数学基础知识点落实

第一部分：复数

一复数的概念

1．定义：集合C={a+bi |a∈R,b∈R}；形如：Z= a+bi，其中a∈R,b∈R，i为虚数单位；规定：a 为实部，b为虚部。

2．规定：Z1=a+bi；Z2=c+di．如果Z1=Z2．则 a=c，b=d．

此实际为复数相等的原理．

３．复数分类：实数（ｂ＝０时）和虚数（ｂ≠０），其中ａ＝０，ｂ≠０时为纯虚数，是虚数的特殊情况．

二复数的几何意义

1．概念——复平面：以指教坐标系的ｘ正半轴为复平面的正实轴，ｙ轴的正半轴为正虚轴，以有序实数对（ａ，ｂ）为复平面的对应点坐标．从而实现平面直角坐标系中点集与复数集的对应．规定：x轴上的点对应为实数，y轴上除原点外对应为纯虚数，其他点对应复数．

2．复数Ｚ与向量OZ的对应：以复平面的原点为起点，以有序实数对（ａ，ｂ）为终

点的向量OZ与复数Ｚ一一对应．

.其中,用参数法求得的曲线方程中的x、y的范围可由参数函数的值域来确定.

三复数代数形式的四则运算

１．复数的加法

加法原则：实部与实部相加，虚部与虚部相加．（实质为复数相等原理）

复数与向量一一对应，所以复数的加法运算也符合向量的加法运算．

由此有：

加法交换律：Z1+Z2=Z2+Z1

加法结合律：（Z1+Z2）＋Z3＝Z1+（Z2＋Z3）

２．复数的减法

减法为加法的逆运算，与加法一致，同时也符合向量的减法运算，不再繁叙．

３．复数的乘法

４．复数乘法与多项式乘法相似，符合代数乘法的分配律，同时符合复数的加法运算，且规定ｉ2=-1，所以乘法运算如下：

令Z1=a+bi，Z2=c+di 则

Z1*Z2=（a+bi）(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i

很明显复数乘法有：

乘法交换律：Z1*Z2=Z2*Z1

乘法结合律：（Z1*Z2）*Z3=Z1*（Z2*Z3）

乘法分配律：（Z1+Z2）*Z3=Z1*Z3+Z2*Z3

平面向量 第一讲

一 相关概念

1向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；

④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB | 3零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 4平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

5相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的．

起点无关．．．．

. 6共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．

. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 二 向量的加法

１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

２、向量加法的几何意义——三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则

A(起点)

B

（终点）

a

如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a

3 向量加法的交换律+=+

向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 三 向量的减法

用“相反向量”定义向量的减法

（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

四 数乘向量

1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ

（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ

方向相反；λ=0时λ

a ρ=

2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ

+λb ρ

3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.

A B

C

a +b

a +b

a

a b b a

ｂ

ｂ ａa

第二讲

1平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得

yj xi a +=…………○

1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作

),(y x a =…………○

2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．),(y x . 2．平面向量的坐标运算

若),(11y x a =，),(22y x b =，

则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=

a ρ∥

b ρ (b ρ

≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0

向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ

≠0)0

1221=-=⇔

y x y x b

a λ