π＋θ＝4sin 2θ＝16，即sin 2θ＝14得sin θ＝±12. 故l 的倾斜角为π6或56π.[再练一题]3．平面直角坐标系中，有一定点F (2,0)和一条定直线l ：x ＝－2.求与定点F 的距离和定直线l 的距离的比等于常数12的点的轨迹的极坐标方程．【导学号：98990015】【解】 过定点F 作定直线l 的垂线，垂足为K ，以F 为极点，FK 的反向延长线Fx 为极轴，建立极坐标系．由题意，设所求极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ，∵定点F (2,0)，定直线l ：x ＝－2， ∴p 为F 点到直线l 的距离，为2－(－2)＝4. 又∵常数12＝e ，∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝ep 1－e cos θ＝12×41－12cos θ，即ρ＝42－cos θ.[真题链接赏析](教材第33页习题4.2第10题)我国自行研制的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，轨道的近地点和远地点分别为439 km 和2 384 km.若地球半径取6 378 km ，试写出卫星运行轨道的极坐标方程．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B两点，且AB ＝6，求直线AB 的极坐标方程．【命题意图】 本题主要考查圆锥曲线的统一极坐标方程和直线的极坐标方程． 【解】 设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)．则ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1. AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|31－2cos θ1＋31＋2cos θ1|＝|61－4cos 2θ1|＝6， ∴11－4cos 2θ1＝±1. ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2或θ＝π4或θ＝3π4.1．抛物线ρ＝41－cos θ(ρ＞0)的准线方程为______．【答案】 ρcos θ＝－42．设椭圆的极坐标方程是ρ＝42－λcos θ，则λ的取值范围是________．【导学号：98990016】【解析】 ρ＝42－λcos θ＝21－λ2cos θ，所以离心率e ＝λ2，由0＜λ2＜1，得λ∈(0,2)．【答案】 (0,2)3．椭圆ρ＝42－cos θ的焦距是________．【答案】 834．双曲线ρ＝42－3cos θ的焦点到准线的距离为________．【答案】 43我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
附录24-圆锥曲线的极坐标方程PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
整顿得圆锥曲线统一旳极坐标方程为： ep
1 e cos
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴旳极坐标系：
建立如图所示旳极坐标系， 则圆锥曲线有统一旳极坐标方程
A F
ep 1 e cos
B
x
b2 注1：椭圆(双曲线)旳焦参数 p
c
注2：若AB为焦点弦，则
|
AB
|
1
2ep e2 cos2
;
1 1 2 | AF | | BF | ep
M
2 4
则椭圆旳极坐标方程为
1
3 2 2 cos
α
F1
N
F2 X
故 | MN || F1M | | F2 N | 1 2
1
1
3 2 2 cos 3 2 2 cos
6
9 8cos2
2
得 cos 3 又因 0
2
.故
6
或
5
6
(2)(2023年新课标Ⅱ)设F为抛物线
C : y2 =3x 旳焦点，
因
故 AF 3 FB
3p 3 3p
2 3 cos 2 3 cos
cos 3
3
tan 2
(4)(2023年重庆)过双曲线
x 2 y 2 4旳右焦点F作倾斜角
为1050旳直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|·|FQ|=_____
法1：直角坐标系一般方程+设而不求 P 法2：直角坐标系参数方程+设而不求 法3：极坐标方程 由题意得,离心率为 e 2 , 焦参数为 p 2
2 2
22
2 2 22
22
2
22
22
22 22
2
2 222 222
[精品]2019学年高中数学第一章2.5圆锥曲线统一的极坐标方程学案北师大版选修0
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2．4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程[对应学生用书P12][自主学习]曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合． ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴的正半轴重合． ③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：ρ＝ep1－e cos θ.[合作探究]ρ＝1和ρ＝－1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？ 提示：唯一的一个，x 2＋y 2＝1.[对应学生用书P13][例1] (1)x ＋y ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)(x －5)2＋y 2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此题，需要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，及x 2＋y 2＝ρ2代入直角坐标方程，再化简即可．[精解详析] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ. ∴tan θ＝－1.∴θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．综上所述，直线x ＋y ＝0的极坐标方程为 θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0.∴ρ＝－2a cos θ.∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式得：ρ2－10ρcos θ＝0.即ρ＝0或ρ＝10cos θ.∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上，∴所求圆的极坐标方程为ρ＝10cos θ.将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直角坐标方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标方程．解：把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得(ρcos θ－a)2＋(ρsin θ－b)2＝r2.如果设圆心(a，b)的极坐标为(ρ0，θ0)，则a＝ρ0cos θ0，b＝ρ0sin θ0，再代入上方程可得：(ρcos θ－ρ0cos θ0)2＋(ρsin θ－ρ0sin θ0)2＝r2.∴ρ2(cos2θ＋sin2θ)－2ρ0ρ(cos θcos θ0＋sin θsin θ0)＋ρ20(cos2θ0＋sin2θ0)＝r2.∴ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.这就是所求的圆的极坐标方程.[例2](1)ρsin θ＝1；(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0；(3)ρ＝－2cos θ；(4)ρ＝cos θ－2sin θ.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用，解答此题需要利用ρcos θ＝x，ρsin θ＝y求解．有时需要在等式两边同乘ρ，构造出ρcos θ和ρsin θ.[精解详析] (1)ρsin θ＝1⇒y＝1，表示的是一条直线．(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0⇒ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，∴x＋y－4＝0，表示的是一条直线．(3)ρ＝－2cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝－2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＋2x ＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝1.表示的是以(－1,0)为圆心，以1为半径的圆． (4)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝x －2y ，即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. 表示的是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1为圆心，半径为52的圆．极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以ρ，尽可能使得ρcos θ换成x ，ρsin θ换成y ，ρ2换成x 2＋y 2.但注意ρ＝0是原方程的解时，所得到的直角坐标方程与原极坐标方程等价．若ρ＝0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x ，y 不同时为0的限制．2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝8； (2)ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.解：(1)因为ρ2cos 2θ＝8， 所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝8. 所以化为直角坐标方程为x 2－y 2＝8. (2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.[例3] 求两个圆[思路点拨] 本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题，解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解．[精解详析] 法一：ρ＝4cos θ的圆心为(2,0)，半径为2，ρ＝4sin θ的圆心为(2，π2)，半径为2.两圆圆心的距离为而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0. ∴两圆相交．法二：ρ＝4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcos θ， ∴ρ＝4cos θ可化为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4，∴表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆． ρ＝4sin θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρsin θ， ∴ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，∴表示的是以(0,2)为圆心，半径为2的圆． 两圆的圆心距为d ＝－2＋－2＝22，两圆半径之和为4，之差为0， ∴两圆相交．对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．3．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4到这条直线的距离． 解：把点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4化为直角坐标为(2，－2)．把直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22化为直角坐标方程为 ρsin θ·cos π4＋ρcos θ·sin π4＝22，即22x ＋22y ＝22，∴x ＋y ＝1. ∴点A (2，－2)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|2－2－1|1＋1＝22， 故点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22.本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化．[考题印证](辽宁高考改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos (θ－π4)＝2 2.求C 1与C 2的交点的极坐标．[命题立意] 本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． [自主尝试] 由ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得， 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以圆C 1，直线C 2的交点直角坐标为(0,4)，(2,2)，再由ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，将交点的直角坐标化为极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.所以C 1与C 2的交点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.[对应学生用书P14]一、选择题1．将方程θ＝π4(ρ≥0)化为直角坐标方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝x (x ≥0)C ．y ＝x (x ≤0)D ．y ＝22x (x ≥0) 解析：选B `∵tan π4＝y x (x ≠0)，∴yx ＝1(x ≠0)．∴y ＝x .而θ＝π4(ρ≥0)表示射线，∴所求的直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)．2．圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( ) A ．ρ＝2(sin θ－cos θ) B ．ρ＝2(cos θ－sin θ) C ．ρ＝2sin θD ．ρ＝2cos θ 解析：选A 如图所示，圆的半径为－2＋12＝2，∴圆的直角坐标方程为 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝－2(x －y )，化为极坐标方程，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，即ρ＝2(sin θ－cos θ)． 3．直线l 1：ρsin(θ＋α)＝a 和l 2：θ＝π2－α的位置关系是( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1和l 2重合D ．l 1和l 2斜交解析：选B 对于l 1可化为x sin α＋y cos α＝a ，k 1＝－sin αcos α，对于l 2可化为x cos α－y sin α＝0，k 2＝cos αsin α，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2，故选B.4．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ表示的曲线为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝y ＋2x ，即x 2＋y 2－2x －y ＝0，表示圆． 二、填空题5．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3. 答案： 36．在极坐标系中，定点A (1，π2)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B的极坐标是________．A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2化为直角解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点坐标得A (0,1)，如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB 为等腰直角三角形，又因为|OA |＝1，则|OB |＝22，θ＝3π4，故B 点的极坐标是B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4 7．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，则ON 的中点M 的轨迹方程是________． 解析：法一：如图，圆C 的圆心为C (4,0)，半径为|OC |＝4，连接CM .∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． ∴点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． ∵N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1，①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将它代入①式得2ρ＝8cos θ，故点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. 答案：ρ＝4cos θ8．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则CP ＝________.解析：如图，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，所以OP ＝4，由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ知OC ＝2，又因为点P 的极坐标为∠POC ＝π3，在△POC 中，由余弦定理得CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos π3＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以CP ＝2 3.答案：2 3 三、解答题9．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝2x .即x 2＋y 2－2x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程． 同理x 2＋y 2－2x －2y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0， ①x 2＋y 2－2x －2y ＝0， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0；⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0.即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,0)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝0. 法二：①－②得y ＝0，即y ＝0为过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得， ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为 12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0); 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33. 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为 θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．11．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求直线AB的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，则ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1. |AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1＝6， ∴11－4cos 2θ1＝±1.∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2或θ＝π4或θ＝3π4.。
《圆锥曲线统一定义》教案
《圆锥曲线统一定义》教案授课人：石礼红 授课地点：高二（2）班教室 授课时间：2007.11.29教学目标1. 了解圆锥曲线的统一定义.2. 掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法.3. 初步掌握圆锥曲线的统一定义的应用，体会数形结合的数学思想.教学重点、难点重点：圆锥曲线的统一定义难点：圆锥曲线的统一定义的应用教学过程一、问题情境问题1：抛物线的定义? （平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线 l （F 不在 l 上）的距离之比等于1 的动点 P 的轨迹是抛物线．）问题2：当这个比值是一个不等于1 的常数时，动点 P 的轨迹又是什么曲线呢？ 情境：flash 动画演示.二、学生活动 学生回顾推导椭圆标准方程的相关步骤，将其中一步.问题3：你能解释这个式子的几何意义吗? 三、建构数学学生活动2a c 1P(x,y)F(c,0):x=(),c aP .a>c>0l 例、已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数求点的轨迹解：根据题意可得 化简得问题4：（学生思考、发现,从而引导学生建立圆锥曲线的统一定义）2a cx -=c a x c =-c a x c =-22222222()()a c x a y aa c -+=-222,a cb -=令上式就可化为22221(0)x y a b a b +=>>(a>c>0)(c>a>0)?若变为呢问题5：222222221(0)1(0,0)y x y x a b a b a b a b+=>>-=>>椭圆和双曲线的准线方程是什么?练习1:求下列曲线的焦点坐标和准线方程例2、已知双曲线 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离. 变题、已知双曲线 上一点P 到右准线距离为10, 求P 点到左焦点的距离.五、课堂小结1.圆锥曲线的统一定义.2.圆锥曲线的统一定义的应用.3.数形结合的思想.22(1)24x y +=22(2)241x y +=22(3)21x y -=22(4)24y x -=2(5)0x y +=2(6)20y x -=2216436x y -=2216436x y -=。
1.2.5圆锥曲线统一的极坐标方程
16 8 3 ； 3 3
练习： 3 1.极坐标方程＝ 表示曲线是 （ 3－2cos A.焦点到对应准线距离为1的椭圆； 2 B.焦点到对应准线距离为 的椭圆； 3 C.焦点到对应准线距离为1的双曲线； 3 D.焦点到对应准线距离为 的双曲线； 2
4 2.椭圆＝ 5－3cos
B）
3 3 ( , 0)与（0， 0） 的焦距是 2 ，焦点坐标 2 。
|MF|= , |KA|= |MK|=p+ COS 得
整理得：
称此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
ep 1 e cos
p e p+ COS
A K
M(x,y),
O B
F
x
(允许
y
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 表示整个双曲线)
F
O
x
1、有一个椭圆，它的极 坐标方程是 5 5 A、＝ , B、 3－2 cos 3 3 cos 2 3 cos 5 C、 , D、＝ 5 2－ 3 cos
反之，如果要求方程表示整个双曲线，则必有 取负值。
三、如果极轴方向向右,表示椭圆时,极点是 它的左焦点,准线是它的左准线;表示双曲线时, 极点是它的右焦点,准线是它的右准线.
ep 四、对于 1 e cos
要注意圆锥曲线的统一极坐标方程在“格式”上的 “标准”要求，只有方程右边分母中的常数为1时COS 的系数绝对值才表示曲线的离心率，若该常数不是 1， 4 要先化为1再判断，如：
C应用知识阶段:
圆锥曲线的统一极坐标方程
ep 1 e cos
应用
1基本量间的互求；圆锥曲线的判定，定量与 定位；实际应用。 4 例1：求＝ 的准线的极坐标方程。 1－cos P （，）
圆锥曲线统一的极坐标方程
当e 1,
ep 1- e cos
为双曲线
双曲线右支 双曲线左支
（，2 -） （-，）
圆锥曲线统一的极坐标方程
课堂反思
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
课后作业
习题1：判断方程 6 为哪类圆锥曲线？ 2 cos
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
谢谢
12/9/2020
圆锥曲线统一的极坐标方程
探究应用
例1：方程为 = 6 表示什么曲线？ 1 2 cos
变式：方程为= 5 表示什么曲线？ 3 2cos
分析：已知方程完全符合圆锥曲线极坐标方程 结构形式.因此判断可以寻找e.
分析：方程并非符合圆锥曲线统一极坐标方程 构造称为圆锥曲线的极坐标方程
ep 1 e cos
习题2：判断方程 5 为哪类圆锥曲线？ 3 3cos
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
课后作业
习题1：判断方程 6 为哪类圆锥曲线. 2 cos
解析： e 1，该曲线为椭圆 2
习题2：判断方程 5 为哪类圆锥曲线？ 3 3cos
解析： e 1，该曲线为抛物线
sin2
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
温故知新
圆锥曲线
l
统一的名称：圆锥曲线
统一的方程：
思考一：能否找到统一的特征求出统一 的方程？
与一个定点的距离和一条定直线 （定点不在定直线上）的距离的比
等于常数e 的轨迹. 其中当e 1时，轨迹为抛物线
令e 1，直线l为定直线，F为定点，M 为动点 MF 为动点到定点的距离 MA 为动点到定直线的距离
圆锥曲线统一的极坐标方程
所以 ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2， 可以检验，当 O、C、M 三点共线时的 点 M 的坐标也适合上式，所以半径为 r，圆 心在 C(ρ1，θ1)的圆的极坐标方程为 ρ2＋ρ12－ 2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0.
【答案】 ρ＝2cos θ 化曲线的极坐标方程为直角
坐标方程
化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断 曲线的形状．
(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2； (4)ρ＝1－c1os θ. 【思路探究】
ρcos θ＝x 极坐标方程 ――→ 直角坐标方程―→曲线的形状
θ＝α(ρ∈R)或
过点 A(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
(－π2＜θ＜π2) 过点 A(a，π2)，与极轴平行的直线
(0＜θ＜π)
ρsin θ＝a
过点 A(a,0)，且与极轴成 α 角的直线的极坐标方程
ρsin(α－θ)
＝asin α (0＜θ＜π) 3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 的正
－2－6，设定点 F 到直线 l 的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一
点，曲线的极坐标方程为 ρ＝1－eecpos θ.
图 1－2－6 ①当 0＜e＜1 时，方程表示椭圆． ②当 e＝1 时，方程表示开口向右的抛物线． ③当 e＞1 时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？ 【提示】 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)， (ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与 点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多 种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极 坐标方程 ρ＝θ，点 M(π4，π4)可以表示为(π4，π4＋2π)或(π4，π4－2π)或(－ π4，54π)等多种形式，其中，只有(π4，π4)的极坐标满足方程 ρ＝θ. 2．在极坐标系内，如何确定某一个点 P 是否在某曲线 C 上？ 【提示】 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的 方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程， 所以在极坐标系内，确定某一个点 P 是否在某一曲线 C 上，只需判 断点 P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线 C 的方程即可． 3．试结合教材 P12－14 例 4－例 8，总结求简单曲线的极坐标方程 的关键是什么？常需用到什么知识？ 【提示】 求简单曲线的极坐标方程的关键，就是要找到极径 ρ 和极角 θ 之间的关系，这常用到解三角形(正弦定理、余弦定理)的知 识及利用三角形的面积相等等来建立 ρ，θ 之间的关系． 4．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如 何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？ 【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一 的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标 方程再判断其是哪种曲线．
高中数学 1.6圆锥曲线统一的极坐标方程教案 北师大版选修4-4-北师大版高二选修4-4数学教案
第六课时圆锥曲线统一的极坐标方程一、教学目的：知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式教学难点：方程中字母的几何意义三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：〔一〕、复习引入：1、问题情境情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？2、学生回顾〔1〕．求曲线方程的方程的步骤〔2〕．两种坐标互化前提和公式〔3〕．圆锥曲线统一定义〔二〕、讲解新课：1、由必修课的学习我们已经知道：与一个定点的距离和一条定直线〔定点不在定直线上〕的距离的比等于常数e的点的轨迹，当e=1时，是抛物线。
那么当0<e<1及e>1时，点的轨迹是什么曲线呢？可以借助极坐标系进行讨论。
2、圆锥曲线的统一方程设定点的距离为P，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
分析：①建系②设点③列出等式④用极坐标ρ、θ表示上述等式，并化简得极坐标方程说明：⑴为便于表示距离，取F 为极点，垂直于定直线l 的方向为极轴的正方向。
⑵e 表示离心率，P 表示焦点到准线距离。
学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θρ=3、圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θρ=化为直角坐标方程为222222(1)2px y p e x e e -+-=，由此可由e 与0和1的大小关系确定曲线形状。
4、思考交流：学生讨论交流课本P18页的问题：当0<e<1时，方程〔1〕表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？当e>1时，方程〔1〕表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？2、例题讲解例题：2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点〔离地面最近的点〕和远地点〔离地面最远的点〕距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道。
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1.6《圆锥曲线统一的极坐标方程》教学案
一、教学目的：
知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程
能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识.
二重难点：
教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式
教学难点：方程中字母的几何意义
三、教学方法：
启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
(一)、复习引入：
1、问题情境
情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？
情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？
2、学生回顾
(1)．求曲线方程的方程的步骤
(2)．两种坐标互化前提和公式
(3)．圆锥曲线统一定义
(二)、讲解新课：
1、由必修课的学习我们已经知道：与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定直线上)的距离的比等于常数e的点的轨迹，当e=1时，是抛物线.那么当0<e<1及e>1时，点的轨迹是什么曲线呢？可以借助极坐标系进行讨论.
2、圆锥曲线的统一方程
设定点的距离为P，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程.分析：
①建系
②设点
③列出等式
④用极坐标ρ、θ表示上述等式，并化简得极坐标方程
说明：⑴为便于表示距离，取F为极点，垂直于定直线l的方向为极轴的正方向.
⑵e表示离心率，P表示焦点到准线距离.
学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θ
ρ= 3、圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θ
ρ=化为直角坐标方程为222222(1)2px y p e x e e -+-=，由此可由e 与0和1的大小关系确定曲线形状.
4、思考交流：学生讨论交流课本P 18页的问题：当0<e <1时，方程(1)表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？当e >1时，方程(1)表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？
2、例题讲解
例题：2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点(离地面最近的点)和远地点(离地面最远的点)距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道.若地球半径取6378km ，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程.
变式训练
已知抛物线x y 42
=的焦点为F .
(1)以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；
(2)过取F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角.
(三)、巩固练习：从极点O 作圆C ：ρ=8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程.
答案：ρ=4cosθ
(四)、小结：本课学习了以下内容：1、我们推导了圆锥曲线统一的极坐标方程，体会和掌握了求曲线的极坐标方程的方法步骤.2、把圆锥曲线统一的极坐标方程化为了直角坐标方程，从而判断了曲线形状，强化了互化公式的应用. 3、进一步理解和掌握了圆锥曲线统一的定义.
(五)、作业：课本P19页A组中8、9、10B组中2。