高中物理竞赛热学部分优题选
物理竞赛热学专题40题刷题练习(带答案详解)
物理竞赛热学专题40题刷题练习（带答案详解)1．潜水艇的贮气筒与水箱相连，当贮气筒中的空气压入水箱后，水箱便排出水，使潜水艇浮起。
某潜水艇贮气简的容积是2m 3，其上的气压表显示内部贮有压强为2×107Pa 的压缩空气，在一次潜到海底作业后的上浮操作中利用简内的压缩空气将水箱中体积为10m 3水排出了潜水艇的水箱，此时气压表显示筒内剩余空气的压强是9.5×106pa ，设在排水过程中压缩空气的温度不变，试估算此潜水艇所在海底位置的深度。
设想让压强p 1=2×107Pa 、体积V 1=2m 3的压缩空气都变成压强p 2=9.5×106Pa 压缩气体，其体积为V 2，根据玻-马定律则有p 1V 1=p 2V 2排水过程中排出压强p 2=9.5×106Pa 的压缩空气的体积 221V V V '=-，设潜水艇所在处水的压强为p 3，则压强p 2=9.5×106Pa 、体积为2V '的压缩空气，变成压强为p 3的空气的体积V 3=10m 3。
根据玻马定律则有2233p V p V '=联立可解得p 3=2.1×106Pa设潜水艇所在海底位置的深度为h ，因p 3=p 0+ρ gh解得h =200m2．在我国北方的冬天，即便气温很低，一些较深的河 流、湖泊、池塘里的水一般也不会冻结到底，鱼类还可以在水面结冰的情况下安全过冬，试解释水不会冻结到底的原因？【详解】由于水的特殊内部结构，从4C ︒到0C ︒，体积随温度的降低而增大，达到0C ︒后开始结冰，冰的密度比水的密度小。
入秋冬季节，气温开始下降，河流、湖泊、池塘里的水上层的先变冷，密度变大而沉到水底，形成对流，到达4C ︒时气温如果再降低，上层水反而膨胀，密度变小，对流停止，“漂浮”在水面上，形成一个“盖子”，而下面的水主要靠热传导散失内能，但由于水是热的不良导体，这样散热是比较慢的。
高中物理竞赛——热学部分
热学部分—自主招生考试一．分子动理论分自动理论的基本内容：物质是由大量分子组成的，分子永不停息地做无规则热运动，分子间存在着相互作用的引力和斥力。
1． 1231002.6N -⨯=mol A 是联系微观世界和宏观世界的桥梁，具体表现在：（1）固体、液体分子微观量的计算（估算） ①分子数：A A A N V v N M m nN 00N === ②每个分子的质量为：A01N M =m ③每个分子体积（分子所占空间）：A A N M N V v ρ001==，其中ρ为固体或液体的密度 ④分子直径的估算：把固体、液体分子看成球形，则分子直径3031/6/6A N V v d ππ==；把固体、液体分子看成立方体，则3031/A N V v d ==.（2）气体分子微观量的估算方法（油膜法估测分子的直径，分子直径的数量级约为10-10m ） ①物质的量4.22n V =，V 为气体在标况下的体积． ②分子间距的估算：设想气体分子的分布均匀，每个分子平均占有一定的体积，假设为立方体，则分子间距30V d =，而每个分子所占体积A mol N V V =0，则分子间距为3Amol N V d =. 2．分子在做永不停歇的无规则的热运动。
扩散现象是分子的运动，布朗运动是悬浮微粒的无规则运动，是液体分子的无规则运动引起的．布朗运动的剧烈程度不仅跟颗粒的大小有关，还跟液体或气体的温度有关，颗粒越小、温度越高布朗运动越剧烈。
3．分子间存在相互作用力：引力与斥力，都随距离增加减小，但是斥力对距离更敏感，所以分子力很近的时候体现出斥力，在平衡位置体合力等于零，平衡位置外体现出引力。
二．物体的内能物体内所有分子的动能和势能的总叫物体的内能．1．温度是分子平均动能的标志,理想气体的内能正比于温度与气体的物质的量．2．分子势能的大小与物体的体积有关．3．做功和热传递是改变物体内能的两种方式．三．热力学定律热力学第零定律：如果两个系统分别和第三个系统处于热平衡，那么这两个系统也处于热平衡状态。
高中物理竞赛十年预赛真题热学纯手打word版含答案
十年真题－热学（预赛）1．（34届预赛2）系统1和系统2质量相等，比热容分别为C 1和C 2，两系统接触后达到够达到共同的温度T ，整个过程中与外界（两系统之外）无热交换．两系统初始温度T 1和T 2的关系为A ．T 1＝C 2C 1(T －T 2)－TB ．T 1＝C 1C 2(T －T 2)－T C ．T 1＝C 1C 2(T －T 2)＋T D ．T 1＝C 2C 1(T －T 2)＋T 2．（31届预赛1）一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于A ．αB ．α1/3C ．α3D ．3α3．（29届预赛1）下列说法中正确的是A ．水在0℃时密度最大B ．一个绝热容器中盛有气体，假设把气体中分子速率很大的如大于v A 的分子全部取走，则气体的温度会下降，此后气体中不再存在速率大于v A 的分子C ．杜瓦瓶的器壁是由两层玻璃制成的，两层玻璃之间抽成真空，抽成真空的主要作用是既可降低热传导，又可降低热辐射D ．图示为一绝热容器，中间有一隔板，隔板左边盛有温度为T 的理想气体，右边为真空．现抽掉隔板，则气体的最终温度仍为T4．(28届预赛2)下面列出的一些说法中正确的是A ．在温度为20ºC 和压强为1个大气压时，一定量的水蒸发为同温度的水蒸气，在此过程中，它所吸收的热量等于其内能的增量．B ．有人用水银和酒精制成两种温度计，他都把水的冰点定为0度，水的沸点定为100度，并都把0刻度与100刻度之间均匀等分成同数量的刻度，若用这两种温度计去测量同一环境的温度（大于0度小于100度）时，两者测得的温度数值必定相同．C ．一定量的理想气体分别经过不同的过程后，压强都减小了，体积都增大了，则从每个过程中气体与外界交换的总热量看，在有的过程中气体可能是吸收了热量，在有的过程中气体可能是放出了热量，在有的过程中气体与外界交换的热量为零.D ．地球表面一平方米所受的大气的压力，其大小等于这一平方米表面单位时间内受上方作热运动的空气分子对它碰撞的冲量，加上这一平方米以上的大气的重量．5．（27届预赛2）烧杯内盛有0℃的水，一块0℃的冰浮在水面上，水面正好在杯口处．最后冰全部融化成0℃的水．在这过程中A ．无水溢出杯口，但最后水面下降了B ．有水溢出杯口，但最后水面仍在杯口处C ．无水溢出杯口，水面始终在杯口处D ．有水溢出杯口，但最后水面低于杯口6．（27届预赛3）如图所示，a和b是绝热气缸中的两个活塞，它们把气缸分成甲和乙两部分，两部分中都封有等量的理想气体．a是导热的，其热容量可不计，与气缸壁固连．b 是绝热的，可在气缸内无摩擦滑动，但不漏气，其右方为大气．图中k为加热用的电炉丝．开始时，系统处于平衡状态，两部分中气体的温度和压强皆相同．现接通电源，缓慢加热一段时间后停止加热，系统又达到新的平衡，则A．甲、乙中气体的温度有可能不变B．甲、乙中气体的压强都增加了C．甲、乙中气体的内能的增加量相等D．电炉丝放出的总热量等于甲、乙中气体增加内能的总和7．（27届预赛4）一杯水放在炉上加热烧开后，水面上方有“白色气”；夏天一块冰放在桌面上，冰的上方也有“白色气”．A．前者主要是由杯中水变来的“水的气态物质”B．前者主要是由杯中水变来的“水的液态物质”C．后者主要是由冰变来的“水的气态物质”D．后者主要是由冰变来的“水的液态物质”8．（26届预赛3）一根内径均匀、两端开中的细长玻璃管，竖直插在水中，管的一部分在水面上．现用手指封住管的上端，把一定量的空气密封在玻璃管中，以V0表示其体积；然后把玻璃管沿竖直方向提出水面，设此时封在玻璃管中的气体体积为V1；最后把玻璃管在竖直平面内转过900，让玻璃管处于水平位置，设此时封在玻璃管中的气体体积为V2．则有A．V1＞V0≥V2B．V1＞V0＞V2C．V1=V2＞V0D．V1＞V0，V2＞V09．（25届预赛4）如图所示，放置在升降机地板上的盛有水的容器中，插有两根相对容器的位置是固定的玻璃管a和b，管的上端都是封闭的，下端都是开口的．管内被水各封有一定质量的气体．平衡时，a管内的水面比管外低，b管内的水面比管外高．现令升降机从静止开始加速下降，已知在此过程中管内气体仍被封闭在管内，且经历的过程可视为绝热过程，则在此过程中A．a中气体内能将增加，b中气体内能将减少B．a中气体内能将减少，b中气体内能将增加C．a、b中气体内能都将增加D．a、b中气体内能都将减少10．（25届预赛5）图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双U形管”，a、b、c、d 为其四段竖直的部分，其中a、d上端是开口的，处在大气中．管中的水银把一段气体柱密封在b、c内，达到平衡时，管内水银面的位置如图所示．现缓慢地降低气柱中气体的温度，若c中的水银面上升了一小段高度Δh，则A．b中的水银面也上升ΔhB．b中的水银面也上升，但上升的高度小于ΔhC ．气柱中气体压强的减少量等于高为Δh 的水银柱所产生的压强D ．气柱中气体压强的减少量等于高为2Δh 的水银柱所产生的压强11．（31届预赛9）图中所示的气缸壁是绝热的．缸内隔板A 是导热的，它固定在缸壁上．活塞B 是绝热的，它与缸壁的接触是光滑的，但不漏气.B 的上方为大气.A 与B 之间以及A 与缸底之间都盛有n mol 的同种理想气体．系统在开始时处于平衡状态，现通过电炉丝E 对气体缓慢加热．在加热过程中，A 、B 之间的气体经历_________过程，A 以下气体经历________过程；气体温度每上升1K ，A 、B 之间的气体吸收的热量与A 以下气体净吸收的热量之差等于_____________．已知普适气体常量为R ．答案：等压、等容、nR解析：在加热过程中，AB 之间的气体的压强始终等于大气压强与B 活塞的重力产生的压强之和，故进行的是等压变化，由于隔板A 是固定在气缸内的，所以，A 以下的气体进行的是等容变化，当气体温度升高1K 时，AB 之间的气体吸收的热量为Q 1＝P ΔV +ΔU ，A以下的气体吸收的热量为Q 2＝ΔU ，又根据克拉伯龙方程p ΔV ＝nR ΔT ，所以Q 1－Q 2＝p ΔV＝nR .12．（28届预赛6）在大气中，将一容积为0.50m 3的一端封闭一端开口的圆筒筒底朝上筒口朝下竖直插人水池中，然后放手，平衡时，筒内空气的体积为0.40m 3.设大气的压强与10.0m 高的水柱产生的压强相同，则筒内外水面的高度差为 ．答案：2.5m13．（34届预赛13）横截面积为S 和2S 的两圆柱形容器按图示方式连接成一气缸，每隔圆筒中各置有一活塞，两活塞间的距离为l ，用硬杆相连，形成“工”字形活塞，它把整个气缸分隔成三个气室，其中Ⅰ、Ⅲ室密闭摩尔数分别为ν和2ν的同种理想气体，两个气室内都有电加热器；Ⅱ室的缸壁上开有一个小孔，与大气相通；1mol 该种气体内能为CT（C 是气体摩尔热容量，T 是气体的绝对温度）．当三个气室中气体的温度均为T 1时，“工”字形活塞在气缸中恰好在图所示的位置处于平衡状态，这时Ⅰ室内空气柱长亦为l ，Ⅱ室内空气的摩尔数为32ν．已知大气压不变，气缸壁和活塞都是绝热的，不计活塞与气缸之间的摩擦．现通过电热器对Ⅰ、Ⅲ两室中的气体缓慢加热，直至Ⅰ室内气体的温度升为其初始状态温度的2倍，活塞左移距离d ．已知理想气体常量为R ，求：（1）Ⅲ室内气体初态气柱的长度；（2）Ⅲ室内气体末态的温度；（3）此过程中ⅠⅢ室密闭气体吸收的总热量．解析：（1）设大气压强为p 0．初态：Ⅰ室内气体压强为p 1；Ⅲ室内气体压强为p 1′，气柱的长度为l ′．末态：Ⅰ室内气体压强为p 2；Ⅲ室内气体压强为p 2′．由初态到末态：活塞左移距离为d ．对初态应用气体状态方程，对Ⅰ室气体有：p 1lS ＝νRT 1 ①对Ⅱ室内气体有：p 0(l 2×S ＋l 2×2S )＝32ν0RT 1②对Ⅲ室内气体有：p1′l′(2S)＝(2ν)RT1③由力学平衡条件有：p1′(2S)＝p1S＋p0(2S－S) ④由题给条件和①②③④式得：l′＝ν2ν1+ν0l＝2νν+ν0l⑤（2）对末态应用气体状态方程，对Ⅰ室内气体有：p2(l－d)S＝νRT2＝νR·2T1⑥对Ⅲ室内气体有：p2′(l′＋d)(2S)＝(2ν)RT2′⑦由力学平衡条件有：p2′(2S)＝p2S＋p0(2S－S) ⑧联立②⑤⑥⑦⑧和题给条件得：T2′＝2νl+(ν+ν0)d(l－d)(ν+ν0)⎝⎛⎭⎫1＋ν02νl－dl T1⑨（3）大气对密闭气体系统做的功为W＝p0(2S－S)(－d)＝－p0Sd＝－dlν0RT1⑩已利用②式．系统密闭气体内能增加量为：ΔU＝νC(T2－T1)＋(2ν)C(T2′－T1)＝νC(2T2′－T1) ⑪由⑨⑩式得：ΔU＝2νl+(ν+ν0)d(l－d)(ν+ν0)⎝⎛⎭⎫2ν＋l－dlν0CT1－νCT1⑫系统吸收的热量为：Q＝ΔU－W＝2νl+(ν+ν0)d(l－d)(ν+ν0)⎝⎛⎭⎫2ν＋l－dlν0CT1－νCT1＋dlν0RT1⑬参考评分：第（1）问9分，①②③④式各2分，⑤式1分．第（2）问4分，⑥⑦⑧⑨式各1分．第（3）问7分，⑩⑪式各2分，⑫式1分，⑬式2分．14．（33届预赛16）充有水的连通软管常常用来检验建筑物的水平度．但软管中气泡会使得该软管两边管口水面不在同一水平面上．为了说明这一现象的物理原理，考虑如图所示的连通水管（由三段内径相同的U形管密接而成），其中封有一段空气（可视为理想气体），与空气接触的四段水管均在竖直方向；且两个有水的U形管两边水面分别等高．此时被封闭的空气柱的长度为L a ．已知大气压强P 0、水的密度ρ、重力加速度大小为g ，L 0≡P 0/(ρg)．现由左管口添加体积为ΔV ＝xS 的水，S 为水管的横截面积，在稳定后：（1）求两个有水的U 形管两边水面的高度的变化和左管添水后封闭的空气柱的长度；（2）当x <<L 0、L a<<L 0时，求两个有水的U 形管两边水面的高度的变化（用x 表出）以及空气柱的长度．已知1+z ≈1+12z ，当z <<1． 解析：解法（一）（1）设在左管添加水之前左右两个U 形管两边水面的高度分贝为h 1和h 2，添加水之后左右两个U 形管两边水面的高度分别为h 1L 和h 1R 、h 2L 和h 2R ．如图所示，设被封闭的空气的压强为p ，空气柱的长度为L b ．水在常温常压下可视为不可被压缩的流体，故：2h 1＋x ＝h 1L ＋h 1R ①2h 2＝h 2L ＋h 2R ②由力学平衡条件有：p 0＋ρgh 1L ＝p ＋ρgh 1R ③p 0＋ρgh 2R ＝p ＋ρgh 2L④由于连通管中间高度不变，有：h 1＋h 2＋L a ＝h 1R ＋h 2L ＋L b ⑤由玻意耳定律得：p 0L a ＝pL b ⑥联立①②③④⑤⑥式得p 满足的方程：L 0p 0p 2＋⎝⎛⎭⎫L a －L 0－x 2p －p 0L a ＝0 解得：p ＝p 02L 0⎣⎡⎦⎤L 0－L a ＋x 2＋⎝⎛⎭⎫L a －L 0－x 22+4L a L 0 ⑦ 将⑦式带入⑥式得：L b ＝12⎣⎡⎦⎤L a －L 0－x 2＋⎝⎛⎭⎫L a －L 0－x 22+4L a L 0 ⑧ 由①②③④⑦式得：Δh 1L ≡h 1L －h 1＝x －Δh 1R＝x －L 02＋14[L 0－L a ＋x 2＋⎝⎛⎭⎫L a －L 0－x 22+4L a L 0] ⑨ ＝5x －2L a －2L 08＋14⎝⎛⎭⎫L a －L 0－x 22+4L a L 0 Δh 1R ≡h 1R －h 1＝L 0+x 2－p 2ρg＝L 0+x 2－14⎣⎡⎦⎤L 0－L a ＋x 2＋⎝⎛⎭⎫L a －L 0－x 22+4L a L 0 ⑩＝3x +2L a +2L 08－14⎝⎛⎭⎫L a －L 0－x 22+4L a L 0 Δh 2L ≡h 2L －h 2＝L 02－p 2ρg ＝L 02－14⎣⎡⎦⎤L 0－L a ＋x 2＋⎝⎛⎭⎫L a －L 0－x 22+4L a L 0 ⑪ ＝2L a +2L 0－x 8－14⎝⎛⎭⎫L a －L 0－x 22+4L a L 0 Δh 2R ≡h 2R －h 2＝－Δh 2L＝x －2L a －2L 08＋14⎝⎛⎭⎫L a －L 0－x 22+4L a L 0 ⑫ （2）在x <<L 0和L a <<L 0的情形下，由⑧式得：L b ≈L a ⑬⑦式成为：p ≈p 0(1＋x 2L 0) ⑭ 由⑨⑩⑪⑫⑬⑭式得：Δh 1L ≈34x ⑮ Δh 1R ≈－Δh 2L ＝Δh 2R ≈14x ⑯ 参考评分：第（1）问14分，①②③④⑤⑥⑦⑧式各1分，⑨⑩式各2分，⑪⑫式各1分；第（2）问6分，⑬⑭式各1分，⑮⑯式各2分．解法（二）（1）设U 形管1左侧末态水面比初态上升x 2＋y ，右侧末态水面比初态上升x 2－y ，U 形管2左侧末态水面比初态下降y ，右侧末态水面比初态上升y ．由玻意耳定律得： L a L 0＝L b (L 0＋2y ) ①由几何关系有：L a －x 2＋2y ＝L b ②将②式带入①式得：L a L 0＝(L a －x 2＋2y ) (L 0＋2y ) ③解得： y ＝x 8－L 04－L a 4＋14⎝⎛⎭⎫L 0＋L a －x 22＋2xL 0 ④ 此即U 形管2左侧末态比初态水面下降值，也是右侧末态比初态水面上升值（负根y＝x 8－L 04－L a 4－14⎝⎛⎭⎫L 0＋L a －x 22＋2xL 0不符合题意，已舍去）．U 形管1左侧末态比初态水面上升：x 2＋y ＝5x －2L a －2L 08＋14⎝⎛⎭⎫L a ＋L 0－x 22＋2xL 0 ⑤ 右侧末态比初态水面上升：x 2－y ＝3x ＋2L a ＋2L 08－14⎝⎛⎭⎫L a ＋L 0－x 2 2＋2xL 0 ⑥ 将④式带入②式得：L b ＝L a －x 2＋2y ＝2L a －2L 0－x 4＋12⎝⎛⎭⎫L a ＋L 0－x 22＋2xL 0 ⑦ （2）在x <<L 0和L a <<L 0的情形下，④⑤⑥⑦式中的根号部分⎝⎛⎭⎫L a ＋L 0－x 22＋2xL 0＝L a 2＋L 02＋x 24＋2L 0L a －xL 0－xL a ＋2xL 0 ＝L 01+L a 2L 02＋x 24L 02＋2L a L 0－xL a 2L 02＋x L 0≈L 0⎣⎡⎦⎤1＋12（L a 2L 02＋x 24L 02＋2L a L 0－xL a L 02＋x L 0 ＝L 0＋12⎣⎡⎦⎤L a 2L 0＋x 24L 0＋2L a －xL a L 0＋x ⑧ ≈L 0＋12(2L a ＋x ) ＝L a ＋L 0＋x 2⑧式在推导过程中用到了1+z ≈1+12z ，当z <<1． 将⑧式带入④⑤⑥⑦式中分别得到：y ≈x 8－L 04－L a 4＋14⎝⎛⎭⎫L 0＋L a ＋x 2＝x 4⑨ x 2＋y ≈x 2＋x 4＝3x 4⑩ x 2－y ≈x 2－x 4＝x 4⑪ L b ≈L a 2－L 02－x 4＋12⎝⎛⎭⎫L 0＋L a ＋x 2＝L a ⑫参考评分：第（1）问14分，①式4分，②③式各1分，④式3分，⑤式2分，⑥式1分．第（2）问6分，⑨⑩式各2分，⑪⑫式各1分．15．(32届预赛15)如图，导热性能良好的气缸A 和B 高度均为h （已除开活塞的厚度），横截面积不同，竖直浸没在温度为T 0的恒温槽内，它们的底部由一细管连通（细管容积可忽略）．两气缸内各有一个活塞，质量分别为m A ＝2m 和m B ＝m ，活塞与气缸之间无摩擦，两活塞的下方为理想气体，上方为真空．当两活塞下方气体处于平衡状态时，两活塞底面相对于气缸底的高度均为h /2．现保持恒温槽温度不变，在两活塞上面同时各缓慢加上同样大小的压力，让压力从零缓慢增加，直至其大小等于2m g （g 为重力加速度）为止，并一直保持两活塞上的压力不变；系统再次达到平衡后，缓慢升高恒温槽的温度，对气体加热，直至气缸B 中活塞底面恰好回到高度为h /2处．求：（1）两个活塞的横截面积之比S A ∶S B ．（2）气缸内气体的最后的温度．（3）在加热气体的过程中，气体对活塞所做的总功．解析：（1）平衡时气缸A 、B 内气体的压强相等，故：m A g S A ＝m B g S B① 由①式和题给条件得： S A ∶S B ＝2∶1 ②（2）两活塞上各放一质量为2m 的质点前，气体的压强p 1和体积V 1分别为：p 1＝2mg S A ＝mg S B③ V 1＝32S B h ④ 两活塞上各放一质量为2m 的质点后，B 中活塞所受到的气体压力小于它和质点所受重力之和，B 中活塞将一直下降至气缸底部为之，B 中气体全部进入气缸A ．假设此时气缸A 中活塞并未上升到气缸顶部，气体的压强p 2＝4mg S A ＝2mg S B⑤ 设平衡时气体体积为V 2，由于初态末态都是平衡态，由理想气体状态方程有：p 1V 1T 0＝p 2V 2T 0⑥ 由③④⑤⑥式得： V 2＝34S 0h ＝38S A h ⑦ 这时气体的体积小于气缸A 的体积，与活塞未上升到气缸顶部的假设一致．缓慢加热时，气体先等压膨胀，B 中活塞不动，A 中活塞上升；A 中活塞上升至顶部后，气体等容升压；压强升至3mg S B时，B 中活塞开始上升，气体等压膨胀．设当温度升至T 时，该活塞恰好位于h 2处．此时气体的体积变为V 3＝52S B h ⑧ 气体压强 p 3＝3mg S B⑨ 设此时气缸内气体的温度为T ，由状态方程有：p 2V 2T 0＝p 3V 3T⑩ 由⑤⑦⑧⑨⑩式得： T ＝5T 0 ⑪（3）升高恒温槽的温度后，加热过程中，A 活塞上升量为h －38h ＝58h ⑫ 气体对活塞所做的总功为W ＝4mg ·58h ＋3mg ·h 2＝4mgh ⑬ 参考评分：第（1）问3分，①式2分，②式1分；第（2）问13分，③④⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨⑩⑪式各1分；第（3）问4分，⑫⑬式各2分．16．（31届预赛14）1mol 的理想气体经历一循环过程1-2-3-1，如p -T 图示所示，过程1-2是等压过程，过程3-1是通过p -T 图原点的直线上的一段，描述过程2-3的方程为c 1p 2+c 2p =T ，式中c 1和c 2都是待定的常量，p 和T 分别是气体的压强和绝对温度．已知，气体在状态1的压强、绝对温度分别为P 1和T 1，气体在状态2的绝对温度以及在状态3的压强和绝对温度分别为T 2以及p 3和T 3．气体常量R 也是已知的．(1)求常量c 1和c 2的值；(2)将过程1-2 -3 -1在p -v 图示上表示出来；(3)求该气体在一次循环过程中对外做的总功．解析：（1）设气体在状态i （i ＝1、2、3）下的压强、体积和温度分别为p i 、V i 和T i ，由题设条件有：c 1p 22＋c 2p 2＝T 2 ①c 1p 32＋c 2p 3＝T 3 ②由此解得：c 1＝T 2p 3－T 3p 2p 22p 3－p 32p 2＝T 2p 3－T 3p 1p 12p 3－p 32p 1③ c 2＝T 2p 32－T 3p 22p 2p 32－p 22p 3＝T 2p 32－T 3p 12p 1p 32－p 12p 3④ （2）利用气体状态方程pV ＝RT 以及V 1＝R T 1p 1、V 2＝R T 2p 2、V 3＝R T 3p 3⑤ 可将过程2—3的方程写为p V 2－V 3p 2－p 3＝V ＋V 2p 3－V 3p 2p 2－p 3⑥ 可见，在p －V 图上过程2－3是以（p 2，V 2）和（p 3，V 3）为状态端点的直线，过程3－1是通过原点直线上的一段，因而描述其过程的方程为：p T ＝c 3 ⑦ 式中c 3是一常量，利用气体状态方程pV ＝RT ，可将过程3－1的方程改写为：V ＝R c 3＝V 3＝V 1 ⑧ 这是以（p 3，V 1）和（p 1，V 1）为状态端点的等容降压过程．综上所述，过程1－2－3－1在p －V 图上是一直角三角形，如图所示．（3）气体在一次循环过程中对外做的总功为：W ＝－12(p 3－p 1)(V 2－V 1) ⑨ 利用气体状态方程pV ＝RT 和⑤式，上式即：W ＝－12R (T 2－T 1)⎝⎛⎭⎫p 3p 1－1 ⑩ 参考评分：第（1）问8分，①②③④式各2分；第（2）问10分，⑤⑥式各2分，过程1－2－3－1在p －V 上的图示正确得6分；第（3）问2分，⑩式2分．17．(30届预赛14)如图所示，1摩尔理想气体，由压强与体积关系的p-V 图中的状态A 出发，经过一缓慢的直线过程到达状态B ，已知状态B 的压强与状态A 的压强之比为12，若要使整个过程的最终结果是气体从外界吸收了热量，则状态B 与状态A 的体积之比应满足什么条件？已知此理想气体每摩尔的内能为32RT ，R 为普适气体常量，T 为热力学温度．解析：令ΔU 表示系统内能的增量，Q 和W 分别表示系统吸收的热量和外界对系统所做的功，由热力学第一定律有：ΔU ＝Q ＋W ①令T 1和T 2分别表示状态A 和状态B 的温度，有：ΔU ＝32R (T 2－T 1) ②令p 1、p 2和V 1、V 2分别表示状态A 、B 的压强和体积，由②式和状态方程可得： ΔU＝32(p 2V 2－p 1V 1) ③由状态图可知，做功等于图线下所围面积，即：W ＝－12(p 1＋p 2)(V 2－V 1) ④要系统吸热，即Q ＞0，由以上格式可得：32(p 2V 2－p 1V 1)＋12(p 1＋p 2)(V 2－V 1)＞0⑤按题意，p 2p 1＝12，带入上式，可得：V 2V 1＞32 ⑥参考评分：①②③式各3分，④式4分，⑤式3分，⑥式2分．18．(29届预赛14)由双原子分子构成的气体，当温度升高时，一部分双原子分子会分解成两个单原子分子，温度越高，被分解的双原子分子的比例越大，于是整个气体可视为由单原子分子构成的气体与由双原子分子构成的气体的混合气体．这种混合气体的每一种成分气体都可视作理想气体．在体积V ＝0.045m 3的坚固的容器中，盛有一定质量的碘蒸气，现于不同温度下测得容器中蒸气的压强如下：试求温度分别为1073K 和1473K 时该碘蒸气中单原子分子碘蒸气的质量与碘的总质量之比值．已知碘蒸气的总质量与一个摩尔的双原子碘分子的质量相同，普适气体常量R ＝8.31J·mol －1·K －1解析：以m 表示碘蒸气的总之，m 1表示蒸气的温度为T 时单原子分子的碘蒸气的质量，μ1、μ2分别表示单原子分子碘蒸气和双原子分子碘蒸气的摩尔质量，p 1、p 2分别表示容器中单原子分子碘蒸气和双原子分子碘蒸气的分压强，则由理想气体的状态方程有：p 1V ＝m 1μ1RT ① p 2V＝m －m 1μ2RT②其中，R 为理想气体常量． 根据道尔顿分压定律，容器中碘蒸气的总压强p 满足：p ＝p 1＋p 2 ③设α＝m 1m 为单原子分子碘蒸气的质量与碘蒸气的总质量的比值，注意到μ1＝12μ2 ④ 由以上各式解得：α＝μ2V mR ·p T－1 ⑤ 带入有关数据可得，当温度为1073K 时，α＝0.06 ⑥ 当温度为1473K 时，α＝0051 ⑦ 参考评分：①②③⑤式各4分，⑥⑦式各2分．19．（26届预赛15）图中M 1和M 2是绝热气缸中的两个活塞，用轻质刚性细杆连结，活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的，M 1是导热的，M 2是绝热的，且M 2的横截面积是M 1的2倍．M 1把一定质量的气体封闭在气缸为L 1部分，M 1和M 2把一定质量的气体封闭在气缸的L 2部分，M 2的右侧为大气，大气的压强p 0是恒定的．K 是加热L 2中气体用的电热丝．初始时，两个活塞和气体都处在平衡状态，分别以V 10和V 20表示L 1和L 2中气体的体积．现通过K 对气体缓慢加热一段时间后停止加热，让气体重新达到平衡太，这时，活塞未被气缸壁挡住．加热后与加热前比，L 1和L 2中气体的压强是增大了、减小还是未变？要求进行定量论证．解析：解法（一）用n 1和n 2分别表示L 1和L 2中气体的摩尔数，p 1、p 2和V 1、V 2分别表示L 1和L 2中气体处在平衡状态时的压强和体积，T 表示气体的温度（因为M 1是导热的，两部分气体的温度相等），由理想气体状态方程有：p 1V 1＝n 1RT ①p 2V 2＝n 2RT ②式中R 为普适气体常量．若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象，处在平衡状态时有：p 1S 1－p 2S 1＋p 2S 2－p 0S 2＝0 ③已知S 2＝2S 1 ④有③④式得：p 1＋p 2＝2p 0 ⑤由①②⑤三式得：p 1＝2n 1n 2p 0V 2V 1＋n 1n 2V 2 ⑥若⑥式中的V 1、V 2是加热后L 1和L 2中气体的体积，则p 1就是加热后L 1中气体的压强．加热前L 1中气体的压强则为p 10＝2n 1n 2p 0V 20V 10＋n 1n 2V 2 ⑦ 设加热后L 1中气体体积的增加量为ΔV 1，L 2中气体体积的增加量为ΔV 2，因连接两活塞的杆是刚性的，活塞M 2的横截面积是M 1的2倍，故有：ΔV 1＝ΔV 2＝ΔV ⑧加热后L 1和L 2中气体的体积都是增大的，即ΔV ＞0．（若ΔV ＜0，即加热后活塞是向左移动的，则大气将对封闭在气缸中的气体做功，电热丝又对气体加热，根据热力学第一定律，气体的内能增加，温度将上升，而体积是减小的，故L 1和L 2中气体的压强p 1和p 2都将增大，这违反力学平衡条件⑤式）于是有V 1＝V 10＋ΔV ⑨V 2＝V 20＋ΔV ⑩由⑥⑦⑨⑩四式得：p 1－p 10＝2n 1n 2p 0(V 10－V 20)ΔV ⎣⎡⎦⎤V 10＋ΔV ＋n 1n 2(V 20＋ΔV )⎝⎛⎭⎫V 10＋n 1n 2V 20 ⑪由⑪式可知：若加热前V 10＝V 20，则p 1＝p 10，即加热后p 1不变，由⑤式知p 2亦不变；若加热前V 10＜V 20，则p 1＜p 10，即加热后p 1必减小，由⑤式知p 2必增大；若加热前V 10＞V 20，则p 1＞p 10，即加热后p 1必增大，由⑤式知p 2必减小．参考评分：得到⑤式3分，得到⑧式3分，得到⑪式8分，最后结论6分． 解法（二）设加热前L 1和L 2中气体的压强和体积分别为p 10、p 20和V 10、V 20，以p 1、p 2和V 1、V 2分别表示加热后L 1和L 2中气体的压强和体积，由于M 1是导热的，加热前L 1和L 2中气体的温度是相等的，设为T 0，加热后L 1和L 2中气体的温度也相等，设为T ．因为加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态，注意到S 2＝2S 1，力学平衡条件分别为：p 10＋p 20＝2p 0 ①p 1＋p 2＝2p 0 ②由①②两式得：p 1－p 10＝－(p 2－p 20) ③根据理想气体状态方程，对L 1中的气体有：p 1V 1p 10V 10＝T T 0④ 对L 2中气体有：p 2V 2p 20V 20＝T T 0⑤ 由④⑤两式得：p 1V 1p 10V 10＝p 2V 2p 20V 20⑥ ⑥式可改写成：⎝⎛⎭⎫1＋p 1－p 10p 10⎝⎛⎭⎫1＋V 1－V 10V 10＝⎝⎛⎭⎫1＋p 2－p 20p 20⎝⎛⎭⎫1＋V 2－V 20V 20 ⑦ 因连接两活塞的杆是刚性的，活塞M 2的横截面积是M 1的2倍，故有：V 1－V 10＝V 2－V 20 ⑧把③⑧式带入⑦式得：⎝⎛⎭⎫1＋p 1－p 10p 10⎝⎛⎭⎫1＋V 1－V 10V 10＝⎝⎛⎭⎫1－p 1－p 10p 20⎝⎛⎭⎫1＋V 1－V 10V 20 ⑨ 若V 10＝V 20，则由⑨式得p 1＝p 10，若加热前L 1中气体的体积等于L 2中气体的体积，则加热后L 1中气体的压强不变，由②式可知加热后L 2中气体的压强亦不变；若V 10＜V 20，则由⑨式得p 1＜p 10，若加热前L 1中气体的体积小于L 2中气体的体积，则加热后L 1中气体的压强必减小，由②式可知加热后L 2中气体的压强必增大；若V 10＞V 20，则由⑨式得p 1＞p 10，若加热前L 1中气体的体积大于L 2中气体的体积，则加热后L 1中气体的压强必增大，由②式可知加热后L 2中气体的压强必减小；参考评分：得到①式和②式或得到③式得3分，得到⑧式得3分，得到⑨式得8分，最后结论得6分．。
高中奥赛试题五(热学综合)
长沙市一中物理竞赛模拟题五（热学综合）本卷共七题每题20分时间：3小时命题人：肖战生一、向一个容积V＝10-3m3的预先抽空的容器中注入少量的水，并在三个温度下测量压强，得t1＝60℃时，P1＝1.92×104pa；t2＝90℃时，P2＝4.2×104pa；t3＝120℃时，P3＝4.55×104pa．请根据这些数据求注入水的质量．如果水的质量减少20％，在这些温度下的压强各变为多少?二、有一底部开口的热气球，其体积V b＝1.1m3是常数．气球蒙皮的质量m h＝0.187kg，其体积可忽略不计．空气的初始温度为θ1＝20℃，正常的外部气压为p0＝1.013bar．在这些条件下的空气密度为P1＝1.2kg／m3，（1）为使气球刚好能浮起，气球内的空气必须加热到多高的温度?（2）先把气球系牢于地，把内部空气加热到稳态温度θ3＝110℃．当气球被释放并开始上升时，其最初的加速度是多少?（3）将气球下部扎紧．在气球内部的空气维持稳态温度θ3＝110℃的情形下，气球在温度为20℃和地面大气压为p0＝1.013bar的等温大气中上升．在这些条件下，求气球达到平衡时的高度h。
（4）在高度h处[见问题3]，将气球从其平衡位置拉离△h＝l0m，然后释放。
问气球将作何种运动?三、质量为2.0kg，温度为-13℃，体积为0.19m3的氟利昂(其分子量为121)，在保持温度不变的条件下被压缩，其体积变为0.10rn3，试问在此过程中有多少千克的氟里昂被液化?(已知在-13℃时，液态氟里昂的密度ρf＝1.44⨯103kg／m3，其饱和蒸汽p s＝2.08⨯105Pa．氟里昂的饱和蒸汽可近似看作理想气体)四、如图所示，在一具有绝热壁的刚性圆柱形封闭气缸内，有一装有小阀门上的绝热活塞．在气缸的A端装有电热器H，可用于加热气体．起初，活塞紧贴气缸B端的内壁，小阀门L关闭；整个气缸内盛有一定质量的某种理想气体．其温度为T0．活塞与气缸之间的摩擦可忽略．现设法把活塞压至气缸中央，并用销钉F把活塞固定，从而把气缸分成体积相等的左右二室(如图)．在上述压缩气体的过程中，设对气体作功W，气体的温度上升到T。
2020高中物理竞赛(热学篇)气体动理论基础(含真题练习题)理想气体状态方程(共14张PPT)
热学篇[基础版] （含往年物理竞赛真题练习）
玻耳兹曼
麦克斯韦
三、理想气体状态方程
当系统处于平衡态时，各个状态参量之间的关系式。
理想气体 pV M RT
M mol
M 气体质量
p
Mmol 气体的摩尔质量
R 普适气体常量
8.31J / mol
o
I ( p1,V1,T1)
选A1面求其所 受压强。
y
i分子动量增量
mv ix
pix 2mv ix
A2 O
mv ix A1 i分子对器壁的冲量 2mv ix
i分子相继与A1面碰撞的时间间隔
l1
x t 2l / vix
单位时间内i分子对A1面的碰撞次数 Z 1 / t vix / 2l1
单位时间内i分子对A1面的冲量 2mv ix vix / 2l1
p1 V1 M1 p2 V2 M2 p3 V3 M3 使用时的温度为T
设可供 x 天使用
原有 x 每天用量 剩余
p1 V1 M1 T
p2 V2 M2 T
p3 V3 M3 T
分别对它们列出状态方程，有
p1 V1
M1 M mol
RT
p2 V2
M2 M mol
RT
p3 V3
M3 M mol
RT
V1 V3 M1 M3 xM2
•
•
II ( p2,V2,VT2 )
例：（19物理初赛真题）氧气瓶的压强降到106Pa即应 重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧
气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的 氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温
物理竞赛热学专题精编大全(带答案详解)
物理竞赛热学专题精编大全（带答案详解)一、多选题1．如图所示为一种简易温度计构造示意图，左右两根内径粗细均匀的竖直玻玻璃管下端通过软管相连接，在管中灌入某种液体后环境的温度。
重复上述操作，便可在左管上方标注出不同的温度刻，将左管上端通过橡皮塞插入小烧瓶中。
调节右管的高度，使左右两管的液面相平，在左管液面位置标上相应的温度刻度。
多次改变烧瓶所在度，为了增大这个温度计在相同温度变化时液面变化的髙度，下列措施中可行的是（)A．增大液体的密度B．增大烧瓶的体积C．减小左管的内径D．减小右管的内径【答案】BC2．如图所示为两端封闭的U形玻璃管，竖直放置，管内左、右两段封闭空气柱A、B 被一段水银柱隔开，设原来温度分别为T A和T B，当温度分别升高△T A和△T B时，关于水银柱高度差的变化情况，下列说法中正确的是（）A．当T A＝T B，且△T A＝△T B时，h一定不变B．当T A＝T B，且△T A＝△T B时，h一定增大C．当T A＜T B，且△T A＜△T B时，h一定增大D．当T A＞T B，且△T A＝△T B时，h一定增大【答案】BD【解析】【详解】AB.由于左边的水银比右边的高ℎ，所以右边的气体的压强比左边气体的压强大，即P B> P A，设在变化的前后AB两部分气体的体积都不发生变化，即AB做的都是等容变化，则根据PT =ΔPΔT可知，气体的压强的变化为ΔP=PΔTT，当T A=T B，且ΔT A=ΔT B时，由于P B>P A，根据ΔP=PΔTT可知ΔP B>ΔP A，ℎ一定增大，故选项A错误，B正确；C.当T A<T B，且ΔT A<ΔT B时，由于P B>P A，根据ΔP=PΔTT可知不能判断ΔP B和ΔP A变化的大小，所以不能判断ℎ的变化情况，故选项C错误；D.当T A>T，且ΔT A=ΔT B时，由于P B>P A，根据ΔP=PΔTT可知ΔP B>ΔP A，ℎ一定增大，故选项D正确；3．下列叙述正确的是（）A．温度升高，物体内每个分子的热运动速率都增大B．气体压强越大，气体分子的平均动能就越大C．在绝热过程中外界对气体做功，气体的内能必然增加D．自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向性【答案】CDA.温度升高，气体分子的平均动能增大，但是个别分子运动速率可能减小，故A错误；B.温度是气体分子的平均动能变化的标志。
21届后热学部分预赛试题及答案
22——27届热学部分预赛试题一．（第22届预赛）如图所示，两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，处于恒定磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直．一质量为m 的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂直，可沿导轨无摩擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计．导轨的左端与一根阻值为R 0的电阻丝相连，电阻丝置于一绝热容器中，电阻丝的热容量不计．容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有一截面为S 的小液柱（质量不计），液柱将1mol 气体（可视为理想气体）封闭在容器中．已知温度升高1K 时，该气体的内能的增加量为25R （R 为普适气体常量），大气压强为p 0，现令细杆沿导轨方向以初速v 0向右运动，试求达到平衡时细管中液柱的位移．参考解答：导体细杆运动时，切割磁感应线，在回路中产生感应电动势与感应电流，细杆将受到安培力的作用，安培力的方向与细杆的运动方向相反，使细杆减速，随着速度的减小，感应电流和安培力也减小，最后杆将停止运动，感应电流消失．在运动过程中，电阻丝上产生的焦耳热，全部被容器中的气体吸收． 根据能量守恒定律可知，杆从v 0减速至停止运动的过程中，电阻丝上的焦耳热Q 应等于杆的初动能，即 2021v m Q = (1)容器中的气体吸收此热量后，设其温度升高∆T ，则内能的增加量为T R U Δ25Δ= (2) 在温度升高∆T 的同时，气体体积膨胀，推动液柱克服大气压力做功．设液柱的位移为l Δ，则气体对外做功 l S p A Δ0=(3) l S Δ就是气体体积的膨胀量 l S V ΔΔ= (4)由理想气体状态方程RT pV =，注意到气体的压强始终等于大气压0p ，故有 T R V p ΔΔ0= (5)由热力学第一定律 U A Q Δ+=(6) 由以上各式可解得 S p m l 0207Δv = (7)评分标准：本题25分．（1）式6分，（2）式4分，（3）、（4）、（5）式各2分，（6）式5分，（7）式4分．二、（20分23届）一根长为L （以厘米为单位）的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处于大气中。
物理竞赛热学压轴题及答案
热学压轴题精选一、秘制气球生物在“执杖”星附近的行星上有稠密的大气，其中生活着一种气球状生物，当有人向它们询问小猪是否很会装13的时候，它们会回复BIBIBI的响声，我们暂且将这些生物命名为气球。
气球的半径和质量基本稳定，它们通过调节自身气囊内的气体温度，从而改变密度，用来调节自身的飞行高度。
这些生物白天由于日照，温度上升，飞行在空中捕食，夜晚温度下降，停落在地面上休息。
气球的质量为m0，半径为r，地面气温为T0，压强为p0，密度为ρ0。
取绝热大气模型，即大气不同地方为常数，其中γ=7/5，大气的定体摩尔热容量为C V=2.5R。
在高度h = 25m变化不大的范围内，可以认为大气的温度、密度和压强随高度线性变化。
重力加速度为g。
各参数取值如下：m0=202kg，T0=300K，ρ0=1.174kg/m3r=10m，g=10.6m/s2，p0=1.01×105Pa，κ=43.0Jm-2K-1s-1=2040Jm-2 s-1（1）气球在休息的时候，体内的气体和大气自由交换。
清晨它向外深深吐一口气，将体内压降减少到p0−Δp，于是恰好起飞，能稳定在h高度飞行。
这个过程很短，热量来不及交换。
求Δp为多少？（2）飞行了一段时间后，由于日照和气球自身的特殊生理结构能输运热量，气球的压强上升到和周围一样。
（于是它舒服的不用忍受压强差了）求此时气球内温度为多少?（3）气球皮内外温差为ΔT时，单位时间内单位面积上的的散热本领为κ=ΔQΔSΔTΔt，阳光正入射的时候，单位时间内单位面积提供的热量为λ=ΔQΔSΔt。
则气球为了舒服，单位时间需要搬运给内部气体多少热量，q=ΔQΔt？（4）考虑热力学第二定律，气球为了搬运这些热量，单位时间内至少应当做功W为多少？一、神奇的高压锅如图一个容积为V0的高压锅，初态温度为T0，内部有压强为p0的理想气体，该气体定体摩尔热容量为C V=2.5R。
气阀的面积为S，上面的重物质量为m，重力加速度为g，外面大气压强为p0.（1）至少需要升温到T1为多少才能把重物顶起？（2）如果这个过程中不考虑容器壁散热，则高压锅至少需要吸热Q1为多少才能把重物顶起？（3）如果高压锅吸热总量为Q2>Q1，则此时高压锅内的温度T2为多少？（4）之后再将温度降低到初态，但是气体不会从气阀回到高压锅内，则此时锅内压强p3为多少？二、气球猪若把猪皮看做不会收缩也不会伸长的柔软的导热性能良好的材料，给小猪肚子充气，制成的气球猪（因为小猪不服第一题的气球生物，决定挑战他们），肚皮和猪头（视为质点）质量M=12kg（由于小猪身体“被掏空”，忽略其他质量），小猪肚子的最大容积为V f=12.5m3。
高中物理竞赛热学超级经典难题
高中物理竞赛热学超级经典难题1．已知大气压强p为l高水银柱，水银的密度为ρ．有一U型管由三段长度均为l，横截面积均为S的直细管构成，其两平行边沿竖直方向．U型管一端封闭，另一端敞开．在U 型管中有一段长度为/2l的水银柱．开始时，水银柱刚好位于U型管左竖直边的下半部，此时被封闭的气柱的温度为T，如图所示．现使气柱中的气体缓慢膨胀，直到水银从U型管的开口端全部逸出为止．(1)求整个过程中封闭气柱中的气体压强p与气柱长度x的函数关系，并画出/~/p p x l关系曲线；(2)求整个过程中封闭气柱中的气体温度T与气柱长度x的函数关系，并画出/~/T T x l关系曲线；(3)已知封闭气柱中气体的内能E与温度T的关系为32E RTν=，其中ν为气体的摩尔数，R为气体普适常量，求在整个过程中封闭气柱中的气体与外界交换的热量(忽略水银柱与气柱之间的热交换)．(1)依题意可得(a)2lx l≤≤：()p p g l x gxρρ=−−=；(b)32l x l≤≤：p glρ=；(c)322l x l<≤：0(2)()22l lp p g x l g xρρ=++−=−+；(d)522l x l<≤：322lp p g glρρ=+=；(e)532l x l<<：0(3)(4)p p g l x g l xρρ=+−=−；故得()23()23()(2)2235(2)225(4)(3)2lgx x lgl l x llp g x l x lgl l x lg l x l x lρρρρρ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎪⎪⎪=−+<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎪−<<⎪⎩(2)根据(/2)(/2)pxS gl l ST Tρ=可得p/p3/21/211/213/225/23x/ll/2l/2T200004()()234()()2134()()(2)2256()(2)254(4)()(3)2x l T x l l x T l x l l x x T T l x l l l xT l x l l x x T l x l l l ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎪⎪⎪=−+<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎪−<<⎪⎩(3)01113313[(1)1(1)(1)]22222222i i i i i ilW p V p x S p S=∆=∆=+++++++∑∑2238gl S ρ=，2000033333333()(12)2222228gl l E R T T R T T RT S gl S ρνννρ∆=−=−===，27Q E W gl S ρ=∆+=2．有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分A 和B ，如图所示，A 、B 分别盛有1mol 氮气和氦气，今将336J 的热量缓慢地由底部传给气体，设活塞上的压强始终保持为1atm ，求(1)A 部和B 部气体温度的改变量，系统对外所作的功(设导热板的热容量可忽略不计)；(2)将位置固定的导热板换成可自由滑动的导热板，重复上述讨论．(3)将位置固定的导热板换成可自由滑动的绝热板，重复上述讨论．(1)52A Q R T =∆，3522B Q R T p V R T =∆+∆=∆，5A B Q Q Q R T =+=∆，8.085Q T K R ∆==，5367.222B B A Q E R T R T J =−∆=∆−∆=．(2)5722A Q R T p V R T =∆+∆=∆，3522B Q R T p V R T =∆+∆=∆，6A B Q Q Q R T =+=∆， 6.746Q T K R ∆==，35611222A Q E R T R T R T J =−∆=∆−∆−∆=．(3)557222Q E A R T p V R T R T R T =∆+=∆+∆=∆+∆=∆，211.67Q T K R ∆==，759822A Q E R T R T J =−∆=∆−∆=．T /T 011/213/225/23x /l4612153．双原子理想气体经如图所示的直线过程从状态a 过渡到状态b ．(1)求此过程中系统内能的改变、做功和热传递．(2)过程a →b 中哪一状态对应的温度最高．(3)过程a →b 哪一状态为吸、放热转折点．(1)55()()500()22b a b b b a E R T T p V p V J ν∆=−=−=−，i i i A p V =∆=∑1()()400()2a b b a p p V V J +−=，100()Q E A J =∆+=−． (2)22410125/4(25/2)(410)p V pV V T V V pV RT R R R νννν=−+⎧−−→==−+=⎨=⎩，335(10)4V m −=为温度极大值点．切线法：~p V 线与等温线相切点为温度极值点()()0p p V V pV pV p V +∆+∆−=∆+∆=，4104p p V V V V ∆−+=−=−=−→∆335(10)4V m −=为温度极大值点．(3)考虑一微小过程：(,)()p V p p V V →+∆+∆，，p V V p R T ν∆+∆=∆．575222Q E A R T p V p V V p ν∆=∆+∆=∆+∆=∆+∆7(410)2V V =−+∆+5(4)(2435)2V V V V −∆=−+∆，3335(10)24V m −=，吸放热转折点．切线法：~p V 线与绝热线相切点为吸放热转折点pV c γ=，()()0p p V V pV γγ+∆+∆−=，()(1/)()(1/)/0p p V V V pV p p V V V pV pV pV V V γγγγγγγγγ+∆+∆−≈+∆+∆−≈∆+∆=，//p V p V γ∆∆=−，741045p V V Vγ−+−=−=−→3335(10)24V m −=，吸放热转折点．4．有一方形气缸被两楔形活塞I 和II 分割成两室A 和B ．活塞I 和II 的斜面倾角均为045θ=，质量可忽略不计，两者均可沿气缸滑动，它们与气缸接触面间的摩擦系数为0.5μ=．开始时，A 和B 两室体积相等，分别装有1mol 温度为T 0，压强等于外界气压0p 的同种理想气体，气体的内能E 与温度T 的关系为3E RT =，其中R 为气体普适常量，该气体在绝热过程中温度T 和体积V 满足：1/3TV =常量．现将量值为Q 的热量缓慢地由气缸底部传给A 中的气体，试求A 和B 中气体的最终温度．假设：除了气缸底部外，气缸壁和两活塞均绝热，活塞与气缸接触面间的摩擦所产生的热量不传给A 和B 中的气体．p 0p 0, T 0p 0, T 0QA BIIIθθ分3种情况：(1)热量Q 不足以使A 中的气体推动活塞I 移动．此时A 中气体的末态压强A p 满足(S 为气缸的横截面积)0()A A p p S p S μ−≤(1)，即0021Ap p p μ≤=−(2)，A 中气体所经历的过程为等容过程，因此03()A A Q E R T T ∆==−(3)，解得03A QT T R=+(4)，B 中气体状态不变，因此0B T T =(5)，A 中气体的末态压强0000(1)3A A T Q p p p T RT ==+(6)，根据02A p p ≤可得此时03Q RT ≤(7)．(2)热量Q 足以使A 中的气体推动活塞I 移动，但不足以使B 中的气体推动活塞II 移动．此时A 、B 中气体的末态压强满足0()B B p p S p S μ−≤(8)，()A B A p p S p S μ−=(9)，即0021B p p p μ≤=−(10)，21B A B pp p μ==−(11)，B 中气体所经历的过程为绝热过程，活塞I 对B中气体所做的功03()B B B W E R T T ∆'==−(12)，A 中气体对活塞I 所做的功026()A B B W W R T T '==−(13)，对A 中气体，由热力学第一定律：A A Q E W ∆=+可得003()6()A B Q R T T R T T =−+−(14)，即000233A B T T QT T RT +=+(15)，对B 中的气体，根据绝热过程方程：1/31/300B B T V T V =可得300()B B T V V T =(16)，另一方面，根据理想气体状态方程：000A A B B A Bp V p V p V T T T ==可得3001()2A B A A BB A B B T T p T V V V T p T T ==(17)，根据(16)(17)和02A B V V V +=得400024()A B B T T T T T T +=(18)，联立(15)和(18)解得1/400034(3)33A Q Q T T RT RT ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+−+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭(19)，1/4001(3)43B Q T T RT ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦(20)，B 中末态的压强000001(3)43B B B V T Q p p p V T RT ==+(21)，由03Q RT >和02B p p ≤可得此时Q 的范围为00315RT Q RT <≤(22)．(3)015Q RT >，此时热量Q 足以使A 中的气体推动活塞I 移动，也足以使B 中的气体推动活塞II 移动．当系统吸收热量015Q RT '=时，根据(19)和(20)，A 、B 中的温度分别为5/40(82)AT T '=−(23)，1/402B T T '=(24)，此后B 中气体状态不变，A 中气体所经历的过程为等压过程，由此015()3()4()A A AA A A A Q RT p V V R T T R T T '''−=−+−=−(25)，解得5/4001517(2)444A A Q RT Q T T T R R−'=+=−+(26)，B 中末态的温度1/402B B T T T '==(27)．综合上述结果，可得(1)03Q RT ≤时003A B Q T T R T T ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(28)；(2)00315RT Q RT <≤时1/4001/40034(3)331(3)43A B Q Q T T RT RT Q T T RT ⎧⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪=+−+⎨⎬⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎪⎪⎩⎭⎨⎪⎡⎤=+⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩(29)；(3)015Q RT >时5/401/4017(2)442A BQ T T R T T ⎧=−+⎪⎨⎪=⎩(30)．5．有一个空的气球，初始体积为0，在恒温T下对气球充气，在充气过程中气球外面的压力0P保持不变，充入质量为m的理想气体后，体积膨胀为0V．如果在充气过程中气球外面的压力是变化的，压力每次变化NP/，每次在定压下充入质量为Nm/的理想气体，经N次充气后，气球外面的压力从NP/增加到0P，质量为m的理想气体全部被充入气球．假设气球在每次充气的始末时刻是球形的．试求：(1)在第i次(Ni≤≤1)充气的始末时刻气球的半径比fibirr/，(2)气球在第i次被压缩过程中传给环境的热量．00PV mRT=，111fPV m RT=，101//P P N m m N==，，10fV V=，1212bPV m RT=，210/2/2b fV V V==，12122fPV m RT=，20fV V=，….，11(1)biiPV i m RT=−，11fiiPV im RT=，/(1)/bi fiV V i i=−，1/3/[(1)/](1)bi fir r i i i N=−≤≤，．气球在第i次被压缩过程中，气体的压力为1/P im RT V=，气体所做的功111lim lim[/]n nj j j jn nj jW P V im RT V V→∞→∞===∆=∆∑∑．当n→∞时，1()/0j j jV V V+−→，令1()//j j jV V V a n+−=，则有1/1/j jV V a n+=+，(1)11lim/lim/lim(1/)nn ab i fi j jn n njV V V V a n e++→∞→∞→∞===+=∏，(1)ln/b i fia V V+=，11lim/nj jnjW im RT V V→∞==∆∑1(1)ln(/)b i fiim RT V V+=．利用11fiiPV im RT=和1()1(1)b i ii PV im RT++=得(1)//(1)b i fiV V i i+=+，(1)i N≤<，1ln[(1)/]W im RT i i=−+，负号表示此过程是外界对气体做功，从而使气体的体积缩小．根据理想气体的内能仅是温度的函数，气球在第i次被压缩过程中传给环境的热量为100ln[(1)/]ln[(1)/]iQ W im RT i i PV i iN==+=+．6.有一个质量均匀分布、长度为L、定压热容量为常量PC的物体，两端的温度分别为1T和2T且1T<2T．已知1niix L=∆=∑，11lim ln(1)()ln(1)ni inix bx L bL Lb→∞=∆+=++−∑．试问(1)当1T等于环境温度T、物体各处的温度都降到T时所能做出的最大功和物体放给环境的热量．(2)当1T>T、物体各处的温度都降到1T时所能做出的最大功和放给环境的热量．(3)当1T>T、物体各处的温度都降到环境温度T时所能做出的最大功和放给环境的热量．如图所示，先求单位长度热容量为c、长度为i xΔ、温度为f T的物体，当温度降到gT时所能做出的最大功111()(1/)m mi ij i j j g jj jW W c x T T T T−====∆−−=∑∑11()mi j jjc x T T−=∆−−∑11()/mi g j j jjc x T T T T−=∆−∑11()()/mi f g i g j j jjc x T T c x T T T T−==∆−−∆−∑．(1)当m→∞时，1()/0j j jT T T−−→，令1()//j j jT T T a m−−=，则有1/1/j jT T a m−=+，11lim/lim/lim(1/)mmf g j jm m mjT T T T a m−→∞→∞→∞===+∏a e=，ln/f ga T T=，()i i f gW c x T T=∆−−ln/i g f gc x T T T∆．根据题意/Pc C L=，当020()/f iT T T T x L=+−，gT T=，则有020210110()[ln ]n ni P i i i i i LT T T x C T T W W x x T L L LT ==+−−==∆−∑∑2101[ln(1)]nP i i i i C T Tx x T bx L L =−=∆−+∑，其中200()T T b LT −=．因为1ni i x L =∆=∑，21/2n i i i x x L =∆=∑，11lim ln(1)()ln(1)n i i n i x bx L bL L b →∞=∆+=++−∑，可得当温度降到0T 时物体所能做出的最大功为200200222001{[()ln(1)]}(ln )22P P T T T T T T T T W C L bL L C L b T T T −+=−++−=−−，物体放出的总热量为2020011()2nnP i f i i P i i T T T T C Q c x T T x x C L L ==−−=∆−=∆=∑∑．物体放给环境的热量为20200222200200200(ln )(ln 1)22P P P T T T T T T T T TQ Q W C C C T T T T T T T −+=−=−−=−−−．(2)当121()/f i T T T T x L =+−，1g T T =，则有1212111111()[ln ]n n i P i i i i i LT T T x C T T W W x x T L L LT ==+−−==∆−∑∑，因为1ni i x L =∆=∑，21/2n i i i x x L =∆=∑，11lim ln(1)()ln(1)ni i n i x bx L bL L b →∞=∆+=++−∑，211()T T b LT −=，可得2112112212111{[()ln(1)]}(ln )22P P T T T T T TT T W C L bL L C L b T T T −+=−++−=−−．物体的温度降到1T 时放出的总热量为2121111()2nn P i f i i Pi i C T T T T Q c x T T x x C L L ==−−=∆−=∆=∑∑；物体放给温度为1T 的热源的热量为212112222111211211(ln )(ln 1)22P P P T T T T TT T T T Q Q W C C C T T T T T T T −+=−=−−=−−−；热量1Q 所能做出的功为22210110211(1/)()(ln 1)P T T W Q T T C T T T T T =−=−−−．所以当物体的温度降到1T 时所能做出的最大功21122221210211211(ln )()(ln 1)2P P T T TT T T T W W W C C T T T T T T T T +=+=−+−−=−−202120211(ln )2P T T T T TC T T T T −−+−，物体放给环境的热量为202121222000211211(ln )(ln 1)22P P P T T T T T T T T TQ Q W C C T C T T T T T T T −−=−=−−+=−−−．(3)当121()/f i T T T T x L =+−，g T T =，则有12121100110()[ln ]n ni P i i i i i LT T T x C T TW W x x T T T L L LT ==+−−==∆+−−=∑∑211100010[ln ln(1)]nP i i ii C T T T x x T T T T bx LL T =−∆+−−−+∑．其中211()T T b LT −=，因为1nii xL =∆=∑，21/2ni ii x x L =∆=∑，11lim ln(1)()ln(1)ni i n i x bx L bL L b →∞=∆+=++−∑，可得当温度降到0T 时物体所能做出的最大功为021110001{ln [()ln(1)]}2P T T T T W C T T T L bL L T L b−=+−−−++−022********(ln ln )2P T T T T T TC T T T T T +=−−−．物体放出的总热量为2121010011()()()2nn P i f i i Pi i C T T T T Q c x T T x x T T C T L L ==−+=∆−=∆+−=−∑∑，物体放给环境的热量为0202212112120000002010201()(ln ln )(ln ln )22P P P T T T T T T T T T T T TQ Q W C T C T C T T T T T T T T T T ++=−=−−−−=+−−−7.有两个质量相同、且定压热容量同为常数P C 的物体，它们的初始温度分别为1T 和2T (12T T >)，并满足1002T T T T −=−，其中0T 为环境温度．试算利用这两个物体所能做出的最大功．(1)10(1/)i i P i i W Q C T T T η==−−∆，1011()n ni ii P i i i T T W W C T T T +==−==−∆−∑∑，当n →∞时，1()/0i i i T T T +−→，令1()//i i i T T T a n+−=，则有1/1/i i T T a n+=+，0111lim /lim /lim(1/)nn a i i n n n j T T T T a n e +→∞→∞→∞===+=∏，01ln /a T T =，110010[ln(/)]P W C T T T T T =−−(2)102(1/)()i i i i i W Q T T W Q η==−+，00201//i ii i P i i iT T T TW Q C T T T T −−==∆0/i i P i P C T T T C T =∆−∆，10()i nni ii P i ni niT T W W C T T T +==−==−∆∑∑，当n →∞时，1()/0i i i T T T +−→，令1()//i i i T T T a n +−=，则有1/1/i i T T a n +=+，0211lim /lim /lim(1/)n n a i i n n n j T T T T a n e +→∞→∞→∞===+=∏，02ln /a T T =，200202[ln(/)()]P W C T T T T T =−−，1210010[ln(/)]P W W C T T T T T +=−−+00202[ln(/)()]P C T T T T T −−2010020012[ln(/)ln(/)]ln[/()]P P C T T T T T C T T TT =−+=，202()0T T −>，0220//2T T T T +>，22202000220121/[(2/)/]/[(2)]/()1T T T T T T T T T TT −=−=>．8．【已知卡诺热机的效率121/1/W Q T T η==−，其中1Q 是热机从温度为1T 的高温热源吸取的热量，2Q 是热机放给温度为2T 的低温热源的热量，12W Q Q =−是热机的输出功．】现有一卡诺热机工作在温度分别为T 和0T 的热源之间，其效率为01/T T η=−，每单位时间从温度为H T 的热源传递热量q 到温度为T 的热源后，其中一部分热量L q 成为热损失传到环境中，剩余的热量()L q q −传到热机中，热量q 和L q 的大小分别为()H q k T T =−和0()L L q k T T =−，其中k 和L k 是两个常数且有0L k k >>和0L q q ≥≥．当高、低温热源的温度H T 和0T 不变，而中间热源的温度T 可变时，试求(1)卡诺热机的输出功率P (每单位时间的输出功)和该系统(由热机和热源构成)的总效率/T P q η=；(2)当T 为何值时，0=P ；(3)当T 为何值时，输出功率达到最大值和所对应的系统总效率； (4)当T 为何值时，系统总效率达到最大值和所对应的输出功率．(1)000[()()](1/)()(1/)H L P k T T k T T T T a bT T T =−−−−=−−，0()[1]()L T H k T T k T T η−=−−0(1/)T T −，其中0H L a kT k T =+，L b k k =+．(2)0T T =或0()/()/H L L H T kT k T k k a b T =++=<，0=P ．(3)利用222()20x y x y xy −=+−≥且222x y xy +≥(当x y =时，等号成立)可证2000()(1/)()/P a bT T T bT aT bT T aT T =−−=−++−00[(/)/]a bT b T a b T T =+−+≤0a bT +−2002(/)()b a b T a bT =−．当0(/)T a b T =时，等号成立，输出功率达到最大值2max 0()P a bT =−，对应的总效率0000(/)[1](1/)(/)L T H k aT b T bT a k T aT b η−=−−−．(4)由0(1/)()T H a bTT T k T T η−=−−可得0()()()T H k T T T a bT T T η−=−−和200()()0T T H b k T a bT kT T aT ηη−−+−+=，当200()4()0T H T a bT kT b k aT ηη∆=+−−−=时，总效率达到最大值，对应的温度02()T HT a bT kT T b k ηηη+−=−．解上述方程得220000()2[()2]()40T H H T kT kT a bT akT a bT abT ηη−+−++−=，220002[()2/]/()0T H T H a bT aT T kT ηηη−+−+=，其中001/H T T η=−，00[()2/]/()H H a bT aT T kT +−00001(1)2(1)/L L L H H H H k T Tk T k T T kT k T kT =+++−+0000002221(/)(1)L L L H H H H Hk T T k T k T T T kT T kT kT η=+−−=+，2200022(1)0L T T Hk T kT ηηηη−++=，000max22(11)()L L H T T H H L k T k T kTkT kT k T ηηη=+−+≡，002/0T H a bT kT aT T ηη+−−=．000000000000000000000002222(11)2(1)22(1)(11)2(1)2222(1)T H L L H H H H L L HL L L L H H H H H H L L HL L L H H H H H L aT aT T a bT kT k T k T kTa bT kT kT kT k T k T T kT k T T k T k T k T kT kT T kT kT kT k T k T T kT T k T k T k T kT T kT kT kT k T ηηηηη==+−+−+−++=+++−+−++=+−−+000(1)11)L H HL L H H L k T T kT T k T k kT kT k k T ηη+=+++，20/()0T aT T b k ηη−−=000/()()/()2()T HT T T T a bT kT T aT b k aT b k b k b k ηηηηηη+−=−=−−=−9．太阳能是自然界中一种丰富的清洁能源．太阳能的利用、开发和转换成为人类寻求新能源的热点．近年来，各种利用太阳能的装置应运而生，如太阳能热机、太阳能热泵、太阳能制冷机，等等．现有一个光学效率为η的太阳能集热器，当入射到集热器的总太阳能为Tq时，可输出的有用热能为()u T h cq q k T Tη=−−，其中()h ck T T−为集热器的热损失，hT为集热器的工作温度，cT为环境温度，k是一个比例系数，η、Tq、cT和k均为给定的常数．如果人们构建一个热力学系统，利用太阳能集热器输出的有用热能u q，对温度为p T的空间供热，该供热空间获得的热量p q可大于T qη，达到有效利用能源的目的，其中T qη为直接将太阳能Tq 传到温度为p T的供热空间时该空间所吸收到的太阳能．(1)画出由太阳能驱动的包括太阳能集热器的供热系统的示意图．(2)求出供热量p q的表示式．(3)求出该供热空间在Tq给定的情况下获得最大供热量时，太阳能集热器的工作温度hT和效率Tusqqη/=的表示式．(4)求出最大供热量max()pq．(5)max()pq>Tqη的必要条件是ck k<，求出ck的表示式(用给定常数η、Tq、cT和pT表示)．(1)依题意得，如下图所示．(2)()()00[][]ph cp u T h c T h ch p cTT Tq q q k T T q k T TT T Tψηψη−==−−=−−−，其中ph ch p cTT TT T Tψ−=−．(3)令0T ca q kTη=+，则()(1)pcp T s hh p cTTq q a kTT T Tηψ==−−−2[()][2]()p p pc ccc h ch p c p c p cT T TaT aTa kT k T a kT k a kTkT T T k T T T T=+−+≤+−=−−−−．当chaTTk=时，供热量达到最大值，太阳能集热器的效为()[]/()/s T h c T c Tq k T T q a kaT qηη=−−=−．(4)最大供热量为2max()()pcpp cTq a kTT T=−−．(5)当2max0()()pcp Tp cTq a kT qT Tη=−>−时，2c ca kTb kT b>++，其中0p cTpT Tb qTη−=，04()T ccp p cq Tk kT T Tη<≡−．10．下图为半导体温差发电器的示意图．它是由P 型和N 型半导体元件及负载电阻R 所组成，工作在温度分别为1T 和2T 的高、低温热源之间．P 型和N 型导体元件的长度、横截面积及电导率分别为P l 、P A 、P σ和N l 、N A 、N σ．当半导体温差发电器工作时，由于珀尔贴效应，每单位时间发电器从高温热源吸取的热量1Q 和放给低温热源的2Q 分别为11 T I Q α=和22 T I Q α=，其中I 为发电器回路中的电流，α为P 型和N 型半导体的总温差电势率．当电流I 通过发电器时，半导体元件中产生焦耳热流2I r Q J =，其中r 为发电器中半导体元件的总电阻．为了计算方便，通常假设半导体元件侧面绝热隔离，并可证明元件中产生的焦耳热的一半流向高温热源、一半流向低温热源．当发电器工作时，由于半导体元件两端存在一定的温差，根据牛顿传热定律有一热流)(21T T K Q K −=经元件内部由高温端传往低温端，其中K 为发电器中半导体元件的总热传导系数．图中的H Q 和L Q 分别为每单位时间半导体温差发电器从高温热源吸取的和放给低温热源的净热量．为了计算方便，假设1T 、2T 、P l 、P A 、P σ、N l 、N A 、N σ、r 、α和K 均为常数，半导体温差发电器中的其它效应和金属导线中的电阻可忽略不计．(在半导体温差发电器的设计中，人们总是希望获得尽可能大的输出功率和效率．对于半导体温差发电器，有时设计它工作在最大输出功率状态；有时设计它工作在最大效率状态；有时为了兼顾它的输出功率和效率，设计它工作在其它的合理状态：既不是最大输出功率状态又不是最大效率状态)．请根据上述模型，回答如下问题：(1)写出r 的表示式； (2)写出H Q 和L Q 的表示式；(3)写出半导体温差发电器的输出功率P 和效率η的表示式； (4)确定半导体温差发电器的电流范围；(5)求出半导体温差发电器的最大输出功率max P 和所对应的电流P I 和效率P η的表示式； (6)确定当半导体温差发电器的效率大于最大输出功率的效率P η时的电流范围； (7)定性地讨论和画出P 和η随I 变化的曲线，定性地标注出半导体温差发电器工作在最大效率时的电流ηI 的位置；(8)讨论并确定电流的最佳范围；(9)计算当半导体温差发电器工作在最大输出功率时所需匹配的负载电阻P R ，并分析当半导体温差发电器工作在最大效率时所需匹配的负载电阻ηR 是应该大于P R 还是小于P R ；(10)定性地确定负载电阻的最佳范围．(1)) /() /(N N N P P P A l A l r σσ+=．RPINQLQ HT HT L(2)211111222()H J K Q Q Q Q ITrI K T T α=−+=−+−，122L J K Q Q Q Q =++=212122()IT rI K T T α++−． (3)21212()H L J P Q Q Q Q Q I T T rI α=−=−−=−−，212211122()()H I T T rI PQ IT rI K T T αηα−−==−+−． (4)当12max ()0,T T I I I rα−==≡时，0P =；当0P >时，要求max 0I I <<． (5)2221212()[()]42T T P r T T I r rαα−=−−−，12()2P I T T I r α=−≡，2212max ()4T T P P r α−=≡．(6)22212122221121()[()]42()()22H T T r T T I P r r T r Q K T T T I r rααηαα−−−−==−+−−，12(),2P Pb I T T I r a αη=−≡=，2122(),2()2b r I T T r r ac αη−∆=−+∆=−∆−∆．当P ηη=时，0∆=，/20/2bc b a∆=<−；当0∆>或/2/2bc b a ∆<−时，P ηη<；当/20/2bc b a>∆>−时，P ηη>，则电流的范围为1212/2()()2/22L bc I T T I T T rb a rαα≡−+<<−−．(7)I P ~曲线是一条开口朝下的双曲线，并通过(0，0)，),(max P I P ，)0,(max I 三个坐标点，如图所示．I η~曲线通过(0，0)，),(P L ηI ，),(max ηI η，),(P P ηI ，)0,(max I 五个坐标点，其中P ηL I I I <<，如图所示．(8)从图看出，当I I η<时，P 和η均随着I 的减少而减少，当P I I >时，P 和η均随着I 的增加而减少．在P I I I η≤≤范围内，当P 增加时，η减少，而当P 减少时，η增加．因此，电流的最佳范围应为P I I I η≤≤．(9)2212()P I T T rI RI α=−−=，12()/R T T I r α=−−，P R r =，因为ηP I I >，1212()/()/P P R T T I r T T I r R ηηαα=−−<−−=．(10)根据电流的最佳范围P I I I η≤≤，可确定负载电阻R 的最佳范围应为ηP R R R ≤≤.11．太阳辐射的可见光波段承载了绝大部分的能量，地球上的能量从源头上说都来自太阳辐射．地球大气对可见光透明，到达地面的可见光一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收．被吸收的部分最终转换成为地球热辐射(红外波段的电磁波)．热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡．作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射可近似为黑体辐射．根据斯忒蕃—玻尔兹曼定律，单位面积的黑体辐射功率J 与表面的热力学温度T 的四次方成正比，即4J =T σ，其中σ是一个常量．已知太阳的温度30 5.7810K T =⨯(K 是热力学温度单位)，半径50 6.9610km R =⨯，地球到太阳的平均距离91.5010km d =⨯．假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为0.38β=．(1)如果地球表面对太阳辐射的平均反射率0.3α=，请问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少．(2)如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为0.85α'=，其余部分的反射率仍然是0.3α=．问冰雪覆盖面占总面积的多少以上时会导致冰雪覆盖面积不再减少．(1)根据斯忒蕃—玻尔兹曼定律，太阳辐射的总功率244S S P R T πσ=．太阳能均匀(各向同性)地向外传播．设地球半径为E r ，则地球接收太阳辐射的总功率为224S E PP r dππ=，即422()S S S E R P T r dσπ=①，地球表面反射可见光的总功率为S P α．设地球表面的温度为E T ，则地球的热辐射总功率为244E E E P r T πσ=②，考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为S E P P β+．当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量相等有S E S E P P P P βα+=+③，从而可得1/41/221()()21S E SR T T dαβ−=−④，代入数值有287K E T =⑤． (2)地球表面维持稳定的冰雪覆盖的低温状态要求地球表面的平均温度低于水的冰点0273K T =．将0E T T =代入式④，可求得地表对太阳辐射的平均反射率为0.43α'=⑥，设冰雪覆盖的地表面积比例为x ，则0.850.3(1)x x α'=+−⑦，可由此解得23%x =⑧．12．南极冰架崩裂形成一座巨型冰山，随洋流漂近一个城市．有人设计了一个利用这座冰山来发电的方案，具体过程为：(a )先将环境中一定量的空气装入体积可变的容器，在保持压强不变的条件下通过与冰山接触使容器内空气温度降至冰山温度；(b )使容器脱离冰山，保持其体积不变，让容器中的冷空气从环境中吸收热量，使其温度升至环境温度；(c )在保持容器体积不变的情况下让空气从容器中喷出，带动发电装置发电．如此重复，直至整座冰山融化．已知环境温度293K =a T ，冰山的温度为冰的熔点I 273K =T ，可利用的冰山的质量111.010kg m =⨯．为了估算可能获得的电能，设计者做出的假设和利用的数据如下：(1)空气可视为理想气体．(2)冰的熔解热53.3410J /kg =⨯L ；冰融化成温度为I T 的水之后即不再利用． (3)压强为p 、体积为V 的空气的内能 2.5=U pV ．(4)容器与环境之间的热传导良好，可以保证喷气过程中容器中空气温度不变． (5)喷气过程可分解为一连串小过程，每次喷出的气体的体积都是u ，且u 远小于容器的体积．在每个小过程中；喷管中的气体在内外压强差的作用下加速，从而获得一定动能E ∆，从喷嘴喷出．不考虑喷出气体在加速过程中体积的改变，并认为在喷气过程中容器内的气体压强仍是均匀的，外压强为大气压．(6)假设可能获得的电能是E ∆总和的45%． (7)当||1x <<时，()ln 1+≈x x ．试根据设计者的假设，计算利用这座冰山可以获得的电能．以a p 表示环境中大气的压强，则初始时装入容器的空气的压强为a p ，温度为a T ，以a V 表示其体积．当容器与冰山接触，达到平衡时，容器中空气的温度为T I ，体积减小为V0，根据题意，空气经历的过程为等压过程，故有0I aa V V T T =(1)在这一过程中，容器中空气内能的增加量为()02.5a a U p V V ∆=−(2)，大气对所考察空气做功为()0a a W p V V =−−(3)，若以Q 表示此过程中冰山传给容器中空气的热量，根据热力学第一定律有=∆−Q U W (4)，由以上四式得I 3.5a a a a T T Q p V T ⎛⎫−= ⎪⎝⎭(5)，(5)式给出的Q 是负的，表示在这一过程中，实际上是容器中的空气把热量传给冰山．容器中空气的温度降至冰山温度后，又经一过等容升温过程，即保持体积V 0不变，温度从T I 升至环境温度a T ，并从周围环境吸热．若以p 1表示所考察空气的压强，则有1I aa p p T T =(6)，设喷管的体积为u ；当喷管中的气体第一次被喷出时，容器中空气的压强由p 1降到p 2；根据题目给出的条件有()1020p V u p V −=(7)，即021V up p V −=(8)，喷出气体获得的动能()k11a E p p u ∆=−(9)．当喷管中的空气第二次被喷出后，容器中空气压强由p 2降到p 3，根据题给出的条件可得032V u p p V −=(10)，喷出气体获得的动能()k22a E p p u ∆=−(11)，当喷管中的空气第N 次被喷出后，容器内空气的压强由p N 降到p N +1，根据题给出的条件可得010N NV up p V +−=(12)，喷出气体获得的动能()kN N a E p p u ∆=−(13)，如果经过N 次喷射后，容器中空气的压强降到周围大气的压强，即1N a p p +=(14)，这时喷气过程终止．在整过喷气过程中，喷出气体的总动能k k1k2kN =∆+∆++∆E E E E …(15)，利用(8)到(13)式，(15)式可化成21000k 10001N a V u V u V u E p u Np u V V V −⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−⎢⎥=+++− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…(16)，(16)式等号右边第1项方括号内是N 项的等比级数，故有00k 1011Na V u VE p u Np u V u V ⎛⎫−− ⎪⎝⎭=−−−(17)．又根据(8)(10)(12)(14)各式可得010Na V u p p V ⎛⎫−= ⎪⎝⎭(18)，对(18)式等式两边取自然对数得01ln 1lna p u N V p ⎛⎫−= ⎪⎝⎭(19)，因0<<u V ，可利用近似公式()ln 1+≈x x 把(19)进一步化简，即01ln aV p N u p =(20)，进而由(17)(18)(20)三式得()1k 100ln a a a pE p p V p V p =−−(21)，将(1)(6)代入(21)式可得I I I k 1ln a a a a a T T T E p V T T T ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭(22)． 根据题意，这些动能可转化成的电能为I I I 0.451ln a a a a a T T T E p V T T T ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭(23)，以上讨论表明，要获得电能E ，冰山必须吸收-Q 的热量．整座冰山化掉可吸收的总热量=t Q mL (24)，因此可产生的总电量为=−t mL E E Q (25)，将(5)和(23)带入(25)式得I I II 1ln 9701a a a t aT T T T T T E mL T T −+=−(26)，代入数据后有141.510J t E =⨯(27)．。
全国中学生高中物理竞赛第16届—22届预赛热学题集锦(含答案)
全国中学生高中物理竞赛第16届—22届预赛热学题集锦（含答案）一、第16届预赛题. （15分）如图预16-3所示，两个截面相同的圆柱形容器，右边容器高为H ，上端封闭，左边容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。
两容器由装有阀门的极细管道相连通，容器、活塞和细管都是绝热的。
开始时，阀门关闭，左边容器中装有热力学温度为0T 的单原子理想气体，平衡时活塞到容器底的距离为H ，右边容器内为真空。
现将阀门缓慢打开，活塞便缓慢下降，直至系统达到平衡。
求此时左边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。
提示：一摩尔单原子理想气体的内能为32RT ，其中R 为摩尔气体常量，T 为气体的热力学温度。
参考解答设容器的截面积为A ，封闭在容器中的气体为ν摩尔，阀门打开前，气体的压强为0p 。
由理想气体状态方程有00p AH RT ν= （1） 打开阀门后，气体通过细管进入右边容器，活塞缓慢向下移动，气体作用于活塞的压强仍为0p 。
活塞对气体的压强也是0p 。
设达到平衡时活塞的高度为x ，气体的温度为T ，则有0()p H x A RT ν+= （2） 根据热力学第一定律，活塞对气体所做的功等于气体内能的增量，即003()()2p H x A R T T ν-=- （3） 由（1）、（2）、（3）式解得25x H =（4） 075T T = （5）二、第17届预赛题.（20分）绝热容器A 经一阀门与另一容积比A 的容积大得很多的绝热容器B 相连。
开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30℃，B 中气体的压强为A 中的2倍。
现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭。
问此时容器A 中气体的温度为多少？假设在打开到关闭阀门的过程中处在A 中的气体与处在B 中的气体之间无热交换．已知每摩尔该气体的内能为52U RT =，式中R 为普适气体恒量，T 是热力学温度． 参考解答设气体的摩尔质量为μ，容器A 的体积为V ，阀门打开前，其中气体的质量为M 。
全国中学生物理竞赛集锦(热学)标准答案
全国中学生物理竞赛集锦（热学)答案 第21届预赛２004.９．5一、1.e. ２．7×１0１9第21届复赛一、开始时U 形管右管中空气的体积和压强分别为 V 2 = H Ａ （１)p 2= ｐ1 ﻩ 经过2小时,Ｕ形管右管中空气的体积和压强分别为ﻩ A H H V )(2∆-='（2）2222V V p p '=' (3)渗透室下部连同U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为ﻩﻩHAV V ∆+='11（4）ﻩH g p p Δ221ρ+'=ﻩ(5) 式中ρ 为水的密度，g 为重力加速度.由理想气体状态方程nRT pV =可知，经过2小时,薄膜下部增加的空气的摩尔数ﻩRTV p RT V p n 1111-''=∆ （6)在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数A nN N ∆=ﻩ（７)式中ＮA 为阿伏伽德罗常量．渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了∆p ﻩ0V ΔnRTp =∆ﻩ（８) 经过2小时渗透室上部分中空气的压强为ﻩp p p ∆-='00ﻩ(９） 测试过程的平均压强差 [])(211010p p ()p p p '-'+-=∆（10)根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在０℃时对空气的透气系数ﻩﻩ11111s m Pa 104.2---⨯=∆=tSp Nd k(１1)评分标准:本题20分.(１)、(２)、(３)、(４）、(5)式各1分，（6)式３分,(7)、(8)、(9)、(1０) 式各2分,（１1) 式４分．第20届预赛三、参考解答1. 操作方案:将保温瓶中90.0t =℃的热水分若干次倒出来。
第一次先倒出一部分，与温度为010.0t =℃的构件充分接触，并达到热平衡,构件温度已升高到1t ,将这部分温度为1t 的水倒掉。
再从保温瓶倒出一部分热水，再次与温度为1t 的构件充分接触，并达到热平衡,此时构件温度已升高到2t ，再将这些温度为2t 的水倒掉。
物理竞赛热学部分习题
物理竞赛热学部分习题能⼒训练A组1、夏天，在密闭的绝热的房间⾥，⼀直打开冰箱门让冰箱运转起来，房间内的温度将_______(填“升⾼”或“降低”或“不变”)。
2、最近我国⼀些城市出现了环保汽车，该车型采⽤“清洁燃料”加“汽油”双燃料系统，使尾⽓中有害⽓体的成份降低了80%。
这种燃料是⽓态碳氢化合物，在微微加压的情况下即变为液体⽽储存于钢瓶中，加装到汽车供油系统。
当向发动机供“油”时，该燃料在钢瓶中逐渐汽化，然后进⼊⽓缸被点燃，从⽽产⽣动⼒。
3、在⽓温是20℃的房间⾥，⽤⽔银温度计测沸⽔的温度，当⽔银⾯经过“20”到“100”之间的某⼀刻度时，温度计的⽰数表⽰（）A、房间⾥空⽓的温度B、沸⽔的温度C、温度计中⽔银的温度D、什么也不表⽰4、在沿海或⼤湖附近的⽓温变化⽐远离⽔域的地区缓慢。
这主要是因为（）A、⽔在⼀般情况下⽐⼟壤温度⾼B、在⼀般情况下⽔⽐⼟壤温度低C、⽔⽐⼟壤更缓慢地变暖或变冷D、⽔⽐⼟壤更迅速地变暖或变冷5、两个相同的容器，内盛放相同体积、相同温度的热⽔，⼀个容器的表⾯是⽩⾊的，另⼀个表⾯是⿊⾊的，把它们放在同⼀个房间内，让它们⾃然冷却，则（）A、⽩⾊容器⾥的⽔冷却得快B、⿊⾊容器⾥的⽔冷却得快C、两个容器⾥的⽔冷却得⼀样快D、以上情况都有可能6、我国发射的神州四号飞船返回舱的表⾯有⼀层叫做“烧蚀层”的物质，它可以在返回⼤⽓层时保护返回舱不因⾼温⽽烧毁。
烧蚀层能起这种作⽤，除了它的隔热性能外，还由于（）A、它的硬度⼤，⾼温下不会损坏B、它的表⾯⾮常光滑，能减少舱体与空⽓的摩擦C、它在汽化时能吸收⼤量的热D、它能把热辐射到宇宙空间7、下列说法正确的是（）A、质量相同的两种物质吸收热量时，⽐热⼤的温度变化⼀定⼩B、1焦⽿的热量可以使1克⽔温度升⾼4.2℃C、物体的机械能增加时，热能也会增加D、⼀根锯条的温度升⾼，热能增加时，我们⽆法判断其增加热能的⽅法8、家中烧⽔的⽔壶，壶盖上常有⼀个⼩孔。
物理竞赛热学专题精编大全(带答案详解)
物理竞赛热学专题精编大全（带答案详解）一、多选题1．如图所示为一种简易温度计构造示意图，左右两根内径粗细均匀的竖直玻玻璃管下端通过软管相连接，在管中灌入某种液体后环境的温度。
重复上述操作，便可在左管上方标注出不同的温度刻，将左管上端通过橡皮塞插入小烧瓶中。
调节右管的高度，使左右两管的液面相平，在左管液面位置标上相应的温度刻度。
多次改变烧瓶所在度，为了增大这个温度计在相同温度变化时液面变化的髙度，下列措施中可行的是（）A ．增大液体的密度B．增大烧瓶的体积C．减小左管的内径 D ．减小右管的内径【答案】BC2．如图所示为两端封闭的U 形玻璃管，竖直放置，管内左、右两段封闭空气柱A、B 被一段水银柱隔开，设原来温度分别为T A和T B，当温度分别升高△ T A和△ T B时，关于水银柱高度差的变化情况，下列说法中正确的是（）A．当T A＝T B，且△ T A＝△ T B时，h一定不变B．当T A＝T B，且△ T A＝△ T B时，h一定增大C．当T A<T B，且△ T A<△ T B时，h一定增大D．当T A>T B，且△ T A＝△ T B时，h 一定增大【答案】BD【解析】【详解】AB. 由于左边的水银比右边的高?，所以右边的气体的压强比左边气体的压强大，即???> ???，设在变化的前后???两? 部分气体的体积都不发生变化，即???做?的都是等容变化，则?? ???? ??????根据????= ??????可??知，气体的压强的变化为 ????= ??????，??当????= ???，且????= ?? ??时，由于???>??????C. 当????< ???，且 ????< ????时，由于 ???> ???，根据 ????= ??????可??知不能判断 ?? ??和?? ??变化的大小，所以不能判断 ?的变化情况，故选项 C 错误；??????D. 当???? > ??，且?????= ?????时，由于 ???> ???，根据????=??????可??知 ????> ????，?一定增大， 故选项 D 正确；3．下列叙述正确的是（）A ．温度升高，物体内每个分子的热运动速率都增大B ．气体压强越大，气体分子的平均动能就越大C ．在绝热过程中外界对气体做功，气体的内能必然增加D ．自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向性 【答案】 CDA .温度升高，气体分子的平均动能增大， 但是个别分子运动速率可能减小， 故 A 错误； B.温度是气体分子的平均动能变化的标志。
高中物理竞赛十年复赛真题-热学(纯手打word版含问题详解)
十年真题－热学（复赛）1．（34届复赛7）如气体压强-体积图所示，摩尔数为ν的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A 到B 为直线过程，自B 到A 为等温过程．双原子理想气体的定容摩尔热容为52R ，R 为气体常量．（1）求直线AB 过程中的最高温度；（2）求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB 过程各段体积围是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度T c ；（3）求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功．解析：（1）直线AB 过程中任一平衡态气体的压强p 和体积V 满足方程p －p 0p 0－p 02＝V －V 02V 02－V 0此即 p ＝32p 0－p 0V 0V ①根据理想气体状态方程有：pV ＝νRT ② 由①②式得： T ＝1νR ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 0V 0V 2＋32p 0V ＝－p 0νR ⎝ ⎛⎭⎪⎫V －34V 02＋9p 0V 016νR ③ 由③式知，当V ＝34V 0时， ④气体达到直线AB 过程中的最高温度为：T max ＝9p 0V 016νR ⑤（2）由直线AB 过程的摩尔热容C m 的定义有：dQ ＝νC m dT ⑥ 由热力学第一定律有： dU ＝dQ －pdV ⑦由理想气体能公式和题给数据有：dU ＝νC V dT ＝ν52RdT ⑧由①⑥⑦⑧式得：C m ＝C V ＋p ν dV dT ＝52R ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32p 0－p 0V 0V 1ν dVdT ⑨由③式两边微分得：dV dT ＝2νRV 0p 0(3V 0－4V )⑩由⑩式带入⑨式得：C m ＝21V 0－24V 3V 0－4V R2 ⑪由⑥⑩⑪式得，直线AB 过程中，在V 从V 02增大到3V 04的过程中，C m ＞0，dV dT ＞0，故dQ dV ＞0，吸热 ⑫在V 从3V 04增大到21V 024的过程中，C m ＜0，dV dT ＜0，故dQdV ＞0，吸热 ⑬在V 从21V 024增大到V 0的过程中，C m ＞0，dV dT ＜0，故dQdV ＜0，放热 ⑭由⑫⑬⑭式可知，系统从吸热到放热转折点发生在V ＝V c ＝21V 024处由③式和上式得：T c ＝1νR ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 0V 0V 2＋32p 0V ＝35p 0V 064νR ⑮ （3）对于直线AB 过程，由⑥⑩式得： dQ ＝νC mdT dVdV ＝21V 0－24V4V 0p 0dV ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫214－6V V 0p 0dV⑯将上式两边对直线过程积分得，整个直线AB 过程中所吸收的净热量为：Q直线=⎠⎜⎛V 0/2V 0⎝⎛⎭⎪⎫214－6V V 0p 0dV ＝p 0⎝ ⎛⎭⎪⎫21V 4－3V 2V 0⎪⎪⎪V 0V 02＝38p 0V 0 ⑰直线AB 过程中气体对外所做的功为：W 直线＝12⎝⎛⎭⎪⎫p 0＋p 02⎝⎛⎭⎪⎫V 0－V 02＝38p 0V 0 ⑱等温过程中气体对外所做的功为：W 等温＝⎠⎛V 0V 0/2pdV ＝⎠⎜⎛V 0V 0/2p 0V 02dV V＝－p 0V 02ln2 ⑲一个正循环过程中气体对外所做的净功为：W ＝W 直线＋W 等温＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38－ln22p 0V 0 ⑳参考评分：第（1）问10分，①②式各3分，④⑤式各2分；第（2）问20分，⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮式各2分；第（3）问10分，⑯⑰⑱⑲⑳式各2分．2．（33届复赛2）秋天清晨，气温为4.0℃，一加水员到实验园区给一径为2.00m 、高为2.00m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水．罐体导热良好．罐外有一径为4.00cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），与大气相通，如图所示．加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），闭了罐顶的加水口．此时加水 员通过观察柱上的刻度看到罐水高为1.00m ． （1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0℃，问此时观察柱水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略．（2）从密闭水罐后至中午，罐空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐空气的热容量．已知罐外气压始终为标准大气压p 0＝1.01×105pa ，水在4.0℃时的密度为ρ0=1.00×103kg ·m -3，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为3.03×10-4K -1，重力加速度大小为g ＝9.80m/s 2，绝对零度为－273.15℃.解析：（1）清晨加完水封闭后，罐空气的状态方程为p 0V 0＝nRT 0 ① 至中午时由于气温升高，罐空气压强增大，设此时罐空气的压强、体积和温度分别为p 1、V 1、T 1，相应的状态方程为：p 1V 1＝nRT 1 ②此时观察柱和罐水位之差为：Δh ＝V 1－V 0S 1＋V 1－V 0S 2＋κ(T 1－T 0)(S 1＋S 2)l 0S 2③式中右端第三项是由原罐和观察柱水的膨胀引起的贡献，l 0＝1.00m 为早上加水后观察柱水面的高度，S 1＝πm 2，S 2＝4π×10－4m 2分别为罐、观察柱的横截面积． 由力平衡条件有：p 1＝p 0＋ρ1g Δh 1 ④ 式中ρ1＝ρ01＋κ(T 1－T 0)是水在温度为T 1时的密度． ⑤联立①②③④⑤式得：ρ1gS ′(Δh )2＋(p 0S 1＋λρ1gV 0)－⎝ ⎛⎭⎪⎫T 1T 0－λp 0V 0＝0⑥ 式中S ′＝S 1S 2S 1＋S 2，λ＝1－κ(T 1－T 0) ⑦解⑥得：Δh ＝－(p 0S 1＋λρ1gV 0)＋(p 0S 1＋λρ1gV 0)2＋4ρ1gS ′p 0V 0⎝ ⎛⎭⎪⎫T 1T 0－λ2ρ1gS ′＝0.812m ⑧另一解不合题意，舍去．由③⑤⑦⑧式和题给数据得：V 1－V 0＝S ′Δh －κ(T 1－T 0)S 1l 0＝－0.0180m 3 由上式和题给数据得，中午观察柱水位为：l 1＝Δh －V 1－V 0S 1＋l 0＝1.82m ⑨（2）先求罐空气从清晨至中午对外所做的功．解法（一）早上罐空气压强p 0＝1.01×105pa ，中午观察柱水位相对于此时罐水位升高Δh ，罐空气压强升高了Δp ＝ρ1g Δh ＝7.91×103pa ⑩ 因Δp <<p 0，认为在准静态升温过程中罐平均压强p －＝p 0＋12Δp ＝11.05×105pa⑪罐空气体积缩小了ΔV ＝0.0180m 3 ⑫ 可见ΔVV<<1，这说明⑪式是合理的．罐空气对外做功W ＝p －ΔV ＝－1.9×103J ⑬ 解法（二）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午之间的任意时刻，设罐空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V 、T 和p ．水温为T 时水的密度为ρ＝ρ01＋κ(T －T 0) ⑩将②③④式中的V 1、T 1和p 1换为V 、T 和p ，利用⑩式得罐空气在温度为T 时的状态方程为：p ＝p 0＋ρg S ′[V 1－V 0＋κ(T 1－T 0)S 1l 0]＝p 0＋ρgS 1l 0S ′V 1－V 0S 1l 0＋κ(T 1－T 0)1＋κ(T 1－T 0)⑪由题设数据和前门计算结果可知，κ(T －T 0)＜κ(T 1－T 0)＝0.0060V －V 0S 1l 0＜V 1－V 0S 1l 0＝0.0057这说⑪式右端分子中与T 有关的项不可略去，而右端分母中与T 有关的项可略去．于是⑪式：p ＝p 0＋ρg S ′[V 1－V 0＋κ(T 1－T 0)S 1l 0]＝p 0＋ρgS 1l 0S ′⎣⎢⎡⎦⎥⎤V 1－V 0S 1l 0＋κ(T 1－T 0)利用状态方程，上式可改写成p ＝p 0－ρg S ′(V 0＋κT 0S 1l 0)＋nRκS 1l 01－κρ0gl 0nRS 1S ′V－nR κS 1l 0⑫从封闭水罐后至中午，罐空气对外界做的功为W ＝⎠⎛V 0V 1pdV＝⎠⎜⎛V 0V 1⎝⎛⎭⎪⎫p 0－ρg S ′(V 0＋κT 0S 1l 0)＋nRκS 1l 01－κρ0gl 0nR S 1S ′V －nR κS 1l 0dV＝－nR κS 1l 0⎩⎨⎧⎭⎬⎫(V 1－V 0)－S ′ρ0g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤p 0－ρ0g S ′(V 0＋κT 0S 1l 0)＋nR κS 1l 0ln 1－κρ0gl 0nR S 1S ′V 11－κρ0gl 0nR S 1S ′V⑬＝－1.9×103J解法（三）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午的任意时刻，罐空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V 、T 和p ．水在温度为T 时的密度为ρ＝ρ01＋κ(T －T 0) ⑩将②③④式中的V 1、T 1和p 1换为V 、T 和p ，利用⑩式得罐空气在温度为T 时的状态方程为p ＝p 0＋ρg S ′[V －V 0＋κ(T 1－T 0)S 1l 0]＝p 0＋ρ0g S ′V －V 0＋κ(T －T 0)S 1l 01＋κ(T －T 0)＝p 0＋ρ0g S ′S 1l 0＋ρ0g S ′ V －V 0－S 1l 01＋κ(T －T 0)≈p 0＋ρ0gS 1l 0S ′＋ρ0g S ′(V －V 0－S 1l 0)[1－κ(T －T 0)]＝p 0＋ρ0gS 1l 0S ′＋ρ0g S ′⎣⎢⎡⎦⎥⎤(V －V 0－S 1l 0)(1＋κT 0)－κnR PV (V －V 0－S 1l 0) ⑪ ≈p 0＋ρ0gS 1l 0S ′＋ρ0g S ′(V －V 0－S 1l 0)(1＋κT 0)＋ρ0g S ′κS 1l 0nRPV＝p 0＋ρ0gS 1l 0S ′＋ρ0g S ′(V －2V 0)(1＋κT 0)＋ρ0g S ′ κV 0nRPV ＝p 0＋ρ0gS 1l 0S ′＋ρ0g S ′(V －2V 0)(1＋κT 0)＋ρ0g S ′κT 0p 0PV 式中应用了κ(T －T 0)＜κ(T 1－T 0)＝0.0060，V －V 0S 1l 0＜V 1－V 0S 1l 0＝0.0057⑪式可改写成p ＝p 0＋ρ0gS 1l 0S ′＋ρ0g S ′(V －2V 0)(1＋κT 0)1－ρ0g S ′κT 0p 0V＝－(1＋κT 0)p 0κT 0＋1＋2κT 02κT 0p 0－ρ0gV 0S ′(1+2κT 0)1－ρ0g S ′κT 0p 0V⑫从封闭水罐后至中午，罐空气对外界做的功为W ＝⎠⎛V 0V 1pdV ＝⎠⎜⎛V 0V 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋2κT 02κT 0p 0－ρ0gV 0S ′(1+2κT 0)1－ρ0g S ′κT 0p 0VdV＝－(1＋κT 0)p 0κT 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤V －V 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S ′p 0ρ0g κT 0－V 0lnS ′p 0－ρ0g κT 0V 1S ′p 0－ρ0g κT 0V 0 ⑬＝－1.9×103J现计算罐空气的能变化．由能量均分定理知，罐空气中午相对于清晨的能改变为：ΔU ＝52nR (T 1－T 0)＝52 p 0V 0T 0(T 1－T 0)＝5.72×104J ⑭式中5是常温下空气分子的自由度．由热力学第一定律得罐空气的吸热为：ΔQ ＝W ＋ΔU ＝5.54×104J ⑮ 从封闭水罐后至中午，罐空气在这个过程中的热容量为：C ＝ΔQT 1－T 0＝2.77×103J/K ⑯参考评分：第（1）问10分，①②③④⑤⑥⑦⑧式各1分，⑨式2分；第（2）问10分，⑩⑪⑫式各1分，⑬⑭⑮式各2分，⑯式1分．3．（32届复赛7）如图，1mol 单原子理想气体构成的系统分别经历循环过程abcda 和abc ′a ．已知理想气体在任一缓慢变化过程中，压强p 和体积V 满足函数关系p ＝f (V )．（1）试证明：理想气体在任一缓慢变化过程的摩尔热容可表示为C π＝C V ＋pR p +VdpdV，式中，C V 和R 分别为定容摩尔热容和理想气体常数；（2）计算系统经bc ′直线变化过程中的摩尔热容；（3）分别计算系统经bc ′直线过程中升降温的转折点在p-V 图中的坐标A 和吸放热的转折点在p-V 图中的坐标B ；（4）定量比较系统在两种循环过程的循环效率．解析：（1）根据热力学第一定律有：dU ＝δQ ＋δW ① 这里对于1mol 理想气体经历的任一缓慢变化过程中，δQ 、δW 和dU 可分别表示为δQ ＝CπdT 、δW ＝－pdV 、dU ＝C V dT②将理想气体状态方程pV ＝RT 两边求导得p dV dT＋Vdp dVdV dT＝R③式中利用了dp dT ＝dp dVdV dT，根据③式有：dV dT＝R p ＋VdpdV④联立①②③④式得：C π＝C V ＋pR p +VdpdV⑤（2）设bc ′过程方程为p ＝α－βV ⑥ 根据C π＝C V ＋pR p +VdpdV可得该直线过程的摩尔热容为：C π＝C V ＋α－βVα－2βV)R⑦式中C V ＝32R 是单原子理想气体的定容摩尔热容．对bc ′过程的初态(3p 1,V 1)和终态(p 1,5V 1)有：3p 1＝α－βV 1、p 1＝α－5βV 1 ⑧由⑧式得：α＝72p 1、β＝p 12V 1 ⑨由⑥⑦⑧⑨式得：C π＝8V －35V 14V －14V 1R ⑩（3）根据过程热容的定义有：C π＝ΔQΔT ⑪式中，ΔQ 是气体在此直线过程中，温度升高ΔT 时从外界吸收的热量．由⑩⑪式得：ΔT ＝4V －14V 18V －35V 1RΔQ⑫ΔQ ＝8V －35V 14V －14V 1 ΔTR⑬由⑫式可知，bc ′过程中的升降温的转折点A 在p -V 图上的坐标为A (72V 1,74p 1) ⑭由⑩式可知，bc ′过程中的吸放热的转折点B 在p -V 图上的坐标为B (358V 1,2116p 1)⑮（4）对于abcda 循环过程，ab 和bc 过程吸热，cd 和da 过程放热 Q ab ＝nC V (T b －T a )＝1.5(RT b －RT a )＝3p 1V 1 Q bc ＝nC p (T c －T b )＝ 2.5(RT c －RT b )＝15p 1V 1⑯式中已知n ＝1mol ，单原子理想气体定容摩尔热容C V ＝32R ，定压摩尔热容C V ＝52R气体在abcda 循环过程中的效率可表示为循环过程中对外做的功处以总吸热，即ηabcda＝W abcda Q ab ＋Q bc＝4p 1V 118p 1V 1＝0.22⑰对于abc ′a 循环过程，ab 和bB 过程吸热，Bc ′和c ′a 过程放热．由热力学第一定律可得bB 过程吸热为：Q bc ′＝ΔU bB －W bB ＝nC V (T B －T b )＋12(p B ＋3p 1)(V B －V 1)＝11.39p 1V 1 ⑱所以循环过程abc ′a 的效率为ηabc ′a＝W abc ′a Q ab ＋Q bc ′＝4p 1V 114.39p 1V 1＝0.278⑲由⑰⑲式可知，ηabc ′a ＞ηabcda ⑳ 参考评分：第（1）问5分，①②③④⑤式各1分；第（2）问5分，⑥⑦⑧⑨⑩式各1分；第（3）问7分，⑪式1分，⑫⑬式各2分，⑭⑮式各1分；第（4）问5分，⑯⑰⑱⑲⑳式各1分．4．（31届复赛2）一种测量理想气体的摩尔热容比γ＝C p /C V 的方法（Clement-Desormes方法）如图所示：大瓶G 装满某种理想气体，瓶盖上通有一个灌气（放气）开关H ，另接出一根U 形管作为压强计M ．瓶外的压强差通过U 形管右、左两管液面的高度差来确定．初始时，瓶外的温度相等，瓶气体的压强比外面的大气压强稍高，记录此时U 形管液面的高度差h i ．然后打开H ，放出少量气体，当瓶外压强相等时，即刻关闭H ．等待瓶外温度又相等时，记录此时U 形管液面的高度差h f ．试由这两次记录的实验数据h i 和h f ，导出瓶气体的摩尔热容比γ的表达式．（提示：放气过程时间很短，可视为无热量交换；且U 形管很细，可忽略由高差变化引起的瓶气体在状态变化前后的体积变化）→解析：解法（一）瓶理想气体经历如下两个气体过程：(p i ,V 0,T 0,N i )——――——→放气(绝热膨胀)(p 0,V 0,T ,N f )—―——→等容升温(p f ,V 0,T 0,N f )其中，(p i ,V 0,T 0,N i )、(p 0,V 0,T ,N f )、(p f ,V 0,T 0,N f )分别是瓶气体在初态、中间态与末态的压强、体积、温度和摩尔数．根据理想气体方程pV ＝NkT ，考虑到由于气体初、末态的体积和温度相等，有p f p i ＝N fN i ①另一方面，设V ′是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为p 0时的体积，即：(p i ,V 0,T ,N i )—―——→绝热膨胀(p 0,V ′,T 0,N i )此绝热过程满足V 0V ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 0p i 1γ ②由状态方程有p 0V ′＝N i kT 和p 0V 0＝N f kT ，所以N f N i ＝V 0V ′ ③ 联立①②③式得p f p i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 0p i 1γ ④此即γ＝lnp i p 0lnp i p f ⑤ 由力学平衡条件有p i ＝p 0＋ρgh i ⑥ p f ＝p 0＋ρgh f ⑦ 式中，p 0＋ρgh 0为瓶外的大气压强，ρ是U 形管中液体的密度，g 是重力加速度的大小．由⑤⑥⑦式得γ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋h i h 0ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋h i h 0－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋h f h 0 ⑧ 利用近似关系式：当x <<1，ln(1＋x )≈x ，以及h i h 0<<1，h fh 0<<1有γ＝h ih 0h i h 0－h f h 0＝h i h i －h f ⑨参考评分：本题16分．①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各2分．解法（二）若仅考虑留在容器的气体：它首先经历了一个绝热膨胀过程ab ，再通过等容升温过程bc 达到末态(p i ,V 1,T 0)绝热膨胀ab ——————→(p 0,V 0,T )等容升温bc —————→(p f ,V 0,T 0) 其中，(p i ,V 1,T 0)、(p 0,V 0,T )、和(p f ,V 0,T 0)分别是留在瓶的气体在初态、中间态和末态的压强、体积与温度．留在瓶的气体先后满足绝热方程和等容过程方程ab ：p 1γ－1T 0γ＝p 0γ－1T γ ①bc ：p 0T ＝p f T 0② 由①②式得：p f p i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 0p i 1γ ③此即γ＝lnp i p 0lnp i p f ④ 由力学平衡条件有p i ＝p 0＋ρgh i ⑤ p f ＝p 0＋ρgh f ⑥ 式中，p 0＋ρgh 0为瓶外的大气压强，ρ是U 形管中液体的密度，g 是重力加速度的大小．由④⑤⑥式得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋h i h 0ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋h i h 0－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋h f h 0 ⑦ 利用近似关系式：当x <<1，ln(1＋x )≈x ，以及h i h 0<<1，h fh 0<<1有γ＝h ih 0h i h 0－h f h 0＝h i h i －h f ⑧参考评分：本题16分．①②式各3分，④⑤⑥⑦⑧式各2分．5．（30届复赛6）温度开关用厚度均为0.20mm 的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20℃时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片．若钢和青铜的线膨胀系数分别为1.0×10-5/度和2.0×10-5/度．当温度升高到120℃时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示．试求双金属片弯曲的曲率半径．(忽略加热时金属片厚度的变化．) 解析：设弯成的圆弧半径为r ，金属片原长为l ，圆弧所对的圆心角为φ，钢和青铜的线膨胀系数分别为α1和α2，钢片和青铜片温度由T 1＝20℃升高到T 2＝120℃时的伸长量分别为Δl 1和Δl 2. 对于钢片 (r －d 2)φ＝l ＋Δl 1 ① Δl 1＝l α1(T 2－T 1) ②式中，d ＝0.20mm ．对于青铜片(r ＋d 2)φ＝l ＋Δl 2 ③ Δl 2＝l α2(T 2－T 1) ④联立以上各式得r ＝2＋(α1＋α2)(T 2－T 1)2(α2－α1)(T 2－T 1)d ＝2.0×102mm ⑤ 参考评分：本题15分．①式3分，②式3分，③式3分，④式3分，⑤式3分． 6．（29届复赛6）如图所示，刚性绝热容器A 和B 水平放置，一根带有绝热阀门和多孔塞的绝热刚性细短管把容器A 、B 相互连通．初始时阀门是关闭的，A 装有某种理想气体，温度为T 1；B 为真空．现将阀门打开，气体缓慢通过多孔塞后进入容器B 中．当容器A 中气体的压强降到与初始时A 中气体压强之比为α时，重新关闭阀门．设最后留在容器A 的那部分气体与进入容器B 中的气体之间始终无热量交换，求容器B 中气体质量与气体总质量之比．已知：1mol 理想气体的能为u ＝CT ，其中C 是已知常量，T 为绝对温度；一定质量的理想气体经历缓慢的绝热过程时，其压强p 与体积V 满足过程方程常量=+C RC pV ，其中R 为普适气体常量．重力影响和连接管体积均忽略不计．解析：设重新关闭阀门后容器A中气体的摩尔数为n1，B中气体的摩尔数为n2，则气体总摩尔数为n＝n1＋n2①把两容器中的气体作为整体考虑，设重新关闭阀门后容器A中气体温度为T1′，B中气体温度为T2，重新关闭阀门之后与打开阀门之前气体能的变化可表示为ΔU＝n1C(T1′－T1)＋n2C(T2－T1) ②由于容器是刚性绝热的，按热力学第一定律有ΔU＝0 ③令V1表示容器A的体积, 初始时A中气体的压强为p1，关闭阀门后A中气体压强为αp1，由理想气体状态方程可知n＝p1V1RT1④n1＝(αp1)V1RT1′⑤由以上各式可解得：T2＝(1－α)T1T1′T1′－αT1由于进入容器B中的气体与仍留在容器A中的气体之间没有热量交换，因而在阀门打开到重新关闭的过程中留在容器A中的那部分气体经历了一个绝热过程，设这部分气体初始时体积为V10(压强为p1时)，则有p1V10C＋RC＝(αp1)V1C＋RC⑥利用状态方程可得p1V10T1＝(αp1)V1T1′⑦由①②③④⑤⑥⑦式得，阀门重新关闭后容器B中气体质量与气体总质量之比n2n＝2－αRC＋R－αCC＋R2―α―αRC＋R⑧参考评分：本题15分．①式1分，②式3分，③式2分，④⑤式各1分，⑥式3分，⑦式1分，⑧式3分．7．（28届复赛6）如图所示为圆柱形气缸，气缸壁绝热，气缸的右端有一小孔与大气相通，大气的压强为P 0．用一热容量可忽略的导热隔板N和一绝热活塞M 将气缸分为A 、B 、C 三室，隔板与气缸固连，活塞相对气缸可以无摩擦地移动但不漏气．气缸的左端A 室中有一电加热器Ω．已知在A 、B 室中均盛有1摩尔同种理想气体，电加热器加热前，系统处于平衡状态，A 、B 两室中气体的温度均为T 0，A 、B 、C 三室的体积均为V 0．现通过电加热器对A 室中气体缓慢加热，若提供的总热量为Q 0，试求B 室中气体的末态体积和A 室中气体的末态温度．（设A 、B 两室中气体1摩尔的能为U ＝52RT ，式中R 为普适气体常量，T 为绝对温度）在电加热器对A 室中气体加热的过程中，由于隔板N 是导热的，B 室中气体的温度要升高，活塞M 将向右移动.当加热停止时，活塞M 有可能刚移到气缸最右端，亦可能尚未移到气缸最右端. 当然亦可能活塞已移到气缸最右端但加热过程尚未停止．解析：（1）设加热恰好能使活塞M 移到气缸的最右端，则B 室气体末态的体积V B ＝2V 0 ① 根据题意，活塞M 向右移动过程中，B 中气体压强不变，用T B 表示B 室中气体末态的温度，有V 0T 0＝V BT B ②由①②式得 T B ＝2T 0 ③ 由于隔板N 是导热的，故A 室中气体末态的温度 T A ＝2T 0 ④ 下面计算此过程中的热量Q m ．在加热过程中，A室中气体经历的是等容过程，根据热力学第一定律，气体吸收的热量等于其能的增加量，即Q A ＝52R (T A －T 0) ⑤ 由④⑤两式得 Q A ＝52RT 0 ⑥ B 室中气体经历的是等压过程，在过程中B 室气体对外做功为W B ＝p 0(V B －V 0) ⑦ 由①⑦式及理想气体状态方程得W B ＝RT 0 ⑧能改变为ΔU B ＝52R (T B －T 0) ⑨ 由④⑨两式得ΔU B ＝52RT 0 ⑩ 根据热力学第一定律和⑧⑩两式， B 室气体吸收的热量为Q B ＝ΔU B ＋W B ＝72RT 0 ⑪ 由⑥⑪两式可知电加热器提供的热量为Q m ＝Q A ＋Q B ＝6RT 0 ⑫ 若Q 0＝Q m ，B 室中气体末态体积为2V 0，A 室中气体的末态温度2T 0．（2）若Q 0＞Q m ，则当加热器供应的热量达到Q m 时，活塞刚好到达气缸最右端，但这时加热尚未停止，只是在以后的加热过程中气体的体积保持不变，故热量Q 0－Q m 是A 、B 中气体在等容升温过程中吸收的热量．由于等容过程中气体不做功，根据热力学第一定律，若A 室中气体末态的温度为T A ′，有Q 0－Q m ＝52R (T A ′－2T 0)＋52R (T A ′－2T 0) ⑬ 由⑫⑬两式可求得T A ′＝Q 05R ＋45T 0 ⑭ B 中气体的末态的体积V B ′＝2V 0 ⑮（3）若Q 0＜Q m ，则隔板尚未移到气缸最右端，加热停止，故B 室中气体末态的体积V B ″＜2V 0．设A 、B 两室中气体末态的温度为T A ″，根据热力学第一定律，注意到A 室中气体经历的是等容过程，其吸收的热量Q A ＝52R (T A ″－T 0) ⑯ B 室中气体经历的是等压过程，吸收热量Q B ＝52R (T A ″－T 0)＋p 0(V B ″－V 0) ⑰ 利用理想气体状态方程，上式变为Q B ＝72R (T A ″－T 0) ⑱ 由上可知Q 0＝Q A ＋Q B ＝6R (T A ″－T 0)T 0 ⑲ 所以A 室中气体的末态温度T A ″＝Q 06R ＋T 0 ⑳ B 室中气体的末态体积V B ″＝V 0T 0T A ″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫Q 06RT 0＋1V 0 ○21 参考评分：本题20分．得到Q 0＝Q m 的条件下①④式各1分；⑫式6分，得到Q 0＞Q m 的条件下的⑭式4分，⑮式2分；得到Q 0＜Q m 的条件下的⑳式4分，○21式2分． 8．（27届复赛7）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收．被吸收的部分最终转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）．热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡．作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率J 与表面的热力学温度T 的四次方成正比，即J ＝σT 4，其中σ是一个常量．已知太阳表面温度T s ＝5.78×103K ，太阳半径R s ＝6.69×105km ，地球到太阳的平均距离d ＝1.50×108km ．假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为ρ＝0.38．（1）如果地球表面对太阳辐射的平均反射率α＝0.30，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？（2）如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为α1=0.85，其余部分的反射率处α2＝0.25．间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为273K ．解析：（1）根据题意，太阳辐射的总功率P S ＝4πR 2S σT 4S ，太阳辐射各向同性的向外传播．设地球半径为r E ，可以认为地球所在处的太阳辐射是均匀的，故地球接收太阳辐射的总功率为：P I ＝σT 4S ⎝ ⎛⎭⎪⎫R S d 2πr 2E①地球表面反射太阳辐射的总功率为αP I ．设地球表面的温度为T E ，则地球的热辐射总功率为：P E ＝4πr 2E σT 4E ② 考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为P I ＋βP E ．当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量相等，有：P I ＋βP E ＝αP I ＋P E ③由以上各式得：T E ＝T S22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α1－β14⎝ ⎛⎭⎪⎫R S d 12 错误！未定义书签。
高中物理竞赛热学部分优题选
高中物理竞赛热学部分优题选1．一个老式的电保险丝，由连接在两个端纽之间的一根细而均匀的导线构成。
导线按斯特藩定律从其表面散热。
斯特藩定律指出:辐射功率P 跟辐射体表面积S 以及一个与温度有关的函数成正比，即(),44外辐T T S P -∞试说明为什么用保险丝时并不需要准确的长度。
解：设l 为保险丝长度，r 为其半径，P 为输至整个保险丝上的功率。
若P 增大，保险丝的温度将上升，直到输入的电功率等于辐射的功率。
所以当P 超过某一值max P 时，在一定的时间内，保险丝将烧毁，而 (),2144m a x l r cTTkS P ⨯⨯=-=π外熔式中k 为一常数，S 为表面积，1c 为一常数。
由于P=I 2R ，假设保险丝的电阻R 比它所保护的线路电阻小很多，则I 不依赖于R ，而ρρ,Sl R =为常数，2r S π=为保险丝的横截面积。
,/22r l I P πρ=当rl c r l I 222/=时(这里2c 为另一常数)，保险丝将熔化。
.322r c I =可见，保险丝的熔断电流不依赖于长度，仅与其粗细程度(半径r)有关。
2．有两根长度均为50cm 的金属丝A 和B 牢固地焊在一起，另两端固定在牢固的支架上（如图21-3）。
其线胀系数分别为αA =1.1×10-5/℃，αB =1.9×10-5/℃，倔强系数分别为K A =2×106N/m ，K B =1×106N/m ；金属丝A 受到450N 的拉力时就会被拉断，金属丝B 受到520N 的拉力时才断，假定支架的间距不随温度改变。
问：温度由+30°C 下降至-20°C 时，会出现什么情况？（A 、B 丝都不断呢，还是A 断或者B 断呢，还是两丝都断呢？）不计金属丝的重量，在温度为30°C 时它们被拉直但张力为零。
解：金属A 和B 从自由状态降温，当温度降低t ∆时的总缩短为t l l l l B A B A ∆+=∆+∆=∆0)(αα （1）而在-20°C 时，若金属丝中的拉力为F ，则根据胡克定律，A 、B 的伸长量分别为F/K A 和F/K B ，所以 lK E K EBA∆=+（2） t l K K F B A BA∆+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0)(11αα （3） 所以 NK K tl F BAB A 50011)(0=+∆+=αα因为N F 450>，所以温度下降到-20°C 前A 丝即被拉断。
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高中物理竞赛——热学题选1．一个老式的电保险丝，由连接在两个端纽之间的一根细而均匀的导线构成。
导线按斯特藩定律从其表面散热。
斯特藩定律指出:辐射功率P 跟辐射体表面积S 以及一个与温度有关的函数成正比，即(),44外辐T T S P -∞试说明为什么用保险丝时并不需要准确的长度。
2．有两根长度均为50cm 的金属丝A 和B 牢固地焊在一起，另两端固定在牢固的支架上（如图21-3）。
其线胀系数分别为αA =1.1×10-5/℃，αB =1.9×10-5/℃，倔强系数分别为K A =2×106N/m ，K B =1×106N/m ；金属丝A 受到450N 的拉力时就会被拉断，金属丝B 受到520N 的拉力时才断，假定支架的间距不随温度改变。
问：温度由+30°C 下降至-20°C 时，会出现什么情况？（A 、B 丝都不断呢，还是A 断或者B 断呢，还是两丝都断呢？）不计金属丝的重量，在温度为30°C 时它们被拉直但张力为零。
3．长江大桥的钢梁是一端固定，另一端自由的。
这是为什么？如果在-10℃时把两端都固定起来，当温度升高到40℃时，钢梁所承担的胁强（压强）是多少？（钢的线胀系数为12×10-6/℃，弹性模量为2.0×105N/mm 2，g=10m/s 2）4．厚度均为a=0.2毫米的钢片和青铜片，在T 1=293开时，将它们的端点焊接起来，成为等长的平面双金属片，若钢和青铜的线膨胀系数分别为10-5/度和2×10-5/度，当把它们的温度升高到T 2=293开时，它们将弯成圆弧形，试求这圆弧的半径，在加热时忽略厚度的变化。
5．在负载功率P 1=1kW ，室温t 0=20℃时，电网中保险丝的温度达到t 1=120℃，保险丝的材料的电阻温u C 图21-13度系数α=4×10-3K-1，保险丝的熔断温度t2=320℃，其所释放的热量与温度差成正比地增加，请估计电路中保险丝熔断时负载的功率。
6．毛细管由两根内径分别为d1和d2的薄玻璃管构成，其中d1›d2，如图21-15所示，管内注入质量为M 的一大滴水。
当毛细管水平放置时，整个水滴“爬进”细管内，而当毛细管竖直放置时，所有水从中流出来。
试问当毛细管的轴与竖直方向之间成多大角时，水滴一部分在粗管内而另一部分在细管内？水的表面张力系数是σ，水的密度为ρ。
对玻璃来说，水是浸润液体。
图21-157．有一摆钟在25℃时走时准确，它的周期是2s，摆杆为钢质的，其质量与摆锤相比可以忽略不计，仍可认为是单摆。
当气温降到5℃时，摆钟每天走时如何变化？已知钢的线胀系数α=1.2×10-5℃-1。
8．有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计），直径为d=2.0m。
球内充有压强p0=1.005×105Pa的气体，该布料所能承受的最大不被撕破力f m=8.5×103N/m，（即对于一块展平的一米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5×103N时，布料将被撕破）。
开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为p a0=1.000×105Pa，温度T0=293K。
假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化，压强的变化为a p=-9.0Pa/m，温度的变化为a T=-3.0×10-3K/m，问该气球上升到多少高度时将破裂？假设气体上升很缓慢，可认为球内温度随时与周围空气的温度保持一致，在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。
9．有一底部开口的热气球，其体积V b=1.1m3是常数，气球蒙皮的质量m k=0.187kg，其体积可忽略不计，空气的初始温度为θ3=20℃，正常的外部气压为p0=1.013bar，在这些条件下的空气密度为ρ1=1.2kg/m2。
1．为使气球刚好能浮起，气球内的空气必须加热到多高的温度？2．先把气球系牢于地，把内部空气加热到稳态温度θ3=110℃。
当气球被释放并开始上升时，其最初的加速度是多少？3．将气球下部扎紧，在气球内部的空气维持稳态温度θ1=110℃的情形下，气球在温度为20℃和地面大气压为p 0=1.013bar 的等温大气中上升，在这些条件下，求气球能达到的高度h .4.在高度h 处[见问题3]，将气球从其平衡位置拉离Δh=10m ，然后释放，问气球将作何种运动？10．任何弯曲表面薄膜都对液体施以附加压强，如果液体的表面是半径为R 的球面的一部分，求其产生的附加压强为多大？11．将1大气压的空气吹成r=2.5厘米的肥皂泡，应作多少功？肥皂液的表面张力系数α=45×10-3牛/米。
12．紧绷的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB 将薄膜分隔成两部分（如图21-29（a ））。
为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线AB 受到表面张力作用被拉紧，试求此时线的张力。
两平行边之间的距离为d ，线AB 的长度为l （L ›πd/2），肥皂液的表面张力系数为σ。
13．在航天飞船上，如图21—34所示，有一长cm l 20=的圆筒，绕着与筒长度方向垂直的轴o o '以恒定的转速min /100=n 旋转，筒近轴端离o o '为cm d 10=，筒内装有非常粘稠、密度3/2.1cm g =ρ的液体，有一颗质量为mg m 0.1='、密度3/5.1cm g ='ρ粒子从圆筒正中部释放（初始相对筒静止），试求粒子到达筒端克服粘滞阻力所做功。
又问如果这个粒子密度3/0.1cm g =''ρ，其他条件均不变，则粒子到达筒端过程中克服粘滞阻力所做功又是多少？14．一个气球中充满了2molH 2S ，气球体积为0.15m 3，球内放了一个内装1molSO 2的小容器，小容器与气球本身重量可忽略不计，在t=0时刻放手，气球向上飘起，假设上升10s 后，小容器自动弹开放出SO 2，又过了10s 反应完全，此时气球的速率为40m/s ，方向向上，且在此10s 内，气球上升高度为100m 。
问再过多久气球重新回到地面，气球内SO 2的平均反应速率为多少？（空气阻力不计，空气密度为 1.29kg/m 3，f∆f ∆图21-20图21—34g=9.8m/s2）15．如图22-20所示，若在湖水里固定一细长圆管，管内有一活塞，它的下端位于水面上，活塞的底面积S=1cm2，质量不计，水面的大气压强P0=1.0×105Pa。
现把活塞缓慢地提高H=5m，则拉力对活塞做的功为J。
16．质量为m1的圆筒水平地放置在真空中，质量为m2、厚度可忽略的活塞将圆筒分为体积相同的两部分（图23-13（a）），圆筒的封闭部分充有n摩尔的单原子理想气体，气体的摩尔质量为M，温度为T0，突然放开活塞，气体逸出。
试问圆筒的最后速度是多少？设摩擦力、圆筒和活塞的热交换以及气体重心的运动均忽略不计。
(T0=273K,m1=0.6kg,m2=0.3kg,n=25mol,氦的摩尔质量为4×10-3kg/mol,c V=12.6J/mol·K,γ=5/3）17．试估算地球大气的总质量M和总分子数N。
18．有一气缸，除底部外都是绝热的，上面是一个不计重力的活塞，中间是一块固定的导热隔板，把气缸分隔成相等的两部分A和B，上、下各有1mol氮气（图27-3），现由底部慢慢地将350J热量传送给缸内气体，求（1）A、B内气体的温度各改变了多少？（2）它们各吸收了多少热量。
若是将中间的导热隔板变成一个绝热活塞，其他条件不变，则A、B的温度又是各改变多少（不计一切摩擦）？图23-13（b）2v1图27-319．一卡诺机在温度为27ºC 和127ºC 两个热源之间运转，（1）若在正循环中，该机从高温热源吸热1.2×103cal ，则将向低温热源放热多少？对外作功多少？（2）若使该机反向运转（致冷机），当从低温热源吸热1.2×103cal 热量，则将向高温热源放热多少？外界作功多少？20．一个质量为m=200.0kg ，长L 0=2.00m 薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部（如图27-15（a ）所示）。
桶的内横截面积S=0.500m 2（桶的容积为L 0S ），桶本身（桶壁与桶底）的体积V 0=2.50×10-2m 3，桶内封有高度L=0.200m 的空气。
池深H 0=20.00m 。
大气压强P 0=10.00Mh 2o ，水的密度ρ=1.000×103kg/m 3，重力加速度g 取10.00m/s 2。
若用图中所示的吊绳将桶上提，使桶底能到达水面处，则绳拉力所需做的功有一最小值。
试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和水（包括池水及桶内水）的机械能改变了多少（结果要保留三位有效数字）？不计水的阻力，设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响，并设水温上下均匀且保持不变。
参考答案：1.解：设l 为保险丝长度，r 为其半径，P 为输至整个保险丝上的功率。
若P 增大，保险丝的温度将上升，直到输入的电功率等于辐射的功率。
所以当P 超过某一值max P 时，在一定的时间内，保险丝将烧毁，而(),2144m ax l r c T T kS P ⨯⨯=-=π外熔式中k 为一常数，S 为表面积，1c 为一常数。
由于P=I 2R ，假设保险丝的电阻R 比它所保护的线路电阻小很多，则I 不依赖于R ，而ρρ,S l R =为常数，2r S π=为保险丝的横截面积。
,/22r l I P πρ=当rl c r l I 222/=时(这里2c 为另一常数)，保险丝将熔化。
.322r c I =可见，保险丝的熔断电流不依赖于长度，仅与其粗细程度(半径r)有关。
2.解：金属A 和B 从自由状态降温，当温度降低t ∆时的总缩短为t l l l l B A B A ∆+=∆+∆=∆0)(αα （1） 而在-20°C 时，若金属丝中的拉力为F ，则根据胡克定律，A 、B 的伸长量分别为F/K A 和F/K B ，所以 l K EK E B A ∆=+ （2）t l K K F B A B A ∆+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0)(11αα （3）所以 NK K t l F BA B A 50011)(0=+∆+=αα因为N F 450>，所以温度下降到-20°C 前A 丝即被拉断。
A 丝断后。
F=0，即使温度再下降很多，B 丝也不会断。
3.解：长1m 、横截面积为1mm 2的杆，受到10N 拉力后伸长的量，叫伸长系数，用a 来表示，而它的倒数叫弹性模量E ，./1a E =当杆长为L 0m ，拉力为F ，S 为横截面积（单位为mm 2），则有伸长量,0ES F L L =∆所以有公式.0L L E S F p ∆== 又由于 (),10t a L L ∆+=所以 ta L L L ∆=-00得t Ea L L L E S Fp ∆=-∙==代入数据得 ()[]()265/12010401012100.2mm N p =--⨯⨯⨯⨯=-大桥一端是自由端，是为了避免钢梁热胀冷缩而产生的有害胁强；否则钢梁会因热胀冷缩引起的胁强而断裂，即如果两端固定，由于热胀冷缩会对钢梁产生拉伸或压缩的压强而使钢梁受损。