武汉理工大学网络教育学院大学入学考试复习资料高等数学B 答案 2010-6-3 10：26

武汉理工大学网络学院试卷参考答案

课程名称：高等数学 专业班级：

一、选择题（5×3分 = 15分）

C;C;B;A;A;

二、填空题（5×3分 = 15分）

1、29

2、x e 2

3、0

4、32y

5、[1,1]-

三、计算题（5×8分 = 40分）

1、22221)1)(1(ln

)1ln()(x x x x x x x x x y ++++-++=++-=- )()1ln(11

ln 2

2x y x x x x -=++-=++=； 故)(x y 为奇函数. 2、（1）10x -≥即 1x ≥时，(1)1f x x -=-；

10x -<即1x <时，(1)1f x -=；

11

(1)11x x f x x -≥⎧∴-=⎨<⎩．

（2）()()211

1101 2 0x x f x f x x x x -≥⎧⎪+-=+≤<⎨⎪<⎩

．

3、21f y f x u

'+'=∂∂；()v xg x xy y ∂'=+∂.

4、)

1(1

,1z y z z x

x z

-=∂∂-=∂∂，)(11dy xdx z dz +-=. 5、⎰⎰=D xydxdy I ⎰⎰=22

1x xydy dx =⎰-213)22(dx x x =9

8．

四、应用题（2×10分 = 20分）

1、设用来作圆的一段长为x ，另一段就是x -24，所考虑的两块面积之和记作y .则有函数关系

240,)424()2(22≤≤-+=x x

x

y ππ

于是 )24(812x x y --=

'π， 令0='y ，得驻点ππ

+=424x . 端点和驻点的函数值：224

144(0)(

)44y ==，144(24)y π=，24144()44y πππ=++，比较知，当长为ππ

+424的一段作圆，余下一段作正方形时，两个图形的面积之和最小.

2、先求区域D 的面积A 02t π≤≤ ，02x a π∴≤≤ 20()a A y x dx π=

⎰ 20(1cos )[(sin )]a t d a t t π=--⎰

222

0(1cos )a t dt π=-⎰23a π=. 由于区域关于直线x a π=对称，所以形心在x a π=上，即x a π=, 1D y ydxdy A =⎰⎰2()001a y x dx ydy A π=

⎰⎰ 22201[()]6a

y x dx a ππ=⎰230[1cos ]6a t dt ππ=-⎰ 56π

=. 故所求形心坐标为5

6

(,)a ππ 五、证明题（1×10分 = 10分）

1、设()()F x xf x =，显然()F x 在[0,1]上连续，在（0，1）可导.

因为(1)0f =，故(0)(1)0F F ==， 由罗尔定理知存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'=， 即()()f f ξξξ'=-