空间点线面位置关系(复习) PPT
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• 2. 理解线面位置关系的含义， 能解决简单的证明推理问题 。 • 3. 培养空间想象能力、 逻辑思维能力。
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
表示 基本性质
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上 的两点在一个平 面内,那么：
这条直线上的所有 点都在这个平面内
Al
B A
l
l
B
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重
合;
②两条直线可以确定一个平面;
③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;
④若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l.
A.1
B.2
C.3
D.4
5．(2014·广东高考)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满
足Biblioteka Baidul1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是
空间点线面位置关系(复习)
•高考考纲要求:
• 1. 能用符号语言表示空间中点线面的位置关系; • 2. 理解空间直线、 平面位置关系的定义， 并了解作为推理依
据的公理和定理. • 3. 能运用公理、 定理和已获得的结论证明空间位置关系的简
单命题.
本节教学目标:
• 1. 能实现文字语言、 图形语言及数学符号语言之间的相互转 化， 会用图形与符号语言表示点线面的位置关系 。
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平
面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，
“有且只有”有时也说成“确定”．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
2．(2015·江苏高考)已知 l，m 是两条不同的直线，α，β 是两 个不同的平面，下列命题： ①若 l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则 α∥β； ②若 l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则 l∥m； ③若 α∥β，l∥α，则 l∥β； ④若 l⊥α，m∥l，α∥β，则 m⊥β. 其中真命题___②__④___(写出所有真命题的序号)．
(√ )
• 提炼—记一记
• ①过直线外一点有( 且只有一 )条直线与已 知直线平行.
• ②过直线外一点有( 且只有一 )个平面与已 知直线垂直.
• ③过平面外一点有( 且只有一 )个平面与已 知平面平行.
• ④过平面外一点有( 且只有一 )条直线与已 知平面垂直.
真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是 ( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不 需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平 面的两个平面平行是性质定理而不是公理.
a，b是异面直线
(× )
3．判断正误（线面关系）
(1)若直线a不平行平面α且a⊄α，则α内存在唯一的直线与a平
行
(×)
(2)三个平面两两相交，那么它们有三条交线
(× )
(3)已知两相交直线a，b，a∥平面α，则b∥α
(× )
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直
线与另一平面的位置关系是平行或在此平面内
(√ )
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( × )
2．判断正误（直线关系）
(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d
(√ ) (2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 ( × )
(3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则
①位置关系分类:
相交 平行
任何一个平面
②基本性质4和等角定理: 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相__平__行_. 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 相__等__或__互__补___.
(3)异面直线的判定定理: 与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线
是异面直线. (4)确定平面的三个推论: ①经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. ②两条相交直线确定一个平面. ③两条平行直线确定一个平面.
(2)范围：0，π2.
[提醒] 异面直线所成的角的范围是0，π2，所以垂直分两种
情况——异面垂直和相交垂直．
一．判断正误
小题查验
1．平面性质 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分
(× )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记
作α∩β＝A
(× )
(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
表示 基本性质
文字语言
图形语言
公理2
经过不在同一条 直线上的三点,
有＿有且＿只＿有一个平
面
符号语言
A,B,C三点不共线 ⇒有且只有一个平 面α,使A∈α, B∈α,C∈α
公理3
如果不重合的两 个平面有一个公 共点,那么它们 有且只有：
一条过这个点的公 共直线
P
P
⇒
α∩β=l, 且P∈l
• 2空间两条直线的位置关系:
()
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
，
[方 法 总 结]
1．空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂 直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行 直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与 面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性 质来解决．
2．解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用 正(长)方体模型来解决问题．
3.(2015·北京模拟)a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中, 真命题是 ( C ) A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交 C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
4.(2015·厦门模拟)下列四个命题中,真命题的个数为( B )
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
表示 基本性质
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上 的两点在一个平 面内,那么：
这条直线上的所有 点都在这个平面内
Al
B A
l
l
B
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重
合;
②两条直线可以确定一个平面;
③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;
④若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l.
A.1
B.2
C.3
D.4
5．(2014·广东高考)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满
足Biblioteka Baidul1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是
空间点线面位置关系(复习)
•高考考纲要求:
• 1. 能用符号语言表示空间中点线面的位置关系; • 2. 理解空间直线、 平面位置关系的定义， 并了解作为推理依
据的公理和定理. • 3. 能运用公理、 定理和已获得的结论证明空间位置关系的简
单命题.
本节教学目标:
• 1. 能实现文字语言、 图形语言及数学符号语言之间的相互转 化， 会用图形与符号语言表示点线面的位置关系 。
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平
面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，
“有且只有”有时也说成“确定”．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
2．(2015·江苏高考)已知 l，m 是两条不同的直线，α，β 是两 个不同的平面，下列命题： ①若 l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则 α∥β； ②若 l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则 l∥m； ③若 α∥β，l∥α，则 l∥β； ④若 l⊥α，m∥l，α∥β，则 m⊥β. 其中真命题___②__④___(写出所有真命题的序号)．
(√ )
• 提炼—记一记
• ①过直线外一点有( 且只有一 )条直线与已 知直线平行.
• ②过直线外一点有( 且只有一 )个平面与已 知直线垂直.
• ③过平面外一点有( 且只有一 )个平面与已 知平面平行.
• ④过平面外一点有( 且只有一 )条直线与已 知平面垂直.
真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是 ( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不 需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平 面的两个平面平行是性质定理而不是公理.
a，b是异面直线
(× )
3．判断正误（线面关系）
(1)若直线a不平行平面α且a⊄α，则α内存在唯一的直线与a平
行
(×)
(2)三个平面两两相交，那么它们有三条交线
(× )
(3)已知两相交直线a，b，a∥平面α，则b∥α
(× )
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直
线与另一平面的位置关系是平行或在此平面内
(√ )
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( × )
2．判断正误（直线关系）
(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d
(√ ) (2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 ( × )
(3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则
①位置关系分类:
相交 平行
任何一个平面
②基本性质4和等角定理: 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相__平__行_. 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 相__等__或__互__补___.
(3)异面直线的判定定理: 与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线
是异面直线. (4)确定平面的三个推论: ①经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. ②两条相交直线确定一个平面. ③两条平行直线确定一个平面.
(2)范围：0，π2.
[提醒] 异面直线所成的角的范围是0，π2，所以垂直分两种
情况——异面垂直和相交垂直．
一．判断正误
小题查验
1．平面性质 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分
(× )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记
作α∩β＝A
(× )
(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
表示 基本性质
文字语言
图形语言
公理2
经过不在同一条 直线上的三点,
有＿有且＿只＿有一个平
面
符号语言
A,B,C三点不共线 ⇒有且只有一个平 面α,使A∈α, B∈α,C∈α
公理3
如果不重合的两 个平面有一个公 共点,那么它们 有且只有：
一条过这个点的公 共直线
P
P
⇒
α∩β=l, 且P∈l
• 2空间两条直线的位置关系:
()
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
，
[方 法 总 结]
1．空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂 直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行 直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与 面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性 质来解决．
2．解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用 正(长)方体模型来解决问题．
3.(2015·北京模拟)a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中, 真命题是 ( C ) A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交 C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
4.(2015·厦门模拟)下列四个命题中,真命题的个数为( B )