模式识别(4-1)线性判别函数
模式识别线性判别函数.ppt
5.3 感知准则函数（Perceptron）
可以用梯度下降法求使Jp(a)最小的a*。
J (a)
J p (a)
p
a
( y) yYe
Ye 是被a所错分的样本集。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
函数Jp(a)在某点ak的梯度▽Jp(ak)是一 个向量，其方向是Jp(a)增长最快的方向， 而负梯度是减小最快的方向。 ∴ 沿梯度方向→极大值
yi
5.3 感知准则函数（Perceptron）
二．感知准则函数及其梯度下降算法
设有一组样本y1, …, yN（规范的 增广样本向量）。目的是求一a*，使 得a*Tyi>0, i=1, 2, …, N。
5.3 感知准则函数（Perceptron）
构造一个准则函数，
J
(a)
p
(aT
y)
yYe
希望根据给出的已知类别的训练样 本，确定参数w和w0.
5.1 引言
对分类器的性能 提出要求
利用各种
准则函数 目标函数
表示
使所确定的w和w0尽可能 满足这些要求。
对应于准则函数的最优化 （方法），求准则函数的
极值问题。
5.1 引言
线性判别函数分类的错误率可能比 贝叶斯错误率大，但它简单，容易实 现，它是P.R.中最基本的方法之一，人 们对它进行了大量的研究工作。
模式识别(4-1)
§4.2 Fisher线性判别
Fisher线性判别函数是研究线性判别函数中最 有影响的方法之一。对线性判别函数的研究就 是从R.A.Fisher在1936年发表的论文开始的。
§4.2 Fisher线性判别
设计线性分类器： g(x) wT x + w0
➢首先要确定准则函数； ➢然后再利用训练样本集确定该分类器的参数，以求使所确 定的准则达到最佳。
w
x = xp + r w , g(x)= r w
x2
x p是x在H 上的投影向量 r是x到H的垂直距离
w 是w方向上的单位向量 w
w x
r
xp
x1
H: g=0
线性判别函数的几何意义
令 g(x) wT x w0 = r w
若x为原点，则g(x) w0
原点到超平面H的距离：r0
w0 w
w0 0 原点在H的正侧 w0 0 原点在H的负侧 w0 0 H通过原点
一些基本参量的定义
2.在一维Y空间
➢各类样本均值
1 mi Ni
y,
yYi
i 1, 2
➢ 样本类内离散度、总类内离散度和类间离散度
Si ( y mi )2, yYi
Sw S1 S2 Sb (m1 m2 )2
i 1, 2
§4.2 Fisher线性判别
根据Fisher选择投影方向w的原则：使原样本向量在该方向上 的投影能兼顾：
mi
1 Ni
yYi
y
1 Ni
xX i
wT x =
wT mi ,
i 1, 2
Sb (m1 m2 )2 (wT m1 - wT m2 )2 = wT (m1 - m2 )(m1 - m2 )T w = wT Sbw
模式识别第二章(线性判别函数法)
2类判别区域 d21(x)>0 d23(x)>0 3类判别区域 d31(x)>0 d32(x)>0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x1
d23(x)为正
d32(x)为正
d12(x)为正
d21(x)为正
32
i j 两分法例题图示
33
3、第三种情况（续）
d1 ( x) d2 ( x)
12
2.2.1 线性判别函数的基本概念
• 如果采用增广模式，可以表达如下
g ( x) w x
T
x ( x1 , x 2 , , x d ,1)
w ( w1 , w 2 , , w d , w d 1 ) T
T
增广加权向量
2016/12/3
模式识别导论
13
2.1 判别函数(discriminant function) 1．判别函数的定义 直接用来对模式进行分类的准则函数。
模式识别导论
11
2.2.1 线性判别函数的基本概念
• 在一个d维的特征空间中，线性判别函数的
一般表达式如下
g ( x ) w1 x1 w 2 x 2 w d x d w d 1
g ( x ) w x w d 1
T
w为 加 权 向 量
2016/12/3
模式识别导论
1
d1 ( x ) d3 ( x )
2
3
d2 ( x) d3 ( x)
34
多类问题图例（第三种情况）
35
上述三种方法小结:
当c
但是
3 时，i j
法比
i i
法需要更多
模式识别第4章 线性判别函数
w1。
44
4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 4.3.2 权空间、解矢量与解空间
(3) 解空间
w1
先看一个简
单的情况。设一
维数据1，2属于
w0
1, -1，-2属
于2 求将1和
2区分开的w0 ，
w1。
45
4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 4.3.2 权空间、解矢量与解空间
(3) 解空间
53
第四章 线性判别方法
4.1 用判别域界面方程分类的概念
有 4.2 线性判别函数 监 4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 督 4.4 Fisher线性判别 分 4.5 一次准则函数及梯度下降法 类 4.6 二次准则函数及其解法
4.7 广义线性判别函数
54
4.4 Fisher线性判别
这一工作是由R.A.Fisher在1936年的论文中 所提出的，因此称为Fisher线性判别方法。
0123456789
x1
d23(x)为正
d32(x)为正 d12(x)为正 d21(x)为正
i j两分法例题图示
24
25
3、第三种情况（续）
d1(xr) d2(xr)
1
2
d1(xr ) d3(xr )
3
d2 (xr ) d3(xr )
多类问题图例（第三种情况）
26
27
上述三种方法小结:
8
4.2 线性判别函数
9
10
11
d3(xr) 0
不确定区域
r
xr xrxr xr xr
x2
?
d1(x) 0
1
2
3
x1 d2(xr ) 0
模式识别总结
模式识别压轴总结
另外，使用欧氏距离度量时，还要注意模式样本测量值的选取，应该是有效 反映类别属性特征（各类属性的代表应均衡） 。但马氏距离可解决不均衡（一个 多，一个少）的问题。例如，取 5 个样本，其中有 4 个反映对分类有意义的特征 A，只有 1 个对分类有意义的特征 B，欧氏距离的计算结果，则主要体现特征 A。
信息获取 预处理 特征提取与选择 聚类 结果解释
1.4 模式识别系统的构成 基于统计方法的模式识别系统是由数据获取， 预处理， 特征提取和选择， 分类决策构成
2
模式识别压轴总结
1.5 特征提取和特征选择 特征提取 (extraction)：用映射（或变换）的方法把原始特征变换为较少 的新特征。 特征选择(selection) ：从原始特征中挑选出一些最有代表性，分类性能最 好的特征 特征提取/选择的目的，就是要压缩模式的维数，使之便于处理。 特征提取往往以在分类中使用的某种判决规则为准则，所提取的特征使在 某种准则下的分类错误最小。为此，必须考虑特征之间的统计关系，选用 适当的变换，才能提取最有效的特征。 特征提取的分类准则：在该准则下，选择对分类贡献较大的特征，删除贡 献甚微的特征。 特征选择：从原始特征中挑选出一些最有代表性、分类性能最好的特征进 行分类。 从 D 个特征中选取 d 个,共 CdD 种组合。 － 典型的组合优化问题 特征选择的方法大体可分两大类： Filter 方法：根据独立于分类器的指标 J 来评价所选择的特征子集 S，然后 在所有可能的特征子集中搜索出使得 J 最大的特征子集作为最优特征子 集。不考虑所使用的学习算法。 Wrapper 方法：将特征选择和分类器结合在一起，即特征子集的好坏标准 是由分类器决定的，在学习过程中表现优异的的特征子集会被选中。
模式识别(山东联盟)智慧树知到课后章节答案2023年下青岛大学
模式识别（山东联盟）智慧树知到课后章节答案2023年下青岛大学青岛大学第一章测试1.关于监督模式识别与非监督模式识别的描述正确的是答案:非监督模式识别对样本的分类结果是唯一的2.基于数据的方法适用于特征和类别关系不明确的情况答案:对3.下列关于模式识别的说法中,正确的是答案:模式可以看作对象的组成成分或影响因素间存在的规律性关系4.在模式识别中，样本的特征构成特征空间，特征数量越多越有利于分类答案:错5.在监督模式识别中，分类器的形式越复杂，对未知样本的分类精度就越高答案:错第二章测试1.下列关于最小风险的贝叶斯决策的说法中正确的有答案:条件风险反映了对于一个样本x采用某种决策时所带来的损失;最小风险的贝叶斯决策考虑到了不同的错误率所造成的不同损失;最小错误率的贝叶斯决策是最小风险的贝叶斯决策的特例2.我们在对某一模式x进行分类判别决策时，只需要算出它属于各类的条件风险就可以进行决策了。
答案:对3.下面关于贝叶斯分类器的说法中错误的是答案:贝叶斯分类器中的判别函数的形式是唯一的4.当各类的协方差矩阵相等时，分类面为超平面，并且与两类的中心连线垂直。
答案:错5.当各类的协方差矩阵不等时，决策面是超二次曲面。
答案:对第三章测试1.概率密度函数的估计的本质是根据训练数据来估计概率密度函数的形式和参数。
答案:对2.参数估计是已知概率密度的形式，而参数未知。
答案:对3.概率密度函数的参数估计需要一定数量的训练样本，样本越多，参数估计的结果越准确。
答案:对4.下面关于最大似然估计的说法中正确的是答案:在最大似然函数估计中，要估计的参数是一个确定的量。
;在最大似然估计中要求各个样本必须是独立抽取的。
;最大似然估计是在已知概率密度函数的形式，但是参数未知的情况下，利用训练样本来估计未知参数。
5.贝叶斯估计中是将未知的参数本身也看作一个随机变量，要做的是根据观测数据对参数的分布进行估计。
答案:对第四章测试1.多类问题的贝叶斯分类器中判别函数的数量与类别数量是有直接关系的。
模式识别感知器算法求判别函数
模式识别感知器算法求判别函数
y = sign(w · x + b)
其中，y表示分类结果（1代表一个类别，-1代表另一个类别），x 表示输入特征向量，w表示权重向量，b表示偏置项，sign表示取符号函数。
判别函数的求解过程主要包括以下几个步骤：
1.初始化权重向量和偏置项。
一般可以将它们设置为0向量或者随机向量。
2.遍历训练集中的所有样本。
对于每个样本，计算判别函数的值。
4.如果分类错误，需要调整权重和偏置项。
具体做法是使用梯度下降法，通过最小化误分类样本到超平面的距离来更新权重和偏置项。
对于权重向量的更新，可以使用如下公式：
w(t+1)=w(t)+η*y*x
对于偏置项的更新，可以使用如下公式：
b(t+1)=b(t)+η*y
5.重复步骤2和步骤4，直到所有样本都分类正确或达到停止条件。
需要注意的是，如果训练集中的样本不是线性可分的，则判别函数可能无法达到100%的分类准确率。
此时，可以通过增加特征维度、使用非线性变换等方法来提高分类效果。
总结起来，模式识别感知器算法通过判别函数将输入数据分类为两个类别。
判别函数的求解过程是通过调整权重向量和偏置项，使用梯度下降法最小化误分类样本到超平面的距离。
这个过程是一个迭代的过程，直到所有样本都分类正确或达到停止条件。
模式识别课件第四章线性判别函数
详细描述
语音识别系统使用线性判别函数来分析语音信号的特征，并将其映射到相应的 文本或命令。通过训练，线性判别函数能够学习将语音特征与对应的文本或命 令关联起来，从而实现语音识别。
自然语言处理
总结词
线性判别函数在自然语言处理中用于文本分类和情感分析。
偏置项。
线性判别函数具有线性性质 ，即输出与输入特征向量之 间是线性关系，可以通过权
重矩阵和偏置项来调整。
线性判别函数对于解决分类 问题具有高效性和简洁性， 尤其在特征之间线性可分的 情况下。
线性判别函数与分类问题
线性判别函数广泛应用于分类问题，如二分类、多分类等。
在分类问题中，线性判别函数将输入特征向量映射到类别标签上，通过设置阈值或使用优化算法来确定 分类边界。
THANKS
感谢观看
深度学习在模式识别中的应用
卷积神经网络
01
卷积神经网络特别适合处理图像数据，通过卷积层和池化层自
动提取图像中的特征。循环神网络02循环神经网络适合处理序列数据，如文本和语音，通过捕捉序
列中的时间依赖性关系来提高分类性能。
自编码器
03
自编码器是一种无监督的神经网络，通过学习数据的有效编码
来提高分类性能。
详细描述
自然语言处理任务中，线性判别函数被用于训练分类器，以将文本分类到不同的 主题或情感类别中。通过训练，线性判别函数能够学习将文本特征映射到相应的 类别上，从而实现对文本的分类和情感分析。
生物特征识别
总结词
线性判别函数在生物特征识别中用于身份验证和安全应用。
详细描述
生物特征识别技术利用个体的生物特征进行身份验证。线性判别函数在生物特征识别中用于分析和比较个体的生 物特征数据，以确定个体的身份。这种技术广泛应用于安全和隐私保护领域，如指纹识别、虹膜识别和人脸识别 等。
模式识别 张学工
x j Y i
y
j
j
, i 1,2
~ S i2
x j Y i
(y
~ ) 2 , i 1,2 m i
~ ~2 ~ 2 S w S1 S 2 ~ ~ m ~ )2 S b2 (m 1 2
Fisher 准则函数(Fisher’s Criterion)：
~ m ~ )2 (m 2 max J F ( w) ~12 ~ S1 S 22
T
得
* (Y T Y ) 1 Y T b Y b
Y (Y T Y ) 1 Y T
：伪逆
T ˆd ˆ 方阵，一般非奇异） （Y Y 是 d
Xuegong Zhang, Tsinghua University
18
张学工《模式识别》教学课件
几个关系： 1. 若 b 取为
*
N / N 1 , if y i 1 bi ， N / N 2 , if y i 2
类间离散度矩阵 between-class scatter
Xuegong Zhang, Tsinghua University
S b ( m1 m 2 )( m1 m 2 ) T
6
张学工《模式识别》教学课件
在 Y 空间（一维投影） ：
类均值 类内离散度 总类内离散度 类间离散度
~ 1 m i Ni
T 如果样本 y k 被错分，则有 yk 0 ，因此可定义如下的感知准则函数：
J P ( )
y j Y
( T y j )
k
其中 Y k 是被 错分样本的集合。
Xuegong Zhang, Tsinghua University
线性判别函数
线性判别函数
4最小错分样本数准则
参考向量对解性质的影响
若b=(n/n1(u1),n/n2(u2)),则所得解与Fisher解等价;
当样本数趋于无穷时,取b=(1,1,…,1),则所得判别 函数能以最小均方误差逼近Bayes判别函数.
线性判别函数
4最小错分样本数准则
搜索法 准则函数
Jq(w)=S(sgnwxi) 即不等式组wxi>0中成立的不等式个数. 使准则函数取最大值的w即要求的w*.
线性判别函数
2Fisher线性判别
求解方法
Fisher解
kw S S w
T
1 T W B
S (m1 m2 )(m1 m2 ) w
T
1 W
T
w cS (m1 m2 )
T
1 W
线性判别函数
2Fisher线性判别
一维分类原则
当投影前维数和样本数都很大时,可采用Bayes决 策规则,从而获得一种在一维空间的最优分类. 如上述条件不满足,也可利用先验知识选定分界阈 值点y,以便进行分类判别. y=(m1+m2)/2
线性判别函数
3感知准则函数
准则函数（Perceptron Function）
J P (w)
xX e
wx
其中Xe 是被权向量w错分的样本集合.当x被错分 后,wx<=0或–wx>=0.我们的任务是寻找使JP(w) 极小(至0)的权向量w.
线性判别函数
3感知准则函数
梯度下降法
准则函数在某点wk 的梯度方向反映了函数变化率 最大的方向，故在求准则函数极小值时，沿负梯 度方向搜索有可能最快地找到极小值。 先任意选择一个初始权向量，沿梯度方向进行递 推搜索，因而可构造迭代算法：
模式识别3
Ch4 线性判别函数4.1 引言P(x/w i)和P(w i)已知条件下，利用样本估计P(x/w i)的未知参数，再利用贝叶斯定理将其转换成后验概率P(w i/x)，并根据后验概率的大小来进行分类决策。
实际问题：样本空间的类条件概率密度的形式常难确定，利用Parzen窗等非参数方法估计分布又需要大量样本，而且随着特征空间维数的增加所需的样本数急剧增加。
因此，不去考虑分类系统概率密度，而是利用样本直接统计各类器。
Æ即首先给定条件判别函数，然后利用样本集确定出判别函数中的未知参数。
假定g(x)=w T x+w0对于C类问题，定义C个判别函数g i(x)=w i T x+w i0，i=1,2,···,c，用样本来估计w i和w0，并把未知样本x内到具有最大判别函数值的类别中去。
最简单的判别函数是线性函数，最简单的分界面是超平面Æ利用线性判别函数所产生的错误率或风险比贝叶斯分类器的大。
但它简单，容易实现，计算和存储量小；是实际应用中最常用的方法之一。
4.4.1 线性判别函数的基本概念g(x)=w T x+w0（4-1）对于两类问题g(x)=g1(x)-g2(x)如果12()0()0()0g x x wg x x wg x x>∈⎧⎪<∈⎨⎪=⎩任意取值（4-2）g(x)≥0定义了一个决策面。
假定x1和x2都在决策面H上，则w T x1+w0= w T x2+w0w T(x1- x2)=0 （4-4）证明：w的超平面H上任一向量正交，即w是H的法向量。
一般来说，一个超平面H把特征空间分成两个半空间，即对w1类的决策域Ж1和w2类的决策域Ж2。
当x在Ж1中时，g(x)>0，该决策面的法向量指向Ж1。
判别函数g (x )可以看成是特征空间中原点x 到超平面的距离的一种代数度量。
x2x1xw xp图4.1若把x 表示为x = x p +r (w/||w ||)（4-5） p ：x 在H 上的投影向量；r：x在H上的垂直距离；w/||w||：w方向上的单位向量。
模式识别课后习题答案
– (1) E{ln(x)|w1} = E{ln+1(x)|w2} – (2) E{l(x)|w2} = 1 – (3) E{l(x)|w1} − E2{l(x)|w2} = var{l(x)|w2}（教材中题目有问题） 证∫ 明ln+：1p对(x于|w(12))，dxE={ln∫(x()∫p(|wp(x(1x|}w|w=1)2))∫n)+nl1nd(xx)所p(x以|w∫，1)Ed{xln=(x∫)|w(1p(}p(x(=x|w|Ew1)2{))ln)n+n+11d(xx)又|wE2}{ln+1(x)|w2} = 对于(2)，E{l(x)|w2} = l(x)p(x|w2)dx = p(x|w1)dx = 1
对于(3)，E{l(x)|w1} − E2{l(x)|w2} = E{l2(x)|w2} − E2{l(x)|w2} = var{l(x)|w2}
• 2.11 xj(j = 1, 2, ..., n)为n个独立随机变量，有E[xj|wi] = ijη，var[xj|wi] = i2j2σ2，计 算在λ11 = λ22 = 0 及λ12 = λ21 = 1的情况下，由贝叶斯决策引起的错误率。（中心极限 定理）
R2
R1
容易得到
∫
∫
p(x|w2)dx = p(x|w1)dx
R1
R2
所以此时最小最大决策面使得P1(e) = P2(e)
• 2.8 对于同一个决策规则判别函数可定义成不同形式，从而有不同的决策面方程，指出 决策区域是不变的。
3
模式识别(第二版)习题解答
模式识别-判别函数
di (X ) maxdk X , k 1,, M , 若X i
x2
d1(X) - d2 X 0
+-
识别分类时：
1
d1 d2 d1 d3
d2 d1 d2 d3
d1(X) - d3X 0
+ -
判别界面需
2
要做差值。对ωi
类，应满足：
x1
+
1
CM2
M M -1
2!
例 已知dij(X)的位 置和正负侧，分析三 类模式的分布区域 。
2
O
+
- d12 ( X ) 0 x1
例 一个三类问题，三个判决函数为：
d12 ( X ) -x1 - x2 + 5 d13( X ) -x1 + 3 d23( X ) -x1 + x2 问模式 X [4,3]T 属于哪类？
di>其他所有d
0
d3 d1
3
d3 d2
+ -
d2 (X) - d3X 0
例 一个三类模式（M=3）分类器，其判决函数为：
d1( X ) -x1 + x2 d2 ( X ) x1 + x2 -1 d3( X ) -x2 试判断X0=[1,1]T属于哪一类，且分别给出三类的判决界面。
- x2 +1 0
x2
4
d1(X ) -x1 + x2 +1
d2 (X ) x1 + x2 - 4
d3(X ) -x2 +1
+
d1 ( X )
-
0
(7, 5)
《模式识别》(边肇祺)习题答案
• 2.13 把连续情况的最小错误率贝叶斯决策推广到离散情况，并写出其判别函数。 • 2.14 写出离散情况条件风险R(ai |x)的定义，并指出其决策规则。 解： R(ai |x) = = R(ak |x) = min
c ∑ j =1 c ∑ j =1
λij P (wj |x) λij p(x|wj )P (wj )////omit the same part p(x)
1
模式识别(第二版)习题解答
§1
绪论
略
§2
贝叶斯决策理论
• 2.1 如果只知道各类的先验概率，最小错误率贝叶斯决策规则应如何表示？ 解：设一个有C 类，每一类的先验概率为P (wi )，i = 1, ..., C 。此时最小错误率贝叶斯 决策规则为：如果i∗ = max P (wi )，则x ∈ wi 。
• 2.4 分别写出在以下两种情况 1. P (x|w1 ) = P (x|w2 ) 2. P (w1 ) = P (w2 ) 下的最小错误率贝叶斯决策规则。 解： 当P (x|w1 ) = P (x|w2 )时，如果P (w1 ) > P (w2 )，则x ∈ w1 ，否则x ∈ w2 。 当P (w1 ) = P (w2 )时，如果P (x|w1 ) > P (x|w2 )，则x ∈ w1 ，否则x ∈ w2 。 • 2.5 1. 对c类情况推广最小错误率率贝叶斯决策规则； 2. 指出此时使错误率最小等价于后验概率最大，即P (wi |x) > P (wj |x) 对一切j ̸= i 成立时，x ∈ wi 。 2
p(x|w2 )dx =
R2
p(x|w1 )dx
所以此时最小最大决策面使得P1 (e) = P2 (e) • 2.8 对于同一个决策规则判别函数可定义成不同形式，从而有不同的决策面方程，指出 决策区域是不变的。
模式识别第二版答案完整版
1. 对c类情况推广最小错误率率贝叶斯决策规则； 2. 指出此时使错误率最小等价于后验概率最大，即P (wi|x) > P (wj|x) 对一切j ̸= i
成立时，x ∈ wi。
2
模式识别(第二版)习题解答
解：对于c类情况，最小错误率贝叶斯决策规则为： 如果 P (wi|x) = max P (wj|x)，则x ∈ wi。利用贝叶斯定理可以将其写成先验概率和
(2) Σ为半正定矩阵所以r(a, b) = (a − b)T Σ−1(a − b) ≥ 0，只有当a = b时，才有r(a, b) = 0。
(3) Σ−1可对角化，Σ−1 = P ΛP T
h11 h12 · · · h1d
• 2.17 若将Σ−1矩阵写为：Σ−1 = h...12
h22 ...
P (w1) P (w2)
= 0。所以判别规则为当(x−u1)T (x−u1) > (x−u2)T (x−u2)则x ∈ w1,反
之则s ∈ w2。即将x判给离它最近的ui的那个类。
[
• 2.24 在习题2.23中若Σ1 ̸= Σ2，Σ1 =
1
1
2
策规则。
1]
2
1
，Σ2
=
[ 1
−
1 2
−
1 2
] ，写出负对数似然比决
1
6
模式识别(第二版)习题解答
解：
h(x) = − ln [l(x)]
= − ln p(x|w1) + ln p(x|w2)
=
1 2 (x1
−
u1)T
Σ−1 1(x1
−
u1)
−
1 2 (x2
线性判别函数
则合适的A能使所有的Y’满足A TY’>0。（后面用Y表示Y’ ） 经过这样的规格化处理后，问题就转化为：求使每一个样本 Y满足A TY>0的权向量A的问题了。权向量A称为解权向量。
为了求解线性不等式组A TY>0，构造一个准则函数： 感知准则函数：
J P ( A)
Y A
w x xp r w 决策面H
w0 w
x2
x
w
g x w
xp
1 : g 0 2 : g 0
x1
g(X )=0
式中
Xp: 是 x 在H上的投影向量， r : 是 x 到H的垂直距离，
w ：是w方向上的单位向量。 w
将上式代入 g x wT x w0 ，可得：
w T ) w0 w T xp w0 r W w r w g(x)= w T ( x p r w w
讨论二类情况下的线性判别函数。 两个线性判别函数 T
T
g1( X ) W 1 X w10 g 2( X ) W 2 X w20
如果X属于 1 ，可得： (W
T 1
T W2 ) X (w 10 w 20 )>0
令 W T (W1T W2T ), w0 w10 w20得 g(X )=W T X + w0 则二类模式的线性分类器的决策法则是： 如果 g(X )>0 ，则决策 1 ，即把 X 归到 1 类去； 如果 g(X )<0 ，则决策 2 ，即把 X 归到 2 类去。
作为判别函数，它应具有如下的性质：假如一个模式X属于第 i类，则有： gi ( X )>g j (X), i, j 1, 2,, c, j i
模式识别感知器算法求判别函数
模式识别感知器算法求判别函数模式识别感知器算法（Perceptron Algorithm）是一种二分类的线性分类器算法。
它通过训练集中的数据样本来学习一组权重，将输入数据映射到一些特定类别。
判别函数是这组权重与输入数据的线性组合。
具体来说，假设我们有一个包含n个特征的输入向量x，模式识别感知器算法的判别函数可以表示为：f(x) = sign(w · x)其中，w是一组权重向量，·表示向量的内积，sign是符号函数，即如果内积结果大于等于0，结果为1，否则为-1算法的目标是找到一组权重w，使得对于所有的输入样本x，f(x)能够准确地将其分类为正类（+1）或者负类（-1），从而实现分类任务。
具体求解判别函数的过程分为两个步骤：初始化和更新权重。
1.初始化：初始权重可以设置为0向量或者一个随机的小值向量。
2.更新权重：通过迭代训练样本来逐步调整权重，直到达到收敛的条件。
a. 对于每个样本x，计算预测输出值y_pred = sign(w · x)。
c. 对于不同的特征i，更新权重w_i = w_i + η * (y - y_pred) * x_i，其中η是学习率（learning rate），控制权重的调整速度。
d.重复以上步骤直到达到收敛条件。
收敛条件可以是预先设定的最大迭代次数或者当所有的样本分类正确时停止。
在实际应用中，算法通常需要对输入数据进行预处理，例如特征缩放、特征选择等，以提高算法的性能和效果。
此外，模式识别感知器算法只能解决线性可分的问题，对于线性不可分的问题，需要使用更加复杂的算法或者进行数据转换处理。
总结起来，模式识别感知器算法的判别函数是通过一组权重与输入数据的线性组合来实现的。
该算法通过迭代训练样本来更新权重，直到达到收敛条件。
虽然该算法在处理线性可分问题中表现优秀，但对于线性不可分问题需要使用其他算法。
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此时g(x)被称为广义线性判别函数，a称为广义权向量。
广义线性判别函数
按照上述原理，任何非线性函数g(x)用级数展开成高次 多项式后，都可转化成广义线性判别函数来处理。
aTy=0在Y空间确定了一个通过原点的超平面。这样我们 就可以利用线性判别函数的简单性来解决复杂的问题。
经过这种变换，维数大大增加了，这将使问题很快陷入 所谓的“维数灾难”。怎么解决？
g(x)＝0就是相应的决策面方程，在线性判别函数条件下它对 应d维空间的一个超平面。
线性判别函数的基本概念
为了说明向量w的意义，我们假设在该决策平面上有两个特 征向量x1与x2，则应有
wT x1 w0 wT x2 w0 wT (x1 x2 ) 0
其中(x1-x2)也是一个向量 ➢ 上式表明向量w与该平面上任两点组成的向量(x1-x2)正交，因 此w就是该超平面的法向量。这就是向量w的几何意义。
线性判别函数的几何意义
令 g(x) wT x w0 = r w
若x为原点，则g(x) w0
原点到超平面H的距离：r0
w0 w
w0 0 原点在H的正侧 w0 0 原点在H的负侧 w0 0 H通过原点
w x2
x
r
xp
x1
H: g=0
广义线性判别函数
线性判别函数是形式最为简单的判别函数，但是它不能用 于稍复杂一些的情况。
广义线性判别函数
由于线性判别函数具有形式简单，计算方便 的优点，并且已被充分研究，因此人们希望 能将其用适当方式扩展至原本适宜非线性判 别函数的领域。
一种方法是选择一种映射x→y，即将原样本 特征向量x映射成另一向量y，从而可以采用 线性判别函数的方法。
广义线性判别函数
选择一种映射x→ y，即将原样本特征向量x映射成另一向量 y，从而可以采用线性判别函数的方法。
决策面(decision boundary)H方程：g(x)=0 向量w是决策面H的法向量 g(x)是点x到决策面H的距离的一种代数度量
w
x = xp + r w , g(x)= r w
x2
x p是x在H 上的投影向量 r是x到H的垂直距离
w 是w方向上的单位向量 w
w x
r
xp
x1
H: g=0
另一类是非线性判别函数
§4.1 引言
线性判别函数：x的各个分量的线性函数 或以x为自变量的某些函数的线性函数。
g(x) wT x w0
对于c类问题： gi (x) wiT x wi0
利用样本集估计参数wi和wi0，并把未知样 本x归到具有最大判别函数值的类别中去。
优点：
模式识别
第四章线性判别函数（1）
回顾：
贝叶斯分类器 :
已知： 先验概率P( j
类条件概率密度p(
) x
|
j
)
判别函数
分类
需要大量样本？
参数估计与非参数估计
利用样本集直接设计分类器？
§4.1 引言
利用样本集直接设计分类器的基本思想：
给定某个判别函数类，且假定判别函数的参数形式 已知
§4.1 引言
例如下图：三类的分类问题，它们的边界线就 是一个判别函数。
x2
2
1
边界
x1
3
§4.1 引言
判别函数包含两类：
一类 是线性判别函数： 线性判别函数 广义线性判别函数 （所谓广义线性判别函数就是把非线性判 别函数映射到另外一个空间变成线性判别 函数） 分段线性判别函数
最优？次优？ 计算简单；容易实现；需要的计算量和存储量小
§4.1 引言
寻找线性判别函数的问题被形式化为极小化准 则函数的问题。以分类为目的的准则函数可以 是样本风险，也可以是训练误差。
目标：能够正确地对新的样本进行分类
线性判别函数的基本概念
设样本d维特征空间中描述，则两类别问题中线性判别函数的
➢ 而g(x)也就是d维空间中任一点x到该决策面距离的代数度量，该 决策平面将这两类样本按其到该面距离的正负号确定其类别。
➢ 至于w0则体现该决策面在特征空间中的位置，当w0=0时，该
决策面过特征空间坐标系原点，而
时，则 表示了坐
标原点到该决策面的距离。
线性判别函数的几何意义
令 g(x) wT x w0
欲设计这样一个一维样本的分类器，使其性能为
x
b
b或x x
a
a 决策x w1 决策x w2
针对这种情况，如果设计这 样一个判别函数:
g(x)＝(x-a)(x-b) 相应的决策规则 :
g(x) g(x)
0 0
决策x 决策x
w1 w2
此时,g(x)不再是x的线性函数，而是一个二次函数
用训练的方法来估计判别函数的参数值 分类决策
不需要有关的概率密度函数的确切的参数形式， 属于非参数估计方法。
§4.1 引言
问题描述：
假设对一模式X已抽取n个特征，表示为：
X (x1, x2, x3,...,xn )T X是n维空间的一个向量
根据模式X的n个特征来判别模式属于 ω1 ,ω2 , … , ωm 类中的那一类?
一般形式可表示成
g(x) wT x w0
x = x1, x2,...xd T 其中 w = w1, w2,...wd T
w0是一个常数，称为阈值权。相应的决策规则可表示成
g(x)>0, 如果 g(x)<0,
则决策x 1 则决策x 2
g(x)=0, 可将其任意分类或拒绝
g(x) c0 c1x c2 x2
y1 1
a1 c0
如果我们采用映射x→
y
，使
y
y2
x
，a
a2
c1
y3 x2
a3 c2
则判别函数g(x)又可表示成
3
g(x) aT y ai yi i 1
广义线性判别函数
一种特殊映射方法：增广样本向Hale Waihona Puke y与增广权向量ay
1
x
1,
x1
,...,
xd
T
a
1 w
w0
,
w1
,
...,
wd
T
线性判别函数的齐次简化： g(x) = wT x + w0 = aT y
Y空间任意一点y到Hˆ 的距离为：rˆ g(x) aT y aa