2016-2017年北京四中高二下学期期中数学试卷及答案解析(理科)

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1．（5分）复数=（）

A．+i B．+i C．1﹣i D．1+i

2．（5分）下列求导正确的是（）

A．（3x2﹣2）'=3x B．（log2x）'=

C．（cosx）'=sinx D．（）'=x

3．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）

A．2e B．e C．2 D．1

4．（5分）等于（）

A．﹣21n 2 B．21n 2 C．﹣ln 2 D．ln 2

5．（5分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）

A．（0，）B．.（e，+∞） C．（，+∞）D．（，e）

6．（5分）在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限

7．（5分）函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为（）

A．3 B．4 C．2 D．5

8．（5分）已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）

A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）

9．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）

A．[﹣3，6]B．（﹣3，6）C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）

10．（5分）方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是（）

A．3 B．0 C．2 D．1

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11．（5分）复数（2+i）•i的模为．

12．（5分）由曲线y=x2与y=x3所围成的封闭图形的面积是．

13．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在点P0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则P0点坐标为．

14．（5分）如图，由函数f（x）=x2﹣x的图象与x轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为．

15．（5分）已知S n=++…+，n∈N*，利用数学归纳法证明不等式S n＞

的过程中，从n=k到n=k+l（k∈N*）时，不等式的左边S k

=S k+ ．

+1

16．（5分）对于函数y=f（x），x∈D，若对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．那么函数f（x）=x3﹣x2+1，在x∈[1，2]上的几何平均数M=．

三、解答题：本大题共2小题，共20分.

17．（10分）设函数f（x）=lnx﹣x2+x．

（I）求f（x）的单调区间；

（II）求f（x）在区间[，e]上的最大值．

18．（10分）已知函数，其中a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

一、卷（II）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

19．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）

A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）20．（5分）观察（）'=﹣，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）

A．﹣f（x）B．f（x）C．g（x）D．﹣g（x）

21．（5分）若i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则|z﹣1+i|的最大值为（）A．﹣1 B．2﹣C．+1 D．2+

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

22．（5分）曲线y=x n在x=2处的导数为12，则n=．

23．（5分）设函数y=﹣x2+l的切线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为．

24．（5分）对于函数①，②，③f（x）=cos （x+2）﹣cosx，

判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1．能使命题甲、乙均为真的函数的序号是．

三、解答题：本大题共2小题，共20分

25．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2．

（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；

（II）若当a=﹣1时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．

26．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3ax+e，g（x）=1﹣lnx，其中e为自然对数的底数．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；

（Ⅱ）设函数，若F（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；

（Ⅲ）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0）．若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围．

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1．（5分）复数=（）

A．+i B．+i C．1﹣i D．1+i

【解答】解：==1+i．

故选：D．

2．（5分）下列求导正确的是（）

A．（3x2﹣2）'=3x B．（log2x）'=

C．（cosx）'=sinx D．（）'=x

【解答】解：（3x2﹣2）'=6x，（log2x）'=，（cosx）'=﹣sinx，（）'=﹣，故选：B．

3．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）

A．2e B．e C．2 D．1

【解答】解：曲线y=x•e x，可得y′=e x+xe x，

曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率：e+e=2e．

故选：A．

4．（5分）等于（）

A．﹣21n 2 B．21n 2 C．﹣ln 2 D．ln 2

【解答】解：=lnx|=ln4﹣ln2=2ln2﹣ln2=ln2，

故选：D．