七年级下册相交线与平行线题型归纳总结教师版
人教版七年级数学下册考点及典型题型总复习
人教版七年级数学下册考点及典型题型总复习2 七年级数学人教版下学期期末总复习资料第五章 相交线与平行线一、知识回顾： 1、 如果A ∠与B ∠是对顶角，则其关系是： 2、 如果C∠与D∠是邻补角,则其关系是: 如果α∠与β∠互为余角，则其关系是 ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩定义_____________________________1 过一点____________________2 垂直性质 2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,___________最短3、点到直线距离是：__________________两点间的距离是：_________________两平行线间的距离是指：_____________________________________________4、在同一平面内，两条直线的位置关系有_____种，它们是_____________5、平行公理是指：_________________________ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么_________________________________6、平行线的判定方法有：①、 ②、__________________________________ ③、___________________________________7、平行线的性质有：①、___________________________________②、___________________________________③、___________________________________ 8、命题是指____________________________每一个命题都可以写成_______________的形式,“对顶角相等”的题设是_______________________，结论是___________ 9、平移：①定义：把一个图形整体沿着某一_____移动_______，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移②图形平移方向不一定是水平的③平移后得到的新图形与原图形的_________和________完全相同④新图形中的每一点与原图形中的对应点的连线段________且_________3 BEDAC F 87654321DCBA二、练习:1、如图1，直线a ，b 相交于点O ，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）A ．50°B ．60°C ．140° D ．160° 2、如图2，已知AB ∥CD ，∠A ＝70°，则∠1的度数是（ ） A ．70° B ．100° C ．110° D ．130°3、已知：如图3，AB CD ⊥，垂足为O ，EF 为过点O 的一条直线，则1∠ 与2∠的关系一定成立的是（ ）A ．相等B ．互余 C．互补 D ．互为对顶角图 1 图 2 图34、如图4，AB DE ∥，65E ∠=，则B C ∠+∠=（ ）A ．135B ．115C ．36D ．65图 4 图 5图65、如图5，小明从A 处出发沿北偏东60°方向行走至B 处，又沿北偏西20方向行走至C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ） A ．右转80° B ．左转80° C ．右转100°D ．左转100°6、如图6，如果AB ∥CD ，那么下面说法错误的是（ ）A ．∠3=∠7；B ．∠2=∠6C 、∠3+∠4+∠5+∠6=1800D 、∠4=∠87、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30，那么这两个角是（ ）A ．42138、；B ． 都是10；C ．42138、或4210、；D BAC 1ab 1 2OA B C DEF 2 1 O4 a b M P N123AB C a b 123A BED ． 以上都不对8、下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）A ．①、②是正确的命题；B ．②、③是正确命题；C ．①、③是正确命题 ；D ．以上结论皆错 9、下列语句错误的是（ ）A ．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；B ．两条直线平行，同旁内角互补C ．若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角D ．平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相等 10、如图7，a b ∥，M N ，分别在a b ，上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠=（ ） A ．180 B ．270 C ．360 D ．540图711、如图8，直线a b ∥，直线c 与a b ， 相交．若170∠=，则2_____∠=．图8 图9图1012、如图9，已知170,270,360,∠=︒∠=︒∠=︒则4∠=______︒． 13、如图10，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE ＝150°，则∠C ＝______14、如图11，已知a b ∥，170∠=，2∠图11 图12 图1315、如图12所示，请写出能判定CE ∥AB 的一个条件 ．12 bacba c d1 23 4 BCDE5 16、如图13，已知AB CD //，∠α17、推理填空：(每空1分,共12分) 如图： ① 若∠1=∠2，则 ∥（ ） 若∠DAB+∠ABC=1800，则∥ （ ）②当 ∥ 时，∠ C+∠ABC=1800（ ）当 ∥ 时，∠3=∠C （ ）18、如图，∠1＝30°，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O .求∠2、∠3的度数.19、已知：如图AB ∥CD ，EF 交AB 于G ，交CD于F ，FH 平分∠EFD ，交AB 于H ，∠AGE=500，求：∠BHF 的度数．20、观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：（1）如图a ，图中共有＿＿＿对对顶角；（2）如图b ，图中共有＿＿＿对对顶角； （3）如图c ，图中共有＿＿＿对对顶角. （4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？21、已知，如图，CD ⊥AB ，GF ⊥AB ，∠B ＝∠ADE ，试说明∠1＝∠2．HGFEDCBA BA ABCDO123EFF21GEDCB A第六章平面直角坐标系一、知识回顾：1、平面直角坐标系：在平面内画两条___________、____________的数轴，组成平面直角坐标系2、平面直角坐标系中点的特点：①坐标的符号特征：第一象限(),++，第二象限（），第三象限（）第四象限（）已知坐标平面内的点A（m，n）在第四象限，那么点（n，m）在第____象限②坐标轴上的点的特征：x轴上的点______为0，y轴上的点______为0；如果点P(),a b在x轴上，则b=___；如果点P(),a b在y轴上，则a=______如果点P()5,2a a+-在y轴上，则a=__ __，P的坐标为（）当a=__时，点P(),1a a-在横轴上，P点坐标为（）如果点P(),m n满足0mn=，那么点P必定在__ __轴上③象限角平分线上的点的特征：一三象限角平分线上的点___________________；二四象限角平分线上的点______________________；如果点P(),a b在一三象限的角平分线上，则a=_ ____；如果点P(),a b在二四象限的角平分线上，则a=____ _如果点P(),a b在原点，则a=___ __=__ __已知点A(3,29)b b-++在第二象限的角平分线上，则b= ______④平行于坐标轴的点的特征：平行于x轴的直线上的所有点的______坐标相同，平行于y轴的直线上的所有点的______坐标相同如果点A(),3a-，点B()2,b且AB//x轴，则_______如果点A()2,m，点B(),6n-且AB//y轴，则_______ 3、点P(),x y到x轴的距离为_______，到y轴的距离为______，到原点的距离为____________；4、点P(),a b-到,x y轴的距离分别为___ __和_6___5、点A()2,3--到x轴的距离为_ _，到y轴的距离为_ _点B()7,0-到x轴的距离为_ _，到y轴的距离为__ __点P()2,5x y-到x轴的距离为_ _,到y轴的距离为_ _点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，则P点的坐标为___________________________4、对称点的特征：①关于x轴对称点的特点_______不变，______互为相反数②关于y轴对称点的特点_______不变，______互为相反数③关于原点对称点的特点_______、______互为相反数点A(1,2)-关于y轴对称点的坐标是______，关于原点对称的点坐标是______，关于x轴对称点的坐标是______点M(),2x y-与点N()3,x y+关于原点对称，则______,______x y==5、平面直角坐标系中点的平移规律：左右移动点的_____坐标变化，（向右移动____________，向左移动____________），上下移动点的______坐标变化（向上移动____________，向下移动____________）把点A(4,3)向右平移两个单位，再向下平移三个单位得到的点坐标是_________将点P(4,5)-先向____平移___单位，再向____平移___单位就可得到点()/2,3P-6、平面直角坐标系中图形平移规律：图形中每一个点平移规律都相同：左右移动点的_____坐标变化，（向右移动____________，向左移动____________），上下移动点的______坐标变化（向上移动____________，向下移动____________）已知ABC中任意一点P(2,2)-经过平移后得到的对应点1(3,5)P，原三角形三点坐标是A(2,3)-，B(4,2)--，C()1,1-问平移后三点坐标分别为_______________________________二、练习:1．已知点P(3a-8，a-1).78 (1) 点P 在x 轴上，则P 点坐标为 ； (2) 点P 在第二象限，并且a 为整数，则P 点坐标为 ；(3) Q 点坐标为（3，-6），并且直线PQ ∥x 轴，则P 点坐标为 . 2．如图的棋盘中，若“帅” 位于点（1，－2）上， “相”位于点（3，－2）上， 则“炮”位于点___ 上.3．点)1,2(A 关于x 轴的对称点'A 的坐标是 ；点)3,2(B 关于y 轴的对称点'B 的坐标是 ；点)2,1(-C 关于坐标原点的对称点'C 的坐标是 . 4．已知点P 在第四象限，且到x 轴距离为52，到y 轴距离为2，则点P 的坐标为_____.5．已知点P 到x 轴距离为52，到y 轴距离为2，则点P 的坐标为 . 6． 已知),(111y x P ，),(122y x P ，21x x≠，则⊥21P P 轴，21P P ∥ 轴；7．把点),(b a P 向右平移两个单位，得到点),2('b a P +，再把点'P 向上平移三个单位，得到点''P ，则''P 的坐标是 ；8．在矩形ABCD 中，A （-4，1），B （0，1），C （0，3），则D 点的坐标为 ；9．线段AB 的长度为3且平行与x 轴，已知点A 的坐标为（2，-5），则点B 的坐标为_____.10．线段AB 的两个端点坐标为A (1，3)、B(2，7)，线段CD 的两个端点坐标为C (2，-4)、D(3，0)，则线段AB 与线段CD 的关系是（ ） A.平行且相等但相等 D. 三、解答题： 1．已知：如图，)3,1(-A ，)0,2(-B ，)2,2(C ，求△ABC 的面积.2．已知：)0,4(A ，),3(y B ，点C 在x 轴上，5=AC .⑴ 求点C 的坐标； ⑵ 若10=∆ABCS，求点B 的坐标.xy O1AC1B第1题图93．已知：四边形ABCD 各顶点坐标为A(-4，-2)，B(4，-2)，C(3，1)，D(0，3).(1)在平面直角坐标系中画出四边形ABCD ； (2)求四边形ABCD 的面积.(3)如果把原来的四边形ABCD 各个顶点横坐标减2，纵坐标加3，所得图形的面积是多少？4． 已知：)1,0(A ，)0,2(B ，)3,4(C .⑴ 求△ABC 的面积；⑵ 设点P 在坐标轴上，且△ABP 与△ABC 的面积相等， 求点P 的坐标.5.如图，是某野生动物园的平面示意图. 建立适当的直角坐标系，写出各地点的坐标，并求金鱼馆与熊猫馆的实际距离.6.如图，平移坐标系中的△ABC的位置，再将111C B A ∆向右平移3画出222C B A ∆，并求出△ABC 到22B A ∆10第七章三角形 一、知识回顾：⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩定义:由不在______三条线段______所组三角形 成的图形表示方法:_________________________三角形两边之和_____第三边三角形三边关系三角形两边之差_____第三边中线________________三角形的三条重要线段高线________________三角形角平分线____________内角和__三角形的内角和与外角和多边形⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩__________1________外角性质2________外角和____________三角形面积:______________________________三角形具有____性,四边形__________性多边形定义_______________________________多边形n 边形内角和为__________多⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩边形外角和为____从n 边形一个顶点可作出_____条对角线定义:__________________________________能用一图形镶嵌地面的有_________________平面镶嵌能用两种正多边形镶嵌地面的有_____和___________和_______;_______和_____________⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪二、练习:1．一个三角形的三个内角中（）A 、至少有一个钝角B 、至少有一个直角C 、至多有一个锐角D、至少有两个锐角2.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是（）A、a+1,a+2,a+3(a>0)B、3a,5a,2a+1(a>0)C、三条线段之比为1：2：3D、5cm，6cm，10cm3．下列说法中错误的是（）A、一个三角形中至少有一个角不少于60°B、三角形的中线不可能在三角形的外部C、直角三角形只有一条高D、三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分4．图中有三角形的个数为（）A、4个B、6个C、8个D、10个5.如图，点P有△ABC内，则下列叙述正确的是（）A、︒=︒yx B、x°>y°C、x°<y°D、不能确定6．已知，如图，AB∥CD，∠A=700，∠B=400，则∠ACD=（）A、550B、700C、400D、11007．下列图形中具有稳定性有（）A、2个B、3个C、4个D、5个8．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（）第（4）题EDCBA（1）（2）（3）（4）（5）（6）第（6）题DCBA第（5）题Py0x0CBAA、 6B、7C、8D、99.如图所示，已知△ABC为直角三角形，∠C=90，若烟图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2 等于（）A、90°B、135°C、270°D、315°第（9）题第（10）题10. 如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于，点P，若∠A=500 ，则∠BPC等于（）A、90°B、130°C、270°D、315°11．用正三角形和正方形能够铺满地面，每个顶点周围有______个正三角形和_____个正方形。
人教版七年级数学下册知识点总结归纳
人教版七年级数学下册各单元知识点汇总第五章相交线与平行线5.1 相交线邻补角、对顶角对顶角相等直线a与直线b互相垂直，记作a b。
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
同位角、内错角、同旁内角5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线在同一平面内，当直线a与直线b不相交时，我们就说直线a与直线b互相平行，记作//a b. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即如果b a，c a，那么b c.5.2.2 平行线的判定判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
同位角相等，两直线平行。
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
内错角相等，两直线平行。
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两直线平行，同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两直线平行，内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
两直线平行，同旁内角互补。
5.3.2 命题、定理、证明判断一件事情的语句，叫做命题命题由题设和结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题中做假命题。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。
本文将对其中的重点知识点进行总结。
5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。
其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。
2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。
垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。
3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。
画法可采用“一靠二移三画”的方法。
4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
记忆时应结合图形进行理解。
本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。
在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。
垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。
它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。
点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。
线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。
平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。
判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。
平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】同位角、内错角、同旁内角的概念（“三线八角”模型）如图1，直线AB、CD 与直线EF 相交(或者说两条直线AB、CD 被第三条直线EF 所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.特别提醒：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF 相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．【知识点二】同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD 的同一方，并且都在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD 之间，并且在直线EF 的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD 之间，并且在直线EF 的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.特别提醒：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．【知识点三】同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征图1特别提醒：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．【考点目录】【考点1】“三线八角”模型的认识；【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别；【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合【考点1】“三线八角”模型的认识；【例1】（1）图1中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．（2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】（1）EF，CD；AB；（2）不是．【分析】（1）根据三线八角的定义求解即可；（2）根据三线八角的定义求解即可；解：（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．所以图1中，∠1、∠2由直线EF，CD被直线AB所截而成．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．【点拨】此题主要考查了“三线八角”，熟练掌握：“三线八角”的定义是解答此题的关键．【变式1】如图，下列说法正确的是（）A．∠2与∠3是同旁内角B．∠1与∠2是同位角C．∠1与∠3是同位角D．∠1与∠2是内错角【答案】A【分析】根据同旁内角定义可判断A、根据同位角定义可判断B、根据内错角的定义可判断C、D即可．解：A、由图与同旁内角定义，∠2和∠3是两直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截直线内部的角可知：∠2和∠3是同旁内角，故选项A正确符合题意；B、∠1和∠2是两条直线被两条直线所截得到的角，不是同位角，故选项B不正确不符合题意；C、∠1和∠3是两直线被第三条直线所截，在截线的两侧，在被截直线内部的角是内错角，不是同位角，故选项C不符合题意；D、∠1和∠2是两条直线被两条直线所截得到的角不是内错角，故选项D不符合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了同旁内角、同位角、内错角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键．【变式2】如图，有下列说法：①能与DEF ∠构成内错角的角的个数有2个；②能与BFE ∠构成同位角的角的个数有2个；③能与C ∠构成同旁内角的角的个数有4个．其中正确结论的序号是．【答案】①【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断．解：①能与DEF ∠构成内错角的角的个数有2个，即EFA Ð和EDC ∠，故正确；②能与EFB ∠构成同位角的角的个数只有1个：即FAE ∠，故错误；③能与C ∠构成同旁内角的角的个数有5个：即CDE ∠，B ∠，CED ∠，CEF ∠，A ∠，故错误；所以结论正确的是①．故答案为：①．【点拨】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关的定义．【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别；【例2】两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．【答案】（1）见分析；（2）36°【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；（2）利用邻补角的关系可求出∠3的度数．解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，故x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3的度数为36°．【点拨】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．【变式1】下列四幅图中，1∠和2∠是同位角的是几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据同位角的定义（截线的同一侧，被截线的同一方位）解决此题．解：根据同位角的定义，第一张图和第四张图中的∠1和∠2是同位角．故选：B．【点拨】本题主要考查同位角的定义，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．【变式2】如图，直线a，b被直线c所截，145∠=︒，2110∠=︒，则1∠的同位角的度数是；4∠的内错角的度数是；3∠的同旁内角的度数是．【答案】70︒/70度45︒/45度70︒/70度【分析】根据同位角，内错角和同旁内角的概念以及邻补角求解即可．解：∵24180∠+∠=︒，2110∠=︒，∴470∠=︒，∵1∠和4∠是一组同位角，∴1∠的同位角的度数是70︒；∵145∠=︒，∴31801135∠=︒-∠=︒，∴4∠的内错角的度数是180318013545︒-∠=︒-︒=︒；3∠的同旁内角4∠的度数是70︒．故答案为：70︒；45︒；70︒．【点拨】此题考查了邻补角，同位角，内错角和同旁内角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合【例3】如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，交点分别为G ，H ，∠CHG =∠DHG =34∠AGE ．（1）CD 与EF 有怎样的位置关系？请说明理由．（2）求∠CHG 的同位角、内错角、同旁内角的度数．【答案】（1）CD ⊥EF ；（2）∠CHG 的同位角∠AGE =120°，内错角∠BGF =∠AGE =120°，同旁内角∠AGF =60°【分析】（1）先由∠CHG +∠DHG =180°及∠CHG =∠DHG ，可得∠CHG =∠DHG =90°，再根据垂直的定义得到CD 与EF 互相垂直；（2）先由∠CHG =∠DHG =34∠AGE ，可得∠AGE =120°，再根据同位角、内错角、同旁内角的定义即可求解．解：（1）CD ⊥EF ．理由如下：因为CD是直线，所以∠CHG+∠DHG=180°，又∠CHG=∠DHG，所以∠CHG=∠DHG=90°，所以CD⊥EF．（2）由（1）知∠CHG=∠DHG=90°，因为∠CHG=∠DHG=34∠AGE，所以∠AGE=120°，所以∠CHG的同位角∠AGE=120°，内错角∠BGF=∠AGE=120°，同旁内角∠AGF=180°-∠AGE=60°．【点拨】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单．【变式1】如图，下列判断正确的是（）A．有2对同位角，2对内错角，2对同旁内角B．有2对同位角，2对内错角，3对同旁内角C．有4对同位角，2对内错角，4对同旁内角D．以上判断均不正确【答案】B【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．解：观察图形可知，有2对同位角，2对内错角，3对同旁内角．故选B．【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．注意按顺序一个点一个点的数，不要重复，不要遗漏．【变式2】如图两条直线被第三条直线所截，2∠是3∠的同旁内角，1∠是3∠的内错角，若243∠=∠，321∠=∠，则1∠的度数是．【答案】20︒/20度【分析】设1x ∠=︒，则32x ∠=︒，28x ∠=︒，根据邻补角互补可得方程，求解即可．解：如图，设1x ∠=︒，则32x ∠=︒，28x ∠=︒，∵12180∠+∠=︒，∴8180x x ︒+︒=︒，解得：20x =，∴120∠=︒．故答案为：20︒．【点拨】本题考查了内错角、同旁内角、邻补角互补、角的计算，解本题的关键是掌握内错角的边构成“Z ”形，同旁内角的边构成“U ”。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。
(完整版)初一数学七下相交线与平行线所有知识点总结和常考题型练习题
相交线与平行线知识点 1、邻补角与对顶角：两直线相交所成的四个角中存在两种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形 顶点 边的关系 大小关系对顶角 ∠1与∠2有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边 互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 ∠3与∠4 有公共顶点∠3与∠4有一条边公共， 另一边互为反向延长线。
邻补角互补 ∠3+∠4=180° ⑵ 如果∠α与∠β是 对 顶角，则一定有∠α=∠β； 反之如果∠α = ∠β， 则∠α与∠β不一定是对顶角.⑶ 如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°； 反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.⑷ 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
⑸ 两线四角：经过一点画m 条直线，共有m ( m-1) 对 对顶角，共有2m ( m-1) 对邻补角。
2、垂线定义: 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O.垂直定义有以下两层含义： （1） ∵∠AO C=90°（已知）， ∴AB ⊥CD （垂直的定义）．（2） ∵AB ⊥CD （已知）， ∴∠AOC ＝90°（垂直的定义）．3、垂线性质: 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
4、垂线的画法：过直线外一点画已知直线的垂线：以点P 为圆心,任意长为半径,画弧,交直线于两点（如图）,分别以这两点为圆心,大于两点间距离的1/2长为半径,画弧,两弧交与一点.连接p 与该点,并延长与直线相交即可.5、垂线段的概念：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。
6、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.7、正确理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近又相异的概念：⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。
人教版七年级下数学第五章-相交线与平行线-知识点+考点+典型例题
【知识重点】1.两直线订交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延伸线的两个角互为邻补角。
3.对顶角（ 1）定义：有一个公共极点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延伸线，这样的两个角互为对顶角( 或两条直线订交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角)。
（ 2）对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线订交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线相互垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不订交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b 是平行线，可记作“a∥ b”7．平行公义及推论（1）平行公义：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。
注：（1）平行公义中的“有且只有”包括两层意思：一是存在性；二是独一性。
（2）平行拥有传达性，即假如a∥ b，b∥ c，则 a∥ c。
8．两条直线的地点关系：在同一平面内，两条直线的地点关系有订交和平行。
9．平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10．平行线的判断（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（ 2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（ 4）假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；增补：（5）平行的定义；（在同一平面内）（ 6）在同一平面内，垂直于同向来线的两直线平行。
．．．．．．11.平移的定义及特点定义：将一个图形向某个方向平行挪动，叫做图形的平移。
特点：①平移前后的两个图形形状、大小完整同样；②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。
【典型例题】考点一：对有关观点的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公义的差别等例 1：判断以下说法的正误。
人教7年级下册5.3.4 相交线、平行线中角的计算的四种常见题型
题型 4 综合应用平行线的性质与判定求角
4．(中考·宿迁)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝
80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4的度数是( B )Leabharlann A.80°B.85°
C.95°
D.100°
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5 ． 如 图 ， ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 180° ， ∠ DEF ＝ ∠ A ， ∠ BED ＝ 60°.求∠ACB的度数.
(4)由(3)可知∠BOC＋∠AOD＝180°， ∴∠BOC＝ 7 7×29180°＝35°， ∠AOD＝180°－∠BOC＝145°.
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题型 3 直接利用平行线的性质求角
3．(中考·重庆)如图，AB∥CD，三角形EFG的顶点F，G分 别 落 在 直 线 AB ， CD 上 ， GE 交 AB 于 点 H ， GE 平 分 ∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数.
(3)∠AOD与∠BOC互补．理由如下： ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°. ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－∠BOC. ∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°. ∴ ∠ AOD ＝ ∠ AOC ＋ ∠ COD ＝ 90° － ∠ BOC ＋ 90° ＝ 180°－∠BOC. ∴∠AOD＋∠BOC＝180°，即∠AOD与∠BOC互补．
第五章 相交线与平行线
第4课时
5.3 平行线的性质 相交线、平行线中角的计算的
四种常见题型
1
2
3
4
5
题型 1 利用余角、平角、对顶角转换求角
1．如图，三条直线AB，CD，EF相交于同一点O.若∠AOE ＝2∠BOD，∠COF比∠AOE大30°，求∠AOC的度数.
解：设∠AOC＝x°，则∠BOD＝∠AOC＝x°. ∴∠AOE＝2∠BOD＝2x°， ∠COF＝∠AOE＋30°＝2x°＋30°. ∵∠AOE＋∠AOC＋∠COF＝180°， ∴2x＋x＋2x＋30＝180，解得x＝30. ∴∠AOC＝30°.
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相交线与平行线知识点整理及测试题一、相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：[1]顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与 ∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
[4]两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
练习：1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 2．如图1-1，直线AB 、CD 、EF 都经过点O ， 图中有几对对顶角？3．如图1-2，若∠AOB 与∠BOC 是一对邻补角，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内部，并且∠BOE =12∠COE ，∠DOE =72°。
求∠COE 的度数。
12121221（图1-2）2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线； ⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下 相交线与平行线知识点总结5、1相交线 1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:注意点:⑴对顶角就是成对出现的,对顶角就是具有特殊位置关系的两个角;⑵如果∠α与∠β就是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定就是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定就是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
2、垂线⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角就是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:如图所示:AB ⊥CD,垂足为O⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:垂线段最短。
3、垂线的画法:ABCD O⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:①画一条线段或射线的垂线,就就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象就是线段的线。
4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO ⊥AB,同P 到直线AB 的距离就是PO 的长。
PO 就是垂线段。
PO 就是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都就是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段 区别:垂线就是一条直线,不可度量长度;垂线段就是一条线段,可以度量长度。
人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线知识整理复习（含答案）
⼈教版七年级数学下册第五章相交线与平⾏线知识整理复习（含答案）七年级数学下册第五章知识整理知识梳理1.两个⾓有⼀条公共边，它们的另⼀条边互为反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓，互为___________.2.两个⾓有⼀个公共顶点，并且⼀个⾓的两边分别是另⼀个⾓两边的反向延长线，具有这种位置关系的⾓，互为___________.对顶⾓的性质:___________.3.垂直是相交的⼀种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的⼀条直线叫做另⼀条直线的___________，它们的交点叫做___________。
4.在同⼀平⾯内，过⼀点有且只有___________直线与已知直线垂直。
5.连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，___________最短，简单说成：___________。
6.直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度，叫做___________。
7.如图，∠1和∠4，这两个⾓分别在直线AB，CD的同⼀⽅(上⽅)，并且都在直线EF的同侧(右侧)，具有这种位置关系的⼀对⾓叫做_______;∠2和∠4，这两个⾓都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧，具有这种位置关系的⼀对⾓叫做_______;∠2和∠3也都在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同⼀旁，具有这种位置关系的⼀对⾓叫做_______;8.在同⼀平⾯内不相交的两条直线(a与b)互相_______,记作_______.9.平⾏线的基本事实(平⾏公理):经过直线外⼀点，有且只有_______直线与这条直线平⾏.10.如果两条直线都与第三条直线平⾏，那么这两条直线也_______.11.平⾏线的判定⽅法:(1)_______相等，两直线平⾏;(2)_______相等，两直线平⾏;(3)_______互补，两直线平⾏。
12.平⾏线的性质:(1)两直线平⾏，同位⾓_______;(2)两直线平⾏，内错⾓_______;(3)两直线平⾏，同旁内⾓_______.13.判断⼀件事情的语句，叫做_______.经过推理证实的真命题叫做_______.14.在很多情况下，⼀个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做_______.15.平移得到的新图形与原图形的形状和⼤⼩_______.知识反馈★知识点1;邻补⾓与对顶⾓1.下列说法正确的是( )A.和为180°的⾓为邻补⾓B和为180°的两个⾓为邻补⾓C，有公共顶点，和为90°的⾓为邻补⾓D.有公共顶点和⼀条公共边，它们的另⼀边互为反向廷长线的两个⾓为邻补⾓2.如图，∠1和∠2是对顶⾓的是( )3.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOC＝(3x+10°),∠BOC＝(2x-10°)，求∠AOD的度数.★知识点2:垂线与垂线段4.过直线AB外⼀点P画直线AB的垂线，则( )A.能画⽆数条B只能画2条 C.只能画1条 D.不能画成5.在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有⼀部分同学画出下列四种图形，请你数⼀数，错误的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，在体育测试中，裁判员测量某同学的跳远成绩，在直线l上的A、B、C三点中，点________到沙坑中脚印点P的距离为该同学的成绩.7.如图，在三⾓形ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB，垂⾜为点D.线段AB，BC，CD的⼤⼩关系如何?并说明理由.★知识点3:同位⾓、内错⾓、同旁内⾓8.如图，下⾯说法中正确的是( )A.∠2和∠3是同位⾓B.∠3和∠4是同旁内⾓C，∠1和∠2是内错⾓ D.∠1和∠3是同旁内⾓9.如图所⽰，直线DE、BC被直线AB所截，∠1与∠4是_________,∠2与∠4是_________，∠1与∠2是_________，∠3与∠4是_________.★知识点4:平⾏线的定义及画法10.下列⽣活中的线是平⾏线的有( )①铁路上并排的两条铁轨;②上体育课时，双杠的两个横杠;③滑雪时两只雪撬滑动轨迹;④操场上的升旗杆与教室屋梁。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——探索直线平行的条件(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——探索直线平行的条件（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．特别提醒：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【知识点二】平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．特别提醒：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.【知识点三】两直线平行的判定方法1判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图1，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）图1【知识点二】两直线平行的判定方法2判定方法2：内错角相等，两直线平行.如图2，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）图2【知识点三】两直线平行的判定方法3判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如图3，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）图3特别提醒：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【考点目录】【考点1】平行线的画法；【考点2】平行公理及推论的应用；【考点3】同位角相等，两直线平行；【考点4】内错角相等，两直线平行；【考点5】同旁内角互补，两直线平行；【考点6】垂直于同一直线的两直线平行；【考点7】判定两直线平行综合应用.【考点目录】【考点1】平行线的画法；【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】本题考查了射线、线段的作法，画平行线，掌握平行线画法是解题关键．（1）根据射线及线段的定义作图即可；（2）过点B作AC的垂线BD，垂足为D即可；（3）将C点向右移3个单位得到点E，作直线BE即可；（1）解：射线AC，线段AB即为所求；（2）解：垂线段BD即为所求；（3）解：直线BE即为所求．【变式1】（2022下·辽宁辽阳·七年级统考期末）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【分析】由对顶角的概念可判断A，由平面内直线与直线的位置关系可判断B，由过直线外一点画已知直线的平行线可判断C，由过一点画已知直线的垂线可判断D，从而可得答案．解：相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意；在同一平面内，两直线的位置关系有二种：平行，相交，故B不符合题意；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C不符合题意；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，描述正确，故D符合题意；故选D【点拨】本题考查的是对顶角的性质，平面内，直线与直线的位置关系，平行线的含义，垂直的性质，掌握以上基础的概念是解本题的关键．【变式2】（2020·四川达州·校考一模）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：①沿三角尺的边作出直线CD；②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：．【答案】③②④①【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①，故答案我③②④①．【点拨】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行．【考点2】平行公理及推论的应用；【例2】（2022上·河南南阳·七年级校考期末）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空．（1）过点A 作BC 的垂线，垂足为点D ，该垂线经过的一个格点记为点E ．（2）过点E 作AC 的平行线EF ，该平行线经过的一个格点记为F ；过点B 作AC 的平行线BG ，该平行线经过的一个格点记为G ．【发现】EF 与BG 的位置关系为______．【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______．【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析；发现：平行；概括：平行于同一条直线的两条直线平行．【分析】（1）根据网格结构作出BC 的垂线AD 即可；（2）根据网格结构的特征构造相等的同位角再画图，然后标注即可．再根据平行线的判定可得EF 与BG 的位置关系以及结论．解：（1）如图，AD BC ，D 为垂足；（2）如图，EF AC ∥，BG AC ∥，EF 与BG 的位置关系为平行；结论：平行于同一条直线的两条直线平行．【点拨】本题考查了这题-应用与设计作图，利用网格结构作垂线，作平行线，熟练掌握网格结构的特征，准确找出对应点的位置是解题的关键．【变式1】（2022下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）下列说法错误的是（）A ．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B ．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C ．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D ．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线【答案】D【分析】根据平行公理等即可逐一进行判断．解：A 、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．正确，本选项不符合题意；B 、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线具有“传递性”，正确，本选项不符合题意；C 、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行．正确，本选项不符合题意；D 、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．原说法错误，本选项符合题意．故选：D ．【点拨】本题考查了平行公理等知识点．掌握相关结论是解题的关键．【变式2】（2022上·上海·九年级开学考试）如图，点E 、F 分别是梯形ABCD 两腰的中点，联结EF 、DE ，如果图中DEF △的面积为1.5，那么梯形ABCD 的面积等于．【答案】6【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交EF 于G ，根据梯形中位线定理得到AD BC ∥EF ∥，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案．解：过点A 作AH BC ⊥于H ，交EF 于G ，如图，∵点E 、F 分别是梯形ABCD 两腰的中点，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，∴AD BC ∥EF ∥，∴AG EF ⊥，AG GH =，∵ 1.5DEF S = ，∴1 1.52EF AG ⋅=，∴• 1.546EF AH =⨯=，∴•6ABCD S EFAH 梯形＝＝，故答案为：6．【点拨】本题考查的是梯形的中位线、三角形的面积计算，掌握梯形中位线定理是解题的关键．【考点3】同位角相等，两直线平行；【例3】（2022上·黑龙江绥化·七年级统考期末）AB BC ⊥，12=90∠+∠︒，23∠∠=．BE 与DF 平行吗？为什么？解：BE DF ∥．AB BC ⊥ ，ABC \Ð=︒，即34∠+∠=︒．又1290∠+∠=︒ ，且23∠∠=，∴=．理由是：．BE DF ∴∥．理由是：．【答案】90；90；1∠，4∠；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行【分析】由AB 垂直于BC ，利用垂直的定义得到ABC ∠为直角，进而得到3∠与4∠互余，再由1∠与2∠互余，根据23∠∠=，利用等角的余角相等得到14∠=∠，利用同位角相等两直线平行即可得证．解：BE DF ∥．AB BC ⊥ ，90ABC ∴∠=︒，即3490∠+∠=°．又1290∠+∠=︒ ，且23∠∠=，14∴∠=∠．理由是：等角的余角相等．BE DF ∴∥．理由是：同位角相等，两直线平行．故答案为：90；90；1∠，4∠；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．【点拨】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键【变式1】（2022下·福建宁德·七年级校联考期中）如图，若12∠=∠，则下列选项中，能直接利用“同位角相等，两直线平行”判定a b ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断出1∠与2∠是同位角，然后根据平行线的判定即可得出答案．解：A 、1∠与2∠是内错角，故该选项错误；B 、1∠与2∠是同位角，∵12∠=∠，∴a b ，故该选项正确；C 、1∠与2∠不是内错角、同位角，同旁内角，故该选项错误；D 、1∠与2∠是对顶角，故该选项错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定，内错角相等、同位角相等，同旁内角互补两直线平行，是需要同学们熟练记忆的内容．【变式2】（2023上·七年级课时练习）如图，若12∠=∠，则 ；若23∠∠=，则 ．【答案】AB DE BC EF【分析】根据12∠=∠，利用同位角相等两直线平行推出AB DE ∥；由23∠∠=，利用同位角相等两直线平行推出BC EF ∥．解：∵12∠=∠，∴AB DE ∥，∵23∠∠=，∴BC EF ∥，故答案为：AB ，DE ，BC ，EF ．【点拨】此题考查平行线的判定定理，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键．【考点4【例4】（2023上·七年级课时练习）如图，已知CD AD ⊥于点,D DA AB ⊥于点,12A ∠=∠．试说明：DF AE ∥．解：CD AD ⊥ （已知），90CDA ∴∠=︒（__________）．同理，90DAB ∠=︒．90CDA DAB ∴∠=∠=︒（__________），即132490∠+∠=∠+∠=︒．12∠=∠ （已知）3∴∠=_______（___________）．∴_____∥_____（____________）．【答案】垂直的定义，等量代换，4∠，等量代换，DF ，AE ，内错角相等，两直线平行【分析】根据垂直的定义得到90CDA DAB ∠=∠=︒，推出132490∠+∠=∠+∠=︒，得到3=4∠∠，由此证得DF AE ∥．解：CD AD ⊥ （已知），90CDA ∴∠=︒（垂直的定义）．同理，90DAB ∠=︒．90CDA DAB ∴∠=∠=︒（等量代换），即132490∠+∠=∠+∠=︒．12∠=∠ （已知）3∴∠=4∠（等量代换）．∴DF AE ∥（内错角相等，两直线平行）．【点拨】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式1】（2022·广东深圳·蛇口育才二中校考三模）如图，能判定EB AC ∥的条件是（）A ．C ABE∠∠=B ．A EBD ∠∠=C ．C ABC ∠∠=D ．A ABE∠∠=【答案】D 【分析】通过角相等判定两直线平行，则判断两角是否能推出同位角或内错角相等即可．解：∵只有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补才能判断两直线平行，选项D 中A ABE ∠∠=是内错角相等，故能判定两直线平行，其他选项不符合判定定理，无法判断．故选：D ．【点拨】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．【变式2】（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）三个完全相同的含30︒角的三角板如图摆放，可以判断AB 与EC 平行的理由是．【答案】BAC ACE =∠∠，内错角相等，两直线平行（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理求解．解：由题意知90BAC ACE ∠=∠=︒，由内错角相等，两直线平行，可判断AB 与EC 平行．故答案为：BAC ACE =∠∠，内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【考点5】同旁内角互补，两直线平行；【例5】（2023下·山东青岛·七年级统考期中）如图，EF BC ∥，CE 平分BCF ∠，111DAC ∠=︒，23ACF FEC ∠=∠=︒，则AD 与BC 平行吗？请说明理由．【答案】AD 与BC 平行．理由见分析【分析】根据角平分线的定义可得246BCF FEC ∠=∠=︒，进而得出69ACB ∠=︒，结合题意可得69111180ACB DAC ∠+∠=︒+︒=︒，即可得证．解：AD 与BC 平行．理由如下：∵CE 平分BCF ∠，23ACF FEC ∠=∠=︒，∴246BCF FEC ∠=∠=︒，∴462369ACB BCF ACF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，又∵111DAC ∠=︒，∴69111180ACB DAC ∠+∠=︒+︒=︒，∴AD BC ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定是解题的关键．【变式1】（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，将一纸条ABCD 沿折痕MG 折叠，MA 时对应线段MA '与CD 相交于点N 则下列条件中，不足以证明AB CD ∥的是（）A ．180BMN CNM ∠+∠=︒B ．2AMN MGN ∠=∠C ．MN NG=D ．MN MG=【答案】D 【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可．解：A.180BMN CNM ∠+∠=︒ ，∴AB CD ∥；B ．由翻折可知：2AMN AMG ∠=∠，2AMN MGN ∠=∠ ，AMG MGN ∴∠=∠，∴AB CD ∥，故B 选项不符合题意；C ．由翻折可知：AMG NMG ∠=∠，MN NG = ，NMG MGN ∴∠=∠，AMG MGN ∴∠=∠，∴AB CD ∥，故C 选项不符合题意；MN MG = ，MGN MNG ∴∠=∠，AMG MGN ∴∠≠∠，AB ∴不平行CD ，故D 选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式2】（2019下·七年级课时练习）如图，某工件要求AB ∥ED ，质检员小李量得∠ABC ＝146°，∠BCD ＝60°，∠EDC ＝154°，则此工件．（填“合格”或“不合格”）【答案】合格【分析】作CF ∥AB ，由平行线的性质得出∠ABC+∠1=180°，求出∠1，得出∠2，由∠2+∠EDC=180°，得出CF ∥ED ，证出AB ∥ED ，即可得出结论．解：作CF ∥AB ，如图所示：则∠ABC+∠1=180°，∴∠1=180°-146°=34°，∴∠2=∠BCD-∠1=60°-34°=26°，∵∠2+∠EDC=26°+154°=180°，∴CF ∥ED ，∴AB ∥ED ；故答案为合格．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键【考点6】垂直于同一直线的两直线平行.【例6】（2023下·七年级课时练习）探索与发现（在同一平面内）：（1）若直线12a a ⊥，23a a ∥，判断直线1a 与3a 的位置关系，请说明理由；（2）若直线12a a ⊥，23a a ∥，34a a ⊥，则直线1a 与4a 的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明）（3）现在有2023条直线1a ，2a ，3a ，…，2023a ，且有12a a ⊥，23a a ∥，34a a ⊥，45a a ∥，…，请你探索直线1a 与2023a 的位置关系．【答案】（1）13⊥a a ．理由见分析；（2）14a a ∥；（3）直线1a 与2023a 的位置关系是12023a a ⊥【分析】（1）根据垂直定义和平行线的性质求解即可；（2）根据垂直定义和平行线的性质求解即可；（3）根据垂直定义和平行线的性质，找到变化规律即可求解．（1）解：13⊥a a ．理由如下：如图，∵12a a ⊥，∴190∠=︒，∵23a a ∥，∴2190∠=∠=︒，∴13⊥a a ．（2）解：由（1）知13⊥a a ，又34a a ⊥，根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得14a a ∥，故答案为：14a a ∥；（3）解：直线1a 与2a ，3a 的位置关系分别是12a a ⊥，13⊥a a ，直线1a 与4a ，5a 的位置关系分别是14a a ∥，15a a ∥，从2a 开始，直线2a ，3a ，…，2023a 与直线1a 的位置关系以⊥，⊥，∥，∥为一次循环，∴12022a a ⊥，12023a a ⊥，∴直线1a 与2023a 的位置关系是12023a a ⊥．【点拨】本题考查垂直定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，得到变化规律是解答的关键．【变式1】（2018下·七年级单元测试）在同一平面内，a 、b 、c 是直线，下列说法正确的是（）A ．若a b ∥，b c ∥则a c∥B ．若a b ⊥r r ，b c ⊥，则a c ⊥C ．若a b ∥，b c ⊥，则a c∥D ．若a b ∥，b c ∥，则a c ⊥【答案】A【分析】根据平行公理、平行线的性质对各选项分析判断即可解答．解：A.在同一平面内，若a b ∥，b c ∥则a c ∥正确，故本选项正确；B.在同一平面内，若a b ⊥r r ，b c ⊥则a c ∥，故本选项错误；C.在同一平面内，若a b ∥，b c ⊥则a c ⊥，故本选项错误；D.在同一平面内，若a b ∥，b c ∥则a c ∥，故本选项错误．故选：A ．【点拨】本题主要考查了平行公理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键．【变式2】（2018下·七年级课时练习）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线．（1）它的理由如下：（如图1）∵b ⊥a ，c ⊥a ，∴∠1=∠2=90°，∴b ∥c（2）如图2是木工师傅使用角尺画平行线，有什么道理？．【答案】平行同位角相等，两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行解：∵在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，∴这两条直线互相平行．故答案为平行；（1）∵b ⊥a ，c ⊥a ，∴∠1=∠2=90°，∴b ∥c （同位角相等，两条直线平行）．故答案为同位角相等，两条直线平行；（2）垂直于同一条直线的两条直线平行，故答案为垂直于同一条直线的两条直线平行．【考点7】判定两直线平行的综合应用.【例7】（2024下·七年级课时练习）如图，AK 与BC 相交于点B ，BC 与CD 相交于点C ，如果160∠=︒，2120∠=︒，60D ∠=︒，那么AB 与CD 平行吗？BC 与DE 呢？并说明理由．【答案】AB CD ∥，BC DE ∥．理由见分析【分析】根据对顶角相等得出60ABC ∠=︒，进而可得2180ABC ∠+∠=︒，则AB CD ∥，进而得出BCD D ∠=∠，即可得证．解：AB CD ∥，BC DE ∥．理由如下：∵160∠=︒，1ABC ∠=∠∴60ABC ∠=︒．又∵2120∠=︒，∴2180ABC ∠+∠=︒．∴AB CD ∥．又∵2180BCD ∠+∠=︒，∴60BCD ∠=︒．∵60D ∠=︒，∴BCD D ∠=∠．∴BC DE ∥．【点拨】本题考查了对顶角相等，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，将一副三角尺如图放置，DE 、BC 交于点F ，（45C ∠=︒，30D ∠=︒）则下列结论不正确．．．的是（）A ．13∠=∠B ．2180CAD ∠+∠=︒C ．若230∠=︒，则BC AD∥D ．若230∠=︒，则AC DF∥【答案】C 【分析】由余角的性质，得到13∠=∠，由 3 21802CAD CAB CAB EAD ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠，得到2180CAD ∠+∠=︒，因为3B ∠≠∠，故BC 和DA 不平行，由160E ∠=∠=︒，得到AC DF ∥．解：1∠ ＋23∠=∠＋290∠=︒，13∴∠=∠，故A 正确；3 21802CAD CAB CAB EAD ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠ ，2180CAD ∴∠+∠=︒，故B 正确；230∠=︒ ，390260∴∠=︒-∠=︒，45B ∠=︒ ，3B ∴∠≠∠，BC ∴和DA 不平行，故C 错误；230∠=︒ ，190260∴∠=︒-∠=︒，60E ∠=︒ ，1E ∴∠=∠，∴AC DF ∥，故D 正确．故选：C ．【点拨】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．【变式2】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，有下列说法：①若12∠=∠，则AB CD ∥；②若3=4∠∠，则AD BC ∥；③若180ABC BCD ∠+∠=︒，则AD BC ∥；④若13180ABC ∠+∠+∠=︒，则AD BC ∥．其中说法正确的有个．【答案】1【解析】略。
初中数学 相交线与平行线 典型题型总结(全面)
A．4对 B．8对 C．12对 D．16对
6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=( )
A．90° B．135° C．150° D．180°
7. 点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P到直线l的距离（ ）
同题变式：
⑴．如图，∠BDG+∠B=180°，EF⊥AB于F，∠1=∠2.试说明CD⊥AB.
（2）．如图，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠BDG+∠B=180°.试说明∠1=∠2.
2.已知：如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1＋∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由。
同题变式：
性质3：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角相等（简单说成：两直线平行，同旁内角相等）。
练习：
1．如图1，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
图1 图2 图3
2．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（ ）
判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线互相平行（简单说成：内错角相等，两直线平行）。
判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行（简单说成：同旁内角相等，两直线平行）。
判定4：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相种：相交与平行。
2、相交线的定义：在平面内有一个公共交点的两条直线，叫做相交线
七年级数学下册第五章相交线与平行线题型总结及解题方法(带答案)
七年级数学下册第五章相交线与平行线题型总结及解题方法单选题1、如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则∠BAD+∠DOC∠ADO的值为（）A．1B．12C．2D．无法确定答案：A分析：过点D作DE//AB交AO于点E，由平行的性质可知∠BAD=∠ADE,∠DOC=∠ODE，等量代换可得∠BAD+∠DOC∠ADO的值.解：如图，过点D作DE//AB交AO于点E，∵四边形ABCO是矩形∴AB//OC∵DE//AB∴AB//DE,DE//OC∴∠BAD=∠ADE,∠DOC=∠ODE∴∠BAD+∠DOC∠ADO=∠BAD+∠DOC∠ADE+∠ODE=∠BAD+∠DOC∠BAD+∠DOC=1故选：A.小提示：本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.2、如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠2=35°，则∠1的度数是（）A．135°B．140°C．145°D．150°答案：C分析：根据邻补角的含义先求解∠3=145°,再利用平行线可得∠1=∠3=145°即可．解：如图，∵∠2=35°,∴∠3=180°−35°=145°,∵a∥b，∴∠1=∠3=145°,故选：C.小提示：本题考查的是邻补角的含义，平行线的性质，利用平行线的性质证明∠1=∠3是解本题的关键．3、如图，直线AB、CD相交于点O．若∠1+∠2=100°，则∠BOC的大小为（）A．50°B．100°C．130°D．150°答案：C分析：根据对顶角相等，以及∠1+∠2=100°，求得∠1=50°，根据邻补角即可求解．解：∵∠1+∠2=100°，∠1=∠2，∴∠1=50°，∴∠BOC=180°-∠1=180°-50°=130°，故选C．小提示：本题考查了对顶角相等，邻补角，掌握以上知识是解题的关键．4、如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是( )．A．PA B．PB C．PC D．PD答案：B根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，故选：B.5、如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°答案：C分析：根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项不符合题意；B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项不符合题意；C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项符合题意；D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项不符合题意；故选C．小提示：本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．6、下列命题中，是真命题的有（）①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④对顶角相等，邻补角互补．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A分析：根据平行线的性质及基本事实，对顶角及邻补角的性质进行判断．两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故①是假命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；对顶角相等，邻补角互补，故④是真命题．故选A．小提示：本题考查命题的真假判断，熟练掌握平行线的性质，对顶角及邻补角的性质是解题的关键．7、如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm答案：C分析：据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，∴BB′=CC′=1cm，∵B′C=2cm，∴BC′=BB′+B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．故选：C．小提示：本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．8、下列命题是假命题的( )A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥cB．在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥cC．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cD．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案：C分析：根据平行的判定方法对A、C、D进行判断；根据平行的性质和垂直的定义对B进行判断．A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，所以A选项为真命题；B．在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，所以B选项为真命题；C．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以C选项为假命题；D．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以D选项为真命题．故选:C．小提示：本题考查了平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键.9、如图，小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°答案：C分析：根据方位角和平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．解：如图：∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，∴∠DAB=40°，∠CBE=70°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE=∠DAB=40°，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=40°+70°=110°，故选：C．小提示：本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．10、对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a=3，b=2B．a=－3，b=2C．a=3，b=－1D．a=－1，b=3答案：B试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D 选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选B．考点：命题与定理．填空题11、如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=_______度．答案：42．∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，即∠1+∠3=90°，∵∠1=48°，∴∠3=42°，∵a∥b，∴∠2=∠3=42°.故答案为42.点睛：本题关键利用平行线的性质解题.12、如图，若AB⊥BC，BC⊥CD，则直线AB与CD的位置关系是______．答案：AB∥CD∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，故答案为AB∥CD.13、如图，AB∠CD，若GE平分∠DGH，HE平分∠GHB，GF平分∠CGH，若∠CGH=70°，则∠EHB的度数是______，图中与∠DGE互余的角共有______个．答案： 35°##35度 5分析：由平行线的性质可得，∠CGH=∠GHB=70°，∠GFH=∠CGF，利用邻角的补角可得∠DGH=∠GHA= 110°，利用角平分线的性质可得∠EHB=∠GHE=35°，∠CGF=∠GFH=∠HGF=35°，∠DGE=∠HGE= 55°，进而可求得答案．解：∵AB//CD，∴∠CGH=∠GHB=70°，∠DGH=∠GHA，∠GFH=∠CGF∴∠DGH=∠GHA=180°−70°=110°，又∵HE平分∠GHB，∵GE平分∠DGH，HE平分∠GHB，GF平分∠CGH，∴∠EHB=∠GHE=12∠GHB=35°，∠CGF=∠GFH=∠HGF=12∠CGH=35°，∠DGE=∠HGE=12∠DGH=55°，∴∠DGE+∠BHE=90°，∠DGE+∠GHE=90°，∠DGE+∠CGF=90°，∠DGE+∠HGF=90°，∠DGE+∠GFH=90°，∴与∠DGE互余的角共有5个，所以答案是：35°，5．小提示：本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及互余的定义，熟练掌握角平分线的性质及互余的定义是解题的关键．14、如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为_____．答案：1分析：利用平移的性质得到BE＝CF，再用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF的长．解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE＝CF，∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．故答案为1．小提示：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．15、命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________.答案：如果a，b互为相反数，那么a+b=0分析：交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.所以答案是：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.小提示：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．解答题16、如图，已知AB∥DE，那么∠A+∠C+∠D的和是多少度？为什么？答案：∠A+∠C+∠D的和是360度，理由见解析．分析：如图（见解析），过点C作CF//AB，则CF//DE，先根据平行四边形的性质（两直线平行，同旁内角互补）得出∠A+∠FCA=180°,∠D+∠DCF=180°，再根据角的和差即可得．如图，过点C作CF//AB，则所求的问题变为∠A+∠ACD+∠D的和是多少度∴∠A+∠FCA=180°∵AB//DE∴CF//DE∴∠D+∠DCF=180°∴∠A+∠FCA+∠D+∠DCF=180°+180°=360°即∠A+∠ACD+∠D=360°．小提示：本题考查了平行线的性质、角的和差，熟记平行线的性质是解题关键．17、如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°．（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．答案：（1）15秒；（2）1609秒；（3）269，23． 分析：（1）根据B 灯转动30度时第一次经过灯A ，列出方程即可得解；（2）根据内错角相等，两灯的光线平行，构建方程求解可得结果；（3）分两种情形，根据平行线的判定，构建方程解决问题即可．解：（1）设灯B 转动t 秒后，射出的光束第一次经过灯A ．由题意得：2t ＝30，解得：t ＝15，答：灯B 转动15秒后，射出的光束第一次经过灯A ．（2）设A 灯转动x 秒，两灯的光束互相平行．根据题意得：180﹣50﹣3x ＝6x ﹣30时，两灯的光束互相平行，解得：x ＝1609，答：A 灯转动1609秒，两灯的光束互相平行．（3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次45秒时第一次平行，由题意得：45a ﹣130＝30﹣45b ，90秒时第二次平行，由题意得：90a ﹣180﹣50＝90b ﹣30，解得：a ＝269，b ＝23 答：a ，b 的值分别为269，23．小提示：本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：内错角相等，两直线平行．18、完成下面的证明：如图，BE 平分∠ABD ，DE 平分∠BDC ，且∠α+∠β＝90°，求证：AB ∠CD ．证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝（）．∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°．（已知），∴∠ABD+∠BDC＝（）．∴AB∠CD（）答案：角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换，同旁内角互补两直线平行分析：首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β(角平分线的定义)．∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）∵∠α+∠β＝90°．（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换），∴AB∠CD（同旁内角互补两直线平行）．所以答案是：角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换，同旁内角互补两直线平行．小提示：此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．。
北师大版七年级下册数学[《相交线与平行线》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、两条直线的位置关系1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行要点诠释：（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.2.对顶角、补角、余角（1）定义：①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等．3.垂线（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.要点三、用尺规作线段和角1.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.2.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.（3）用尺规作一个角等于已知角的和.（4）用尺规作一个角等于已知角的差.【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，那么互为对顶角（平角除外）的角共有对，它们分别是，共有对邻补角.【思路点拨】根据邻补角定义和对顶角定义，每一个顶点处有四个角，可以组成四对邻补角和两对对顶角，而本题图形中，三个顶点重叠在一起，所以再乘以3即可．【答案】6,∠AOC与∠BOD，∠AOF与∠BOE，∠COF与∠DOE, ∠BOC与∠AOD，∠BOF与∠AOE, ∠DOF与∠COE ,12．【解析】找对顶角或邻补角，先从某一个角开始，顺时针或逆时针旋转，这样做，既不漏也不重.【总结升华】两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角.举一反三：【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.【答案】解：因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）,所以∠AOC是∠BOC的补角.因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）,∠AOD=∠BOC（已知）,所以∠BOC＋∠BOD=180º.所以∠BOD是∠BOC的补角．所以∠B OC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC没有对顶角.2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数.【答案与解析】解：∵a⊥b,∴∠2＝∠1＝90°.又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°,又∠3与∠4互为邻补角，所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°.所以∠4＝135°.【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键．类型二、平行线的性质与判定3.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，将求∠AGD的过程填写完整：因为EF∥AD，所以∠2= （）又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3所以AB∥（）所以∠BA C＋ =180°（）因为∠BAC=70°，所以∠AGD= .【答案】∠3，两直线平行，同位角相等；DG，内错角相等，两直线平行；∠AGD，两直线平行，同旁内角互补；110°.【解析】首先由已知EF∥AD根据两直线平行同位角相等可得∠2=∠3，再由∠1=∠2，利用等量代换可得∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DG，再根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAC+∠AGD=180°，进而得到答案．【总结升华】本题主要考查的是平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．此外注意证明题规范的书写格式.举一反三：【变式】如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.【答案】解：平行，理由如下：因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1=∠2（已知），所以∠BCD=∠2.所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.4.（2015春•杭州期末）如图，已知BC∥GE，AF∥DE，∠1=50°．（1）求∠AFG的度数；（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q=15°，求∠ACB的度数．【答案与解析】解：（1）∵BC∥EG，∴∠E=∠1=50°．∵AF∥DE，∴∠AFG=∠E=50°；（2）作AM∥BC，∵BC∥EG，∴AM∥EG，∴∠AFM=∠AFG=50°．∵AM∥BC，∴∠QAM=∠Q=15°，∴∠FA Q=∠AFM+∠FAQ=65°．∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC=∠FA Q=65°，∴∠M AC=∠QAC+∠QAM=80°．∵AM∥BC，∴∠ACB=∠MAC=80°．【总结升华】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．类型三、用尺规作线段和角5. 在如图中，补充作图：（1）在AD的右侧作∠DCP=∠DAB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）CP与AB会平行吗？为什么？【思路点拨】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出；（2）根据平行线的判定方法即可判断．【答案与解析】解：（1）作图如下：（2）会平行．用同位角相等，两直线平行．【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，以及平行线的判定定理，正确掌握基本作图是关键．举一反三：【变式】（2014秋•娄底期中）尺规作图的画图工具是（）A．刻度尺、量角器 B．三角板、量角器C．直尺、量角器 D．没有刻度的直尺和圆规【答案】D提示：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．类型四、实际应用6.如图，107国道a上有一个出口M，想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？【答案与解析】解：如图，过点M作MN⊥b，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——用尺规作角(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——用尺规作角（知识梳理与考点分类讲解）1.尺规作图：在几何作图中，只用圆规和没有刻度的直尺来作图，称为尺规作图.2.直尺的功能：（1）在两点间连接一条线段；（2）过平面上的两点画直线；（3）作射线、线段或做延长线.3.圆规的功能：（1）以平面上任意一点为圆心，任意长为半径作圆或圆弧；（2）在直线上截取一条线段，使它等于已知线段.特别提醒：1.尺规作图是一种规定了作图工具，且能够有效地减少误差的较精确的作图方法.2.尺规作图是最基本最常见的作图方法，通常称为基本作图.【考点目录】【考点1【考点2】尺规作一个角等于已知角；【考点3】尺规作角的和与差；【考点4】过直线外一点作已知直线的平行线.【考点1】作特殊角；【例1】（2024上·安徽宿州·七年级校联考期末）利用一副三角尺能画出下列度数的角吗？如何画？试试看．（不要写出做法，要保留作图痕迹）（1）150︒．（2）15︒【答案】（1）作图见分析；（2）作图见分析【分析】（1）选用三角尺画一个60︒的角，再在这个角的外部画一个有公共顶点，有一个公共边的90︒的角即可求解；（2）先用三角尺画一个60︒的角，再在这个角的内部画一个有公共顶点、一条公共边的45︒的角即可求解．︒=︒+︒，（1）解：如图，1506090︒=︒-︒，（2）解：如图，156045【变式1】（2020上·福建三明·七年级三明市第三中学校考阶段练习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（）A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】C【分析】一副三角板，度数有：30 、45 、60 、90 ，根据度数组合，可以得到答案．解：利用一副三角板可以画出75 的角，是45 和30 角的组合故选：C．【点拨】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.【变式2】（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）用一副三角板不能画出的角是（）．A．75°B．105°C．110°D．135°【答案】C【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；110°角用一副三角板不能画出；135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
【精编】人教版七年级数学下册第五章_相交线与平行线_全章知识点归纳及典型题目练习(含答案).doc
第五章相交线与平行线1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_____________.2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________.3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________.4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________.5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.8.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：________________________________________.9.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .10. 平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：____________________________________ .11. 判断一件事情的语句，叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项，结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是＿＿＿＿＿，“那么”后接的部分是_________.如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.12. 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全______.⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.熟悉以下各题：13. 如图，,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____，点B 到AC 的距离是_______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________．14. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，a)若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________； b)若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________； c) 若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．15. 如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．16. 如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．17. 如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．解：∠B ＋∠E ＝∠BCE过点C 作CF ∥AB ，则B ∠=∠____（ ）又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ，∴____________（ ）∴∠E ＝∠____（ ）∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2即∠B ＋∠E ＝∠BCE ．18. ⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a ∥b ．⑵直线//a b ，求证：12∠=∠．19. 阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明EP ∥FQ ．证明：∵AB ∥CD ，∴∠MEB ＝∠MFD （ ）又∵∠1＝∠2，∴∠MEB －∠1＝∠MFD －∠2，即 ∠MEP ＝∠______∴EP ∥_____．（ ）20. 已知DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ，求：⑴∠BAC 的大小；⑵∠P AG 的大小.21. 如图，已知ABC ∆，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，//DG BA交CA 于G .求证12∠=∠.22. 已知：如图∠1=∠2，∠C =∠D ，问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．参考答案1.邻补角2.对顶角，对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行相交平行7.平行这两直线互相平行8.同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行.9.平行10.两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补.11.命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移相同平行且相等13.6cm 8cm 10cm 4.8cm.14.平行平行垂直15.28°118°59°16. OD⊥OE理由略17. 1（两直线平行，内错角相等）DE∥CF（平行于同一直线的两条直线平行）2（两直线平行，内错角相等）.18.⑴∵∠1＝∠2，又∵∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠3∴a∥b（同位角相等两直线平行）⑵∵a∥b∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)又∵∠2＝∠3（对顶角相等）∴∠1＝∠2.19. 两直线平行，同位角相等MFQ FQ同位角相等两直线平行20. 96°，12°. 21.,AD BC FE BC ⊥⊥90EFB ADB ∴∠=∠=//EF AD ∴23∴∠=∠//,31DG BA ∴∠=∠ 1 2.∴∠=∠ 22. ∠A ＝∠F .∵∠1＝∠DGF （对顶角相等）又∠1＝∠2 ∴∠DGF ＝∠2 ∴DB ∥EC （同位角相等，两直线平行） ∴∠DBA ＝∠C （两直线平行，同位角相等） 又∵∠C ＝∠D ∴∠DBA ＝∠D ∴DF ∥AC （内错角相等，两直线平行）∴∠A ＝∠F (两直线平行,内错角相等).。
相交线与平行线(常考考点专题)(巩固篇)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识讲练(人教版)
专题5.20 相交线与平行线（常考考点专题)（巩固篇）（专项练习）一、单选题【考点一】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼对顶角✮✮邻补角1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列说法中，正确的是( )A ．相等的两个角是对顶角B ．有一条公共边的两个角是邻补角C ．有公共顶点的两个角是对顶角D ．一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角是邻补角【考点二】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼垂直✮✮垂线段3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE AB ⊥于点O ，OF 平分AOE ∠，12530'∠=︒，则下列结论中不正确的是（ ）A ．13∠=∠B ．245∠=︒C ．AOD ∠与1∠互为补角D ．1∠的余角等于6530'︒ 4．下列说法中，正确的是（ ）A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离B．平面内，互相垂直的两条直线不一定相交C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cmD．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线【考点三】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼同位角✮✮内错角✮✮同旁内角5．如图，下列判断中正确的个数是（）（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，同位角共有（）对．A．6B．5C．8D．7【考点四】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼点与直线距离✮✮平行线之间距离7．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4，b与c 的距离为1，则a与c的距离为（）A．3或4B．5C．3或5D．4或58．如图所示，∠BAC＝90°，AD∠BC，则下列结论中，正确的个数为（）∠AB∠AC；∠AD与AC互相垂直；∠点C到AB的垂线段是线段AB；∠点A到BC的距离是线段AD的长度；∠线段AB的长度是点B到AC的距离；∠AD+BD＞AB．A．2个B．3个C．4个D．5个【考点五】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼垂线画法✮✮平行线画法9．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是()A．B．C．D．10．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB l⊥于点B，90∠=︒，APC则下列结论：∠线段AP是点A到直线PC的距离；∠线段BP的长是点P到直线l的距离；∠PA，PB，PC三条线段中，PB最短；∠线段PC的长是点P到直线l的距离．其中正确的是（）A．∠∠B．∠∠∠C．∠∠D．∠∠∠∠【考点六】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼平移11．下面所说的“平移”，是指只沿方格的格线（即左右或上下）运动，并将图中的任一条线段平移一格称为“1步”．通过平移，使得图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要移动的步数是（）A．7步B．8步C．9步D．10步12．如图所示，下列关于∠ABC与∠A′B′C′的说法不正确的是（）A．将∠ABC先向右平移4格，再向上平移1格后可得到∠A′B′C′B．将∠ABC先向上平移1格，再向右平移4格后可得到∠A′B′C′C．将∠A′B′C′先向下平移1格，再向左平移4格后可得到∠ABCD．将∠A′B′C′向左平移6格后就可得到∠ABC【考点七】相交线与平行线➽➼➵公理➻➼垂线段公理✮✮平行线公理13．如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（）A．从大变小B．从小变大C．从小变大再变小D．从大变小再变大14．下列说法中是真命题正确的个数有（）个（1）若a∥b，b∥d，则a∥d；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个15．在下列说法中，正确的有（ ）个．∠过一点有且只有一条直线与已知直线平行；∠已知α∠、∠β的两边分别平行，那么αβ∠=∠；∠垂直于同一条直线的两条直线平行；∠从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．A ．3B ．2C ．1D ．016．如图，有下列条件：∠12∠=∠；∠34180∠+∠=︒；∠56180∠+∠=︒；∠23∠∠=．其中，能判断直线a b ∥的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个17．如图，在下列给出的条件中，不能判定DE BC ∥的是（ ）A ．12∠=∠B ．3=4∠∠C ．5C =∠∠D ．180B BDE ∠+∠=︒ 18．如图，要得到AB CD ，只需要添加一个条件，这个条件不可以是（ ）A ．180D BAD =∠+∠B ．180B BCD ∠+∠=C ．24∠∠=D ．13∠=∠19．如图，45,AOB CD OB ∠=︒∥交OA 于E ，则AEC ∠的度数为（ ）A ．130︒B ．135︒C ．140︒D ．145︒20．如图，∠BAC =40°，AD 平分∠BAC ，BD ∠AC ，则∠D 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【考点十】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼探究角的关系21．如图，AD ∠BC ，DE AB ∥，则∠CDE 与∠BAD 的关系是（ ）A ．互为余角B ．互为补角C ．相等D ．不能确定22．如图，若AB ∠CD ，则α、β、γ之间的关系为（ ）A ．α+β+γ=360°B ．α﹣β+γ=180°C ．α+β﹣γ=180°D ．α+β+γ=180°【考点十一】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼求角的大小23．一张长方形纸条按如图所示折叠，EF 是折痕，若∠EFB =35°，则：∠∠GEF =35°；∠∠EGB =70°；∠∠AEG =110°；∠CFC '∠=70°．以上结论正确的有（ ）A ．∠ ∠ ∠ ∠B ．∠ ∠ ∠C ．∠ ∠ ∠D ．∠ ∠24．如图，AB //CD ，∠1＝13∠ABF ，CE 平分∠DCF ，设∠ABE ＝∠1，∠E ＝∠2，∠F ＝∠3，则∠1、∠2、∠3的数量关系是（ ）A ．∠1+2∠2+∠3＝360°B ．2∠2+∠3—∠1＝360°C ．∠1+2∠2—∠3＝90°D ．3∠1+∠2+∠3＝360°【考点十二】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼求角的大小 25．如图，已知A ADE ∠=∠，若54EDC C ∠=∠，则C ∠=（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒26．如图，AB //CD ，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG ＝20°，则∠HFD 的度数为（ ）A ．20°B ．70°C ．45°D ．35°【考点十三】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼证明 27．如图，下列判断中错误的是（ ）A ．∠A +∠ADC = 180° 所以AB ∥CDB ．∠l=∠2，所以AD ∥BC C ．AB ∥CD ，所以∠ABC +∠C = 180° D ．AD ∥BC ，所以∠3=∠428．如图，AE ∥CF ，∠ACF 的平分线交AE 于点B ，G 是CF 上的一点，∠GBE 的平分线交CF 于点D ，且BD ∠BC ，下列结论：∠BC 平分∠ABG ；∠AC ∥BG ；∠与∠DBE 互余的角有2个；∠若∠A =α，则∠BDF =180°−2α．其中正确的有（ ）A ．∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠【考点十四】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼应用29．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（ ）A ．第一次右拐50︒，第二次左拐130︒B ．第一次左拐50︒，第二次右拐50︒C ．第一次左拐50︒，第二次左拐50︒D ．第一次右拐50︒，第二次右拐50︒ 30．如图a 是长方形纸带，26DEF ∠=︒，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的CFE ∠的度数是（ ）A ．102°B ．112°C ．120°D ．128°【考点十五】定理、命题与证明➽➼➵命题的真假✮✮逆命题31．以下命题的逆命题为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．对顶角相等C ．直角三角形两锐角互余D ．若a b =，则22a b =32．命题“如果x y =，那么22x y =”的逆命题是（ ）A ．如果x y ≠，那么22x y ≠B ．如果x y =，那么22x y ≠C ．如果22x y =，那么x y =D ．如果22x y ≠，那么x y ≠【考点十六】定理、命题与证明➽➼➵命题与证明✮✮互逆定理33．有下列描述：∠过点 A 作直线 AF // BC ；∠连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；∠两直线平行，同旁内角互补；∠垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个34．下列定理中，没有逆定理的是（ ）A ．两直线平行，同旁内角互补；B ．两个全等三角形的对应角相等C ．直角三角形的两个锐角互余；D ．两内角相等的三角形是等腰三角形【考点十七】平移➽➼➵性质35．如图，将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置，连接CD 、CE ，若△ACD 的面积为6，则△BCE 的面积为（ ）A ．5B ．6C ．10D ．336．如图，在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，将三角形ABC 沿直线BC 向右平移2cm 得到三角形DEF ，连接AE ，有以下结论：∠BE AD ∥；∠B ADE ∠=∠；∠DE AC ⊥；∠BE AD =，其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点十八】平移➽➼➵应用37．如图是从一块边长为50cm的正方形材料中裁出的垫片，现测得FG＝9cm，则这块垫片的周长为（）A．182cm B．191cm C．209cm D．218cm38．如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3，则下列结论正确的有（）∠AC∠DF；∠HE＝5；∠CF＝5；∠四边形DHCF的面积为32.5．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题【考点一】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼对顶角✮✮邻补角39．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝80°，∠2＝2∠3，则∠4＝_____．40．如图，直线AB与CD相交于点O，∠1＝∠2，若∠AOE＝138°，则∠COE的度数为_____度．【考点二】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼垂直✮✮垂线段41．如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到直线BC的距离是线段_____的长度．42．已知在同一个平面内，一个角的度数是70°，另一个角的两边分别与它的两边垂直，则另一个角的度数是___________．【考点三】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼同位角✮✮内错角✮✮同旁内角43．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a b c+-的值是____________44．如图，∠1和∠3是直线______ 和______ 被直线______ 所截而成的______ 角；图中与∠2是同旁内角的角有______ 个．【考点四】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼点与直线距离✮✮平行线之间距离45．如图所示，已知90ACB ∠=︒，若3cm BC =，4cm AC =，5cm AB =，则点A 到BC 的距离是______，点C 到AB 的距离是______．46．如图，直线AB //CD ，GH 平分∠CGF ，GI 平分∠DGF ，且HG ＝15cm ，GI ＝20cm ，HI ＝25cm ，则直线AB 与直线CD 之间的距离是_____cm ．【考点五】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼垂线画法✮✮平行线画法47．已知直线 AB ，CB ， l 在同一平面内，若 AB ∠ l ，垂足为 B ，CB ∠ l ，垂足也为 B ，则符合题意的图形可以是如图中的图___(填甲或乙)， 你选择的依据是_____（写出你学过的一条公理）.48．如图，AD BC ∥，E 是线段AD 上任意一点，BE 与AC 相交于点O ，若ABC ∆的面积是5，EOC ∆的面积是1，则BOC ∆的面积是______．【考点六】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼平移49．如图，在正方形网格中，线段A′B′可以看作是线段AB经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由线段AB得到线段A′B′的过程______50．如图，如果把∠ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的位置关系是_______________.【考点七】相交线与平行线➽➼➵公理➻➼垂线段公理✮✮平行线公理51．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．52．下列说法正确的有（填序号）：_____．∠同位角相等；∠在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；∠在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；∠在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．【考点八】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定53．如图，不添加辅助线，请写出一个能判定AB ∥CD 的条件__54．在同一平面内有2022条直线122022,a a a ，如果12a a ⊥，2a ∥3a ，34a a ⊥，4a ∥5a ……那么1a 与2022a 的位置关系是_____________．55．将一块三角板ABC （∠BAC =90°，∠ABC =30°）按如图方式放置，使A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，对于给出的五个条件：∠∠1=25.5°，∠2=55°30'；∠∠1+∠2=90°；∠∠2=2∠1；∠∠ACB =∠1+∠3；∠∠ABC =∠2-∠1．能判断直线m ∥n 的有__．（填序号）56．如图，a 、b 、c 三根木棒钉在一起，170,2100∠=︒∠=︒，现将木棒a 、b 同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a ，b 平行．【考点九】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质57．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，若150∠=︒，则AEG ∠= ______ ．58．如图，已知BC DE ∥，BF 平分∠ABC ，DC 平分∠ADE ，则下列结论中：∠ACB E ∠=∠；∠180FBD CDE ∠+∠=︒；∠BFD BCD ∠=∠；∠ABF BCD ∠=∠．正确的有( )（填序号）【考点十】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼探究角的关系59．若∠A 与∠B 的两边分别平行，且∠A 比∠B 的2倍少18°，则∠A 的度数是__________． 60．∠如图1，AB ∥CD ，则∠A +∠E +∠C ＝180°；∠如图2，AB ∥CD ，则∠E ＝∠A +∠C ；∠如图3，若AB ∥EF ，则∠x =180°-∠α-∠γ+∠β；∠如图4，AB ∥CD ，则∠A ＝∠C +∠P ．以上结论正确的是_____．【考点十一】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼求角的大小61．如图，已知2375AB CD PAQ BAQ PCD QCD P ∠=∠∠=∠∠=︒∥，，，，则AQC ∠=___________．62．有一条长方形纸带，按如图方式折叠，形成的锐角α∠的度数为______．【考点十二】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼求角的大小63．如图，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，则∠2=____________．64．如图，直线MN 分别与直线AB ，CD 相交于点E ，F ，EG 平分∠BEF ，交直线CD 于点G ，若∠MFD ＝∠BEF ＝56°，射线GP ∠EG 于点G ，则∠PGF ＝____________________．【考点十三】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼证明65．一副直角三角板中，60A ∠=︒，30D ∠=︒，45E B ∠=∠=︒，现将直角顶点C 按照如图方式叠放，点E 在直线AC 上方，且0180ACE ︒<∠<︒，能使三角形ADC 有一条边与EB 平行的所有ACE ∠的度数的和为_______．66．如图，AB BC ⊥于点B ，DC BC ⊥于点C ，连接AD ，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 为CD 延长线上一点，连接AF ，BAF EDF ∠=∠，下列结论：∠180BAD ADC ∠+∠=︒；∠AF DE ∥；∠DAF F ∠=∠．正确的有______．（填序号）【考点十四】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼应用67．《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点A 和点C 的两盏激光灯控制．如图，光线AB 与灯带AC 的夹角40A ∠=︒，当光线CB '与灯带AC 的夹角ACB '∠=______时，CB AB '∥．68．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为_____．【考点十五】定理、命题与证明➽➼➵命题的真假✮✮逆命题69．命题“若33a b ->-，则a b <”的逆命题是________．70．已知：在同一平面内，三条直线a ，b ，c ．下列四个命题为真命题的是_____________．（填写所有真命题的序号）∠如果a ∥b ，a c ⊥，那么b c ⊥； ∠如果b a ⊥，c a ⊥，那么b c ⊥；∠如果a ∥b ，c ∥b ，那么a ∥c ； ∠如果b a ⊥，c a ⊥，那么b ∥c ．【考点十六】定理、命题与证明➽➼➵命题与证明✮✮互逆定理71．用推理的方法判断为正确的命题叫做 ．72．请写出一个存在逆定理的定理：______．【考点十七】平移➽➼➵性质73．如图，将ABC ∆沿AC 所在的直线平移到DEF ∆的位置，若图中10AC =，3DC =，则CF =____．74．如图，338∠=︒，直线b 平移后得到直线a ，则12∠+∠=_________︒．【考点十八】平移➽➼➵应用75．在一块长m a ，宽102m 的草坪上修筑宽2m 的小路（如图），则种草地面的面积是______2m ．76．如图，长8米宽6米的草坪上有一条弯折的小路（小路进出口的宽度相等，且每段小路均为平行四边形），小路进出口的宽度均为1米，则绿地的面积为__平方米．三、解答题77．如图，已知O为直线AC上一点，过点O向直线AC上引三条射线,,OB OD OE，且OD平分AOB∠．(1)若OE平分BOC∠，求DOE∠的度数；(2)若13BOE EOC∠=∠，50DOE∠=，求EOC∠的度数．78．如图，直线CD 、EF 交于点O ，OA ，OB 分别平分COE ∠和DOE ∠，已知1290∠+∠=︒，且2:32:5∠∠=．(1) 求BOF ∠的度数；(2) 试说明AB CD ∥的理由．79．请在括号内完成证明过程和填写上推理依据． 如图，已知12180∠+∠=︒，DEF A ∠=∠，试判断ACB ∠与DEB ∠的大小关系，并说明理由．解：ACB DEB ∠=∠，理由如下：∠12180∠+∠=︒2180BDC ∠+∠=︒（ ）∠（ ）BDC =∠（ ）∠（ ）EF ∥（ ） ∠DEF ∠=（ ）∠DEF A∠=∠∠（）A=∠（）∠DE AC∥（）∠ACB DEB∠=∠（）80．已知AB CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．(1)如图1，若GM⊥ GN，求∠AMG+∠CNG的度数；(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=32°，求∠MGN+∠MPN的度数；(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数？参考答案1．C【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．解：A 、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；B 、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；C 、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；D 、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意．故选：C ．【点拨】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断．2．D解：A 选项,因为对顶角是一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线,这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做互为对顶角.两条直线相交,构成两对对顶角.互为对顶角的两个角相等.但相等的两个角不一定是对顶角,所以A 选项错误,B 选项, 因为邻补角是有一条公共边,且一个角的一边是另一个角一边的反向延长线组成的2个角, 有一条公共边,但是没有保证另一条边在一条直线上那么就不一定是邻补角,所以B 选项错误,C 选项, ,因为对顶角是一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线,这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做互为对顶角,所以C 选项错误,D 选项,一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角是邻补角,所以D 选项正确,故选D.3．D【分析】根据垂线的性质，角平分线的定义及对顶角、邻补角的性质，逐一判断． 解：∠13∠∠、为对顶角，∠13∠=∠，故选项A 正确；∠OE AB ⊥，∠90AOE ∠=︒，∠OF 平分AOE ∠，∠245∠=︒，故选项B 正确；∠1180AOD ∠+∠=︒，∠AOD ∠与1∠互为补角，故选项C 正确；∠12530'∠=︒，9016430'︒-∠=︒，∠1∠的余角等于6430'︒，故选项D 错误；故选：D ．【点拨】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解题的关键熟练掌握角平分线的定义和垂线的性质．4．C【分析】根据点到直线距离的定义分析，可判断选项A 和C ；根据相交线的定义分析，可判断选项B ，根据垂线的定义分析，可判断选项D ，从而完成求解．解：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，即选项A 错误；在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，即选项B 错误；直线AB 外一点P 与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm ，则点P 到直线AB 的距离是7cm ，即选项C 正确；在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，即选项D 错误；故选：C ．【点拨】本题考查了点和直线的知识；解题的关键是熟练掌握点到直线距离、相交线、垂线的性质，从而完成求解．5．C【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．解：（1）∠A 与∠1是同位角，正确，符合题意；（2）∠A 与∠B 是同旁内角．正确，符合题意；（3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意；（4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意．故选：C ．【点拨】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．6．A【分析】根据同位角的概念解答即可．解：同位角有6对，∠4与∠7，∠3与∠8，∠1与∠7，∠5与∠6，∠2与∠9，∠1与∠3，故选：A．【点拨】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．7．C【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．解：当直线c在a、b之间时，∠a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∠a与c的距离=4−1=3(cm)；当直线c不在a、b之间时，∠a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∠a与c的距离=4+1=5(cm)，综上所述，a与c的距离为5cm或3cm.故选C.【点拨】此题考查平行线的性质，解题关键在于分类讨论两种情况.8．C【分析】根据点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系，可得答案．解：由∠BAC＝90°，AD∠BC，得AB∠AC，故∠正确；AD与AC不垂直，故∠错误；点C到AB的垂线段是线段AC的长，故∠错误；点A到BC的距离是线段AD的长度，故∠正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故∠正确；AD+BD＞AB，故∠正确；故选：C．【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系是解题关键．9．A【分析】满足两个条件：∠经过点B．∠垂直AC；由此即可判断.解：根据垂线段的定义可知，图∠线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，故选A．【点拨】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．A【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．解：∠线段AP是点A到直线PC的距离，错误；∠线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；∠PA，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；∠线段PC的长是点P到直线l的距离，错误，故选：A．【点拨】此题主要考查了垂线的两条性质：∠从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．∠从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．11．B【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数.解：所画图形如下图所示:其中移动方案为: AB向下移动2格，EF向右1格再向.上2格，CD向左3格，共应8格.共走了8步.故选B.【点拨】本题考查图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行，另外使平移后成为三角形.12．D解：根据平移变换的概念及平移的性质进行判断．13．C【分析】根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，据此即可解答．解：根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，⊥与点E，交弧BC于点G，如图：过点A作AE l∴，AB=AG=AC，AD AF AE=>BD CF EG，<∴-=--，即=<AB AD AC AF AG AE故系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是从小变大再变小，故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短，圆的相关概念，理解垂线段的性质是解决本题的关键．14．B【分析】根据平行线的定义与判定、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解．解：（1）若a b，b d，则a d，故此说法正确；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此说法错误；（3）在同一平面内，两条直线不相交就平行，故此说法错误；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此说法正确．故选：B．【点拨】此题主要考查了平行公理，平行线的性质定义，垂线的性质，关键是熟练掌握课本内容．15．D【分析】利用平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义逐项判断即可．解：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此∠错误；α∠、∠β的两边分别平行时，αβ∠=∠或180αβ∠+∠=︒，因此∠错误；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，因此∠错误；从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故∠错误； 故选：D ．【点拨】本题考查平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义等，解题的关键是熟练掌握上述基本知识，不要漏掉前置条件．16．B【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论． 解：∠由∠1＝∠2，可得a b ；∠由∠3＋∠4＝180°，可得a b ；∠由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a b ；∠由∠2＝∠3，不能得到a b ；故能判断直线a b 的有3个，故选：B ．【点拨】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．17．B【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．解：因为12∠=∠，所以DE BC ∥，故A 不符合题意；因为3=4∠∠，不能判断DE BC ∥，故B 符合题意；因为5C =∠∠，所以DE BC ∥，故C 不符合题意；因为180B BDE ∠+∠=︒，所以DE BC ∥，故D 不符合题意；故选B ．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．18．D【分析】根据A 、B 中条件结合“同旁内角互补，两直线平行”可以得出AB //CD ，根据C 中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AB //CD ，而根据D 中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AD //BC ．由此即可得出结论．解：A 、∠D +∠BAD ＝180°，∠AB //CD （同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；B 、∠∠B +∠BCD ＝180°，∠AB //CD （同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；C 、∠2＝∠4，∠AB //CD （内错角相等，两直线平行），不符合题意；D 、∠∠1＝∠3，∠AD //BC （内错角相等，两直线平行），符合题意；故选D ．【点拨】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据四个选项给定的条件结合平行线的性质找出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等或互补的角找出平行的两直线是关键．19．B【分析】由∥45,CD OB AOB ∠=︒，根据平行线的性质得到45AED ∠=︒，根据平角的意义即可求出答案．解：∥45,CD OB AOB ∠=︒，45AOB AED ∴∠=∠=︒， 180AEC AED ∠+∠=︒，18045135AEC ∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质、邻补角的意义，解题的关键是求出AED ∠的度数．20．A【分析】由角平分线的定义和平行线的性质结合即可求解.解：∠AD 平分∠BAC ，∠BAC =40°，∠∠CAD =12BAC ∠=20°， ∠BD ∠AC ，∠∠D=∠CAD =20°.故选：A【点拨】此题考查角平分线的定义和平行线的性质，掌握相应的性质是解答此题的关键.21．A【分析】先根据垂直的定义可得90CDE ADE ∠+∠=︒，再根据平行线的性质可得BAD ADE ∠=∠，然后根据余角的定义即可得．解：AD BC ⊥，90CDE ADE ADC ∴∠+∠=∠=︒，DE AB ∥，BAD ADE ∴∠=∠，90CDE BAD ∴∠+∠=︒，则CDE ∠与BAD ∠的关系是互为余角，故选：A ．【点拨】本题考查了垂直、平行线的性质、余角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．22．C【分析】过E 作EF ∥AB ∥CD ，由平行线的质可得∠α+∠AEF =180°，∠ECD =∠γ，由∠β=∠AEF +∠FED 即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．解：过点E 作EF ∥AB ，∠∠α+∠AEF =180°，∠AB ∥CD ，∠EF ∥CD ，∠∠FEC =∠ECD ，∠∠β=∠AEF +∠FED ，又∠γ=∠ECD ，∠∠α+∠β-∠γ=180°．故选：C ．【点拨】本题考查了平行线的性质，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．23．A【分析】先根据平行线的性质可得DEF ∠的度数，根据折叠的性质可得GEF ∠，进而可得,DEG AEG ∠∠，即可判断∠ ∠ ；再利用平行线的性质可得EGB ∠、EFC ∠的度数，即可判断∠ ；再根据折叠的性质可得EFC '∠的度数，进而可得CFC '∠的度数，即可判断∠解：∠ 四边形ABCD 是长方形∠AD BC ∥35DEF EFB ∴∠=∠=︒由折叠的性质可得35GEF DEF ∠=∠=︒故 ∠ 正确35270DEG ∴∠=︒⨯=︒18070110AEG ∴∠=︒-︒=︒ 故 ∠ 正确AD BC ∥70EGB DEG ∴∠=∠=︒故 ∠ 正确又180********EFC EFB ∠=︒-∠=︒-︒=︒由折叠的性质可得：145EFC EFC '∠=∠=︒360145270CFC '∠=︒-︒⨯=︒故 ∠ 正确故选：A【点拨】本题主要考查平行线的性质和折叠的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质．24．A。
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相交线与平行线章末重难点题型考点 1 点到直线的距离】 方法点拨】 从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
例 1 】（ 2019 春 ?厦门期末）如图，三角形 ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点 D ，则下列说法错误．．的A ．点 A 到直线 BC 的距离为线段 AB 的长度 B ．点 A 到直线 CD 的距离为线段 AD 的长度C ．点 B 到直线 AC 的距离为线段 BC 的长度D ．点 C 到直线 AB 的距离为线段 CD 的长度分析】根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析即可． 答案】解：∵∠ ACB ＝90 °，∴AC ⊥BC根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析：是（ ）A：点A到直线BC的距离为线段AC的长度，而不是线段AB 的长度，故A 错误．故选：A．【点睛】本题考查了点到直线的距离的基本概念，属于基础题型，难度不大．变式1-1 】（2019 春?雨花区期末）如图，∠ ACB＝90 °，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中正确的是（）①BC与AC互相垂直；② AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC 是点 B 到AC 的距离；⑥线段AC 的长度是点 A 到BC 的距离．A．①④③⑥B．①④⑥C．②③ D ．①④【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．①BC与AC互相垂直；② AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．【答案】解：∵∠ ACB＝90 °，∴AC⊥BC，故①正确；AC 与DC 相交不垂直，故②错误；点 A 到BC 的垂线段是线段AC，故③错误；点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；线段AC 的长度是点 A 到BC 的距离，故⑥正确．故选：B．【点睛】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．变式 1-2 】（2019 春 ?娄星区期末）如图所示，点 A 到 BC 所在的直线的距离是指图中线段（ A ．AC B ．AF C ．BD D ．CE【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案． 【答案】解：点 A 到 BC 所在直线的距离是线段 AF 的长度，故选： B ．【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的定义是解题关键．变式 1-3 】（2019 春 ?天河区校级月考）如图， AC ⊥BC ， CD ⊥AB ，下列结论中，正确的结论有（ ①线段 CD 的长度是 C 点到 AB 的距离；②线段 AC 是A 点到 BC 的距离； ③AB >AC >CD ；④线段 BC 是B 到 AC 的距离；⑤ CD <BC <AB ．A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个【分析】根据垂直的定义，点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可． 【答案】解：①线段 CD 的长度是 C 点到 AB 的距离，正确；② 线段 AC 的长度是 A 点到 BC 的距离，错误； ③ AB >AC >CD ，正确；④ 线段 BC 的长度是 B 到 AC 的距离，错误； ⑤ CD <BC <AB ，正确； 故选： B ．）的长度．【点睛】本题考查的是点到直线的距离、垂直的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．特别注意点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度，互相垂直指夹角为90 °．【考点 2 相交线的交点问题】【方法点拨】 3 条直线相交最多有 3 个交点， 4 条直线相交最多有 6 个交点， 5 条直线相交最多有10 个交1点，n 条直线相交，最多有1+2+3+ ⋯+ （n﹣1）＝n（n﹣ 1 ）个交点．2【例2】（2019 秋?旌阳区校级月考）在同一平面内的n 条直线两两相交，最多共有36 个交点，则n ＝（）A．7 B．8 C．9 D ．10【分析】从简单情形考虑：分别求出 2 条、3 条、4 条、5 条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．【答案】解： 2 条直线相交最多有 1 个交点；3 条直线相交最多有1+2 个交点；4 条直线相交最多有1+2+3 个交点；5 条直线相交最多有1+2+3+4 个交点；6 条直线相交最多有1+2+3+4+5 个交点；所以n 条直线相交最多有1+2+3+4+5+ ⋯+ （n ﹣1）＝个交点；由题意得＝36 ，解得n＝9．故选：C．【点睛】此题考查图形的变化规律，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．变式2-1 】（2019 秋? 鄄城县期末）两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有 6 个交点，⋯⋯，那么 7 条直线最多（分析】根据题意，结合图形，发现： 3 条直线相交最多有 3 个交点， 4 条直线相交最多有 6 个交点， 5 条直线相交最多有 10 个交点，故可猜想， n 条直线相交，最多有 1+2+3+ ⋯+ （ n ﹣1）＝ 个交点．答案】解：∵ 7 条直线两两相交： 3 条直线相交最多有 3 个交点， 4 条直线相交最多有 6 个交点， 5 条n 个交点，那么 m n 是（）∴m n ＝6，键．变式 2-3 】（ 2019 秋 ?江阴市校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直A ． 28 个交点B ． 24 个交点C ． 21 个交点D ． 15 个交点n （n ﹣1）∴七条直线相交最多有交点的个数是：故选： C ．点睛】此题主要考查了图形变化类， 此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归 纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．变式 2-2 】（ 2019 春 ?沙坪坝区校级月考） 同一平面内两两相交的四条直线，最多有m 个交点，最少有A ．1B ．6C ．8D ．4分析】根据每三条不交于同一点，可得 m ，根据都交于同一点，可得 n ，根据乘方的意义，可得答案． 答案】解：每三条不交于同一点，得都交于同一点，得 n ＝1，故选： B ．【点睛】 本题考查了相交线，利用每三条不交于同一点，都交于同一点得出m ， n 是解题关直线相交最多有 10 个交点，而 34×5，×7×6 ＝ 21 ．n （n ﹣1）＝6，m线相交，最多有一个交点；三条直线相交，最多有三个交点；四条直线相交，最多有11 条直线相交，最多交点的个数是（ ）【分析】根据题意，结合图形，发现： 3 条直线相交最多有 3 个交点， 4 条直线相交最多有 6 个交点， 5 条直线相交最多有 10 个交点，故可猜想， n 条直线相交，最多有 1+2+3+ ⋯+ （ n ﹣1）＝ n （ n ﹣1） 个交点．【答案】解：∵ 10 条直线两两相交： 3 条直线相交最多有 3 个交点， 4 条直线相交最多有 6 个交点，5 条直线相交最多有 10 个交点，而 3＝ ×2×3，6＝ ×3 ×4 ，10 ＝ 1+2+3+4 ＝ ×4×5，∴11 条直线相交最多有交点的个数是： n （n ﹣1）＝ ×11 ×10 ＝55． 故选： C ．【点睛】此题主要考查了图形变化类，此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归 纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．考点 3 同位角、内错角、同旁内角的判断】 【方法点拨】 直线 AB ，CD 被第三条直线 EF 所截。
这三条直线形成了两个顶点， 围绕两个顶点的 8 个角之 间有三种特殊关系：* 同位角： 没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 的同侧，在第三条直线 EF 的同旁（即位置相同）， 这样的一对角叫做同位角；* 内错角： 没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF 的两旁（即位置交错），这 样的一对角叫做内错角；* 同旁内角： 没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF 的同旁，这样的一对角叫6 个交点，像这样，D ． 66 个做同旁内角；例 3】（ 2019 春 ?巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（）B ．∠4 和∠5 是同旁内角【分析】根据同位角，同旁内角，对顶角以及内错角的定义进行判断． 【答案】解： A 、∠3 和∠5 是同位角，故本选项不符合题意． B 、∠4 和∠5 是同旁内角，故本选项不符合题意．C 、∠2 和∠4 是对顶角，故本选项不符合题意．D 、∠2 和∠5 不是内错角，故本选项符合题意．故选： D ．【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截 线入手．变式 3-1 】（ 2019 春 ?西湖区校级月考）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（ ）A ．同位角、同旁内角、内错角B ．同位角、内错角、同旁内角C ．同位角、对顶角、同旁内角D ．同位角、内错角、对顶角C ．∠2 和∠4 是对顶角D ．∠2 和∠5 是内错角A ．∠3 和∠5 是同位角分析】两条线a、b 被第三条直线 c 所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【答案】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：B．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．变式3-2 】（2019 春?闵行区期中）如图，同位角共有（）对．A．6 B．5 C．8 D ．7【分析】根据同位角的概念解答即可．【答案】解：同位角有 5 对，∠4 与∠7，∠3 与∠8，∠1 与∠7，∠5 与∠6 ，∠2 与∠9，∠1 与∠3，故选： A ．【点睛】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．变式3-3 】（2019 春?九龙坡区校级期中）如图，下列结论正确的是（）【分析】根据同旁内角，对顶角，内错角以及同位角的定义解答．【答案】解： A 、∠4 和∠5 是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误．B、∠3 和（∠1+ ∠2 ）是对顶角，故本选项错误．C、∠3 和∠5 是内错角，故本选项正确．D、∠1 和（∠1+ ∠2 ）是同位角，故本选项错误．故选：C．点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．考点 4 平行线公理及其推论】方法点拨】平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。