公路测量控制网边长投影变形的坐标计算处理方法

差很大。如图 １，Ａ、Ｂ两点间用其控制点坐标反算 的边长为
（１）将地面测量观测值化算为参考椭球面上的观测值 ；
收稿 日期 ：２ＯＯ３—０９—０５
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地 矿测绘
第 ２０卷
（２）将椭球 面上 的观 测值 化算 为高斯平 面上的观测 值 ；
吾＝ 一 ＋（ ）
令 ＝ 一
＋（
）
则 Ｓｏ：Ｋｌ·Ｄ 又设 Ｓ０与 Ｄ之 差为 Ａｌ，则 ：
Ａ．＝Ｓｏ—Ｄ＝（一
＋（ ｇ ） ）·Ｄ
（４）
（２） ｆ
（４）式表明，将地面观测边长投影到参考椭球面上 ，边 长要 产生变形 ，变形值的大小与 Ｈｍ 成正 比且一般为负。为对该项 变形有一个数量概念 ，下面举例说明。
谭 经 明
（昆明理 工大学 国土信 息与测绘 工程 系，云 南 昆明 ６５００９３）
摘要 ：在公路控 制测量的平差计 算 中，须将外 业观测值化算 为参考椭球面上 的观测值 ，然后再化算 为高斯平面上 的观测值 ，并在 高斯平 面上进 行 控制网的平差计算。在这个复杂的数据处理过程中，不可避免地会产生边长投影变形。为此 ，提出了公路测量坐标计算方法。经工程实践证明，该法 可基本 消除前述 的边长 投影变形 ，且理论 简单 ，方法 可行。
（１０）
Ｓｐ： ‘Ｓ０＝Ｋ２‘Ｋｌ‘Ｄ
△ｌ、△２可 由（４）、（８）式 求出 。
令 Ｋ＝Ｋ２·Ｋｌ，则 ：
△是边长投影改算的必然结果。当 Ｈｍ一定时，Ｙｍ决定了
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第 ２期
谭 经明 ：公路 测量控 制 网边 长投 影 变形 的坐标计算 处理 方 法
ｍｅｔ ｈｏｄ
１ 引言
公路测量的特点是线路长，少则几十 ｋｍ，多达数百 ｋｍ，图 形为典型带状图。若按国家 ３度带划分方法，跨带现象非常普 遍。对于这类控制网，一般沿线路寻找 国家等级控制点和水准 点，选择其中若干点作 为平面和高程的起算点，然后每隔 ３～ ４ ｋｎｌ左右设 １对四等 ＧＰＳ点。在每两对 ＧＰＳ点之间布设一级或 二级附合导线 ，就完成公路测量的控制工作。
ｌｅｎｇｔｈｓ ｍｅｎｔｉｏｎｅ ｄ ａｂｏｖｅ，ａ ｎ ｄ ｔ ｈｅ ｔ ｈｅｏｒｙ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ａ ｎｄ ｔ ｈｅ ｍｅｔ ｈｏｄ ｉｓ ｆｅａ ｓｉｂｌｅ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｈｉｇ ｈｗａｙ Ｓｕｒｖｅｙ；Ｃｏｎｔｒｏｌ ｎｅｔｗｏｒｋ；Ａｄｊｕｓｔ ｍｅｎｔ；Ｌｅｎｇｔｈ ｐｒ ｏｊｅｃｔｉｏｎ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ；Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｃａ ｌｃｕｌａｔｉｏｎ
△的变化，而 Ｙｍ 的值是由高斯投影中央子午线确定，因此，边 长投影变形又可认为是 由于控制网平面坐标系统的选择造成 的 。如果 不考虑测量偶 然 误差 的影 响 ，地 面平 面边 长与 用 高斯 平面直角坐标反算边长的差值则刚好等于 △。
３ 处理测量控制网边长投影变形的常用方法
综上所述，边长投影变形是高斯投影法的必然结果 ，是控制 测量数据处 理过程形 成 的系统 误 差 。当其变 形值 较大 时 ，使用 这些 控制点就 应顾 及 其影 响 。就 公路 测 量而 言 ，这种 变 形的存 在会对后续 的许多工作造 成麻烦 。
对表 １进行量化分析 ，不难发现 ，随着地 面高程 Ｈｍ的增
令 Ｋ２＝Ｉ＋ ｙｍ ２ ／ｘ菥ｒ２ ｙｍ ４
（６）
大，每 边长变形值基本 同步放大。当 Ｈｍ＞３ ０００ ｍ，变形值 就 已达到 ０．５ ｍ的数量 级 了。 ２．２ 参考椭球面上的边长投影到高斯平面与边长变形
设 Ｓ０为 Ａ日在椭球面上的边长，Ｓｐ为Ａ日在高斯平面上 的 边长，则由文献［３］知 ：
设 Ｒｎ＝６ ３６６ ５００ ｍ，ｈｇ＝３０ ｍ，计算不同高程 Ｈｍ下所对应 的每 ｋｍ变形 ＸＤ．的大小，结果列于表 １中。
表 １ 地面高程 Ｈｍ的变化与每 的边长变形值 ＸＤｌ的关系
Ｔａｂｌｅ １ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｇｒｏｕｎｄ ｈｅｉｇｈｔ ｖａｒｉｅｔｙ ａｎｄ ＸＤＩ ｒｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｓｉｄｅ－ｌｅｎｇｔｈ／ｋｍ
（５）式中， 为Ａ、曰两点在高斯平面上的平均横坐标 ；Ａｙ
取 Ｒｍ＝６ ３６６ ５００ ｍ，计算不同横坐标 Ｙｍ所对应 的每 ｋｍ
为Ａ、曰两点横坐标之差 ；Ｒｍ为ＡＢ中点的平均曲率半径。
边长 变形 ＸＤ２的大小 ，结 果列于表 ２中。
表 ２ 横坐标 的变化与每 的边长变形值 ＸＤ２的关系 Ｔａｂｌｅ ２ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｙｍ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｃｈａ ｎｇ ａｎｄ ＸＤ２ ｒｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｓｉｄｅ－ｌｅｎｇｔｈ／ｋｍ
Ｄ
（３）在高斯平 面上进行平 面控制 网的平差 计算工作 。
为了简化要讨 论的 问题 ，下 面 以边 长观测 值 为例说 明在 观
测 数据的转换过 程中必然 产生边长变 形 。
２．１ 地面观 测边长投 影到参 考椭 球面及 其边长变形 如图 １所 示 ，Ｄ 为地 面 Ａ、Ｂ两 点 间 的 平 面边 长 ；Ｓｏ为 ＡＢ
归算到参考椭球面上的边长；Ｈｍ为Ａ、曰两点的平均高程；ｈｇ
为相应的大地水准面差距 ；砌 为 ＡＢ方向的法截弧曲率半径。 则有 ：
Ｓｏ
Ｒｎ
１
Ｄ —Ｒｎ＋ ＋ Ｈｍ 一 １
． ± Ｒｎ 来自将 （１）式按泰 勒级数展 开 ，取前 ３项 ，有 ：
（１）
图 １ 地面边长归算到参考椭球面上
Ｆｉｇ．１ Ｇｒｏｕｎｄ ｓｉｄｅ－ｌｅｎｇｔｈｓ ａｒｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅｄ ｉｎｔｏ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｅｌｌｉｐｓｏｉｄ
关 键词 ：公路测量 ；控 制网 ；平差 ；边 长投影变形 ；坐标计 算方法 中图分类号 ：Ｐ ２２１；Ｐ ２０７ 文献标识 码 ：Ａ 文章编 号 ：１００７—９３９４（２００４）０２一ＯＯＯ９一ｏ４
Ｄｉｓｐｏｓａｌ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｌｅｎｇｔｈ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ
对表 ２数 据进行量化 分析 ，不难发现 ，当 Ｙｍ达 到 １００ ｋｍ以
ｓｐ＝Ｋ·Ｄ
（９）
上时 ，变形值迅 速增大 。
（９）式表明，高斯平面上的边 长 与地面边长 Ｄ不一致。
２．３ 地面观测值 化算到高斯 平面与边 长变形 将公式 （７）代人公 式（３），得 ：
设其差值为 Ａ，则： Ａ＝Ａｌ＋△２
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｉｇｈｗａｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｕｒｖｅｙ，ｆｉｅｌｄ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅｓ ｍｕｓｔ ｂｅ ｃｈａｎｇｅｄ ｏｎｔｏ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｅｌ— ｌｉｐｓｏｉｄ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｏｎｔｏ Ｇａｕｓｓ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐｌａｎｅ，ａｔ ｌａｓｔ ｔ ｈｅ ｃｏｎｔｒ ｏｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｗｏｕｌｄ ｂ ｅ ａｄｊｕｓｔｅ ｄ ｉｎ ｔ ｈｉｓ ｐｌａ ｎｅ．Ｉｎ ｔ ｈｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅ ｄ ｄａｔａ ｄｉｓｐｏｓａｌ ｃｏｕｒｓｅ，ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈｓ ｉｓ ｉｎｅｌｕｃｔａｂｉｌｉｔｙ ｔｏ ｔａｋｅ ｐｌａｃｅ．Ｆｏｒ ｒｅａｓｏｎ，ａｕｔ ｈｏｒ ｐｕｔｓ ｆｏｒｗａｒｄ ｃｏｏｒｄｉ ｎａｔｅ ｃａ ｌｃｕ ｌａｔｉｏｎ ｍｅｔ ｈｏｄ ｏｆ ｈｉｇｈｗａｙ ｓｕｒｖｅｙ．Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｒ ｏｖｅ ｄ ｂｙ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｔｏ ｅｎａ ｂｌｅ ｔｏ ｂａ ｓｉｃａ ｌｌｙ ｄｉｓｐｅｌ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｄｅ——
Ｔａｂｌｅ ３ Ｔｈｅ ｌｉｓｔ ｏｆ ｈｉｇｈｗａｙ ｌ￣ｎｇｔｈ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅｓ／ｋｉｎ
表 ３的数据表明：本段公路若选用国家坐标，投影边长变形 展开到相应的高斯平面上？答案是肯定的。设所要选择的椭球
值最小也达到 ０．３ ｍ，显然不能达到有关规范的要求。如果要 面高出参考椭球面为 ，则边长投影变形公式中的 Ｈｍ就应用
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地矿 测绘 ２００４．２０（２）：９～１２
Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ ａｎｄ Ｍａｐｐｉｎ ｇ ｏｆ Ｇｅｏｌｏｇｙ ａ ｎｄ Ｍｉｎｅｒａｌ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ
· ９ · ＣＮ ５３一 ｌ１２４／ｍ ＩｓｓＮ １００７—９３９４
公 路测量 控 制 网边长 投影 变形 的坐标计 算 处理 方法
２ 控制测量数据处理方法与边长变形
这类控制 网的数据处 理 ，原理 比较 简单 ，能较方便获 得全部
将控制测量外业观测值进行若干较复杂的数据处理 ，最终
点的平面坐标和高程。但线路施工放样时却常常发现这样的问 转换到高斯平面上进行平差计算是控制测量学研究 的重要内
题 ：即用控制点坐标反算的边长和实测边长不一致 ，有时甚至相 容。这一数据转换过程可简要描述为：
则 ：ｓｐ＝Ｋ２·Ｓ０
（７）
又设 Ｓｐ与 Ｓ０之 差为 Ａ２，则 ：
△２＝Ｓｐ—ｓ。＝Ｓ０·（、２Ｙｍ ２ ／ ｘｒ２ Ｙｍ ４
胁 ｊ
２４
，
（８）
（８）式 表明 ，椭球边 长归算到 高斯平 面上 ，边 长要产 生变 形 ，
ｓｐ：Ｓｏ＂（１＋羔 ／ｘｒ２ Ｙ胁ｍ４４，
（５） 变形值的大小与 Ｙｍ密切相关且恒为正。
带投影且 以固定 的 参考 椭 球 面 为计 算 基 准面 。对 于 公路 控 制 网 ，一 般 采用 ３度 带 高斯 投影 方 法。显 然 ，如 果 选用 国 家坐 标 系 ，由于投影高程面 和 中央 子午线 已唯 一确定 ，则测 区边长投 影 变形值就完全 确定 。
由于公路测量线路长，要分析边长投影变形值的大小 ，就应 沿设计 线路每 隔一定距离 选 择一 个样 本 点 ，通 常可从 小 比例 尺 （一般为 １：１０ ｏｏｏ）地形图上量取 和 ，然后 由公式 （１０）估算 每 ｋｍ的边长变形值。