试卷四参考答案

试卷四 参考答案

一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”每题2分，共20分）

1、×

2、√

3、×

4、√

5、√

6、×

7、√

8、√

9、√

10、×

二、填空题（每题2分，共20分）

1、 单连域

2、 复平面上处处

3、()y x v ,

4、i π4；

5、e 1

；

6、 一

7、1,1Re -=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞z s ； 8、i z i

z w +-=；

9、ℱ()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛=

a F a at f ω1； 10、

293

s +.

三、求解下列各题（每题5分，共30分）

1、解：方程083=+z 即83-=z ，它的解就是()3

1

8-=z ，按公式得 (

)()211

338k i π

+-=())2,1,0(2312===+k w e k k i π

所依方程有三个解，它们是

313sin 3cos 2230i i e w i +=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+==πππ

-------3分 ()2sin cos 221-=+==ππρi e w i -------4分

3135sin 35cos 22352i i e w i -=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+==πππ

-------5分 2、解：,126,31232222y x x u y xy x x

u +=∂∂-+=∂∂ ,126,6662

222y x y u y xy x y u --=∂∂--=∂∂ 在z 平面有02222=∂∂+∂∂y

u x u , 故()y x u ,在z 平面上是调和函数. -------2分

()()()

()

()()()C

y xy y x x dy y xy x dx x dy y xy x dx y xy x y x v y x y x +-++-=-++-=-++---=⎰⎰⎰32230220222,0,022632312363123666,

()()()=+=y x iv y x u z f ,,3223236y xy y x x --++)632(3223C y xy y x x i +-++-----4分 ()()iC z i z f +-=321.

由条件()()()321,0,00z i z f C f -===于是得------5分

3、解：令)

1(sin )(22-=z z z z f ，在2||=z 内，函数)(z f 有两个奇点． 0=z 为可去奇点，0]0),([Res =z f ，------2分

1=z 为一阶极点，)()1(lim ]1),([Res 1

z f z z f z -=→

1sin sin 21

22===z z z ，------4分

原式1sin 2])1),([Res ]0),([Res (22i z f z f i ππ=+=------5分

4、解： ()分

分53113

131313113133

1113131121012-----<++-=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=-----+--=-+=-∑∞=+z z z z z z z z n n n n ΛΛ-----4分 5、解：由于0=z 是)(z f 的二阶极点，-----2分

有()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=→2200lim !121]0,[Res z e z dz d z f z z -----4分 ()

1lim 0==→z z e -----5分 6、解：令 21z z =，则i z i z w -+=

11，------2分

(4分)

即像区域为单位圆的外部(如图)。

注：本题也可由21z z =，i

z i z z +-=112，21z w =三步完成。 四、求下列函数的积分变换（8分+7分，共15分）

1、解 ()=ωF ℱ()[]()dt e t f t f t j ω-+∞∞-⎰

=-----3分 ()()dt e t f t j ωα+-+∞

⎰=0

) 21z z =i z i z w -+=11

221ω

αωαωα+-=+=j j -----6分 振幅谱为()221ωαω+=F -----7分

相位谱为()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=αωωarctan arg F -----8分 2、解 （1） 由于(),21sin t j t j e e j t ωωω--=ℒ[]ωωj s e t j -=1-----2分 有ℒ()[]=t f 1ℒ[]j

t 21sin =ω[ℒ()t j e ω- ℒ()t j e ω-]----3分 =221121ω

ωωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--s j s j s j -----4分 （2）ℒ()[]=t f 2ℒ[]2

1cos sin =

t t ℒ[]t 2sin -----2分 4

12221222+=+⋅=s s -----3分 五、实验题（每题3分，共15分） 1、解 syms z ；

f=exp(2*z)/((z^2)*(cos(z)));------2分 diff(f)------3分

2、解 syms z

x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0) x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)

3、解 syms z a b; ------1分

f=1/(z-b); ------2分

taylor(f,z,a,4) ------3分

4、解 syms t w ------1分

f=2*(sin(3*t))^2; ------2分

F=fourier(f) ------3分

5、解 syms t s;

syms omega; ------1分

f=sin(omega*t);-------2分

L=laplace(f)-------3分