高三数学第一轮复习 函数的单调性与最值教案 文

函数的单调性与最值

一、 知识梳理：（阅读教材必修1第27页—第32页）

1．对于给定区间D 上的函数)(x f ，对于D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有

12()()f x f x <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函数; 当12x x <时，都有12()()f x f x >， 则称)(x f 是区间D 上减函数.

2．判断函数单调性的常用方法：

（1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性; (4) 图象法. 3.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2

121在⇔>--上是增

函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔<--上是减函数.

4.设)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

5.如果)(x f 和)(x g 都是增(或减)函数,则在公共定义域内是)()(x g x f +增(或减)函

数;

)(x f 增)(x g 减,则)()(x g x f -是增函数;)(x f 减)(x g 增,则差函数)

()(x g x f -是减函数.

6．基本初等函数的单调性

（1）一次函数y kx b =+. 当0k >在(),-∞+∞上是增函数；当0k <在(),-∞+∞上是减函数

（2）二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠.

当0a >在,2b a ⎛⎤-∞-

⎥⎝⎦上是减函数；在,2b a ⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭

上是增函数； 当0a <在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是增函数；在,2b a ⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭

上是减函数； （3）反比例函数(0)k

y k x

=≠.

当0k >在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是减函数；当0k <在(),0-∞上是增函数，在

()0,+∞上是增函数。

（4）指数函数(0,1)x

y a a a =>≠.当1a >在(),-∞+∞上是增函数；当01a <<在

(),-∞+∞上是减函数。

（5）指数函数log (0,1)a y x a a =>≠当1a >在()0,+∞上是增函数；当01a <<在

()0,+∞上是减函数。

7.函数的最值

对于函数y=f(x)，设定义域为A ，则 （1）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。 （2）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。 二、题型探究

【探究一】：判断证明函数的单调性

例1：试判断函数2()1

x

f x x =-在区间（0，1）上的单调性.

例2：下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是（ ） （A ）842

+-=x x y （B ） )(log 2

1x y -= （C ）1

2

+-

=x y （D ）x y -=1 探究二：抽象函数的单调性 例3：【2013师大精典题库】定义在R 上的函数f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a 、b ，有f(a+b)=f(a)f(b). (1)求证：f(0)=1；

(2)求证：对任意x ，f(x)> 0； (3)证明：f(x)是R 上的增函数。

例4：函数f(x)对任意a 、b ，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。 (1)证明：f(x)是R 上的增函数；

(2)若f(4)=5,解关于m 的不等式f(3<3.

探究三：与单调性有关的参数问题

例5：若函数()y f x =在R 单调递增，且2

()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（ ） .A (),1-∞- .B ()0,+∞ .C ()1,0- .D (),1-∞-()0,+∞U

探究四、函数的单调性与最值 例6：求下列函数的值域

1、 y ＝－x 2

－6x －5 2、 y=x+ 3、

4、 ,表示不超过x 的最大整数

例7：12．求f (x )＝x 2

－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．

解：f (x )＝(x －a )2－1－a 2

，对称轴为x ＝a .w w w .x k b 1.c o m

①当a ＜0时，由图①可知， f (x )min ＝f (0)＝－1， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .

②当0≤a ＜1时，由图②可知， f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .

③当1≤a ≤2时，由图③可知， f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2， f (x )max ＝f (0)＝－1.

④当a ＞2时，由图④可知， f (x )min ＝f (2)＝3－4a ， f (x )max ＝f (0)＝－1.

综上所述，当a ＜0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；

当0≤a ＜1时，f (x )min ＝－1－a 2

，f (x )max ＝3－4a ；

当1≤a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2

，f (x )max ＝－1； 当a ＞2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1. 三、方法提升

1、 函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，函数在给定的区间的单调性反映函数在区间

上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质 ，但不一定是函数在定义域内上的整体性质，函数的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制；

2、 求函数的单调区间，首先请注意函数的定义域，函数的增减区间都是定义域的子区间;

其次，掌握基本初等函数的单调区间，常用的方法有：定义法，图象法，导数法； 3、 利用函数的单调性可以解函数不等式、方程及函数的最值问题。 四、反思感悟

。 五、课时作业

一、选择题

1. 【15高考改编】函数)ln()(2

x x x f -=的定义域为（ ）

A. ),1()0,(+∞-∞Y B ),1[]0,(+∞-∞Y C.)1,0( D. ]1,0[