非弹性散射和光学定理的推导

非弹性散射和光学定理的推导

非弹性散射

1. 非弹性散射中的基本公式推导

我们知道吸收或非弹性散射用复合势的形式来描述。径向波函数在这种情况下一直使用的是

方程的正则解()

()()2

2

22

10d U r k f r dr r ⎛⎫

+-

-+= ⎪ ⎪⎝

⎭

，但是渐近方程()f r 必须

进行修正。当吸收发生时，每个分波散射出去的辐射通量小于迁入的通量，因此方程，

()exp(2)s k i δ= ，可以写成如下形式

2()i s k e δ

η

=

这里的η在实数范围 01η<<是非弹性的。当不发生吸收时η等于一。分波的散射振

幅 2()(1)2

i i

T k e δη=

-。

对于吸收过程，定义一个吸收截面 ：()abs σ

().int outgoingflux

abs d s eringflux

σ=

因为：

1

()(cos )F r P r

ψθ∞

==

∑

**1()2r j mi

ψψψψ=

∇-∇

*2*20

11(cos )2f f

f f P mi

r

r r θ∞

=⎡⎤∂∂⎡⎤=

-⎢⎥⎣⎦∂∂⎣⎦∑

则第个分波= 0

r

j ∞

=∑

（r j 是第个分波的粒子流密度）

*

2*211(cos )2r

f f

j f f P mi r r r θ⎡⎤∂∂⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∂∂⎣⎦

其中()a

f r 在r

→∞时为： ()2221()2i kr i kr a f r i e s e ik

ππ⎛⎫⎛⎫

--- ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤+⎢⎥→

-

-⎢⎥⎣⎦

则

()(

)

()2

2

22

211cos 4r j P k mr

δθ+

-=-

2.i s e

δ

η= 2

2δ

η∴=

因此 ： ()

()

()2

22

2

211cos 4r j P k mr

ηθ+-=-，第个分波的吸收截面表达

式为：

()22

22

2

00

2

22

1()(1)(cos )sin 4(21)(1)r i

j abs V d

P d d j k

k

ππ

σηθφθθπη+=-Ω=

-=

+-⎰⎰⎰

第个分波的弹性散射截面为：2

2

4()(21)el T

k

π

σ

=

+

2

2221

(1)4

i i T

e e δδηηη-=--+

21

(12cos 2)4

ηδη=

-+ 第个分波的总截面为:

()()()tot abs el σσσ=+

22(21)(1cos 2)k

π

ηδ=

+- 所以完整的总散射截面为：

()tot tot σσ∞

==

∑

20

(21)2(1cos 2)k πηδ∞

=+=-∑

2.我们现在将上面得出来的结果进行如下讨论，分析： （1）当式子中,()abs ησ的值分别取1,0时 22()(21)(1cos 2)tot el k

π

σηδσ=

+-= 此时发生的是弹性碰撞。 （2）当式子中的η=0时， 2()(21)abs k

π

σ=

+ 2()(21)el k

π

σ=+ 所以我们得到散射截面的关系是：1

()()()2

abs el tot σσσ==

（3）当01η<<，()

01()

abs el σσ<

<时

2()(21)abs k

π

σ≤

+ 22()(21)el k

π

σ≤+ 22(

)(21)tot k

π

σ≤+ 从上面的公式我们也可得出：在非弹性碰撞中，总有弹性碰撞发生。

2对光学定理的推导

光学定理声明了几率守恒并且这种守恒在任何情况下都是有效地。特别是，它不依赖于我们假设的局域势。

因为

1

(,)(21)(cos )f k T P k

θθ∞

==

+∑

2(1)(1)

22

i i i T e δ

δη=-=-

(1c o s 2s i n 2)2

i i

i ηδηδ=--

11

(sin 2)(1cos 2)22

i i ηδηδ=

+- 取

1

I m ()(1c o s 2)

2

i T ηδ=- 令

0θ= cos 1θ= (1)1P =

1

Im (,0)(21)Im()f k T k

∞

==

+∑

1

(21)(1cos 2)2k

ηδ∞

==

+-∑

20

2(21)(1cos 2)4k k

π

ηδπ

∞

==+-∑

()4k tot σπ

=

从而推出光学定理: 4(

)Im (,0)tot f k k

π

σ=