符号法则、单个折射球面成像

dl ' a= dl 则有 2 d l ′ nl ′ n′ 2 α= = 2 = ⋅β dl n′l n
由此式可见，如果物体是一个沿轴放置的正方形， 由此式可见，如果物体是一个沿轴放置的正方形，因垂轴放 大率和轴向放大率不一致,则其像不再是正方形。还可以看出， 大率和轴向放大率不一致,则其像不再是正方形。还可以看出， 折射球面的轴向放大率恒为正值，这表示物点沿轴移动， 折射球面的轴向放大率恒为正值，这表示物点沿轴移动，其 像点以同样方向沿轴移动。 像点以同样方向沿轴移动。
h i= r
(7)
h = lu = l ′u ′
(8)
§1.4 单个折射球面近轴区成像
将（6）式中的第一、第四式i和i´代入第二式，并利用 式中的第一、第四式i 代入第二式， 可以导出以下三个重要公式： （8）式，可以导出以下三个重要公式：
1 1 1 1 n − = n ' − = Q r l r l'
n'− n ϕ= r
(16)
以米为单位时， 的单位称为折光度，以字母D 当r以米为单位时，ϕ 的单位称为折光度，以字母D表 以米为单位时 例如， =1.5，n=1.0，r=100mm的球面 的球面， 示。例如，n´=1.5，n=1.0，r=100mm的球面，ϕ= 5D. 单折射球面两焦距和光焦度之间的关系为
B
n
1.垂轴放大率 1.垂轴放大率 β β＝y ' / y 定义 ∵ ∆ABC 相似于 ∆A B C
' '
y A
E
n'
−u
h o D
u′ c
A' − y' B'
r
−l
l'
∴ 若
− y ' / y = (l ' − r ) / r − l n ' (1 / r − 1 / l ' ) = n(1 / r − 1 / l )
n'−n n' u '−nu = h r
(9)
(10)
n' n n'− n − = l' l r
(11)
一.物像公式
若物点位于轴上左方无限远处，即物距l=－ 若物点位于轴上左方无限远处，即物距l=－∞，此时入 l= 射光线平行于光轴，经球面折射后交光轴于F 射光线平行于光轴，经球面折射后交光轴于F点，如图 所示。这个特殊点是轴上无限远物点的像点， 所示。这个特殊点是轴上无限远物点的像点，称为球面 的像方主焦点或第二焦点。从顶点O到F´的距离称为第 的像方主焦点或第二焦点。从顶点O 二主焦距， 表示。 l=－ 代入（11） 二主焦距，用f´表示。将l=－∞代入（11）式可得
补充一点：
一个沿轴向有一定厚度的物经成像后， 一个沿轴向有一定厚度的物经成像后，其轴向 高度将不再与物相似。 高度将不再与物相似。 如图所示
3.角放大率γ 3.角放大率γ 角放大率 在近轴区域内，通过物点的光线经过光学系统后， 在近轴区域内，通过物点的光线经过光学系统后，必然通过 的比值， 相应的像点， 相应的像点，这样一对共轭光线与光轴夹角u 和u′的比值， 称为角放大率，以希腊字母γ 称为角放大率，以希腊字母γ表示
n' n n'− n − = l' l r
式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径有关， 式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径有关，因而对 于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量， 于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，它 表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度， 表示： 表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以ϕ表示：
（3） 光线与光轴夹角：
源自文库
由光轴转向光线锐角，顺时针为正， 逆时针为负。
（4） 光线与折射面法线的夹角：
由光线经锐角转向法线，顺时针为 正，逆时针为负。
（5）
光轴与法线的夹角： 由光轴经锐角转向法线，顺时针为正 逆时针为负。
（6） 折射面间隔 ： d
由前一面顶点到后一面顶点方向，顺光 线方向为正，逆光线方向为负。 不同教材对符号有不同的规定，自成体系 只要按某种规则计算，就要始终如一，这 样才不致影响计算结果。 上－－正 下－－负 线段 顺－－正 逆－－负 光轴 光线 法线 角度
在利用上式对光路进行计算时， 在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物 方光轴上无限远处， 方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的 光束是平等于光轴的平等光束， L=－ U=0， 光束是平等于光轴的平等光束，即L=－∞，U=0， 如下图所示。此时，不能用（ 如下图所示。此时，不能用（1）式计算入射角 I，而入射角应按下式计算
讨论:
① 当
n = n ' 时 β = 1 无折射面
' ② β > 0 正像, 物像同方向, y, y 同号
β < 0 倒像,物像逆方向, y, y ' 异号 ③
④ β > 0 l ,l ' 同号物像虚实相反(物像同侧)
β < 0 l ,l ' 异号物像虚实相同（物像异侧） ⑤
⑥ β >1 放大，β < 1 缩小
(１) (２)
由图可知
ϕ = I +U = I′ +U ′
U ′ = I +U − I′
sin U ′ sin I ′ = r L′ − r sin I ′ L′ = r + r ⋅ sin U ′
(3)
所以
同样，在△A′EC中应用正弦定理 同样，
化简后得
(4)
(1)式～（4 式就是计算含轴面（子午面） (1)式～（4）式就是计算含轴面（子午面）内 光线光路的基本公式， 光线光路的基本公式，可由已知的L和U 通过上 列四式依次求出U′和L′。由于折射面对称于 光轴， 发出的任一条光线， 光轴，对于轴上点A 发出的任一条光线，可以 表示该光线绕轴一周所形成的锥面上全部光线 的光路，显然这些光线在像方应交于光轴上同 的光路，显然这些光线在像方应交于光轴上同 一点。 一点。 由公式可知， 由公式可知，当L为定值时，L是角U的函数。 为定值时， 是角U的函数。 为轴上物点，发出同心光束， 若A为轴上物点，发出同心光束，由于各光线 具有不同的U角值，所以光束经球面折射后， 具有不同的U角值，所以光束经球面折射后， 将有不同的L 也就是说， 将有不同的L值，也就是说，在像方的光束不 和光轴交于一点，即失去了同心性。因此， 和光轴交于一点，即失去了同心性。因此，当 轴上点以宽光束经球面成像时， 宽光束经球面成像时 轴上点以宽光束经球面成像时，其像是不完善 这种成像缺陷为像差 像差。 的，这种成像缺陷为像差。
l − r i = u r n i' = i n' u ' = i + u − i' i' l'= r + r u'
(6)
当光线平行于光轴时，（5 式变为： 当光线平行于光轴时，（5）式变为： ，（
由（6）式中可以看出，当u角改变k倍时， i,i´, 式中可以看出， 角改变k倍时， i,i´ 亦相应改变k 表示式中的i /u´保持不变， u´亦相应改变k倍，而l´表示式中的i´/u´保持不变， 不随u角的改变而改变。 即l´不随u角的改变而改变。即表明由物点发出的一 束细光束经折射后仍交于一点，其像是完善像， 束细光束经折射后仍交于一点，其像是完善像，称 高斯像。高斯像的位置由l 决定， 为高斯像。高斯像的位置由l´决定，通过高斯像点 垂直于光轴的像面，称为高斯像面 高斯像面。 垂直于光轴的像面，称为高斯像面。构成物像关系 的这一对点，称为共轭点 共轭点。 的这一对点，称为共轭点。 显然，对于近轴点，如下关系成立： 显然，对于近轴点，如下关系成立：
作业
习 预 题：
5-7 P277
习：
P257---259 单个折射球面成像性质 P262---263 球面反射成像
再
见
§5.5 单个折射球面近轴区成像性质 (放大率公式) 一、单折射球面近轴区成像光路图
B
n
E
−u
n'
y A
h o D
u′ c
A' − y' B'
r
−l
l'
对B点的物点而言，BB´相当于其光轴（辅轴） ，那么 点的物点而言，BB´相当于其光轴（辅轴） 一定成像于B AB上每一点都如此 那么， 上每一点都如此， B一定成像于B´点。AB上每一点都如此，那么，A´B´就 AB的完善像 的完善像。 是AB的完善像。
n' l' = f ' = r n'− n
同理有球面的第一主焦点F及第一主焦距f 同理有球面的第一主焦点F及第一主焦距f，且
(12)
n f =− r n'− n
(13)
f ' − n' = f n
二.高斯公式和牛顿公式
f' f + =1 l′ l
(14)
x ⋅ x′ = f ⋅ f ′
(15)
三.光焦度 光焦度
第一章
几何光学基础
§1.3 光路计算
所谓成像过程，就是物光束经光学系统逐次折、 所谓成像过程，就是物光束经光学系统逐次折、反射 的结果。 的结果。 光在各向同性、均匀介质中总是沿直线传播的改变方 光在各向同性、 向只有在界面上进行，所以， 向只有在界面上进行，所以，把单个折射球面的问题搞清 楚了，那么由多个球面组成的系统的问题亦就迎刃而解。 楚了，那么由多个球面组成的系统的问题亦就迎刃而解。
利用
n = n'
l = l'
无界面
β =1
未成像，无意义
l −r n l −y =− ⋅ = r −l n′ l y
' '
'
nl β= n′l
'
注意：垂轴放大率是物截距 l
∵ ∴
的函数，即物 点位于不同位置其 β 是不同的。 n ' / l ' − n / l = ( n ' − n) / r l ' / n ' = [(n ' − n) / r + n / l ]−1 n l' β＝ ⋅ = ( n ) /[(n ' − n) / r + n / l ] l n′ l ( n ' − n) l = 1 /[1 + ⋅ ] ∝ l −1 或 l r n −1 ' n >n 时 β ∝l n' < n 时 β ∝ l
n' n ϕ = =− f′ f
(17)
作业(1):一个折射率为1.5的玻璃哑铃，长为20cm， 作业(1):一个折射率为1.5的玻璃哑铃，长为20cm，两端 (1):一个折射率为1.5的玻璃哑铃 20cm 的曲率半径为2.0cm．若在离哑铃左端５.0cm处 的曲率半径为2.0cm．若在离哑铃左端５.0cm处 2.0cm 的轴上有一物点，试求象的位置和性质。 的轴上有一物点，试求象的位置和性质。
h sin I = r
h为光线的入射高度。 为光线的入射高度。
(5)
三.近轴光的光路计算公式
如果限制U角在一个很小的范围内，即从A 如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出的 光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于U 光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于U 角很小，其相应的I 等也很小， 角很小，其相应的I、I´、U´等也很小，这时这些角 的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u,i,i´, 的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u,i,i´ u,i,i 来表示。近轴光的光路计算公式可直接由（ u´来表示。近轴光的光路计算公式可直接由（1） ～（4 式～（4）式得到
⑦ β = 0 l → −∞ 即无穷远物将在某点缩 为一点
2.轴向放大率α 2.轴向放大率α 轴向放大率 对于有一定体积的物体，除垂轴放大率外， 对于有一定体积的物体，除垂轴放大率外，其轴向也有尺 故还有一个轴向放大率。 寸，故还有一个轴向放大率。轴向放大率是指光轴上的一 对共轭点沿轴移动量之间的关系。 对共轭点沿轴移动量之间的关系。如果物点沿轴移动一微 小量dl 相应地像移动dl dl， dl´ 轴向放大率用希腊字母α 小量dl，相应地像移动dl´，轴向放大率用希腊字母α 表 示，定义为
一、 基本概念与符号规则
设在空间存在如下一个折射球面：
r: o:
L: ' L:
折射球面曲率半径 顶点 物方截距 像方截距 物方孔径角 像方孔径角
U: ' U:
符号规则：光线方向自左向右
（1） 沿轴线段：
以顶点O为原点，光线到光轴交点或 球心，顺光线为正，逆光线为负。
（2） 垂轴线端：
光轴以上为正，光轴以下为负
二、单个折射球面的光路计算公式
光线的单个折射球面的光路计算， 光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单个折射球面 的结构参量n、n′和r，由已入射光线坐标L 和U，计算折射后 出射光线的坐标L′和U′。 在△AEC中，应用正弦定理有 AEC中
sin( −U ) sin(180° − I ) sin I = = r r−L r−L L−r 或 sin I = sin U r n 由折射定律得 sin I ′ = sin I n′