解题方法突破 构造辅助线 第七讲 构造平行线(上)
平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型
（ 2 ） 如 图 ① ， 在 AB ∥ DE 的 条 件 下 ， 你 能 得 出 ∠ B ， ∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由． 解：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下： 因为CF∥AB，所以∠B＋∠BCF＝180°. 因为AB∥DE，所以CF∥DE. 所以∠FCD＋∠D＝180°. 所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋ 180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
6．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下： 如图，过点C作CF∥AB，所以∠B＝∠BCF. 因为AB∥DE，CF∥AB，所以CF∥DE. 所以∠DCF＝∠D.所以∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF. 因为∠BCD＝∠BCF－∠DCF， 所以∠BCD＝∠B－∠D.
解：AB∥CD.理由如下： 如图，连接 BD. 在三角形 BDE 中，∠1＋∠2＋∠E＝180°. 因为∠E＝∠3＋∠4， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， 即∠ABD＋∠CDB＝180°. 所以 AB∥CD.
2．【2020·攀枝花】如图，平行线AB，CD被直线EF所截， 过点B作BG⊥EF于点G，已知∠1＝50°，则∠B＝ （ C） A．20° B．30° C．40° D．50°
BS版平行线中常见作辅助线的技巧的九种
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1．如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位 置关系，并说明理由．
【点拨】本题可通过连接 B，D 两点构造截线，进而利用平行线 的判定说明 AB∥CD.
4 ． （ 1 ） 如 图 ① ， 若 AB ∥ DE ， ∠ B ＝ 135° ， ∠ D ＝ 145°，求∠BCD的度数．
初中初中几何辅助线做法总结满分必备
【初中】初中最全几何辅助线做法总结，满分必备！几何中，同学们最头疼的就是做辅助线了，所以，今天整理了做辅助线的102条规律，从此，再也不怕了！线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条.规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个.规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个.规律7. 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角.规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个.规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°.规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个.规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或及求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.规律16．三角形的一个内角平分线及一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：①a＞b②a±b = c③a±b = c±d规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
初中几何辅助线大全(很详细哦)
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初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2。
作一腰上的高；3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1. 垂直于平行边2。
垂直于下底,延长上底作一腰的平行线3。
平行于两条斜边4。
作两条垂直于下底的垂线5。
延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角 2。
做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线—-把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高—-形内形外都要注意矩形1。
对角线 2. 作垂线很简单.无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD。
.。
这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等.三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等)。
也可将图对折看，对称以后关系现.角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线. 三角形中有中线，延长中线等中线.解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来.③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
中考数学复习解题方法突破 构造辅助线 第八讲 构造平行线(中)
2021年
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【解析】（2）
2021年
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例 3（2014 北京模拟）在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角
2021年
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【解析】正确构图 连结 AO，作 BM//AO 交 x 轴于点 M；连结 AC，作 DN//AC 交 x 轴于点 N；
2021年
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归纳提升
构造平行线(中) --解决等积变换问题
讲师：苏海涛
2021年
1
添加平行线
2021年
2
解题技巧
2021年
3
预备知识
涉及 面积等量变换问题
添加平行线
2021年
利用等底等高的三角形 面积相等实现等积变换
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实战突破
2021年
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2021年
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三角形的中线把它的面积分成相等的两部分 高相等的两个三角形面积之比等于它们的底之比
2021年
11
添加平行线
利用平行线间 的等底等高面
积相等
解决 图形变换中的
等积问题
2021年击输入您的封面副标题
初中数学巧画辅助线的技巧
初中数学巧画辅助线的技巧每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时，补完整基本图形，因此"添线'应该叫做"补图'!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与两条平行线都相交的第三条直线。
(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的两条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形：出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系、且倍线段是直角三角形的斜边，则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形：几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证实，当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则必须补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形成全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证实，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线2圆中常用辅助线的添法(1)见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分定理，来〔沟通〕题设与结论间的联系。
数学 苏海涛 解题方法突破 构造辅助线 第八讲 构造平行线(中)
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场 景法
费曼学习法-实操
第五步 反思总结
（五） 反 思 总 结
1.反思你前面哪个步骤停留时间最长； 2.总结是什么原因造成的 （是之前相关知识基础不牢固 还是这次的某个概念自己理解错了）；
3.反思你思考的时候在哪里卡住了， 着重这个地方，再次理解。
费曼学习法-实操
第六步 实践检验
（六） 实 践 检 验
1.实践是检验真理的唯一标准。前面你可能觉得自己学的都还不错， 那么最 后这步帮你再次验证，也帮你进一步加深理解；
加深，直至完全学会消化。
高效学习使用 技巧
做个便利贴 男孩/女孩
建立 仪式感
建立营造 自律圈
小作
业
这并不是一份从天而降的普通作业~ 这是一份既能轻松完成，又能帮助你快速进步的高效小作业！ 1、结合本节所学的学习力相关常识，纠正自己目前存在问题的学习方 法， 养成良好学习习惯（可参考工具卡《高效学习力》）。 2、结合本节所学“学习的完整过程”和“高效学习模型”，对自己现 有 学习方法进行优化（可参考工具卡《高效学习模型》）。
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维
事实知识（know--what）：知道是什么的知识， 主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识， 主 要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识， 主 要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
等边三角形如何巧做辅助线--平行线
等边三角形中如何巧作辅助线长沙市湘一芙蓉二中胡孟本节内容在教材中的地位和作用学习了等腰三角形、等边三角形、全等三角形后,发现同学们对知识点的接受比较单一,不能很快找到各知识点之间的内在联系,更谈不上综合运用。
为了把初中几何中的几个重要的知识点等腰三角形、等边三角形与全等三角形很好的联系起来，提高同学们的数学思维能力和解题能力，特意设计了本节习题课。
教学目标1.通过对课本习题的延伸探究，进一步巩固等边三角形的有关知识的理解，达到灵活应用。
2.在辅助线添加的探究中体会转化思想，构造能力，掌握添加平行线可以产生新的角度、线段长度等量关系，有助于问题的解决。
3.在复习中温故知新，在例习题的变式中，体会数学的一题多解，一题多问，一题多变，感悟数学中变和不变的无穷魅力。
教学重点掌握添加平行线构造全等解决等边三角形有关问题教学难点探究添加平行线构造全等解决等边三角形有关问题重难点突破讲练结合、合作探究、运用投影仪、几何画板演示使抽象的内容变得具体形象有助于理解技术手段学案、几何画板课件、投影仪等多媒体教学过程设计一、问题引入：前面我们已经学习了等腰三角形,等边三角形以及两个三角形全等的相关知识，这节课我们来学习等边三角形中如何巧作辅助线。
出示ppt，这是八上教材93页第13题，我们来看这道题：八上教材93页第13题：如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，求证：DB=DE。
问：题中有哪些已知条件？要证明什么？你找到解题思路了吗？学生回答：（学生回答时，老师配合演示多媒体，强调已知和求证）。
学生分析思路后，师生一起小结:由此题可知，要证明两线段相等，当这两线段在同一三角形中时，我们会很自然想到用“等角对等边”来证。
老师板书，证明两线段相等的方法：①等角对等边二、变式提升老师把条件稍做改变，请同学们看到学案上的变式1，先审题（老师利用同学们审题的时间把变式1板书到黑板上）：变式1：如图：△ABC是等边三角形，D是AC上一点，延长BC至E，使CE=AD，求证:DB=DE。
平行线的证明章末重难点突破八年级数学上册(北师大版)
平行线的证明章末重难点突破【北师大版】【考点1 推理与论证】【例1】（2021秋•嵊州市期中）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是．【变式1-1】（2021秋•呼和浩特月考）小强是个自理能力很强的孝顺的好孩子，他每天下午放学都要帮父母煮饭．具体操作时间如下：淘米（3分钟），煮饭（25分钟），洗菜（7分钟），切菜（4分钟），炒菜（10分钟）．如果煮饭和炒菜用不同锅和炉子，小强要把饭菜都烧好至少需要分钟．【变式1-2】（2021春•海淀区校级期中）一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是（填“老实人”或“骗子”）．【变式1-3】（2021春•海淀区校级期末）为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（9）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（a ＞b＞c且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，小奕同学第三轮的得分为分．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小恩a a27小地a b c11小奕c b10【考点2 命题与定理】【例2】（2021秋•信都区校级月考）下列命题是假命题的是（）A．同位角相等，两直线平行B．对顶角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．两直线平行，同旁内角相等【变式2-1】（2021春•西城区校级期中）举例说明命题“如果ac＞bc，那么a＞b”是假命题，a＝1，b＝，c＝．【变式2-2】（2021秋•安徽期中）对于命题“若a＜b，则a2＜b2”，小明想举一个反例说明它是假命题，则下列符合要求的反例是（）A．a＝0，b＝1B．a＝﹣2，b＝﹣1C．a=13，b=12D．a＝1，b＝2【变式2-3】（2021秋•安徽期中）如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED．若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个数学命题，则真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点3 平行公理与推论】【例3】（2021春•雨花区校级期末）下列说法中可能错误的是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两条直线相交，有且只有一个交点D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直【变式3-1】（2021•滨州模拟）如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上．理由是：．【变式3-2】（2021春•宜昌校级期中）探索与发现：（1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是，请说明理由．（2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是（直接填结论，不需要证明）（3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系．【变式3-3】（2021春•忻州期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．解：过点P作PG∥AB交AC于点G．∵AB∥CD（），∴+∠ACD＝180°（），∵PG∥AB（），∴∠BAP＝（），且PG∥（平行于同一直线的两直线也互相平行），∴∠GPC＝（两直线平行，内错角相等），∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．∴∠BAP=12∠，∠PCD=12∠．（），∴∠BAP+∠PCD=12∠BAC+12∠ACD＝90°（），∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线．【考点4 平行线的判定与性质】【例4】（2021春•樟树市期末）如图，BE平分∠ABC交CD的延长线于E，∠ABC＝2∠E，∠ADE＝∠BCD．（1）请说明AB∥EF的理由；（2）若AF平分∠BAD交DC的延长线于F，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．【变式4-1】（2021春•覃塘区期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．（1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝°；（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA；②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系．【变式4-2】（2021春•顺平县期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，得到下列结论：①∠2＝∠3；②如果∠3＝60°，那么AC∥DE；③如果BC∥AD，那么∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，那么∠4＝∠C．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式4-3】（2021春•重庆期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出∠GQH的值．∠MPN【考点5平行线的判定与性质与三角形内角和综合】【例5】（2021春•镇海区期中）如图，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，下列结论正确的有（）①AB∥CD；②∠ABE+∠CDF＝180°；③AC∥BD；④若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-1】（2021•路南区二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A．过C作EF∥BCB．延长AC到F，过C作CE∥ABC．作CD⊥AB于点DD．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC【变式5-2】（2021春•济南期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【变式5-3】（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，延长△ABC的边AC到点E，过点E作DE∥BC，BG平分∠ABC，EF平分∠AED交BG的反向延长找于点F．已知3∠A＝4∠F，则∠A的大小为（）A．75°B．74°C．72°D．70°【考点6 三角形的外角与内角和】【例6】（2021春•临城县期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．对BF∥OD进行说理．【变式6-1】（2021春•铅山县校级月考）如图（1）所示，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D．点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．∠PDB＝α，∠PCA ＝β，∠CPD＝γ．（1）探究：若点P在A、B两点之间运动时，α、β、γ之间有何数量关系？请说明理由．（2）拓展：如图（2），过C点作CF∥AB，易证：∠ACD＝∠BAC+∠ABC．（不必证明）发现结论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．应用：若图（1）点P在A、B两点外侧运动时，利用图（2）中的结论再探究α、β、γ之间有何数量关系？请说明理由．【变式6-2】（2021秋•蚌埠期中）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F=1 2（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是．【变式6-3】（2021秋•开江县期末）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝；若∠A＝a°，则∠BEC＝．【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC＝；（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．【考点7 平行线的判定与性质的应用】【例7】（2021春•零陵区期末）某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道MN、QP上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动a度，B灯每秒转动b度，且满足|a ﹣4b|+（a+b﹣5）2＝0，若这两条景观道的道路是平行的，即MN∥QP．（1）求a、b的值；（2）B灯先转动15秒，A灯才开始转动，当A灯转动5秒时，两灯的光束AM′和BP′到达如图①所示的位置，试问AM′和BP′是否平行？请说明理由；（3）在（2）的情况下，当B灯光束第一次达到BQ之前，两灯的光束是否还能互相平行，如果还能互相平行，那么此时A灯旋转的时间为秒．（不要求写出解答过程）【变式7-1】（2021秋•香坊区校级期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，唯另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中，潜望镜常用于潜水艇，坑道和坦克内用以观察敌情．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，已知AB∥CD，∠1＝∠2，请问进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是否平行？并说明理由．【变式7-2】（2021春•海珠区校级期中）钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ 于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【变式7-3】（2021春•莱山区期末）我区正在打造某河流夜间景观带，计划在河两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定河两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）∠BAN＝度．（2）灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN需要秒；（3）若灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动．设AC 转动时间为t秒，当AC到达AN之前时，如图2所示．①∠PBD＝度，∠MAC＝度（用含有t的代数式表示）；②求当AC转动几秒时，两灯的光束射线AC∥BD？（4）在BD到达BQ之前，是否还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC∥BD？若存在，直接写出转动时间，若不存在，请说明理由．【考点8 平行线中的动点问题】【例8】（2021春•太和县期末）已知：△ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．①依题意，在图1中补全图形；②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论（不需证明）．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A．判断DE与BA的位置关系，并证明．（3）如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．【变式8-1】（2021春•汉阳区期中）如图：MN∥HP，直线L交MN于A，交HP于B，点C为线段AB上一定点，点D为直线HP上一动点．（1）当点D在射线BH上运动时（B点除外），∠BCD+∠BDC与∠MAB有何数量关系？猜想出结论并说明理由；（2）当点D在射线BP上运动时（B点除外），∠BCD+∠BDC与∠MAB又有何数量关系？画出图形，猜想出结论（无需说明理由）．【变式8-2】（2021春•罗湖区校级期末）如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE 三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．【变式8-3】（2021春•饶平县校级期中）已知：如图，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB＝∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）【考点9 外角在坐标系中的运用】【例9】（2021秋•绥阳县期中）如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点A 在y 轴上，端点B 在x 轴上，BF 平分∠ABO 并与△ABO 的外角平分线AE 所在的直线交于点F ．∠ABO ＝60°，求∠F 的大小．【变式9-1】（2021春•番禺区期末）（1）如图1，点D 在射线BC 上，求证：∠ACD ＝∠A +∠B ．（2）如图2，在直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点E 是线段OA 上一动点（不与A ，O 重合），连接CE 交OF 于点H ．当点E 在线段OA 上运动的过程中，∠OHC+∠ACE ∠OEC 的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．【变式9-2】（2021春•建昌县期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为x轴负半轴上一点C （0，﹣2），D（﹣3，﹣2）．（1）求△BCD的面积；（2）若AC⊥BC于C，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，求证：∠CQP＝∠CPQ（3）若点B为x轴正半轴上的动点，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于E点，设∠ADC＝∠DAC＝α，∠ACE＝β，请你用含α、β的式子表示∠E的大小；（4）在（3）的条件下，∠E∠ABC的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【变式9-3】（2021春•汉阳区期中）如图：在直角坐标系中，已知B （b ，0），C （0，c ），且|b +3|+（2c ﹣8）2＝0．（1）求B 、C 的坐标；（2）点A 、D 是第二象限内的点，点M 、N 分别是x 轴和y 轴负半轴上的点，∠ABM ＝∠CBO ，CD ∥AB ，MC 、NB 所在直线分别交AB 、CD 于E 、F ，若∠MEA ＝70°，∠CFB ＝30°．求∠CMB ﹣∠CNB 的值；（3）如图：AB ∥CD ，Q 是CD 上一动点，CP 平分∠DCB ，BQ 与CP 交于点P ，给出下列两个结论：①∠DQB+∠QBC ∠QPC 的值不变；②∠DQB+∠QBC ∠QPC 的值改变．其中有且只有一个是正确的，请你找出这个正确的结论并求其定值．【考点10 外角中的动点问题】【例10】（2021秋•安次区校级月考）（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．【变式10-1】（2021秋•蓟县期中）如图，已知∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE 是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C．试问∠ACB的大小是否变化？若不变，请给出证明，若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围．【变式10-2】（2021春•江都区期末）某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；图②中，∠D＝90°，∠F＝45°．图③是该同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，该同学发现：F、C两点间的距离逐渐；连接FC，∠FCE 的度数逐渐．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）△DEF在移动的过程中，∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明．（3）能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与AB平行？请求出∠CFE的度数．【变式10-3】（2021春•海口期末）如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B 在直线n上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．（1）∠ACB＝；（2）如图2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO﹣∠BCF＝45°，求证：CF∥OB。
平行线常用辅助线知识点_概述说明以及解释
平行线常用辅助线知识点概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在几何学中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
对于平行线的研究，人们发现通过引入一些辅助线能够更好地理解和证明平行线的性质，从而简化许多几何问题的解决过程。
1.2 说明平行线的性质平行线具有一些重要的性质。
首先，它们具有共面性，即两条平行线存在于同一个平面上。
其次，在给定直线外，与该直线平行的直线只有唯一一条。
此外，在给定直线上，存在无数与该直线平行且互不相交的直线。
利用这些性质，我们可以快速判断两条直线是否平行，并进行相关推断和证明。
1.3 辅助线的重要性辅助线在几何推导和证明中起到了至关重要的作用。
通过合理选择和应用辅助线，我们可以将原本复杂的几何问题转化为更简单、直观且易于解决的形式。
辅助线还能够帮助我们揭示隐藏在复杂图形背后的规律和特点，并为后续分析提供有效途径。
总之，在本文中，我们将重点介绍平行线常用的辅助线知识点，并通过实例来解析其应用。
通过全面理解和熟练运用这些辅助线知识点，读者将能够更好地理解平行线的特性，并在几何学习和问题解决中获得更高的效率和成果。
2. 平行线的辅助线知识点：2.1 垂直平分线:垂直平分线是指一个线段的中垂线与另一个线段相交于垂直平分线上。
在平行线的几何证明中，使用垂直平分线可以帮助我们得到一些有用的性质和结论。
例如，如果两条平行线被一条垂直平分线所截断，则截断处所形成的各对应角相等。
2.2 角平分线:角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角划分为两个相等的角，并且其划分位置在这个角的内部。
在证明平行关系时，使用角平分线能够帮助我们找到具有特定性质的几何图形。
例如，在证明两条直线平行时，当一条辅助角平分线与已知直线及其延长线相交时，可以推导出其他相关性质。
2.3 对称线:对称线是指将一个图形折叠成两半时能完全重合的折痕所在的那根过对称中心点（通常为一条直线）。
在使用对称性进行几何证明时，对称辅助会被广泛应用。
三角形辅助线构造法
三角形辅助线构造法三角形辅助线构造法是解决三角形问题的一种常用方法，通过引入辅助线，可以简化问题的分析和计算，使得解题更加简单明了。
本文将介绍三角形辅助线构造法的基本原理和应用。
一、基本原理三角形辅助线构造法的基本原理是通过引入辅助线，将原来复杂的问题转化为几个简单的子问题，从而简化计算。
常用的辅助线包括中位线、高线、角平分线、垂线等。
1. 中位线：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段称为中位线。
中位线的特点是将三角形分成两个面积相等的小三角形，并且交于一个点，该点称为重心。
在解决三角形问题时，可以利用中位线的特性来求解各种长度和角度。
2. 高线：从三角形的一个顶点引垂线到对边上，该垂线称为高线。
高线的特点是将三角形分成两个面积相等的小三角形，并且垂直于对边。
在解决三角形问题时，可以利用高线的特性来求解各种长度和角度。
3. 角平分线：从三角形的一个顶点引一条线段，将对角分成两个相等的角，该线段称为角平分线。
角平分线的特点是将三角形分成两个面积相等的小三角形，并且交于三角形内部。
在解决三角形问题时，可以利用角平分线的特性来求解各种长度和角度。
4. 垂线：从三角形的一个顶点引一条垂直于对边的线段，该线段称为垂线。
垂线的特点是与对边垂直，并且与对边的交点到三角形的顶点的距离最短。
在解决三角形问题时，可以利用垂线的特性来求解各种长度和角度。
二、应用实例下面通过几个具体的应用实例来说明三角形辅助线构造法的使用。
例1：已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(-3, 4)、B(1, -2)和C(5, 2)，求三角形ABC的面积和周长。
解：首先可以通过计算AB、BC和AC的长度来求解三角形的周长。
利用两点间距离公式，可以得到AB的长度为√[(1 - (-3))^2 + ((-2) - 4)^2] = √[(1 + 3)^2 + (-6)^2] = √[16 + 36] = √52 = 2√13，BC的长度为√[(5 - 1)^2 + (2 - (-2))^2] = √[(5 - 1)^2 + (4)^2] = √[16 + 16] = 4，AC的长度为√[(-3 - 5)^2 + (4 - 2)^2] = √[(-8)^2 + 2^2] = √[64 + 4] = √68 = 2√17。
七年级数学人教版下册第五章平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型课件
再见
∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4. ∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
9．如图，AB∥CD，BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF，∠BFD＝ 120°.求∠BED 的度数． 解：如图，过点 F 作 FG∥AB， ∴∠BFG＝∠ABF. ∵AB∥CD，∴FG∥CD. ∴∠CDF＝∠DFG. ∴∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.
【点拨】如图，延长 BC 交 EF 于点 G. ∵AB∥EF， ∴∠CGD＝∠ABC＝40°. ∵CD⊥EF，∴∠CDG＝90°. ∴∠GCD＝180°－∠CDG－∠CGD＝180°－90°－40°＝50°. ∴∠BCD＝180°－∠GCD＝180°－50°＝130°.
答案：B
3．如图，AB∥CD，P 为 AB，CD 之间的一点，已知∠2＝28°， ∠BPC＝58°.求∠1 的度数． 解法一：过点 P 作射线 PN∥AB，如图①所示． ∵PN∥AB，AB∥CD， ∴PN∥CD. ∴∠4＝∠2＝28°. ∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型
平平行行线 线∴中中常常∠见见作作B辅辅E助助H线线的的＋技技巧巧∠的的九九D种种E类类H型型 ＝∠ABE＋∠CDE，即∠BED＝60°.
平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型
构造平行线段
构造平行线段
平行线段是指在同一个平面内，但不相交的两条线段。
构造平行线
段的方法有多种，以下介绍两种常见的方法。
方法一：使用直尺和铅笔步骤一：给定一条线段AB作为参照线段。
步骤二：在线段AB的某一端点A上，以一定的长度画一条线段AC，记作线段AC1。
步骤三：沿着参照线段AB的方向，以相同长度的线段AC1为半径，画一条弧，该弧与参照线段AB相交于一点D。
步骤四：以点D为中心，以相同长度的线段AC1为半径，再画一
条弧，该弧与参照线段AB相交于一点E。
步骤五：连接点E和C，得到线段EC，即为所要构造的平行线段。
方法二：使用直尺和角规步骤一：给定一条线段AB作为参照线段。
步骤二：以点A为中心，以一定的半径，画一条弧线段。
步骤三：以点B为中心，以同样的半径，画一条弧线段。
步骤四：连接两个弧线段的交点，得到一条直线段CD。
步骤五：线段CD即为与参照线段AB平行的线段。
这两种方法可以根据具体情况选择使用，但无论采用哪种方法，我
们都需要仔细测量和绘制线段，以保证所构造的平行线段与参照线段
之间的间距相等。
总结：
构造平行线段的方法有很多种，其中两种常见的方法是使用直尺和
铅笔，以及使用直尺和角规。
无论选择哪种方法，都需要准确测量和
绘制线段，以确保平行线段间的距离相等。
通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地进行几何构造，并应用于生活和工作中的实际问题中。
构造平行线段是几何学中的基础，对于进一步的学习和应用具有重要
的意义。
数学 解题方法突破 构造辅助线 第八讲 构造平行线(中)
【解析】正确构图 连结 AO，作 BM//AO 交 x 轴于点 M；连结 AC，作 DN//AC 交 x 轴于点 N；
归纳提升
利用平行线间 添加平行线 的等底等高面 积相等
解决 图形变换中的 等积问题
待定系数法（上）
讲师：王保爱
直击中考
A．（45，77） C．（32，46）
B．（45，39） D．（32，23）
代入特殊值法
（1）确定所求问题的待定 系数，建立条件与结果含 有待定的系数的恒等式；
（2）根据恒等式列出含有 待定的系数的方程（组）；
（3）解方程（组）或消去 待定系数，从而使问题得 到解决．
实战突破
A．502
B．503
C．504
D．505
【注意】解决等差数列的问题，一些同学通 过计算很快可以得到规律；若不能很快得到 规律，可以根据数列的特点，若是等差数列
代入特殊值法
（1）确定所求问题的待定 系数，建立条件与结果含 有待定的系数的恒等式；
（2）根据恒等式列出含有 待定的系数的方程（组）；
（3）解方程（组）或消去 待定系数，从而使问题得 到解决．
实战突破
A．502
B．503
C．504
D．505
【注意】解决等差数列的问题，一些同学通 过计算很快可以得到规律；若不能很快得到 规律，可以根据数列的特点，若是等差数列
A．502
B．503
C．504
D．505
A．51
B．70
C．76
D．81
解题技巧
常用方法
比较系数法
代入特殊值法
比较系数法
通过比较等式两端项的系数而得到方 程（组），从而使问题获解． 例如：已知x23=(1A) x2＋Bx＋C， 求A，B，C的值，解答此题，并不 困难，只需将右式与左式的多项式 中对应项的系数加以比较后，就可 得到A，B，C的值（这里的A，B， C就是有待于确定的系数）．
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证明相似相关问题
添加平行线
证明等积问题
平移线段问题
解题技巧
预备知识
成比例线段或是 有关平行线问题
添加平行线
构造三角形相似或者 利用成比例线段
实战突破
【点拨】由条件线段的2倍关系，思考构造平行线， 从而构成比例线段
例1．如图，BD=DC，CF=2AF ，求证：（1）AG=DG （2）BG=3FG
【点拨】由条件线段的比例关系，思考构造平行线， 从而构成比例线段
【点拨】求线段的比例关系，思考构造平行线， 从而列出比例线段
MMBiblioteka 归纳提升利用添加平行线
构造相似三角 形
平行线分线段 成比例 解决线段比例 问题