2016-2017年北京四中高二下学期期中数学试卷及答案解析(理科)

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2017-2018年北京四中高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF

18．（5 分）对于函数 f（x）＝（2x﹣x2）ex （1）（2）是 f（x）的单调递减区间；是 f（x）的极小值，是 f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是．
三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分. 19．（15 分）已知函数 f（x）＝ax3+x2（a∈R）在（1）确定 a 的值；（2）若 g（x）＝f（x）ex，讨论 g（x）的单调性． 20．（15 分）设 f（x）＝a（x﹣5）2+6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f（x）在点（1， f（1））处的切线与 y 轴相交于点（0，6）．（1）确定 a 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值． 21．（15 分）已知函数 f（x）＝ex+ ．处取得极值．
11．（5 分）设函数 f′（x）是奇函数 f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当 x＞0 时， xf′ （x） ﹣f （x）＜0，则使得 f （x）＞0 成立的 x 的取值范围是（ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞））
14．（5 分）如图，函数 y＝f（x）的图象在点 P 处的切线方程是 y＝﹣x+8，则 f （2018）+f'（2018）＝．
15．（5 分）已知函数 f（x）＝ex﹣2x+a 有零点，则 a 的取值范围是 16．（5 分）已知函数（ f x）＝x3+ax2+bx+a2 在 x＝l 处有极值 10，则（a， b）＝

北京市西城区高二数学下学期期中试题理

2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 复数i-12= A. 2+2i B . 22+22i C. 1-iD. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2-2）'=3xB. （log 2x ） '=2ln 1⋅xC. （cosx ） '=sinxD. （xln 1）'=x 3. 曲线y=x ·e x在x=1处切线的斜率等于 A. 2eB. eC. 2D. 14.⎰421dx x等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数f （x ）=3+x lnx 的单调递增区间为 A. （0，e 1） B. （e ，+∞） C. （e 1，+∞） D. （e1，e] 6. 在复平面内，复数ii+-12（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限7. 函数f （x ）=216x x+在区间[0，3]的最大值为 A. 3B. 4C. 2D. 58. 已知f （x ）=1+（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n，则f '0）= A. nB. n-1C.2)1(-n n D. 21n （n+1） 9. 函数f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A. （-1，2）B. （-3，6）C. （-∞，-3）∪（6，+∞）D. （-∞，-1）∪（2，+∞）10. 方程x 2=xsinx+cosx 的实数解个数是A. 3B. 0C. 2D. 1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 复数（2+i ）·i 的模为__________.12. 由曲线y=x 2,y=x 3围成的封闭图形的面积为__________.13. 若曲线y=x 3+x-2上的在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则P 0坐标为__________. 14. 如下图，由函数f （x ）=x 2-x 的图象与x 轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________.15. 已知S n =11+n +21+n +…+n 21，n ∈N*，利用数学归纳法证明不等式S n >2413的过程中，从n=k 到n=k+l （k ∈N*）时，不等式的左边S k+1=S k +__________. 16. 对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对于任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得))((21x x f =M ，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M. 那么函数f （x ）=x 3-x 2+1，在x ∈[1，2]上的几何平均数M=____________. f(x)=x 2-x三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. 设函数f （x ）=lnx-x 2+x. （I ）求f （x ）的单调区间；（II ）求f （x ）在区间[21，e]上的最大值. 18. 已知函数f （x ）=11222+-+x a ax ，其中a ∈R . （I ）当a=1时，求曲线y=f （x ）在原点处的切线方程；（II ）求f （x ）的极值.卷（II ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 1. 若f （x ）=-21x 2+bln （x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数b 的取值范围是 A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞,-1） 2. 观察（x 1）'=-21x，（x 3）'=3x 2，（sinx ）'=cosx ，由归纳推理可得：若函数f （x ）在其定义域上满足f （-x ）=-f （x ），记g （x ）为f （x ）的导函数，则g （-x ）=A. -f （x ）B. f （x ）C. g （x ）D. -g （x ）3. 若i 为虚数单位，设复数z 满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为 A. 2-1 B. 2-2 C. 2+1 D. 2+2二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.4. 曲线y=x n在x=2处的导数为12，则正整数n=__________.5. 设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________.6. 对于函数①f （x ）=4x+x 1-5，②f （x ）=|log 2 x|-（21）x，③f （x ）=cos （x+2）-cosx ，判断如下两个命题的真假：命题甲：f （x ）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f （x ）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.三、解答题：本大题共2小题，共20分 7. 已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2.（I ）若f （x ）在x=1处有极值10，求a ，b 的值；（II ）若当a=-1时，f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立，求b 的取值范围 8. 已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值；（II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+21x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.参考答案卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DBADCDADCC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 11 512 121 13 （1，0）或（-1，-4）14115221121+-+k k 165三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. （本小题满分8分）解：（I ）因为f （x ）=lnx-x 2+x 其中x>0 所以f '（x ）=x 1-2x+1=xx x )12)(1(+- 所以f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）. （II ）由（I ）f （x ）在[21，1]单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f （x ）max =f （1）=0 f （x ）max =f （1）=a-1 18. （本小题满分12分）（I ）解：当a=1时，f （x ）=122+x x，f '（x ）=-222)1()1)(1(+-+x x x …………2分由f '（0）=2，得曲线y=f （x ）在原点处的切线方程是2x-y=0. …………4分（II ）解：f '（x ）=-21)1)((2+-+x ax a x . ……………6分 ①当a=0时，f '（x ）=122+x x. 所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减. ………………7分当a ≠0，f '（x ）=-2a 1)1)((2+-+x a x a x . ②当a>0时，令f '（x ）=0，得x 1=-a ，x 2=a1，f （x ）与f '（x ）的情况如下:x （-∞，x 1） x 1 （x 1,x 2） x 2 （x 2,+∞） f '（x ） - 0 + 0 - f （x ）↘f （x 1）↗f （x 2）↘故f （x ）的单调减区间是（-∞，-a ）,（a 1,+∞）；单调增区间是（-a ，a1）. f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2………10分 ③当a<0时，f （x ）与f '（x ）的情况如下： x （-∞，x 2） x 2 （x 2,x 1） x 1 （x 1,+∞） f '（x ） + 0 - 0 + f （x ）↗f （x 2）↘f （x 1）↗所以f （x ）的单调增区间是（-∞，a 1）；单调减区间是（-a1，-a ），（-a,+ ∞）. f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2………………12分综上，a>0时，f （x ）在（-∞，-a ），（a 1，+∞）单调递减；在（-a,a1）单调递增. a=0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a 1）=a 2；a<0时，f （x ）在（-∞,a 1），（-a,+∞）单调递增；在（a1，-a ）单调递减，f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2. 卷（II ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 1 2 3 答案 CCC二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 4 56 答案3934 ①②三、解答题：本大题共2小题，共20分. 7. （本小题满分8分）解：（I ）f '（x ）=3x 2+2ax+b ，由题设有f '（1）=0，f （1）=10即⎩⎨⎧=+++=++1010232a b a b a 解得⎩⎨⎧=-=33b a 或⎩⎨⎧-==114b a 经验证，若⎩⎨⎧=-=33b a 则f '（x ）=3x 2-6x+3=3（x-1）2当x>1或x<1时，均有f '（x ）>0，可知此时x=1不是f （x ）的极值点，故⎩⎨⎧=-=33b a 舍去⎩⎨⎧-==114b a 符合题意，故⎩⎨⎧-==114b a . （II ）当a=-1时，f （x ）=x 3-x 2+bx+l 若f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立，即 x 3-x 2+bx+1<0在x ∈[1，2]恒成立即b<x x x 123-+-在x ∈[1，2]恒成立令g （x ）=xx x 123-+-，则g '（x ）=2232)1()23(x x x x x x -+--+-=22312x x x ++-（法一：由g '（x ）=0解得x=1…）（法二）由-2x 3+x 2+1=1-x 3+x 2（1-x ）可知x ∈[1，2]时g '（x ）<0即g （x ）=xx x 123-+-在x ∈[1，2]单调递减（g （x ））max =g （2）=-25∴b<-25时，f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立 8. （本小题满分12分）解：（I ）易得，f '（x ）=3x 2-3a ，所以f '（1）=3-3a ，依题意，（3-3a ）（-21）=-1，解得a=31; ………3分（II ）因为F （x ）=-x[g （x ）+21x-2]=-x[（1-lnx ）+21x-2]=xlnx-21x 2+x, 则F'（x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2，则t '（x ）=x 1-1=xx -1. 令t '（x ）=0，得x=1.则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数；由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数；而F '（21e ）=-2-21e +2=-21e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数；在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数. 所以x 1为极值点，此时m=0.又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0, 则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2，且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数；在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数. 所以x 2为极值点，此时m=3.综上m=0或m=3. …………………9分（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g（x ）>0，不满足条件；（2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，①若f （e ）=e 3-3ae+e≤0，即a≥312+e ，则e 是h （x ）的一个零点；②若f （e ）=e 3-3ae+e>0，即a<312+e ，则e 不是h （x ）的零点；（3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况.因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增. 又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以（i ）当a≤312+e 时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点；（ii ）当312+e <a≤e 2时，f （e ）<0，又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；②当a>e2时，令f '（x）=0，得x=±a.由f '（x）<0，得e<x<a；由f '（x）>0，得x>a；所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. 因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，a>312e. …………12分。

北京市第四中学高二数学下学期期中试题理

北京四中2017－2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 复数z 满足（1+i ）z=i ，则在复平面内复数z 所对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 定积分⎰+1)2(dx e x x 的值为A. e+2B. e+1C. eD. e －13. 曲线y=x 3－2x+1在点（1，0）处的切线方程为 A. y=x －1B. y=－x+lC. y=2x －2D. y=－2x+24. 函数y=xcosx 的导数为 A. y'=cosx －xsinx B. y'=cosx+xsinx C. y'=xcosx －sinxD. y'=xcosx+sinx5. 设f （x ）=x 2－2x －4 lnx ，则函数f （x ）的增区间为 A. （0，+∞） B. （－∞，－1），（2，+∞） C. （2，+∞）D. （－1，0）6. 若复数z=（x 2－4）+（x+3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x=2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），其导函数f'（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内极小值点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 直线y=3x 与曲线y=x 2围成图形的面积为A.227B. 9C.427D.29 9. 若函数y=f （x ）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是A. y=sinxB. y=lnxC. y=e xD. y=x 310. 函数f （x ）=x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）－f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是A. 20B. 18C. 3D. 011. 设函数f'（x ）是奇函数f （x ）的导函数，f （－1）=0，当x>0时，xf'（x ）－f （x ）<0，则使得f （x ）>0成立的x 的取值范围是A. （－∞，－1）（0，1）B. （－1，0）（1，+∞）C. （－∞，－1）（－l ，0）D. （0，1）（1，+∞）12. 设函数f （x ）=（x －2）lnx －ax+l ，若存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）<0，则a 的取值范围是A. （0，33ln 1+） B. （21，33ln 1+]C. （33ln 1+，1）D. [33ln 1+，1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13. 下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质|x|2=x 2类比得到复数z 的性质|z|2=z 2；③已知a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b 类比得已知z 1，z 2∈C ，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中推理结论正确的是__________.14. 如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=－x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.15. 已知函数f（x）=e x－2x+a有零点，则a的取值范围是_________.16. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=__________.17. 函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（－1）=0；②f（－2）>0；③函数y=f'（x）在区间（－，0）上是增函数. 其中正确的判断是_________. （写出所有正确判断的序号）18. 对于函数f（x）=（2x－x2）e x①（－2，2）是f（x）的单调递减区间；②f（－2）是f（x）的极小值，f（2）是f（x）的极大值；③f（x）有最大值，没有最小值；④f（x）没有最大值，也没有最小值.其中判断正确的是________.三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19. 已知函数f （x ）=ax 3+x 2a ∈R . 在x=－34处取得极值. （I ）确定a 的值；（II ）若g （x ）=f （x ）·e x，讨论g （x ）的单调性.20. 设f （x ）=a （x －5）2+6lnx ，其中a ∈R ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）.（I ）确定a 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间与极值. 21. 已知函数f （x ）=e x+ax -1. （I ）当a=21时，求函数f （x ）在x=0处的切线方程；（II ）函数f （x ）是否存在零点?若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由. 22. 已知函数f （x ）=xx 1ln -－ax. （I ）当a=2时，（i ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（ii ）求函数f （x ）的单调区间；（II ）若1<a<2，求证：f （x ）<－1.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题：本大题共4小题，共60分.19. 解：（I ）对f （x ）求导得f'（x ）=3ax 2+ax ，因为f （x ）在x=－34处取得极值，所以f'（－34）=0，即3a ·916+2·（－34）=316a －38=0，解得a=21.（II ）由（I ）得g （x ）=（2321x x +）e x ，故g'（x ）=（x x 2232+）e x+（2321x x +）e x ＝（x x x 2252123++）e x=21x （x+1）（x+4）e x . 令g'（x ）=0，解得x=0，x=－1或x=－4. 当x<－4时，g' （x ）<0，故g （x ）为减函数；当－4<x<－1时，g'（x ）>0，故g （x ）为增函数；当－1<x<0时，g'（x ）<0，故g （x ）为减函数；当x>0时，g'（x ）>0，故g （x ）为增函数.综上知，g （x ）在（－∞，－4）和（－l ，0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，+∞）内为增函数.20. 解：（I ）因f （x ）=a （x －5）2+6 lnx ，故f'（x ）=2a （x －5）+x6. 令x=1，得f （1）=16a ，f' （1）=6－8a ，所以曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y －16a=6－8a （x －1），由点（0，6）在切线上可得6－16a=8a －6，故a=21. （II ）由（I ）知f （x ）=21（x －5）2+6lnx （x>0），f'（x ）=x －5+x 6=x x x )3)(2(--.令f'（x ）=0，解得x 1=2，x 2=3.当0<x<2或x>3时，f'（x ）>0，故f （x ）在（0，2），（3，+∞）上为增函数；当2<x<3时，f'（x ）<0，故f （x ）在（2，3）上为减函数. 由此可知f （x ）在x=2处取得极大值f （2）=29+6ln2，在x=3处取得极小值f （3）=2+6ln3. 21. 解：（I ）f （x ）=e x+a x -1，f'（x ）=e x－2)(1a x -，f' （0）=1－21a .当a=21时，f'（0）=－3. 又f （0）=－1，则f （x ）在x=0处的切线方程为y=－3x －l. （II ）函数f （x ）的定义域为（－∞，a ）（a ，+∞）. 当x ∈（a ，+∞）时，e x>0，a x -1>0，所以f （x ）=e x+ax -1>0，即f （x ）在区间（a ，+∞）上没有零点.当x ∈（－∞，a ）时，f （x ）=e x+ax -1=a x a x e x -+-1)(，令g （x ）=e x（x －a ）+1，只要讨论g （x ）的零点即可. g'（x ）=e x（x －a+1），g'（a －1）=0.当x ∈（－∞，a －1）时，g'（x ）<0，g （x ）是减函数；当x ∈（a －1，a ）时，g'（x ）>0，g （x ）是增函数，所以g （x ）在区间（－∞，a ）上的最小值为g （a －1）=1－ea －1.当a=1时，g （a －1）=0，所以x=a －1是f （x ）的唯一的零点；当a<l 时，g （a －1）=1－e a －1>0，所以f （x ）没有零点；当a>l 时，g （a －1）=1－ea －1<0. 所以f （x ）有两个零点.22. 解：（I ）当a=2时，f （x ）=xx 1ln -－2x. f'（x ）=2ln 2x x-－2=22ln 22x x x --.（i ）可得f'（1）=0，又f （1）=－3，所以f （x ）在点（1，－3）处的切线方程为y=－3.（ii ）在区间（0，1）上2－2x 2>0，且－lnx>0，则f'（x ）>0. 在区间（1，+∞）上2－2x 2<0，且－lnx<0，则f' （x ）<0.所以f （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）. （II ）由x>0，f （x ）<－1，等价于xx 1ln -－ax<－l ，等价于ax 2－x+1－lnx>0. 设h （x ）=ax 2－x+1－lnx ，只须证h （x ）>0成立.因为h'（x ）=2ax －1－x1=x x ax 122--，1<a<2，由h'（x ）=0，得2ax 2－x －1=0有异号两根.令其正根为x 0，则2ax 20－x 0－1=0.在（0，x 0）上h'（x ）<0，在（x 0，+∞）上h'（x ）>0.则h （x ）的最小值为h （x 0）=ax 20－x 0+1－lnx 0=000ln 121x x x -+-+ =00ln 23x x --.又h'（1）=2a －2>0，h'（21）=2（232-a ）=a －3<0，所以21<x 0<1. 则230x ->0，－lnx 0>0.因此230x -－lnx 0>0，即h （x 0）>0. 所以h （x ）>0所以f （x ）<－1.。

2016~2017学年北京西城区北京市第四中学高二上学期理科期中数学试卷

π 6
x +
π 6
)
（a，b为常数）．若6月份的月平均气
温约为22∘C，12月份的月平均气温约为4∘C，则该地8月份的月平均气温约为 ∘C．
13. 设函数f (x) = { ①若a =
3 2
2
x
− a, x ⩽ 1
logax, x > 1
（a > 0且a ≠ 1）．
，则函数f (x)的值域为；
或x < 1}
⃗ ⃗ b（）． 2. 已知向量a ⃗ = (−1, 2)，b ⃗ = (2, −4)，则a与
A. 垂直 C. 平行且同向
B. 不垂直也不平行 D. 平行且反向
2
x
A. C.
爱智
康
3. 函数y = 2x +
1
2
的最小值为（）．
B. D.
2
2√ 2
4
4. 已知命题p：∃c > 0，方程x2 − x + c = 0有解，则¬p为（）． A. C.
10. 若角θ 的终边过点P (3, −4)，则sin(θ − π) = ．
爱
智
− − →
填空
康
11. 已知正方形ABC D边长为1，E是线段C D的中点，则AE ⋅ BD = ．
−→ −
12. 去年某地的月平均气温3; b sin(
∀c > 0
，方程x2 − x + c = 0无解，方程x2 − x + c = 0无解
B. D.
∀c ⩽ 0
，方程x2 − x + c = 0无解，方程x2 − x + c = 0有解
∃c > 0

《解析》北京市海淀区2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

北京市海淀区2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：1、复数1﹣i的虚部为（）A、iB、1C、D、﹣2、xdx=（）A、0B、C、1D、﹣3、若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A、﹣2B、2C、﹣2iD、2i4、若a，b，c均为正实数，则三个数a+ ，b+ ，c+ 这三个数中不小于2的数（）A、可以不存在B、至少有1个C、至少有2个D、至多有2个5、定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A、只有三个极大值点，无极小值点B、有两个极大值点，一个极小值点C、有一个极大值点，两个极小值点D、无极大值点，只有三个极小值点6、函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A、1B、﹣C、D、或﹣7、函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A、B、C、D、8、为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：①甲同学没有加入“楹联社”；②乙同学没有加入“汉服社”；③加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；④加入“汉服社”的那名同学在高一年级；⑤乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A、楹联社B、书法社C、汉服社D、条件不足无法判断二、填空题：9、在复平面内，复数对应的点的坐标为________．g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是________；函数f（g（x））在x=2处的导数值是________．11、如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是________．12、如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：(1)________ ；(2)f′（6）________f′（10）．13、已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么• =x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么• =x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么• =________．14、函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是________．（写出所有正确的结论的序号）三、解答题：15、已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n= ﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17、已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18、设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．答案解析部分一、选择题：1、【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】【解答】解：复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．【分析】直接由虚部定义得答案．2、【答案】B【考点】定积分【解析】【解答】解：xdx= x2| = ，故选：B【分析】根据定积分的计算法则计算即可．3、【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．4、【答案】B【考点】反证法与放缩法【解析】【解答】解：假设a+ ，b+ ，c+ 这三个数都小于2，∴a+ +b+ +c+ ＜6∵a+ +b+ +c+ =（a+ ）+（b+ ）+（c+ ）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．5、【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．6、【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意，f′（x）= ，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a= ，故选C．【分析】求导数，利用函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，即可求出实数a的值．7、【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】解：y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x 时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x= ，∴f（x）只有1个零点x= ，当x 时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x 时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．8、【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：假设乙在高一，则加入“汉服社”，与②矛盾，所以乙在高二，根据③，可得乙加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．【分析】确定乙在高二，加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社．二、填空题：9、【答案】（﹣1，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：复数= =﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．10、【答案】y=3x﹣1；12【考点】导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；12【分析】求出f′（1）=3，f（1）=2，即可求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．利用复合函数的导数公式，可得函数f（g（x））在x=2处的导数值，11、【答案】π+2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】解：由图象可得S= （1+sinx）dx=（x﹣cosx）| =π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+2【分析】由图象可得S= （1+sinx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．12、【答案】（1）＞（2）＜【考点】函数的图象【解析】【解答】解：（1.）由函数图象可知= ，= =2，∴．（2.）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．【分析】（1）代入函数值计算或根据平均变化率的几何意义比较割线的斜率；（2）根据导数的几何意义比较切线的斜率即可．13、【答案】a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：由题意可知• =a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．【分析】根据平面向量和空间向量数量积的计算公式归纳得出结论．14、【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．【分析】求出f（x）的导数，设出切点（m，f（m）），可得切线的斜率，由已知切线的方程可得a，m，的方程，求得m=1，a=0，即可判断①；求出f（x）的导数，运用指数函数的值域和不等式的性质可得导数大于0，即可判断②；由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，即可判断③．三、解答题：15、【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）在闭区间的最小值即可．16、【答案】解：（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1= ，a3+a2= ﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2= ﹣1，a3= ﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n= ﹣，当n=1时，由a1=1= ﹣，猜想成立．假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k= ﹣则由a k+1+a k= ﹣，得a k+1= ﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n= ﹣【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）由数列{a n}的递推公式依次求出a2，a3，a4；（Ⅱ）根据a2，a3，a4值的结构特点猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【题型解答题17、【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）= ≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+ = ，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．18、【答案】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，因为f′（1）=0，且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0. ；令，则，故g（x）单调递增．又g（1）=0，当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．。

北京市第四中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．复数21i=-（）AB +C ．1i -D ．1i +【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+．故选：D ．2．下列求导正确的是（）．A ．2(32)3x x -'=B ．21(log )ln2x x '=⋅ C ．(cos )sin x x '=D ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭【考点】63：导数的运算．【分析】先根据基本导数公式和导数的运算法则求导，再判断【解答】解：2(32)6x x -'=，21(log )ln2x x '=⋅，(cos )sin x x '=-，211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B ．3．曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率等于（）．A ．2eB ．eC ．2D ．1【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．【解答】解：曲线e x y x =⋅，可得e e x x y x '=+，曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率：e e 2e +=．故选：A ．4．设0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：0a >，0b >，则“a b >”⇔“ln ln a b >”．因此0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件．故选：D ．5．函数：()3ln f x x x =+的单调递增区间是（）．A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(e,)+∞C ．1,e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞D ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出()f x 的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．【解答】解：由函数()3ln f x x x =+得：()ln 1f x x =+，令()ln 10f x x '=+>即1ln 1ln e x >-=，根据e 1>得到此对数函数为增函数，所以得到1ex >，即为函数的单调递增区间．故选C ．6．在复平面内，复数2i1i -+（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）． A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数2i1i-+的共轭复数对应的点的坐标得答案．【解答】解：由2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222----===-++-，得13i 22z =+， ∴在复平面内，复数2i 1i -+的共轭复数对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限．7．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（）．A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【考点】2J ：命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选：C ．8．已知23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（）．A ．nB ．1n -C ．(1)2n n -D ．1(1)2n n +【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，对函数()f x 求导，计算可得()f x '，将0x =代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则其导数231()12(1)3(1)4(1)(1)n f x x x x n x -'=+++++++++L ，则(1)(0)12342n n f n +'=+++++=L ；故选：D ．9．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）．A ．[]3,6-B ．(3,6)-C ．]([,36,)-∞-+∞UD ．(,3)(6,)-∞-+∞U【考点】6C ：函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出导数()f x '，由()f x 有极大值、极小值可知()0f x '=有两个不等实根．【解答】解：函数32()(6)1f x x ax a x =++++，所以2()32(6)f x x ax a '=+++，因为函数有极大值和极小值，所以方程()0f x '=有两个不相等的实数根，即232(6)0x ax a +++=有两个不相等的实数根，∴0∆>，∴2(2)43(6)0a a +-⨯⨯>，解得：3a <-或6a >．10．方程2sin cos x x x x =+的实数解个数是（）．A ．3B ．0C ．2D ．1【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令2()sin cos f x x x x x =--，判断()f x 的单调性，计算极值，从而得出()f x 的零点个数．【解答】解：令2()sin cos f x x x x x =--，则()2sin cos sin (2cos )f x x x x x x x x '=--+=-， ∵2cos 0x ->，∴当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴当0x =时，()f x 取得最小值1-，又x →-∞时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞， ∴()f x 有2个零点，即发出2sin cos x x x x =+有2解．故选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11．复数(2i)i +⋅的模为__________．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵(2i)i 12i +⋅=-+，∴复数(2i)i +⋅12．命题 “若0a b -=，则()()0a b a b -+=”的逆否命题为__________．【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若()()0a b a b -+≠则0a b -≠，故答案为：()()0a b a b -+≠则0a b -≠．13．曲线3()2f x x x =+-在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点坐标为__________．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标，然后对()f x 进行求导，根据曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x=建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到()f x 即可得到答案．【解答】解：设0P 点的坐标为(())a f a ，，由3()2f x x x =+-，得到2()31f x x '=+，由曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x =，得到切线方程的斜率为4，即2()314f a a '=+=，解得1a =或1a =-，当1a =时，(1)0f =；当1a =-时，(1)4f -=-，则0P 点的坐标为(1,0)或(1,4)--．故答案为：(1,0)或(1,4)--．14．函数26()1xf x x=+在区间[]0,3的最大值为__________．【考点】7F ：基本不等式．【分析】对x 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：0x =时，(0)0f =．3](0,x ∈时，6()31f x x x==+，当且仅当1x =时取等号．∴函数26()1xf x x =+在区间[]0,3的最大值为3．故答案为：3．15．若命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，则x 的取值范围是__________．【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立，即2540x x +-≤成立．求解不等式得答案．【解答】解：命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，说明对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立，即2540x x +-≤成立．解得14x ≤≤．∴x 的取值范围是14x ≤≤．故答案为：14x ≤≤．16．对于函数()y f x =，x D ∈，若对于任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．那么函数32()1f x x x -=+，在[]1,2x ∈上的几何平均数M =__________．【考点】34：函数的值域．【分析】根据已知中对于函数()y f x =，x D ∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M 应该等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，由32()1f x x x -=+，[]1,2D =，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数()f x 在D 上的几何平均数为M 的定义，由于()f x 的导数为2()32f x x x '=-，在[]1,2内()0f x '>，则32()1f x x x -=+在区间[]1,2单调递增，则11x =时，存在唯一的22x =与之对应，且1x =时，()f x 取得最小值1，2x =时，取得最大值5，故M ．三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17．设函数2()ln f x x x x =-+．（I ）求()f x 的单调区间．（II ）求()f x 在区间1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可．【解答】解：（I ）因为2()ln f x x x x =-+其中0x >，所以1(1)(21)()21x x f x x x x-+'=-+=，令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<，所以()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞．（II ）由（I ）()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在[]1,e 上单调递减，∴max ()(1)0f x f ==．18．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程．（Ⅱ）求()f x 的单调区间．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当1a =时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22()1x f x x =+，222(1)(1)()(1)x x f x x +-'=-+． ∴(0)2f '=， ∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．（Ⅱ）求导函数可得，222()(1)()(1)x a ax f x x +-'=-+．当0a =时，222()(1)xf x x '=+，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减．当0a ≠，221()()2(1)x a x a f x ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=-+． ①当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞；单调增区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞；单调减区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,)a -+∞．综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞单调递减；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增．0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞单调递增；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．一、卷（II ）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（）．A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(2],-∞D ．(,2)-∞【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：3211()(1)132f x x ax a x =-+-+，[]2()(1()(1)1)f x x ax a x a x '=+-=----，11a -≤时，符合题意，11a ->时，令()0f x '≥，解得：1x a -≥或1x ≤，若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，则11a -≤，解得：2a ≤，故选：C ．20．观察211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，由归纳推理可得：若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（）．A ．()f x -B ．()f xC ．()g xD ．()g x -【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，L 分析其规律，我们可以归纳推断出，奇函数的导数是偶函数，即可得到答案．【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数， ∵()g x 为()f x 的导函数， ∴()()g x g x -=．故选：C ．21．若i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则1i z -+的最大值为（）．A1B．2C1D．2【考点】A8：复数求模．【分析】由题意画出图形，再由1i 1i)z z --=+-(的几何意义，即动点Z 到定点(1,1)P -的距离求解．【解答】解：1i 1i)z z --=+-(，其几何意义为动点Z 到定点(1,1)P -的距离，又1z =，如图：则1i z -+1．故选：C ．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 22．曲线n y x =在2x =处的导数为12，则n =__________．【考点】63：导数的运算．【分析】求出函数线n y x =的导函数，把2x =代入导函数解析式可求n 的值．【解答】解：由n y x =，得1n y nx -'=，又曲线n y x =在2x =处的导数为12，所以1212n n -⋅=，3n =．故答案为3．23．若0a >，0b >，且函数32()42f x x ax bx --=在1x =处有极值，则ab 的最大值为__________．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件，利用基本不等式求出ab 的最值．【解答】解：由题意，导函数2(_1222f x x ax b -'=-，∵在1x =处有极值，(1)0f '=， ∴6a b +=， ∵0a >，0b >，∴292a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，当且仅当3a b ==时取等号，∴ab 的最大值等于9．故答案为：9．24．已知函数1()sin 3f x x x =-，[]0,πx ∈，[]001cos (0,π)3x x =∈，那么下面命题中真命题的序号是__________． ①()f x 的最大值为0()f x ； ②()f x 的最小值为0()f x ； ③()f x 在[]00,x 上是减函数； ④()f x 在[]0,πx 上是减函数．【考点】2K ：命题的真假判断与应用；6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】可求出1()sin 3f x x x =-的导数，研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题【解答】解：1()sin 3f x x x =-的导数1()cos 3f x '=-，又[]001cos (0,π)3x x =∈， ∴函数()f x 在[]00,x 上是增函数，()f x 在[]0,πx 上是减函数，∴()f x 的最大值为0()f x ，由此知①④是正确命题，故答案为①④．三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．已知函数322()f x x ax bx a =+++．（I ）若()f x 在1x =处有极值10，求a ，b 的值．（II ）若当1a =-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6K ：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于导函数的方程组，求出a ，b 的值即可；（Ⅱ）分离参数，问题转化为321x x b x -+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=，根据函数的单调性求出b 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）2()32f x x ax b '=++，由题设有(1)0f '=，(1)10f =，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得：33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩，经验证，若33a b =-⎧⎨=⎩，则22()3633(1)f x x x x +=--'=，当1x >或1x <时，均有()0f x '>，可知此时1x =不是()f x 的极值点，故33a b =-⎧⎨=⎩舍去411a b =⎧⎨=-⎩符合题意，故411a b =⎧⎨=-⎩．（Ⅱ）当1a =-时，32()1f x x x bx -=++，若()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，即3210x x bx ++<-在[]1,2x ∈恒成立，即321x x b x-+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=，则2323222(32)(1)21()x x x x x x x g x x x -+--+--++'==，由32322111()x x x x x -++=-+-可知[]1,2x ∈时()0g x '<，即321()x x g x x-+-=在[]1,2x ∈单调递减， max 5()(2)2g x g ==-， ∴52b <-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立．26．已知函数3()3e f x x ax -=+，()1ln g x x =-，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,)(1)f 处的切线与直线:20l x y +=垂直，求实数a 的值．（Ⅱ）设函数1()()22F x x g x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，若()F x 在区间(,1)()m m m +∈Z 内存在唯一的极值点，求m 的值．（Ⅲ）用{}m a x ,m n 表示m ，n 中的较大者，记函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>．若函数()h x 在(0,)+∞ 上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算(1)f '，求出a 的值即可；（Ⅱ）求出函数()F x 的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m 的值即可；（Ⅲ）通过讨论a 的范围求出函数()f x 的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）易得，2()33f x x a '=-，所以(1)33f a '=-，依题意，1(33)12a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得13a =；（Ⅱ）因为2111()()2(1ln )2ln 222F x x g x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-=--+-=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()ln 11ln 2F x x x x x '=+-+=-+．设()ln 2t x x x =-+，则11()1x t x x x-'=-=．令()0t x '=，得1x =．则由()0t x '>，得01x <<，()F x '为增函数；由()0t x '<，得1x >，()F x '为减函数；而222111220e e e F ⎛⎫'=--+=-< ⎪⎝⎭，(1)10F '=>．则()F x '在(0,1)上有且只有一个零点1x ，且在1(0,)x 上()0F x '<，()F x 为减函数；在1(,)1x 上()0F x '>，()F x 为增函数．所以1x 为极值点，此时0m =．又(3)ln310F '=->，(4)2ln220F '=-<，则()F x '在(3,4)上有且只有一个零点2x ，且在2(3,)x 上()0F x '>，()F x 为增函数；在2(),4x 上()0F x '<，()F x 为减函数．所以2x 为极值点，此时3m =．综上0m =或3m =．（Ⅲ）（1）当(0,e)x ∈时，()0g x >，依题意，()(0)0h x g >≥，不满足条件；（2）当e x =时，(e)0g =，3()3f e e ae e -=+，①若3(e)e 3e e 0f a -=+≤，即2e 13a +≥，则e 是()h x 的一个零点； ②若3(e)e 3e e 0f a -=+>，即2e 13a +<，则e 不是()h x 的零点；（3）当(e,)x ∈+∞时，()0g x <，所以此时只需考虑函数()f x 在(e,)+∞上零点的情况．因为22()333e 3f x x a a ->-'=，所以①当2e a ≤时，()0f x '>，()f x 在(e,)+∞上单调递增．又3(e)e 3e e f a -=+，所以（i ）当2e 13a +≤时，(e)0f ≥，()f x 在(e,)+∞上无零点；（ii ）当22e 1e 3a +<≤时，(e)0f <，又333(2e)8e 6e e 8e 6e e 0f a =+-+->≥，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点；②当2e a >时，令()0f x '=，得x =由()0f x '<，得e x <由()0f x '>，得x >所以()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增．因为3(e )e f a -=<+-+<，32222(2)86e 86e 2e 0f a a a a a a =+=->+-+>，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点；综上，2e 13a +>．。

2016-2017北京西城44中高二下期中试卷北师大版数学(理科)word含解析

北京市第四十四中学2016-2017学年度第二学期期中测试高二数学试卷（理科）一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．某一射手所得环数的分布列如下：A ．0.09B ．0.79C ．0.88D ．以上都不对【答案】C【解析】(6)0.090.280.290.22P x >=+++，0.88=，选C ．2．在复平面内，复数12i -对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】12i2i21i 2i (2i)(2i)555++===+--+，第一象限，选A ．3．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）．A ．160B ．160-C ．480D ．480-【答案】B【解析】66216C 2(1)rr r r r T x --+=⋅⋅-⋅，令620r -=，3r =，∴常数为336C 2(6)160⋅⋅-=-，选B ．4．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么()f x 的图象最有可能的是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】2x <-时，()0f x '<，()f x 单减，20x -<<时，()0f x '>，()f x 单增，0x ≥，()0f x '<，()f x 单减，选A ．5．从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中既有男生又有女生，则不同选法的种数为（）．A ．25B ．28C ．31D ．34【答案】D【解析】共有47C 35=种，不可能仅有女生，仅有男生有1种情况，∴47C 134-=，选D ．6．极坐标方程(1)(π)0(0)ρθρ--=≥表示的图形是（）．A ．两个圆B ．一个圆和一条射线C ．两条直线D ．一条直线和一条射线【答案】B【解析】(1)(π)0ρθ--=，∴1ρ=或πθ=，1ρ=为圆，πθ=为射线，选B ．7．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直线第3次才取得卡口灯泡的概率为（）．A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【答案】D 【解析】从中取一只螺口概率为310，再取一只螺口概率为29， ∵有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡， ∴从中取一只卡口灯泡的概率是78．到第3次才取得卡口灯泡， 32771098120P =⨯⨯=，选D ．8．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（）．A ．(0)(2)2(1)f f f +C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +≤【答案】C【解析】1x ≥时，()0f x '≥，()f x 在(1,)+∞上单增， 1x <时，()0f x '≤，()f x 在(,1)-∞上单减，1x =时，()f x 取得极小值，也为最小值，∴(0)(1)f f ≥，(2)(1)f f ≥，∴(0)(2)2(1)f f f +≥，选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数(2i)i z =-的虚部是__________．【答案】2【解析】2i 1z =+，虚部为2．10．若3230123(21)x a a x a x a x +=+++，则该展开式的二项式系数之和为__________；0123a a a a -+-+ 的值为__________．【答案】1【解析】328=，令1x =-，有01231()a a a a -=-++-，∴01231a a a a =-+-+．11．若120()d 0x mx x +=⎰，则m =__________．【答案】23- 【解析】120()d x mx x +⎰，310132mx x 2=+， 10032m =+-=， ∴132m =-， ∴23m =-．12．若圆C 的参数方程为3cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆C 的圆心坐标为__________，圆C 与直线30x y +-=的交点个数为__________．【答案】(1,0)C 2【解析】22(1)9x y -+=，3r =，(1,0)C ．3C AB d →=，有2交点．13．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()()f x xf x '>恒成立，则不等式21()0x f f x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为__________（结果写成集合或区间形式）．【答案】{}|1x x > 【解析】()()f x F x x =，2()()()xf x f x F x x '-'=， ∵()()f x f x x '>⋅，∴()0F x '<，∴()F x 为定义域上减函数，由21()0x f f x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，得1()1f f x x xx⎛⎫ ⎪⎝⎭>， ∴1x x<， ∴1x >，{}|1x x >．14．函数()e ln x f x a x =+的定义域设为D ，关于函数()f x 给出下列命题：①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数．②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值．③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈,都有()0f x >成立．④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）【答案】②④ 【解析】()e x a f x x'=+， ①()e x a f x x'=+在(0,)a ∈+∞时，(0,)x ∈+∞恒大于零，()0f x '>， ∴①错误．②对(,0)a ∀∈-∞，00x ∃>使000()e 0x a f x x '=+=且函数()f x 在0(0,)x 上单减，在0(,)x +∞单增，则函数()f x 存在最小值0()f x ，②正确．③当(0,)a ∈+∞，画出e x y =，ln y a x =，可看出，0x →时，()f x →-∞，③错误．④当(,0)a ∈-∞时，由（2）知，()f x 存在，最小值0()f x ，存在a 使得000()e ln 0x f x a x =+<，当0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有两零点，④对，综上：②④对．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数2()3f x x mx =+-在点(0,3)-处的切线与直线2y x =-平行．（Ⅰ）求实数m 的值．（Ⅱ）求()()4g x xf x x =+的单调区间和极值．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2()3f x x mx =+-，()2f x x m '=+，由(0)2f '=-，得2m =-，∴2()23f x x x =--．（Ⅱ）32()()4234g x xf x x x x x x =+=--+，322x x x =-+，∴2()341(31)(1)g x x x x x '=-+=--，令()0g x '=，得11x =，213x =．∴1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，(1,)+∞为单调增区间， 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递减区间，在1x =，有极小值0，13x =有极大值427．16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买的概率．（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率．（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．【答案】见解析【解析】记A 为进入的1位买甲， B 为进入的1位买乙，C 为进入的1位买甲、乙中的一种，D 为进入的1位顾客至少购买甲、乙两种中的一种．（Ⅰ）C A B A B =⋅+⋅，()()()()P C P A B B A P A B P A B =⋅+⋅=⋅+⋅，()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅，0.50.40.50.6=⨯+⨯，0.5=．（Ⅱ）D A B =-，()()()()0.50.4P D P A B P A P B =⋅=⋅=⨯，0.2=，()1()0.8P D P D =-=．（Ⅲ）~(3,0.8)B ξ，3(0)0.20.008P ξ===，123(1)C 0.80.20.096P ξ==⨯⨯=，223(2)C 0.80.20.384P ξ==⨯⨯=，3(3)0.80.512P ξ===，00.00810.09620.38430.512ξ=⨯+⨯+⨯+⨯，2.4=．17．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．（Ⅰ）求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？（Ⅱ）求乙答对试题数ξ的概率分布及数学期望？【答案】见解析【解析】（Ⅰ）A ={甲合格}，B ={乙合格}，213646310C C C 60202()C 1203P A ⋅++===， 213828310C C C 565614()C 12015P B ⋅++===．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，1282310C C 8(1)C 120P ξ⋅===， 2182310C C 56(2)C 120P ξ⋅===， 38310C 56(3)C 120P ξ===，123120120120ξ=⨯+⨯+⨯．18．已知1x =是函数2()1e xax bx f x +=+的极值点．（Ⅰ）求实数a 的值．（Ⅱ）试讨论()f x 的单调性．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2()1e xax bx f x +=+， 21()[(2)]ex f x ax a b x b '=-+-+，而1x =为极点，∴2(1)0e a a b b f -+-+'==， ∴0a =．（Ⅱ）∵()1e xbx f x =+， 1()(1)e xf x b x '=⋅-，当0b =时，()1f x =为常函数，当0b >时，0b >时，()f x 在(,1)-∞单增(1,)+∞单减，0b <时，()f x 在(,1)-∞单减，(1,)+∞单增．19．已知椭圆2214xC y +=:，点A 的坐标为(0,)m 直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N （均异于点A ）．（Ⅰ）若直线l 的方程为2y x =+，求线段MN 的长．（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)，点M 、N 均在经点A 为圆心的圆上，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）22442x y y x ⎧+=⎨=+⎩， 2516120x x ++=，||MN ==（Ⅱ）设:(1)l y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，∵M ，N 在以A 为圆心圆上，∴||||MA NA =，，∴1212121212()()()()2()0x x x x y y y y m y y +-+-+--=，∵12x x ≠，∴121212121212()20y y y y x x y y m x x x x --++⋅+-⋅=--，而1212y y k x x -=-，11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， ∴原式为21212(2)20x x k x x km +++--=，222222212244(14)84408(1)14x y k x k x k k y k x x x k ⎧+=+-+-=⎪⎨=-+=⎪+⎩， ∴22222882201414k k k mk k k ⎛⎫+⋅--= ⎪++⎝⎭， ∴化简有233311444k m k k k ===++，当且仅当12k =时等号成立，当k 不存在时显然34m ≤时满足题意，综上：34m ≤． 20．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（Ⅱ）当0a >时，函数()f x 在[]1,e 上的最小值为2-，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x <，且1122()2()2f x x f x x +<+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1a =时，2()3ln f x x x x =-+，1()23f x x x'=-+， (1)1f '=，(1)2f =-，∴2y =-．（Ⅱ）2()(2)ln f x ax a x x =-++定义域为(0,)+∞，当0a >时，212(2)1()2(2)ax a x f x ax a x x-++'=-++=，0x >，令()0f x '=，1()(21)(1)0f x x ax x'=--=， ∴12x =或1a ，当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,e]单增， ∴min (1)2f f ==-，当11e a <<时，()f x 在[1,e]上最小为1(1)2f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，舍去，当1e a≥时，()f x 在[1,e]上单减， ∴()f x 在[1,e]上最小为(e)(1)2f f <=-舍去，综上：1a ≥．（Ⅲ）设2()()2ln g x f x x ax ax x =+=-+，原条件等价为()g x 在(0,)+∞单增，221()ax ax g x x-+'=，当0a =时，1()0g x x'=>，合题，当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，而(0,)x ∈+∞，只要2210ax ax -+≥，则要0a ≥，而221y ax ax =-+过(0,1)，104n x =>，只要280a a ∆=-≤，即08a <≤．综上，08a ≤≤．。

北京四中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题

北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 复数i-12= A. 2+2i B. 22+22i C. 1-i D. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2-2）'=3xB. （log 2x ） '=2ln 1⋅xC. （cosx ） '=sinxD. （xln 1）'=x 3. 曲线y=x ·e x 在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 1 4. ⎰421dx x等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 25. 函数f （x ）=3+x lnx 的单调递增区间为A. （0，e 1）B. （e ，+∞）C. （e 1，+∞）D. （e 1，e0，31，221，e-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-11，2g （x ）+21x-2 三、解答题：本大题共2小题，共20分.17. （本小题满分8分）解：（I ）因为f （x ）=lnx-x 2+x 其中x>0所以f '（x ）=x 1-2x+1=xx x )12)(1(+- 所以f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）.（II ）由（I ）f （x ）在hslx3y3h 21，11，e1，21，21，21，21，21，2g （x ）+21x-2（1-lnx ）+21x-2hslx3y3h=xlnx-21x 2+x, 则F'（x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2，则t '（x ）=x 1-1=xx -1. 令t '（x ）=0，得x=1.则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数；由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数；而F '（21e ）=-2-21e +2=-21e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数；在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数.所以x 1为极值点，此时m=0.又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0,则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2，且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数；在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数.所以x 2为极值点，此时m=3.综上m=0或m=3. …………………9分（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g （x ）>0，不满足条件；（2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，①若f （e ）=e 3-3ae+e≤0，即a≥312+e ，则e 是h （x ）的一个零点； ②若f （e ）=e 3-3ae+e>0，即a<312+e ，则e 不是h （x ）的零点；（3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况. 因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增.又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以（i ）当a≤312+e 时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点；（ii ）当312+e <a≤e 2时，f （e ）<0，又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；②当a>e 2时，令f '（x ）=0，得x=±a .由f '（x）<0，得e<x<a；由f '（x）>0，得x>a；所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. 因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，a>312e. …………12分。

北京四中高二数学下学期期中测试试题文

（试卷满分150分，考试时间为120分钟）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 复数i-12等于 A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i2. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列推理所得结论正确的是A. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x a a a log log )(log +=+B. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x sin sin )sin(+=+C. 由)()(c b a c b a ++=++类比得到)()(yz x z xy =D. 由nn nb a ab =)(类比得到nnny x y x +=+)(4. 若xx x f sin 1)(2-=，则)(x f 的导数是A. x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B. x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C. xx x x sin )1(sin 22-+-D. xx x x sin )1(sin 22---5. 复数i z +=1，z 为z 的共轭复数，则=--1z z zA. －2iB. –iC. iD. 2i6. 已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是A. 在)0,(-∞上为减函数B. 在0=x 处取得最大值C. 在),4(+∞上为减函数D. 在2=x 处取得最小值7. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递减区间为A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1, C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,18. 函数216x xy +=的极大值为 A. 3B. 4C. 2D. 59. 函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是A. 0>aB. 0≥aC. 0<aD. 0≤a10. 当0<a 时，函数4331223---=x a ax x y 在()+∞,3上是增函数，则实数a 的取值范围是A. ()0,3-B. [)0,3-C. []1,3-D. ()1,3-11. 给出四个命题：（1）函数在闭区间],[b a 上的极大值一定比极小值大；（2）函数在闭区间],[b a 上的最大值一定是极大值；（3）对于12)(23+++=x px x x f ，若6<p ，则)(x f 无极值；（4）函数)(x f 在区间),(b a 上一定不存在最值。

2017-2018学年北京四中高二(下)期中数学试卷(理科)

2017-2018学年北京四中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数z满足（1+i）z=i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣13．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 4．（5分）函数y=xcosx的导数为（）A．y′=cosx﹣xsinx B．y′=cosx+xsinxC．y′=xcosx﹣sinx D．y′=xcosx+sinx5．（5分）设f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1），（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）6．（5分）若复数z=（x2﹣4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．9．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x310．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．011．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）12．（5分）设函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，]C．（，1）D．[，1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13．（5分）下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③已知a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b．类比得已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的是．14．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（2018）+f'（2018）=．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=．17．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=﹣1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（﹣1）=0；②f（﹣2）＞0；③函数y=f'（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数．其中正确的判断是．（写出所有正确判断的序号）18．（5分）对于函数f（x）=（2x﹣x2）e x（1）是f（x）的单调递减区间；（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19．（15分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在处取得极值．（1）确定a的值；（2）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性．20．（15分）设f（x）=a（x﹣5）2+6ln x，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．21．（15分）已知函数f（x）=e x+．（I）当a=时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（II）函数f（x）是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由．22．（15分）已知函数．（Ⅰ）当a=2时，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．2017-2018学年北京四中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数z满足（1+i）z=i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由（1+i）z=i，得，∴z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选：A．【点评】本题本题考查复数的运算与坐标表示，是基础题．2．（5分）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可．【解答】解：（2x+e x）dx=（x2+e x）|=（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．3．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）函数y=xcosx的导数为（）A．y′=cosx﹣xsinx B．y′=cosx+xsinxC．y′=xcosx﹣sinx D．y′=xcosx+sinx【分析】利用导数的运算法则（μv）′=μ′v+μv′及导数的公式cosx′=﹣sinx求出导函数即可．【解答】解：根据（μv）′=μ′v+μv′可得y′=x′cosx+x（cosx）′=cosx﹣xsinx故选：A．【点评】求函数的导数值时，先根据函数的形式选择合适的导数运算法则及导数公式，属于基础题．5．（5分）设f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1），（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）【分析】用导函数求函数的增区间，常规题目．【解答】先求其定义域为（0，+∞），，借助分子函数y=2（x+1）•（x﹣2）的图象，只考虑x＞0上，容易知道当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故所求增区间为（2，+∞）．故选：C．【点评】数字系数的函数的单调性判断，常用导数做工具来解决，常规题目．6．（5分）若复数z=（x2﹣4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先通过复数的基本概念求出“z是纯虚数”最简形式，判断前者成立能否推出后者成立，反之后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义判断出结论．【解答】解：“z是纯虚数”的充要条件为即x=±2∵x=±2成立推不出x=2成立；反之若x=2成立则x=±2成立∴“z是纯虚数”是“x=2”的必要不充分条件故选：B．【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，一般先化简各个条件，再确定出哪一个是条件哪一个是结论；判断前者是否推出后者，后者是否推出前者，利用充要条件的定义加以判断．7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：D．【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．8．（5分）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为====故选：C．【点评】本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题．9．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．10．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．0【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．11．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．12．（5分）设函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，]C．（，1）D．[，1）【分析】设g（x）=（x﹣2）lnx，h（x）=ax﹣1，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣1的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g（1）≥h（1）=a﹣1且h（3）=3a﹣1≤g（3）=ln3，h（2）＞g（2），解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=（x﹣2）lnx，h（x）=ax﹣1，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=h（x）=ax﹣1的下方，∵g′（x）=lnx+1﹣，∴当x≥2时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，当x=1时，g（1）=0，当x=1时，h（1）=a﹣1＜0，即a≤1．直线y=ax﹣1恒过定点（0，﹣1）且斜率为a，由题意结合图象可知，存在唯一的整数x0=2，f（x0）＜0，故h（2）=2a﹣1＞g（2）=0，h（3）=3a﹣1≤g（3）=ln3，解得＜a≤．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13．（5分）下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③已知a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b．类比得已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的是①④．【分析】复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，但是向量的模长和复数的模长不是通过列举法得到，还有两个复数不能比较大小．【解答】解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2，这两个长度的求法不是通过类比得到的．故②不正确，对于③：已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；因两个复数不能比较大小，故③错；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．故④正确．故答案为：①④【点评】本题考查类比推理，是一个观察几个结论是不是通过类比得到，本题解题的关键在于对于所给的结论的理解．14．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（2018）+f'（2018）=﹣2011．【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（2018）=﹣1，将x=2018代入切线方程，可得f（2018）的值，将其相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f′（2018）=﹣1，将x=2018代入切线方程y=﹣x+8，得f（2018）=﹣2018+8=﹣2010，则f（2018）+f'（2018）=﹣2011；故答案为：﹣2011．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2] ．【分析】先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．【解答】解：f′（x）=e x﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．【点评】利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=（4，﹣11）．【分析】求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值，注意检验，从而求出函数值即可．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，由题意得，f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a2=10②，联立①②解得或，当a=﹣3，b=3时，f′（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2，x＜1或x＞1时，f′（x）＞0，所以x=1不为极值点，不合题意；经检验，a=4，b=﹣11符合题意，则（a，b）=（4，﹣11）故答案为：（4，﹣11）．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，可导函数f（x）在x=x0处取得极值的充要条件是f′（x0）=0，且在x0左右两侧导数异号．17．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=﹣1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（﹣1）=0；②f（﹣2）＞0；③函数y=f'（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数．其中正确的判断是②③．（写出所有正确判断的序号）【分析】先根据题意可得f′（x）=3ax2+2bx+c=3a（x+1）（x﹣x0）且a＜0，然后求出f（1）+f（﹣1），f（﹣2）判定符号即可，最后根据f′（x）是开口向下，对称轴为x=＞0的二次函数，可得函数在区间（﹣∞，0）上的单调性．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=﹣1处取得极值∴f′（x）=3ax2+2bx+c=3a（x+1）（x﹣x0），a＜0则2b=3a（1﹣x0），c=﹣3ax0∴f（1）+f（﹣1）=2b=3a（1﹣x0）＞0故①不正确f（﹣2）=﹣8a+4b﹣2c=﹣8a+6a=﹣2a＞0，故②正确f′（x）=3ax2+2bx+c=3a（x+1）（x﹣x0）是开口向下，对称轴为x=＞0∴函数y=f'（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，故③正确故答案为：②③【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值和二次函数的性质，以及研究函数的单调性，同时考查了识图能力，运算分析能力，属于中档题．18．（5分）对于函数f（x）=（2x﹣x2）e x（1）是f（x）的单调递减区间；（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是（2）（3）．【分析】对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定（1）不正确，（2）正确，根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，（3）正确，（4）不正确，从而得到答案．【解答】解：f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），单调增区间为（﹣，），故（1）不正确；∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故（2）正确．∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立，在（﹣，）单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当x=时取极大值，也是最大值，而当x→+∞时，f（x）→﹣∞∴f（x）无最小值，但有最大值f（）则（3）正确．从而f（x）没有最大值，也没有最小值，则（4）不正确．故答案为：（2）（3）【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19．（15分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在处取得极值．（1）确定a的值；（2）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性．【分析】（1）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；（2）由（1）得g（x）的解析式，利用导数的正负可得g（x）的单调性．【解答】解：（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，∴f′（﹣）=0，∴3a•+2•（﹣）=0，∴a=；（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）e x，∴g′（x）=（x2+2x）e x+（x3+x2）e x=x（x+1）（x+4）e x，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题．20．（15分）设f（x）=a（x﹣5）2+6ln x，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（1）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．21．（15分）已知函数f（x）=e x+．（I）当a=时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（II）函数f（x）是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）欲求曲线y=f（x）在其上一点x=0处的切线的方程，只须求出切线斜率，切点坐标即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用函数求出切点坐标，进而得切线方程；（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．下面对x的范围进行分类讨论：当x∈（a，+∞）时，f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x ∈（﹣∞，a）时，令g（x）=e x（x﹣a）+1．构造新函数，对新函数求导，做出函数的单调性，得到函数的最小值，从而得到要求的结果．【解答】解：（I）f（x）=e x+，f'（x）=e x﹣，f'（0）=1﹣．当a=时，f'（0）=﹣3．又f（0）=﹣1，则f（x）在x=0处的切线方程为y=﹣3x﹣l．（II）函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．当x∈（a，+∞）时，e x＞0，＞0，所以f（x）=e x+＞0，即f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x∈（﹣∞，a）时，f（x）=e x+=，令g（x）=e x（x﹣a）+1，只要讨论g（x）的零点即可．g'（x）=e x（x﹣a+1），g'（a﹣1）=0．当x∈（﹣∞，a﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x∈（a﹣1，a）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）在区间（﹣∞，a）上的最小值为g（a﹣1）=1﹣e a﹣1．当a=1时，g（a﹣1）=0，所以x=a﹣1是f（x）的唯一的零点；当a＜l时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＞0，所以f（x）没有零点；当a＞l时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＜0．所以f（x）有两个零点．【点评】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查考查函数的单调性，属于中档题．22．（15分）已知函数．（Ⅰ）当a=2时，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．【分析】（Ⅰ）（i）根据题意，求出函数的导数，据此计算f′（1）与f（1），即可得切线的斜率以及切点的坐标，由直线的点斜式方程即可得答案；（ii）根据题意，令g（x）=2﹣lnx﹣2x2，分析g（x）的符号，即可得函数f（x）的导数的符号，即可得函数f（x）的单调区间，（Ⅱ）根据题意，f（x）＜﹣1，即，设，对h（x）求导分析可得h（x）的单调性，分析h（x）的最值，即可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，，定义域为（0，+∞），，f′（1）=﹣1﹣2=﹣3，f'（1）=2﹣2=0；所以切点坐标为（1，﹣3），切线斜率为0所以切线方程为y=﹣3；（ii）令g（x）=2﹣lnx﹣2x2，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）=0所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0即f'（x）＞0所以当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0即f'（x）＜0综上所述，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（Ⅱ）证明：f（x）＜﹣1，即设，，设φ（x）=﹣ax2﹣lnx+2所以φ'（x）在（0，+∞）小于零恒成立即h'（x）在（0，+∞）上单调递减因为1＜a＜2，所以h'（1）=2﹣a＞0，h'（e2）=﹣a＜0，所以在（1，e2）上必存在一个x0使得，即，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以，因为，所以，令h（x0）=0得，因为1＜a＜2，所以，，因为，所以h（x0）＜0恒成立，即h（x）＜0恒成立，综上所述，当1＜a＜2时，f（x）＜﹣1．【点评】本题考查利用导数求函数的最值、单调性以及切线的方程，注意正确求出函数的导数．。

2016-2017学年下学期期中考高二数学理科参考答案精品

2016-2017学年下学期期中考高二理科数学参考答案13．514．-10 15．1416．3 三、解答题（共6题，共70分） 17．【解析】（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是304236C C 1C 5=；…3分（2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分()124236C C 1P X 1,C 5===()214236C C P X 2C ===35，()304236C C 1P X 3C 5===，………7分∴X 8分8()5E X =。

………………………………………………………10分18．【解析】(1)连接AC 交BD 于点O ，连接OE ；在△CPA 中，E ，O 分别是边CP ，CA 的中点，∴OE ∥PA ，而OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE . ……………………4分(2)如图建立空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝2.则A (2,0,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0),∴ DE ＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，……………………5分设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量，则由00n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0220y z x y ⎧⎨⎩＋＝，＋＝取y ＝－1，得n ＝(1，－1,1)，又DA＝(2,0,0)是平面DEC 的一个法向量．……………………9分∴cos 〈n ，DA 〉＝n DA n DA⋅⋅3＝.……………………11分故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为3……………………12分 19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.()25210209C P C ξ===，()1155210519C C P C ξ===，()25210229C P C ξ===，………6分∴ξ的分布列为数学期望为0121999E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………8分（3）设(),1,2,3,4i i x y i =分别表示工作年限及相应年薪，则 2.5,6x y ==，()()()1217 1.45ˆni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑6 1.4 2.5ˆ 2.5ˆa y bx =-=-⨯=，得线性回归方程： 1.4 2.5y x =+.………………………………11分可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分20将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()2100301045151003.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ， ∴在犯错误概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ?·,i 0,1,2,3444X B P X C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫~=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：()94E X np ==.………………………………………………………………………12分 21．（Ⅰ）当2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =-=- 1'(1)1,(1),2f f =-=()fx 在(1,(1))f 处的切线方程为()112y x -=--，即2230.x y +-=……………4分（Ⅱ）由2'().a x af x x x x-=-=由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,fx x ==得1,01,a <≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增，因此，()f x 在区间[1,e]的最小值为1(1)2f =． ②若21e,1e ,a<<<<即在（上，'()0f x <，)(x f 单调递减;在上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1(1ln ).2f a a =- 2e,e ,a ≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减，因此，在()f x 区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2f a =-．综上，()2min221,01,21()1ln ,1,21,.2a f x a a a e e a a e ⎧<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(xf 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩即2e1e 2a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<．所以，a 的取值范围为21(e,e ).2…12分 22．【解析】(I )椭圆的长轴长为a =又与椭圆22124x y +=有相同的离心率2e =,故2, 2.c b == 所以椭圆M 的方程为22184x y +=………………………………………………4分 (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C 相切，故r =，即()2221m r k =+. ①……………………………………5分又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-=…………6分设()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理得1x +2x =24,12kmk -+12x x =222812m k -+，由0OA OB ⋅= 得到12x x +12y y =()21k +222812m k-++km 2412km k -++2m =0 化简得22388m k =+，② ……………………………………………………8分联立①②得283r =。

2016-2017年北京四十四中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年北京四十四中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．（5分）某一射手所得环数的分布列如表：则此射手“射击一次命中环数大于6环”的概率是（）A．0.09B．0.79C．0.88D．以上都不对2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）的展开式中的常数项为（）A．160B．﹣160C．480D．﹣4804．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．5．（5分）从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须有男生又有女生，则不同选法的种数为（）A．34B．31C．28D．256．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线7．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为：（）A．B．C．D．8．（5分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足f（x）＝f（2﹣x），且（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数z＝（2﹣i）i的虚部是．10．（5分）若（2x+1）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则该展开式的二项式系数之和为；﹣a0+a1﹣a2+a3的值为．11．（5分）若，则实数m的值为．12．（5分）若圆C的参数方程为（θ为参数），则圆C的圆心坐标为，圆C与直线x+y﹣3＝0的交点个数为．13．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为．14．（5分）已知函数f（x）＝e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣3在点（0，﹣3）处的切线与直线y＝﹣2x 平行．（Ⅰ）求实数m的值．（Ⅱ）求g（x）＝xf（x）+4x的单调区间和极值．16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．17．甲、乙两人参加一次交通知识考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．18．已知x＝1是函数的极值点．（Ⅰ）求实数a的值．（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性．19．已知椭圆，点A的坐标为（0，m）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N（均异于点A）．（Ⅰ）若直线l的方程为y＝x+2，求线段MN的长．（Ⅱ）若直线l过点（1，0），点M、N均在经点A为圆心的圆上，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，a∈R（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，恒有f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年北京四十四中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．（5分）某一射手所得环数的分布列如表：则此射手“射击一次命中环数大于6环”的概率是（）A．0.09B．0.79C．0.88D．以上都不对【解答】解：由射手所得环数的分布列得：此射手“射击一次命中环数大于6环”的概率是：P＝1﹣P（X＝4）﹣P（X＝5）﹣P（X＝6）＝1﹣0.03﹣0.04﹣0.05＝0.88．故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数＝＝+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故选：A．3．（5分）的展开式中的常数项为（）A．160B．﹣160C．480D．﹣480【解答】解：展开式的通项公式为：T r+1＝•（2x）6﹣r•＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3，∴展开式的常数项为：﹣23×＝﹣160．故选：B．4．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：x＜2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．则符合上述条件的只有选项A．故选：A．5．（5分）从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须有男生又有女生，则不同选法的种数为（）A．34B．31C．28D．25【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加环保知识竞赛，分析可得，这是组合问题，共C74＝35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1＝34种；故选：A．6．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0⇒ρ＝1或θ＝π，ρ＝1是半径为1的圆，θ＝π是一条射线．故选：C．7．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为：（）A．B．C．D．【解答】解：∵盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，∴从中取一只螺口的概率是，再次从中取一只螺口的概率是，∵有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡，∴从中取一只卡口灯泡的概率是，∴到第3次才取得卡口灯泡的概率为P＝＝，故选：D．8．（5分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足f（x）＝f（2﹣x），且（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）【解答】解：由（x﹣1）f′（x）≥0，可得x＞1时，f′（x）≥0，此时函数f （x）单调递增；x＜1时，f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减．∵满足f（x）＝f（2﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝1对称，∴f（0）≥f（1），f（2）≥f（1），∴f（0）+f（2）≥2f（1），故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数z＝（2﹣i）i的虚部是2．【解答】解：∵复数z＝（2﹣i）i＝1+2i，∴它的虚部为2．故答案为2．10．（5分）若（2x+1）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则该展开式的二项式系数之和为8；﹣a0+a1﹣a2+a3的值为1．【解答】解：①该展开式的二项式系数之和为23＝8；②令x＝1，可得：33＝a0+a1+a2+a3，令x＝﹣1，可得：﹣1＝a0﹣a1+a2﹣a3，可得：a0+a2＝13，a1+a3＝14．∴﹣a0+a1﹣a2+a3＝14﹣13＝1．故答案为：8，1．11．（5分）若，则实数m的值为﹣．【解答】解：（x2+mx）dx＝（+mx2）|＝+m＝0，∴m＝﹣，故答案为：﹣12．（5分）若圆C的参数方程为（θ为参数），则圆C的圆心坐标为（1，0），圆C与直线x+y﹣3＝0的交点个数为2．【解答】解：圆C的普通方程为：（x﹣1）2+y2＝9，所以圆心坐标为（1，0），圆心到直线x+y﹣3＝0的距离d＝＝，半径为3，且＜3，所以圆与直线x+y﹣3＝0的交点个数为2．故答案为：2．13．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为{x|x＞1}．【解答】解：令F（x）＝，则F′（x）＝，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）＝为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，得：＞，∴＜x，∴x＞1，故答案为：{x|x＞1}．14．（5分）已知函数f（x）＝e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）＝e x+．①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）＝e x+≥0，是增函数．∴①正确；②∵a∈（﹣∞，0），∴f′（x）＝e x+＝0有根x0，且f（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，+∞）上为增函数，∴函数有极小值也是最小值，②正确；③画出函数y＝e x，y＝alnx的图象，由图可知③不正确；④由②知，a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）存在最小值，且存在a使最小值小于0，且当x在定义域内无限趋于0和趋于+∞时f（x）＞0，可知存在a∈（﹣∞，0），f（x）＝e x+alnx＝0有两个根，④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣3在点（0，﹣3）处的切线与直线y＝﹣2x 平行．（Ⅰ）求实数m的值．（Ⅱ）求g（x）＝xf（x）+4x的单调区间和极值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x2+mx﹣3，可得f′（x）＝2x+m，由题设可得，f′（0）＝m＝﹣2，解得：m＝﹣2，所以f（x）＝x2﹣2x﹣3．（Ⅱ）由题意得g（x）＝xf（x）+4x＝x3﹣2x2+x，所以g′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）＝0，得x1＝，x2＝1．所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（1，+∞），递减区间是（，1）；在x＝1有极小值为0，在x＝有极大值．16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．【解答】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）＝＝＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5（Ⅱ）＝＝0.5×0.4＝0.2∴（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），故ξ的分布列P（ξ＝0）＝0.23＝0.008P（ξ＝1）＝C31×0.8×0.22＝0.096P（ξ＝2）＝C32×0.82×0.2＝0.384P（ξ＝3）＝0.83＝0.512所以Eξ＝3×0.8＝2.417．甲、乙两人参加一次交通知识考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设甲、乙两人参加交通知识考试合格的事件分别为A、B P（A）＝＝，P（B）＝．∵事件A、B相互独立，∴甲、乙两人考试均合格的概率为．即甲、乙两人考试均合格的概率为．（Ⅱ）甲答对试题数ξ依题意知ξ＝0，1，2，3，，，，．∴ξ的分布列如下：∴甲答对试题数ξ的数学期望Eξ＝．18．已知x＝1是函数的极值点．（Ⅰ）求实数a的值．（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝，若x＝1是函数的极值点，则f′（1）＝0，解得：a＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝+1，f′（x）＝，①b≥0时，令f′（x）≥0，解得：x≤1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，②b＜0时，令f′（x）≥0，解得：x≥1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增．19．已知椭圆，点A的坐标为（0，m）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N（均异于点A）．（Ⅰ）若直线l的方程为y＝x+2，求线段MN的长．（Ⅱ）若直线l过点（1，0），点M、N均在经点A为圆心的圆上，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：5x2+16x+12＝0，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝．∴|MN|＝＝＝．（II）直线l与x轴重合时，m∈R．直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为ty＝x﹣1．t＝0时，可得：m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2）．线段MN的中点Q（x0，y0）．联立，（t≠0）化为：（t2+4）y2+2ty﹣3＝0．∴y1+y2＝﹣，y1y2＝．∴y0＝＝﹣，x0＝＝＝ty0+1＝﹣+1＝．∴k AQ•（﹣）＝﹣1，∴＝t，∴﹣﹣m＝t×．可得：m＝＝，t＞0时，0＜m≤＝．t＜0时，0＞m≥﹣．综上可得：m∈．20．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，a∈R（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，恒有f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，．…（2分）因为f'（1）＝0，f（1）＝﹣2．所以切线方程是y＝﹣2．…（4分）（Ⅱ）函数f（x）＝2ax﹣（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．…（5分）当a＞0时，令f′（x）＝0，即，所以或．…（7分）当，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）＝﹣2；当时，f（x）在[1，e]上的最小值是，不合题意；当时，f（x）在（1，e）上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）＝﹣2，不合题意…（10分）（Ⅲ）设g（x）＝f（x）+2x，则g（x）＝ax2﹣ax+lnx，只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．…（10分）而当a＝0时，，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；…（11分）当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a＞0，…（12分）对于函数y＝2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴，只需△＝a2﹣8a≤0，即0＜a≤8．综上0≤a≤8．…（16分）。

北京第四中学2016-2017学年高二下学期期中考试理数试题含解析

北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理试卷分为两卷,卷（I）100分,卷（II）50分，共计150分，考试时间120分钟卷(I）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分。

1。

复数=A. +i B。

+i C. 1—i D. 1+i【答案】D【解析】，故选D.2. 下列求导正确的是A. （3x2-2）’=3xB. （log2x) ’=C。

（cosx）’=sinx D. （）’=x【答案】B，B正确;,C不正确；,D不正确。

故选B。

3. 曲线y=x·e x在x=1处切线的斜率等于A。

2e B. e C. 2 D. 1【答案】A【解析】时,，故选A。

4。

等于A. -21n 2 B。

21n 2 C。

—ln 2 D。

ln 2【答案】D【解析】故选C5. 函数f（x）=3+x lnx的单调递增区间为A. （0,）B。

（e，+∞） C. （，+∞）D。

(,e]【答案】C.。

【解析】，令，解得，故增区间为（，+∞）,故选C.6. 在复平面内，复数（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于A. 第四象限B。

第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限【答案】D考点：复数的运算及表示．7. 函数f（x）=在区间的最大值为A。

3 B。

4 C. 2 D。

5【答案】A【解析】,令，解得或（舍),当时, ;当时，;所以当时,函数有极大值，即f（x)在的最大值为3，故选A。

8. 已知f（x）=1+（1+x）+（1+x)2+（1+x)3+…+(1+x）n，则f ’0）=A. nB. n—1 C。

D. n（n+1）【答案】D【解析】,，故选D.9。

函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A. （—1,2)B. （—3，6）C。

(—∞,-3)∪（6，+∞） D. (—∞，—1）∪（2，+∞)【答案】C【解析】根据题意可得：，解得或，故选C。

点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号,我们称之为导函数的“变号零点”,则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过"轴即可.10。

北京市第四中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学

2016-2017学年北京四中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．不等式220x x +->的解集为（）．A ．{2|x x <-或1}x >B ．{}2|1x x -<<C ．{1|x x <-或2}x >D ．{}1|2x x -<<【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式220x x +->化为(1)(2)0x x -+>，求出解集即可．【解答】解：∵不等式220x x +->化为(1)(2)0x x -+>，解得2x <-或1x >；∴不等式220x x +->的解集是{2|x x <-或1}x >．故选：A ．2．在ABC △中，222a b c bc =+-则A 等于（）．A ．45︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【考点】HR ：余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵222a b c bc =+-，∴222bc b c a =+-，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===． ,(01)80A ∈︒︒，∴60A =︒．故选：C ．3．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120S =，那么110a a +的值是（）．A ．12B ．36C ．24D ．48【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】等差数列{}n a 中，由10120S =，知110(12010)2a a +=，由此能求出110a a +．【解答】解：等差数列{}n a 中，∵10120S =， ∴110(12010)2a a +=，∴11024a a +=．故选C ．4．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题中，真命题为（）．①若a b >，0c ≠，则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >； ④若a b >，则11a b <． A ．①B ．②C ．③D ．④【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】通过举反例可以得出①、②、④不正确，从而排除，由不等式的性质可得只有③正确．【解答】解：当0c <时，①不成立；当0c =时，②不成立；由不等式的性质知 ③成立，当0b =时，④不成立．综上，只有③成立，故选C ．5．在ABC △中，若2a =，b =30A =︒，则B 为（）．A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒【考点】HP ：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B ．【解答】解：由正弦定理可知sin sin a bA B=，∴1sin 2sin 2b A B a ===， ∵(0,180)B ∈︒，∴60B ∠=︒或120︒．故选B ．6．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a 和4a 成等比数列，则1a 可以等于（）．A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】依题意，2111()(23)a d a a d ⋅+=+，可求得1a ．【解答】解：∵等差数列{}n a 的公差2d =，1a ，3a 和4a 成等比数列，∴2111()(23)a d a a d ⋅+=+， ∴2140a d d +=，∴18a =-，故选：C ．7．已知实数x 、y 满足约束条件226x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则24z x y =+的最大值为（）．A ．24B ．20C ．16D ．12【考点】7C ：简单线性规划．【分析】①画可行域②z 为目标函数纵截距四倍③画直线024x y =+，平移直线过(0,2)时z 有最大值【解答】解：画可行域如图，z 为目标函数24z x y =+，可看成是直线24z x y =+的纵截距四倍，画直线024x y =+，平移直线过(2,4)A 点时z 有最大值20，故选B ．8．在下列函数中，最小值是2的是（）．A ．22x y x=+ B．0)y x > C ．1sin sin y x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．77x x y -=+【考点】7F ：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A ，x 正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B，2y ，，即0x =时取等号，但0x >，故错误；选项C ，∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin (0,1)x ∈，∴1sin 2sin y x x =+≥，当且仅当1sin sin x x=，即sin 1x =时取等号，但sin (0,1)x ∈，取不到1，故错误；选项D ，177727x x xx y -=+=+≥，当且仅当177xx=即0x =时取等号，故正确．故选：D ．9．如图所示，C 、D 、A 三点在同一水平线上，AB 是塔的中轴线，在C 、D 两处测得塔顶部B 处的仰角分别是α和β，如果C 、D 间的距离是a ，测角仪高为b ，则塔高为（）．C 1A ．sin sin sin()a b αββα--B ．cos cos cos()a αββα-C ．cos cos cos()a b αββα+-D ．sin sin sin()a αββα-【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】分别在BCD △、ABD △这两个三角形中运用正弦定理，即可求解．【解答】解：在BCD △中，sin sin CD BDCBD C=∠∠，∴sin()sin BDαβαα=-，即sin sin()a BD αβα=-，在ABD △中，sin sin AB BDADB A=∠∠，∴sin sin 90AB BDβ=︒，即sin sin sin sin()a AB BD αββαβ==-⋅，则塔高为sin sin sin()a b αββα--，故选：A ．10．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（）．A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2aD ．若10a <，则2123()(0)a a a a -->【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若120a a +>，则120a d +>，231232a a a d d +=+>，0d >时，结论成立，即A 不正确；若130a a +<，则12120a a a d +=+<，231232a a a d d +=+<，0d <时，结论成立，即B 不正确；{}n a 是等差数列，120a a <<，2132a a a >=+2a ，即C 正确；若10a <，则22123()(0)a a a a d --=-≤，即D 不正确．故选：C ．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．在ABC △中，3a =，b 2π3A ∠=，则B ∠=__________．【考点】HP ：正弦定理．【分析】由正弦定理可得sin B ，再由三角形的边角关系，即可得到角B ．【解答】解：由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即有sin 2sin 3b AB a=== 由b a <，则B A <，可得π4B =．故答案为：π4．12．数列{}n a 的前n 项和*23()n n S a n ∈-=N ，则5a =__________．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】把1n n n a s s --=代入23n n s a =-化简整理得12(3)3n n s s -+=+进而可知数列{}3n s +是等比数列，求得13s +，根据等比数列的通项公式求得数列{}3n s +的通项公式，进而根据5532s a +=求得答案．【解答】解：∵1n n n a s s --=，∴1232()3n n n n s a s s ---==- 整理得12(3)3n n s s -+=+ ∵1123s s =-， ∴13s =，∴数列{}3n s +是以6为首项，2为公比的等比数列， ∴1362n n s -+=⋅， ∴1623n n s -=⋅-， ∴45623s =⋅-， ∴553482s a +==，故答案为48．13．如果c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中：①ab ac >；②()0c b a ->；③22cb ab <；④()0ac a c -<，不一定成立的是__________（填序号）．【考点】71：不等关系与不等式．【分析】由题意可得0a >，0c <，应用不等式的基本性质判断即可．【解答】解：由c b a <<，且0ac <，可得0a >，0c <，故①、②、④一定成立，但③不一定成立，如当0b =时，不等式不成立，故答案为：③．14．设x ，y +∈R ，且满足440x y +=，则lg lg x y +的最大值是__________．【考点】7F ：基本不等式．【分析】利用对数的运算法则转化成真数为乘积形式，然后利用基本不等式求最值即可．【解答】解：2444002x y x y +⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当420x y ==时取“=”， ∴100xy ≤，∴lg lg lg lg1002x y xy +==≤．故答案为：2．15．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin2sin AC=__________．【考点】HR ：余弦定理；GS ：二倍角的正弦；HP ：正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cos C ，cos A ，即可得出结论．【解答】解：∵ABC △中，4a =，5b =，6c =，∴1625361cos 2458C +-==⨯⨯，2536163cos 2564A +-==⨯⨯，∴sin C =sin A∴32sin 21sin A C==．故答案为：1．16．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+__________．【考点】8F ：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【分析】在{a n }为等差数列中，当(,,,)m n p q m n p q ++=+∈N 时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，再根据题意得到答案．【解答】解：在{}n a 为等差数列中，当(,,,)m n p q m n p q ++=+∈N 时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故答案为：14924．三、解答题（本大题共3小题，共26分） 17．ABC △中，7BC =，3AB =，且sin 3sin 5C B =．（1）求AC 的长．（2）求A ∠的大小．【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理即可得解AC 的值．（2）由已知利用余弦定理可求cos A 的值，结合A 的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理sin sin AC AB B C =，可得：sin sin AB C AC B =，可得：5353AC ⨯==．（2）由余弦定理可得：222925491cos 22352AB AC BC A AB AC +-+-===-⋅⨯⨯，由于(0,180)A ∈︒︒，可得：120A =︒．18．若不等式2520ax x +->的解集是1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．（1）求实数a 的值．（2）求不等式ax 2﹣5x+a 2﹣1＞0的解集．【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）由二次不等式的解集形式，判断出12，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a 的值．（2）由（1）我们易得a 的值，代入不等式22510ax x a +->-易解出其解集．【解答】解：（1）∵2520ax x +->的解集是1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，∴0a <，12，2是2520ax x +-=的两根解得2a =-；（2）则不等式22510ax x a +->-可化为22530x x --+>，解得1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故不等式22510ax x a +->-的解集1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．19．设{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）证明1a d =．（2）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式．【考点】8M ：等差数列与等比数列的综合；85：等差数列的前n 项和．【分析】（1）由已知可得2214a a a ⋅=，代入等差数列的通项可转化为2111()()3a d a a d ⋅+=+，整理可得（2）结合（1）且有101109102s a d ⨯=+，联立方程可求1a ，d 及n a ．【解答】（1）证明：因1a ，2a ，4a 成等比数列，故2214a a a =，而{}n a 是等差数列，有21a a d =+，413a a d =+，于是2111()(3)a d a a d +=+，即222111123a a d d a a d ++=+，化简得1a d =．（2）解：由条件10110S =和101109102s a d ⨯=+，得到11045110a d +=，由（1），1a d =，代入上式得55110d =，故2d =，1(1)2n a a n d n =+-=，因此，数列{}n a 的通项公式为2n a n =．一、卷（II ）选填题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）20．在R 上定义运算⊙：a ⊙2b ab a b =++，则满足x ⊙(2)0x -<的实数x 的取值范围为__________．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据题中已知得新定义，列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的取值范围．【解答】解：由a ⊙2b ab a b =++，得到x ⊙(2)(2)220x x x x x -=-++-<，即220x x +-<．分解因式得(2)(1)0x x +-<，可化为2010x x +>⎧⎨-<⎩或2010x x +<⎧⎨->⎩，解得21x -<<．所以实数x 的取值范围为()2,1-．故答案为：()2,1-．21．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，634S S =，则4a =__________．【考点】89：等比数列的前n 项和；8G ：等比数列的性质．【分析】根据634S S =可求得3q ，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】解：设等比数列的公比为q ，则由634S S =知1q ≠，∴63614(1)11q q S q q--==--． ∴33q =．∴313a q =．故答案为：3．22．若锐角ABC △的面积为5AB =，8AC =，则BC 等于__________．【考点】HS ：余弦定理的应用．【分析】利用三角形的面积公式求出A ，再利用余弦定理求出BC ．【解答】解：因为锐角ABC △的面积为5AB =，8AC =，所以158sin 2A ⨯⨯⨯=所以sin A ，所以60A =︒，所以1cos 2A =，所以7BC =．故答案为：7．23．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知85b c =，2C B =，则co s C =（）．A ．725 B ．725-C ．725±D ．2425【考点】HQ ：正弦定理的应用；GL ：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sin B ，cos B ，然后利用平方关系式求出cos C 的值即可．【解答】解：因为在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知85b c =，2C B =，所以8sin 5sin 5sin 210sin cos B C B B B ===，所以4cos 5B =，B 为三角形内角，所以π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．π2C <．所以3sin 5B =．所以4324sin sin225525C B ==⨯⨯=，7cos 25C =．故选：A ．24．已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标满足不等式组4325022010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≥，则c o s P O Q∠的最小值为（）． ABC ．12D ．0【考点】7C ：简单线性规划．【分析】先画出不等式组4325022010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≥，对应的平面区域，利用余弦函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，再找到POQ ∠最大时对应的点的坐标，就可求出cos POQ ∠的最小值．【解答】解：满足不等式组4325022010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≥，的平面区域如下图示：因为余弦函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当P 与(1,7)A 重合，Q 与(4,3)B 重合时，POQ ∠最大．此时34OBk =，7OA k =．由37π4tan 1cos 34174POQ POQ POQ -∠==⇒∠=⇒∠=+⨯．故选：A ．25．已知数列1:A a ，2a ，L ，12(,03)n n a a a a n <<<L ≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P ； ②数列0，2，4，6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=，其中真命题有（）． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【考点】8B ：数列的应用．【分析】根据数列1:A a ，2a ，L ，12(,03)n n a a a a n <<<L ≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．【解答】解：∵对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的项，①数列0，1，3中，23134a a +=+=和32312a a =-=-都不是该数列中的数，故①不正确；②数列0，2，4，6，j i a a +与(13)j i a a i j -≤≤≤两数中都是该数列中的项，并且432a a -=是该数列中的项，故②正确；③若数列A 具有性质P ，则2n n na a a +=与0n n a a -=两数中至少有一个是该数列中的一项，∵120n a a a <<<L ≤，3n ≥，而2n a 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项， ∴10a =；故③正确；④∵数列1a ，2a ，3a 具有性质P ，1230a a a <<≤， ∴13a a +与31a a -至少有一个是该数列中的一项，且10a =，1︒若13a a +是该数列中的一项，则133a a a +=，∴10a =，易知23a a +不是该数列的项 ∴322a a a -=，∴1322a a a +=，2︒若31a a -是该数列中的一项，则311a a a -=或2a 或3a ，①若313a a a -=同1︒，②若312a a a -=，则32a a =，与23a a <矛盾， ③311a a a -=，则312a a =，综上1322a a a +=，故选B ．二、解答题：（本大题共2小题，共20分） 26．已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n n a a n ++=，设n n a b n=，*n ∈N ．（1）证明{}n b 是等比数列（指出首项和公比）．（2）求数列{}2log n b 的前n 项和n T ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）由12(1)n n n a a n ++=，得121n n a a n n+=⋅+．可得12n n b b +=，即可证明．（2）由（1）可知11122n n n b --=⋅=，可得122log log 21n n b n -==-．利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）证明：由12(1)n n n a a n ++=，得121n n a a n n+=⋅+．所以12n n b b +=，即12n n b b +=．又因为1111a b ==，所以数列{}n b 是以1为首项，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知11122n n n b --=⋅=，所以122log log 21n n b n -==-．则数列{}2log n b 的前n 项和(1)123(1)2n n n T n -=++++-=L ．27．已知向量1πsin ,2A ⎛⎫= ⎪⎝⎭r与(3,sin )n A A =r共线，其中A 是ABC △的内角．（1）求角A 的大小．（2）若2BC =，求ABC △面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时ABC △的形状．【考点】9C ：向量的共线定理；7F ：基本不等式；GQ ：两角和与差的正弦函数；HP ：正弦定理．【分析】（1）根据向量平行得出角2A 的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A 为三角形内角这个条件得到A ．（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件．【解答】解：（1）因为πn r r ∥，所以3sin (sin )02A A A ⋅-=；所以1cos 232022A A -+-=，12cos212A A -=，即πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为(0,π)A ∈，所以ππ11π2,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．故ππ262A -=，π3A =；（2）由余弦定理，得224b c bc =+-．又1sin 2ABC S bc A =△，而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立）所以1sin 42ABC S bc A ===△ 当ABC △的面积取最大值时，b c =．又π3A =；故此时ABC△为等边三角形．。