高中圆的基本性质与点圆关系-知识点及试题答案
高二数学圆知识点
高二数学圆知识点一、圆的定义和性质圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的轨迹。
它有以下性质：1. 圆心：固定点叫做圆心，用字母O表示。
2. 半径：任意一条由圆心O到圆上任意一点A的线段叫做半径，用字母r表示。
3. 直径：由圆心O的两个端点确定的经过圆心的线段叫做直径，它的长度等于半径的两倍。
4. 弦：圆上任意两点的连线叫做弦。
5. 弧：两点间的弧是连接这两点的圆上的部分。
圆上除了直径之外的弦所对应的弧叫做圆弧。
圆弧可以用弧所对应的弦的两个端点来表示，如∠AOB所表示的圆弧所对应的弦是弦AB。
6. 弧长：圆弧的长度叫做弧长，用字母L表示。
7. 圆周率：π，是一个无理数，约等于3.14159。
二、圆的元素关系1. 圆心角：圆心角是一个角，顶点是圆心，两边是从圆心到圆弧上的两条弧的切线，圆心角通常用α、β、θ等字母表示。
2. 圆心角的度数：圆心角所对的圆弧的度数等于圆心角的两倍。
3. 弧度制：圆心角所对的圆弧的弧长和半径的比值叫做弧度制，用字母θ表示。
弧度制的换算公式是：θ（弧度）= L（弧长）/ r（半径）。
4. 圆内角和定理：如果一个三角形的一个顶点在圆上，那么这个三角形的其他两个顶点的对应角的和等于180度。
5. 弧与切线的关系：从圆外一点引圆的切线，切点和该点连接圆心所得的弧是切线所对应的弧。
该弧的切线与圆半径的夹角等于90度。
6. 弧所对圆心角相等的弧：两条相交的弧所对的圆心角相等。
三、圆的重要定理1. 切线定理：如果直线与圆相切，那么切点和直线连接圆心所得的线段垂直于直线。
2. 切线与半径的关系：垂直于半径的线段是一个圆的切线。
3. 弦切角定理：一个弦与切线的夹角等于弦所对的弧所对应的圆心角。
4. 垂径定理：半径垂直于弦，当且仅当该半径平分该弦。
5. 弦长定理：如果两根弦的弦长相等，则它们所对的圆内角相等。
6. 切割定理：如果一根弦平分了另一根弦，那么它们所对的弧要么相等，要么互补。
7. 环内切线定理：过一个点只能作两条切线，当且仅当这个点在两圆的圆心连线上。
第24课 圆的基本性质
(2)由 CD＝83AB，可设 CD＝3x，AB＝8x， ∴FG＝CD＝3x. ∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x， ∴BG＝8x－3x－3x＝2x. ∵EG∥CF，∴BEEC＝BGGF＝23. ∵BE＝4，∴AC＝EC＝6，∴BC＝6＋4＝10， ∴AB＝ 102－62＝8＝8x，∴x＝1，∴AF＝3x＝3. 在 Rt△ ACF 中，∵AF＝3，AC＝6， ∴CF＝ 32＋62＝3 5， 即⊙O 的直径为 3 5.
⊙O 上的一个动点，且∠ABC＝45°.若 M，N 分别是
AC，BC 的中点，则 MN 的最大值是
．
【答案】
52 2
图 24-6
题型一 点和圆的位置关系
点与圆有三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在 圆内. 判断点与圆的位置关系主要是通过点到圆心的距 离与半径的比较．判断几个点是否在同一个圆上，主要是 看这几个点是否到某一点的距离都相等．
∴CCAE＝CCBA， ∴CA2＝CE·CB＝CE·(CE＋EB)＝1×(1＋3)＝4， ∴CA＝2(负值舍去)． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝ CA2＋CB2＝ 22＋42＝2 5， ∴⊙O 的半径为 5.
【类题演练 3】 (2019·株洲)如图 24-11，AB 为⊙O 的直 径，点 C 在⊙O 上，且 OC⊥AB，过点 C 的弦 CD 与 OB 相交于点 E，满足∠AEC＝65°，连结 AD，则∠BAD ＝______．
图 24-10
【解析】 (1)如解图，连结 OD． ∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC． ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC． ∴∠OBC＝∠DBC，∴∠AOC＝∠COD，
︵︵ ∴AC＝CD. (2)如解图，连结 AC．
︵︵ ∵AC＝CD，∴∠CBA＝∠CAD． 又∵∠BCA＝∠ACE，∴△CBA∽△CAE，
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
数学高一圆的知识点总结
数学高一圆的知识点总结高一数学圆的知识点总结数学中的圆是一个非常基础、重要的概念，我们在高一的数学课程中也会接触到各种涉及圆的题目。
下面将对高一数学圆的知识点进行总结，希望能帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
一、圆的定义与性质圆是由平面上距离一个定点距离相等的所有点组成的集合。
这个定点叫做圆心，距离叫做半径。
圆的性质有以下几点：1. 任意两点到圆心的距离相等；2. 圆心到圆上任意一点的距离等于半径；3. 圆上任意两点的距离等于它们之间的弧长。
二、圆的相关线段在圆中，有一些特殊的线段与圆相关联，这些线段具有一些特殊的性质：1. 弦：圆上任意两点间的线段叫做弦。
圆的直径是一条特殊的弦，它通过圆心，并且等于圆的半径的两倍。
2. 弧：在圆上两个点之间的部分叫做弧。
如果这两个点是同一个点，那么这个弧叫做圆周弧。
圆周弧恰好等于圆的周长，而圆周弧上的任意一段叫做弧段。
3. 切线：与圆相切于圆上一点的直线叫做切线。
切线垂直于半径，并且切线与半径的交点与圆心连线所成的角是直角。
三、圆的重要定理在圆的学习中，有一些重要的定理可以帮助我们推导出一些结论：1. 弦长定理：如果两个弦在圆上截取的弧的长度分别等于两个弦的长度之和，并且截取的弧互补，那么它们的交点和圆心是共线的。
2. 切线定理：切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
3. 弧长定理：圆心角对应的弧长等于圆心角的大小与圆周角度的比值乘以圆的周长。
四、圆的应用圆的应用非常广泛，它在几何、物理等各个领域都有重要的应用：1. 几何形体：许多其他几何形体都包含了圆的元素，例如圆锥、圆柱等。
通过对圆的认识，我们可以更好地理解和计算这些形体的性质。
2. 物理学：在物理学中，圆的运动是一个重要的概念。
根据圆的运动规律，我们可以研究物体的旋转、运动轨迹等问题。
3. 工程建筑：在建筑工程中，我们常常会涉及到圆的应用，例如建筑物的圆柱体结构、钟表的设计等。
总结：通过对高一数学圆的知识点的总结，我们可以看到圆在数学中的重要性和广泛应用。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆与圆的位置关系(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆与圆的位置关系【考点梳理】考点一：两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含【题型归纳】题型一：判断圆与圆的位置关系1．（2021·佛山市南海区狮山高级中学高二月考）已知圆221:23460C x y x y +--+=，222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为（）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切2．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））已知圆221:(1)(2)9O x y -++=，圆222:(2)(1)16O x y +++=，则这两个圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含3．（2021·安徽（理））圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定题型二：圆与圆的位置关系求参数范围4．（2021·南京市第十三中学高二开学考试）若圆22:5O x y +=与圆()221:()20O x m y m R -+=∈相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是（）A ．22B ．92C ．4D ．325．（2020·黑龙江农垦佳木斯学校高二开学考试）若两圆2222450x y ax y a +-++-=和2222230x y x ay a ++-+-=有3条公切线，则a =（）A ．1-或2-B ．1-或5-C ．2-或2D ．5-或26．（2021·四川凉山·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞题型三：圆与圆的位置求圆的方程7．（2020·南昌县莲塘第一中学高二月考（理））圆()()22341x y -+-=关于直线0x y +=对称的圆的方程是（）A ．()()22341x y ++-=B ．()()22341x y -+-=C ．()()22431x y ++-=D ．()()22431x y +++=8．（2020·全国高二课时练习）过点(2,2)M -以及圆2250x y x -=+与圆222x y +=交点的圆的方程是（）.A ．22151042x y x +--=B ．22151042x y x +-+=C ．22151042x y x ++-=D ．22151042x y x +++=9．（2019·江西赣州市·南康中学高二月考）已知半径为1的动圆与定圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝3或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9题型四：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题）10．（2021·浙江温州市·）圆221:260O x y x y +-+=和圆222:60O x y x +-=的公共弦AB 的垂直平分线方程是（）A ．2330x y -+=B ．2350x y --=C ．3290x y --=D ．3270x y -+=11．（2021·全国高二专题练习）垂直平分两圆222620x y x y +-++=，224240x y x y --++=的公共弦的直线方程为（）A ．3430x y --=B ．4350x y ++=C ．3490x y ++=D ．4350x y -+=12．（2021·石泉县石泉中学高二开学考试（理））设圆1C ：()()22119x y -+-=和圆2C ：()()22124x y +++=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为（）A ．3210x y --=B ．3210x y -+=C ．2330x y +-=D ．2340x y ++=题型五：圆的共切线问题13．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．414．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知圆()221:2C x y m ++=与圆()222:8C x m y -+=恰有两条公切线，则实数m 的取值范围是（）A ．13m <<B ．11m -<<C ．3m >D ．3<1m -<-或13m <<15．（2021·安徽滁州市·定远二中高二开学考试）两个圆221:240C x y x y +-+=与2222:245200C x y mx my m +-++-=的公切线恰好有2条，则m 的取值范围是（）．A ．()2,0-B ．()()2,02,4-C ．()2,4D ．()(),04,-∞+∞ 题型六：圆与圆位置关系的综合类问题16．（2021·江苏高二课时练习）已知圆C 满足：圆心在直线0x y +=上，且过圆221:210240C x y x y +-+-=与圆222:2280C x y x y +++-=的交点A ，B .（1）求弦AB 所在直线的方程；（2）求圆C 的方程.17．（2020·安庆市第二中学）已知圆C 的圆心C 在x 轴上，且圆C 与直线30x y n ++=切于点33(,)22．（1）求n 的值及圆C 的方程：（2）若圆222:(15)(0)M x y r r +-=>与圆C 相切，求直线320x y -=截圆M 弦长．【双基达标】一、单选题18．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知圆221:4240C x y x y ++--=，2223311:222C x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这两圆的公共弦长为（）A ．2B ．22C ．2D ．119．（2021·河南商丘市·（文））已知圆221:4O x y +=与圆222:60O x x y ++=相交于点A ，B ，则四边形12AO BO 的面积是（）A ．423B ．22C ．42D ．82320．（2021·全国）过点()0,4M -作直线l 与圆22:2660C x y x y ++-+=相切于A 、B 两点，则直线AB 的方程为（）A ．230x y -+=B ．7180x y -+=C ．2550x y -+=D ．2550x y ++=21．（2021·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））已知圆22:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得线段的长度为22，则圆M 与圆22:61240N x y x y +---=的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离22．（2021·江苏高二课时练习）已知圆22:2440A x y x y +---=，圆22:2220B x y x y +++-=，则两圆的公切线的条数是（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条23．（2020·浙江台州市·高二期中）已知圆C ：222245200()x y mx my m m R +-++-=∈上存在两个点到点(1,2)A -的距离为5，则m 可能的值为（）A ．5B ．1C ．1-D ．3-24．（2021·全国）已知圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:20C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点(),P a b ，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦25．（2021·安徽池州·高二期末（文））若圆221:2440C x y x y +---=与圆222:8120()C x y x y m m R +--+=∈外切，则m =（）A ．36B ．38C ．48D ．5026．（2021·内蒙古包头市·高二月考（理））已知()()1,0,1,0A B -，圆C ：()()22234x y R -+-=（0R >），若圆C 上存在点M ，使90AMB ∠=︒，则圆C 的半径R 的范围是（）A ．46R ≤≤B ．2542R ≤≤C ．442R ≤≤D ．256R ≤≤27．（2021·重庆）若221:(1)(2)4C x y -+-= 与222:()()4(,)C x a y b a b R -+-=∈ 有公共点，则2224a b a b +--的最大值为（）A ．9B ．10C ．11D ．12【高分突破】一：单选题28．（2021·贵溪市实验中学高二月考）若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(2)1x y -++=D ．22(1)(2)1x y ++-=29．（2020·安徽省蚌埠第三中学（理））已知圆()()228x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为2，则a 的取值范围为（）A ．11a -<≤B ．33a -≤<C ．31a -≤≤-或13a ≤≤D ．31a -<<-或13a <<30．（2021·江西吉安·白鹭洲中学）若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（）A ．8B ．9C ．16D ．2031．（2020·九龙坡区·重庆市育才中学高二月考）若圆C 的圆心在直线40x y --=上，且经过两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点，则圆C 的圆心到直线3450x y ++=的距离为（）A ．0B ．85C ．2D ．18532．（2020·重庆万州区·万州外国语学校天子湖校区）圆()()221:114C x y +++=和圆()()2224:23C x y -+-=的公切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．433．（2020·宁城县蒙古族中学高二月考（理））若圆()221:0O x y m m +=>与圆222:86240O x y x y +-+-=有公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．()4,144B ．[]4,144C ．[]4,49D ．(]4,14434．（2020·江西省吉水中学高二月考（理））已知圆221:0C x y kx y +--=和圆222:210C x y ky +--=的公共弦所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线2mx ny +=上，则22m n +的最小值为（）A ．15B ．55C ．255D ．4535．（2020·南昌市·江西师大附中（文））已知圆1O 的方程为()2216x y ++=，圆2O 的圆心坐标为()2,1．若两圆相交于,A B 两点，且AB 4=，则圆2O 的方程为()A ．()()22216x y -+-=B ．()()222122x y -+-=C ．()()22216x y -+-=或()()222122x y -+-=D ．()()222136x y -+-=或()()222132x y -+-=36．（2020·化州市第一中学高二月考）若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（）A ．92B ．9C ．6D ．3二、多选题37．（2021·全国高二专题练习）已知两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数a =（）A ．213±B ．25±C ．0D ．以上均有可能38．（2021·全国高二期中）点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．||PQ 的最小值为0B ．||PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=39．（2021·全国高二专题练习）已知圆222:210C x ax y a -++-=与圆22:4D x y +=有且仅有两条公共切线，则实数a 的取值可以是（）A ．3-B ．3C ．2D ．2-40．（2021·重庆北碚区·西南大学附中）设m R ∈，过定点A 的动直线1:0l x my +=，和过定点B 的动直线23:0l mx y m --+=交于点P ，圆()()22:243C x y -+-=，则下列说法正确的有（）A ．直线2l 过定点(1，3)B ．直线2l 与圆C 相交最短弦长为2C ．动点P 的曲线与圆C 相交D ．|PA |+|PB |最大值为541．（2021·全国）已知圆221:1C x y +=，圆()()()2222:340C x y r r -++=>，则（）A ．若圆1C 与圆2C 无公共点，则04r <<B ．当=5r 时，两圆公共弦长所在直线方程为6810x y --=C ．当2r =时，P 、Q 分别是圆1C 与圆2C 上的点，则PQ 的取值范围为[]28,D ．当04r <<时，过直线268260x y r -+-=上任意一点分别作圆1C 、圆2C 切线，则切线长相等三、填空题42．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））两圆224210x y x y +-++=与22(2)(2)9x y ++-=的公切线有___________条.43．（2020·浙江台州市·高二期中）已知点Q 是圆221x y +=上任意一点，点(2,2)A -，点(6,4)B -，点P 满足2218PA PB +=，则PQ 的最小值为___________.44．（2021·上海高二专题练习）已知圆221:(4)(4)4C x y -+-=，圆222:(3)(5)2C x y -++=.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和2C 的圆周，则圆C 的方程为______.45．（2021·台州市书生中学高二期中）已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=．求：yx的取值范围为_______；y x -的最小值为________；22xy +的取值范围为__________.四、解答题46．（2021·安徽滁州市·明光市二中高二期末（理））已知圆221:(1)1C x y -+=与圆222:80C x y x m +-+=．（1）若圆1C 与圆2C 恰有3条公切线，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线20x y n ++=被圆2C 所截得的弦长为2，求实数n 的值．47．（2020·山西高二期中）已知圆M ：22210240x y ax ay +-+-=，圆N ：222280x y x y +++-=．且圆M 上任意一点关于直线40x y ++=的对称点都在圆M 上．（1）求圆M 的方程；（2）证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l ．48．（2021·安徽省蚌埠第三中学（文））已知圆221:2280C x y x y +++-=与圆222:210240C x y x y +-+-=相交于A ､B 两点.（1）求公共弦AB 的长；（2）求圆心在直线y x =-上，且过A ､B 两点的圆的方程；（3）求经过A ､B 两点且面积最小的圆的方程.49．（2020·全国高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,4P，圆22:4O x y+=与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点,A B.（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点4,03N⎛⎫⎪⎝⎭，若133MN OM=，求QAB的面积.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆与圆的位置关系【答案详解】1．D 【详解】由题设，221:(3)(2)1C x y -+-=，222:(3)9C x y +-=，∴1(3,2)C ，2(0,3)C ，则122C C =，又121,3r r ==，∴1221C C r r =-，故两圆内切.故选：D 2．C 【详解】解：根据题意，圆221:(1)(2)9O x y -++=，圆心1(1,2)O -，半径3R =，圆222:(2)(1)16O x y +++=，圆心2(2,1)O --，半径4r =，圆心距12||10O O =，有431043-<<+，则两圆相交；故选：C ．3．A 【详解】解：圆1C ：221x y +=的圆心1(0,0)C ，半径为11r =，由()224310x y k x y +++-=，得222325(2)()124x k y k k +++=+，所以圆2C 的圆心为23(2,)2C k k --，半径222514r k =+，所以2222121292525411444C C k k k r r k =+=<+=++，因为2225251144k k +>+（0k ≠），所以2225251144k k >+-，所以1221C C r r >-所以两圆相交．故选：A 4．C 【详解】由题意作出图形分析得：由圆的几何性质知：当两圆在点A 处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心O 、1O ，则在1Rt OAO △中，5OA =，120O A =，所以15O O =，斜边上的高为半弦，且1OO AB ⊥，则11111222AO O AB S O O OA O A =⋅=⋅ ，即55202AB ⋅=⋅，所以AB 4=.故选：C.5．D 【详解】将两圆方程分别整理为：()()2229x a y -++=和()()2214x y a ++-=，则两圆圆心分别为(),2a -和()1,a -，半径分别3和2；两圆有3条公切线，∴两圆外切，∴两圆圆心距()()221232d a a =++--=+，解得：5a =-或2.故选：D.6．C 【详解】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ，所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.7．D 【详解】由圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为()3,4A ，而()3,4A 关于直线y x =-的对称点为()4,3A '--，∴以()4,3A '--为圆心，以1为半径的圆的方程为()()22431x y +++=．故选：D ．8．A 【详解】设所求的圆的方程为()2222520x y x x y λ+-++-=,把点(2,2)M -代入可得,()44524420λ+-⨯++-=,解得13λ=,所以所求圆的方程为22151042x y x +--=,故选:A 9．D 【详解】由圆A ：（x-5）2+（y+7）2=16，得到A 的坐标为（5，-7），半径R=4，且圆B 的半径r=1，根据图象可知：当圆B 与圆A 内切时，圆心B 的轨迹是以A 为圆心，半径等于R-r=4-1=3的圆，则圆B 的方程为：（x-5）2+（y+7）2=9；当圆B 与圆A 外切时，圆心B 的轨迹是以A 为圆心，半径等于R+r=4+1=5的圆，则圆B 的方程为：（x-5）2+（y+7）2=25．综上，动圆圆心的轨迹方程为：（x-5）2+（y+7）2=25或（x-5）2+（y+7）2=9．故选：D ．10．C 【详解】解：圆221:260O x y x y +-+=的圆心1(1,3)O -，圆222:60O x y x +-=的圆心2()3,0O ，所以12O O 的中点坐标为31(2+，30)2-+，即3(2,)2-，120(3)3312O O k --==-所以两圆的公共弦AB 的垂直平分线即是圆心12O O 所在的直线：33(2)22y x +=-，即3290x y --=，故选：C ．11．B 【详解】根据题意，圆222620x y x y +-++=，其圆心为M ，则(1,3)M -，圆224240x y x y --++=，其圆心为N ，则(2,1)N -，垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线MN 的方程为313(1)12y x --+=-+，变形可得4350x y ++=；故选:B.12．A 【详解】由题意知：12(1,1),(1,2)C C --，且12C C 垂直平分AB ，∴线段AB 的垂直平分线所在直线必过12,C C ，故直线的方程为31(1)2y x -=-，整理得3210x y --=.故选：A 13．B 【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()1249133,9C C =+=∈，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.14．D 【详解】由题可得圆1C 的圆心为()0,m -，半径为2，圆2C 的圆心为()0m ,，半径为22， 两圆恰有两条公切线，∴两圆相交，12232C C ∴<<，()()2212002C C m m m =-+--= ，2232m ∴<<，解得3<1m -<-或13m <<.故选：D.15．B 【详解】两个圆化为标准方程可得()()22125x y -++=，()()22220x m y m -++=，圆1C 的圆心为()11,2C -，半径15r =，圆2C 的圆心为()1,2C m m -，半径225r =，圆心距22212(1)(22)5105C C m m m m =-+-+=-+，因为两圆的公切线恰好有2条，所以两圆相交，则22555105255m m -<+<+-，解得(2,0)(2,4)m ∈-⋃.故选：B16．（1）240x y -+=；（2）圆22:6680C x y x y ++-+=.【详解】（1）因为圆221:210240C x y x y +-+-=，圆222:2280C x y x y +++-=，且它们的交点为,A B ，故AB 的直线方程为：()2222210242280x y x y x y x y +-+--+++-=，整理得到AB 的直线方程为：240x y -+=.（2）设圆C 的方程的方程为：()22228240x y x y x y λ+++-+-+=，整理得到圆()()22:222840C x y x y λλλ++++--+=，故2,12C λλ+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为C 在直线0x y +=上，故2102λλ+-+-=，故4λ=，故圆22:6680C x y x y ++-+=.17．（1）3n =-；()2211x y -+=.（2）外切，23；内切，219.【详解】（1）圆C 与直线30x y n ++=切于点33(,)22，点33(,)22在直线30x y n ++=上，则333022n +⨯+=，解得3n =-.圆C 的圆心C 在x 轴上，设圆心为()0m ,，半径为r ，则圆C 的方程为()222x m y r -+=，所以302332m -=-，解得1m =，13113r -==+，则圆C 的方程为()2211x y -+=.（2）根据题意，()1,0C ，()0,15M ，当两圆外切时，41CM r ==+，3r =当两圆内切时，41CM r ==-，=5r ，点M 到直线320x y -=的距离215632d -⨯==+，当两圆外切时，3r =，此时弦长22229623l r d =-=-=，当两圆内切时，=5r ，此时弦长2222256219l r d =-=-=.18．C 【详解】由题意知221:4240C x y x y ++--=，222:3310C x y x y ++--=，将两圆的方程相减，得30x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30x y +-=.又因为圆1C 的圆心为(2,1)-，半径3r =，所以圆1C 的圆心到直线30x y +-=的距离213222d -+-==.所以这两圆的公共弦的弦长为()2222223222r d -=-=.故选：C.19．C 【详解】由圆2O －圆1O 可得，直线:AB 64x =-，即23x =-，所以22822433AB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，而123O O =，所以四边形12AO BO 的面积是121182342223S AB O O =⋅=⨯⨯=．故选：C ．20．B 【详解】圆C 的标准方程为()()22134x y ++-=，圆心为()1,3C -，半径为2，由圆的切线的性质可得MA AC ⊥，则()()22222=21034246MA MC -=--++-=，所以，以点M 为圆心、以MA 为半径的圆M 的方程为()22446x y ++=，将圆M 的方程与圆C 的方程作差并化简可得7180x y -+=.因此，直线AB 的方程为7180x y -+=.故选：B.21．A 【详解】圆M 的圆心为()0,M a ，半径为1,0r a a =>，圆心()0,M a 到直线0x y +=的距离为2a，所以22222222a a a ⎛⎫⎛⎫+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()10,2,2M r =.圆N 的圆心为()3,6N ，半径27r =，215MN r r ==-，所以两个圆的位置关系是内切.故选：A 22．B 【详解】由圆22:2440A x y x y +---=可化为22(1)(2)9x y -+-=，可得圆心坐标为(1,2)A ，半径为3R =，由圆22:2220B x y x y +++-=可化为22(1)(1)4x y +++=，可得圆心坐标为(1,1)B --，半径为2r =，则圆心距为22(11)(21)13d AB ==+++=，又由5,1R r R r +=-=，所以R r AB R r -<<+，可得圆A 与圆B 相交，所以两圆公共切线的条数为2条.故选：B.23．C 【详解】以(1,2)A -为圆心，以15r =为半径的圆A ：()()22125x y -++=，圆C ：222245200()x y mx my m m R +-++-=∈圆心为(),2C m m -，半径225r =，圆心距()()2221225105AC m m m m =-+-+=-+，由题意可得两圆相交，即22555105255m m -<+<+-，解得()()2,02,4m ∈- .故选：C 24．A 【详解】解：由圆221 : 20C x y kx y +-+=，圆222:20C x y ky ++-=，得圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线方程为()220k x y y +--=，求得定点()1,1P -，又()1,1P -在直线20mx ny --=上，2m n +=，即2n m =-.∴()()2211mn m m m =-=--+，∴mn 的取值范围是(],1-∞.故选：A.25．C 【详解】依题意，圆221:(1)(2)9C x y -+-=，圆222:(4)(6)52C x y m -+-=-，故22(41)(62)523m -+-=-+，解得48m =，故选C ．26．A 【详解】由题意，点()()1,0,1,0A B -，因为90AMB ∠=︒，所以点M 在以AB 为直径的圆上，设AB 的中点为P 的坐标为(0,0)，2AB =，所以圆P 的方程为221x y +=，又由圆()()222:34C x y R -+-=的圆心为(3,4)，半径为R ，则5PC =，要使得圆C 上存在点M ，满足90AMB ∠=︒，则圆P 与圆C 由公共点，可得151R R -≤≤+，解得46R ≤≤,即圆C 的半径R 的范围是46R ≤≤.故选：A.27．C 【详解】根据题意，221:(1)(2)4C x y -+-= ，其圆心为(1,2)，半径2R =，222:()()4C x a y b -+-= ，其圆心为(,)a b ，半径2r =，两圆的圆心距222212(1)(2)245C C a b a b a b =-+-=+--+，若两圆有公共点，则1204C C R r +=，即2224516a b a b +--+，则有222411a b a b +--，则2224a b a b +--的最大值为11，故选：C 28．A 【详解】由于圆22(2)(1)1x y ++-=的圆心(2,1)C '-，半径为1，圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，故(2,1)C -、半径为1，故圆C 的方程为：22(2)(1)1x y -++=，故选：A ．29．D 【详解】由圆的方程知：圆心为(),a a ，半径22r =，则圆心到原点的距离为2d a =，圆上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆()()228x a y a -+-=与圆222x y +=相交，2222222a ∴-<<+，即2232a <<，解得：31a -<<-或13a <<.故选：D.30．A 【详解】两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程，圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ，∴2(4)2100a b ab +++--=，121a b+=，∵0,0a b >>，∴12442(2)()4428b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．故选：A ．31．C 【详解】设两圆交点为,A B ，联立2222460460x y x x y y ⎧+--=⎨+--=⎩得1111x y =-⎧⎨=-⎩或2233x y =⎧⎨=⎩，1AB k =，则AB 中点为()1,1，过AB 两点的垂直平分线方程为()112y x x =--+=-+，联立240y x x y =-+⎧⎨--=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，故圆心为()3,1-，由点到直线距离公式得334525d ⨯-+==故选：C 32．D 【详解】圆1C 的圆心为()11,1C --，半径为12r =，圆2C 的圆心为()22,3C ，半径为22r =，()()221212213154C C r r =+++=>+= ，所以，两圆外离.因此，圆1C 与圆2C 的公切线条数为4.故选：D.33．B 【详解】圆()221:0O x y m m +=>，圆心()10,0O ，半径1r m =圆222:86240O x y x y +-+-=，圆心()24,3O -，27r =125O O =，两圆有公共点则：757m m -≤≤+，4144m ≤≤故选:B 34．C 【详解】由圆221:0C x y kx y +--=和圆222:210C x y ky +--=，可得圆1C 和2C 的公共弦所在的直线方程为()()210k x y y -+-=，联立2010x y y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即点()2,1M 又因为点M 在直线2mx ny +=上，即22m n +=，又由原点到直线22x y +=的距离为22225521d ==+，即22m n +的最小值为255.故选：C.35．C 【详解】设圆()()()2222:210O x y r r -+-=>∴直线AB 的方程为：()()()222222116x y x y r -+---+=-，即244100x y r ++-=1O ∴到直线AB 距离22410144242r r d -+--==2264d ∴-=，解得：22d =()2214232r -∴=，解得：26r =或22∴圆2O 的方程为()()22216x y -+-=或()()222122x y -+-=故选：C 36．D 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=.()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()122152522333n m m n ⎛⎫≥+⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n∴+的最小值为3.故选：D .37．BC 【详解】圆221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1，圆22(4)()25x y a ++-=的圆心为(4,)a -，半径为5，若两圆相切，分两种情况讨论：当两圆外切时，有222(4)(15)a -+=+，解得25a =±；当两圆内切时，有222(4)(15)a -+=-，解得0a =，综合可得：实数a 的值为0或25±．故选：BC ．38．BC 【详解】解：根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距12||1695C C =+=，则||PO 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心1(0,0)C ，圆心2(3,4)C -，则两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，C 正确，对于D ，两圆圆心距125C C =，有122C C R r >+=，两圆外离，不存在公共弦，D 错误．故选：BC ．39．CD 【详解】圆C 方程可化为：()221x a y -+=，则圆心(),0C a ，半径11r =；由圆D 方程知：圆心()0,0D ，半径22r =；圆C 与圆D 有且仅有两条公切线，∴两圆相交，又两圆圆心距d a =，2121a ∴-<<+，即13a <<，解得：31a -<<-或13a <<，可知CD 中的a 的取值满足题意.故选：CD.40．ABC 【详解】A ：由230(1)(3)0l mx y m m x y --+=⇒-+-=：，有101330x x y y -=⎧⇒==⎨-=⎩，，所以直线过的定点为(1)3，，故A 正确；B ：由圆的标准方程可得圆心为4(2)C ，，半径3r =，直线2l 过的定点为3(1)B ，，当2l CB ⊥时所得弦长最短，则21CM l l k k ⋅=-，又2l k m =，1CM l k =，所以1m =-，得240l x y +-=：，则圆心到直线2l 的距离为2=22d =，所以弦长为：2222r d -=，故B 正确；C ：当0m =时，1203l x l y ==：，：，则点(03)P ，，此时点P 在圆C 外；当0m ≠时，由直线1l 得xm y=-，代入直线2l 中得点P 的方程为圆22135()()222N x y -+-=：，得13()22N ，，半径为10=2R ，所以圆心距3410=322NC r R <+=+，所以两圆相交.故C 正确；D ：由10(00)l x my A +=⇒：，，当0m =时，1203l x l y ==：，：，有12l l ⊥，当0m ≠时，11l k m=-，2l k m =，则1l k 21l k =-，所以12l l ⊥，又点P 是两直线的交点，所以PA PB ⊥，所以222=10PA PB AB +=，设ABP θ∠=，则10sin 10cos PA PB θθ==，，因为0PA PB ≥≥0，，所以[0]2πθ∈，，所以10(sin cos )25sin()254PA PB πθθθ+=+=+≤，故D 错误.故选：AB 41．BCD由题意，圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =；圆()()()2222:340C x y r r -++=>的圆心为()23,4C -，半径为r ；则圆心距为()()221203045C C =-++=；A 选项，若圆1C 与圆2C 无公共点，则只需121C C r <-或121C C r >+，解得6r >或04r <<，故A 错；B 选项，若=5r ，则圆()()222:3425C x y -++=，由221x y +=与()()223425x y -++=两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为6810x y --=，故B 正确；C 选项，若2r =，则()()222:344C x y -++=，此时125213C C =>+=，所以圆1C 与圆2C 相离；又P 、Q 分别是圆1C 与圆2C 上的点，所以()12121212C C PQ C C -+≤≤++，即28PQ ≤≤，故C 选项正确；D 选项，当04r <<时，由A 选项可知，两圆外离；记直线268260x y r -+-=上任意一点为()00,M x y ，则20068260x y r -+-=，所以22100MC x y =+，()()222222200000000003468256825MC x y x y x y x y x y =-++=+-++=+-++222001x y r =++-，因此切线长分别为2222110011d MC x y =-=+-，222222001d MC r x y =-=+-，即12d d =，故D 正确；故选：BCD.42．3解：圆224210x y x y +-++=整理可得：22(2)(1)4x y -++=，可得圆心1C 的坐标为：(2,1)-，半径12r =；22(2)(2)9x y ++-=的圆心2C 坐标(2,2)-，半径23r =；所以圆心距221212||(22)(21)5C C r r =+++==+，所以可得两个圆外切，所以公切线有3条，故答案为：3．43．2【详解】设(),P x y ，由2218PA PB +=可得，()()()()2222226418x y x y ++-+++-=，化简得，()()22434x y ++-=，所以点P 的轨迹为圆，圆心坐标为()4,3-，点Q 在圆221x y +=上，两圆的圆心距为()2243521-+=>+，所以两圆相离，故PQ 的最小值为5212--=．故答案为：2．44．2236x y +=【详解】由题意，圆C 与圆1C 和圆2C 的公共弦分别为圆1C 和圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)x ，半径为r ，则2222(4)(04)(3)(05)24x x -+-=-++++，解得：0x =，半径22(04)(04)46r =-+-+=，故圆C 的方程为2236x y +=，故答案为：2236x y +=.45．3,3⎡⎤-⎣⎦26--743,743⎡⎤-+⎣⎦圆22410x y x +-+=的标准方程为()2223x y -+=，圆心为()2,0，半径为3.设y k x =，可得0kx y -=，则直线0kx y -=与圆()2223x y -+=有公共点，则2231k k ≤+，解得33k -≤≤，则yx的取值范围为3,3⎡⎤-⎣⎦；设y x b -=，可得0x y b -+=，则直线0x y b -+=与圆()2223x y -+=有公共点，则232b +≤，解得2626b --≤≤-+，则y x -的最小值为26--；设()2220x y r r +=>，由于()220203-+>，则原点在圆()2223x y -+=外，因为圆222x y r +=与圆()2223x y -+=有公共点，圆心距为2d =，故323r r +≤≤-，解得2323r -≤≤+，故22743743x y -≤+≤+.即22xy +的取值范围为743,743⎡⎤-+⎣⎦.故答案为：3,3⎡⎤-⎣⎦；26--；743,743⎡⎤-+⎣⎦.46．（1）12m =；（2）1n =-或7n =-．【详解】解：（1）圆221:(1)1C x y -+=，圆心1(1,0)C ，半径11r =；圆222:(4)16C x y m -+=-，圆心2(4,0)C ，半径216r m =-．因为圆1C 与圆2C 有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 相外切，所以1212C C r r =+，即3116m =+-，解得12m =．（2）由（1）可知，圆222:(4)4C x y -+=，圆心2(4,0)C ，半径22r =．因为直线20x y n ++=与圆2C 相交，弦长是2，所以圆心2C 到直线20x y n ++=的距离222232d r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即|4|33n +=，解得1n =-或7n =-．47．解：（1）圆M ：22210240x y ax ay +-+-=的圆心为(),5M a a -，由已知可得直线40x y ++=经过圆心M ，所以540a a -+=，解得1a =，则有圆M 的方程为22210240x y x y +-+-=；（2）因为圆M 的圆心为()1,5M -，半径152r =，圆N 的圆心()1,1N --，半径210r =，所以()()22115125MN =++-+=，因为5210255210-<<+，所以圆M 和圆N 相交，又由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，得两圆的公共弦所在直线方程为240x y -+=，所以M 到直线240x y -+=的距离1104355d ++==，所以22211504552r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得25l =，则圆M 和圆N 的公共弦的长度25l =．48．（1）由两圆方程相减即得240x y -+=，此为公共弦AB 所在的直线方程.圆心1(1,1)C --，半径110r =.1C 到直线AB 的距离为|124|55d -++==，故公共弦长221||225AB r d =-=.（2）圆心25(1,)C -，过1C ，2C 的直线方程为115111y x ++=-++，即230x y ++=.由230x y y x ++=⎧⎨=-⎩得所求圆的圆心为()3,3-.它到AB 的距离为|364|55d --+==，∴所求圆的半径为5510+=，∴所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=.（3）过A ､B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆，由240230x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得圆心(2,1)-，半径5r =.∴所求圆的方程为22(2)(1)5++-=x y .49．解：（1）连接,OM OP ，取OP 中点E ，由圆的性质知，OM AB ⊥，所以在Rt OPM △中，25OP =，且为斜边，所以M 在以OP 为直径的圆上，圆心为()1,2，半径为5r =，所以点M 的轨迹为圆，圆心为()1,2E ，半径为5r =，方程为：()()22125x y -+-=；又因为M 在已知圆内部，故与圆O 联立方程组()()22224125x y x y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得两圆交点坐标为68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,0所以点M 的轨迹方程为()()22125x y -+-=，6,25x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，85y <.（2）设(),M x y ，由133MN OM =得：222241333x y x y ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，整理得：22640x y x +++=，所以M 在圆22640x y x +++=上，结合（1），M 又在圆()()22125x y -+-=，6,25x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，85y <，故两圆联立方程组()()2222640125x y x x y ⎧+++=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：()1,1M -，所以2OM =，22AB =，OM 的斜率为1OM k =-，1AB k =直线AB 方程为：2y x =+，所以Q 点到直线AB 的距离为：4222d ==，所以QAB 的面积为142S AB d =⋅⋅=。
高三圆的数学知识点总结
高三圆的数学知识点总结高三阶段是学生们备战高考的关键时期，数学作为其中重要的学科之一，圆是数学中的重要内容之一。
在高三学习过程中，我们必须对圆的相关知识点进行深入理解和掌握。
下面是对高三圆的数学知识点进行总结的文章：一、圆的基本概念一个平面上的所有点到一个固定点的距离相等，称为圆，这个固定点叫做圆心，距离叫做半径。
圆由圆心和半径唯一确定。
二、圆的性质1. 圆上的点到圆心的距离等于半径的长度。
2. 圆上的点与圆心间的连线称为半径，半径相等的两点在圆上所对应的弧相等。
3. 圆上的点与圆心间连线的垂直平分线也是弧的垂直平分线。
4. 一个弧的两个端点和圆心连成的角叫做弧所对的圆心角。
5. 圆心角相等的弧相等。
6. 内切于同一个圆的三角形，它们的内切圆半径相等。
三、圆的定理1. 切线定理：过外切点的切线与半径所对应的弧垂直。
2. 弦切角定理：弦切角等于其所夹弧所对应的圆心角的一半。
3. 弧切角定理：弧切角等于其所夹的弦与切线所夹的角。
四、常见的圆的问题类型1. 弧长问题：根据已知的圆心角的大小和半径，计算弧长。
2. 圆的面积问题：根据已知的半径或直径，计算圆的面积。
3. 相交弦的性质问题：根据已知的圆上相交弦的长度和半径的关系，求解未知量。
4. 切线问题：求解切线长、切点坐标或切线方程。
五、解题技巧和方法1. 画图：对于圆的问题，首先要学会快速而准确地画出相关图形，能够直观地看清问题。
2. 运用定理：将所给数据和所求关系与相应的定理进行对应，通过合理应用定理解题。
3. 利用等价性：将问题转化为已知的等价问题，简化计算和推导过程。
4. 巧用比例：通过合理设置比例关系，建立方程式，从而求解未知量。
以上就是关于高三圆的数学知识点总结。
在备战高考过程中，熟练掌握圆的相关知识，对于解答符合高考试题的要求非常重要。
通过充分理解和熟练掌握这些知识点，并结合解题技巧和方法，我们将能够在高考中取得优异的成绩。
希望同学们在备考过程中注重数学的学习，加油！。
数学高二圆的知识点
数学高二圆的知识点数学高二阶段，圆是一个重要的几何形状。
掌握圆的知识点对于解题和应用数学都具有重要意义。
本文将针对高二阶段学习的圆相关知识进行全面介绍。
一、圆的定义与性质圆是平面上一组点，这些点到圆心的距离都相等。
圆的性质包括：1. 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
3. 直径：穿过圆心并且两端点都在圆上的线段，直径的长度是半径的2倍。
4. 弦：连接圆上任意两点的线段。
5. 弧：圆上的一段弧线，通常用小写字母a表示。
6. 弦长：弦的长度，通常用小写字母s表示。
7. 弧长：弧的长度，通常用小写字母l表示。
8. 弧度制：用弧长所对应的圆心角的弧度数来度量角的大小。
二、圆的方程圆的方程有两种一般形式，分别是标准方程和一般方程。
1. 标准方程：对于圆心坐标为(h, k)、半径为r的圆，它的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²2. 一般方程：对于通用方程Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，若满足条件：A² + B² ≠ 0，且完全平方式表示，即：(x - h)² + (y - k)² + r² = 0三、圆的相关定理在高二阶段，圆相关的定理有以下几个重要的：1. 圆的切线定理：如果直线与圆相切，那么切点到圆心的距离与切线垂直。
2. 弦切角定理：如果一个弦与切线交于弦上一点，那么切线和弦所夹的角等于弦所对的弧的角。
3. 弦长定理：在同一个圆中，两个相交弦的弦长乘积等于这两条弦相交处外部的两个弧长乘积。
4. 弧角定理：同一个圆上的两个弧所对的圆心角相等，且弧与圆心角所对的弧长也相等。
四、圆的应用圆的知识不仅仅局限于几何推导，还涉及到实际生活中的许多应用。
以下是一些常见的圆的应用：1. 圆的面积计算：圆的面积计算公式为S = πr²，其中π是一个常数，约等于3.14159。
高中圆知识点归纳总结
高中圆知识点归纳总结圆是圆心到圆周上任意一点的距离等于半径的线段，圆的直径是圆上任意两点的距离等于半径的两倍。
圆的周长是圆的边界的长度，圆的面积是圆内部的面积。
在数学中，圆是一个非常基础的几何图形，也是许多数学问题中的基础形状之一。
本文将对高中数学中关于圆的相关知识点进行归纳总结，包括圆的定义、性质、相关定理和定理的证明等内容。
一、圆的相关知识点1. 圆的定义圆是平面上到一个定点距离等于定长的动点的轨迹。
这个定点叫做圆心，这个定长叫做半径。
2. 圆的基本性质（1）圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度。
（2）圆上所有点到圆心的距离都相等。
（3）圆的直径是圆的两个端点的距离等于半径的二倍。
（4）圆的周长等于直径与π的乘积。
（5）圆的面积等于半径的平方与π的乘积。
3. 圆的相关定理（1）同弧（或同角）的圆周角相等。
（2）圆内切等腰三角形。
（3）弦上的圆周角等于弦所在圆的中心角（或外角）。
（4）圆内接四边形内角和为180度。
（5）相交弦定理：相交弦这俩一半与另一半分别相乘相等。
（6）直径上的等角：直径所含角都是90度。
二、重要定理及证明1. 圆的周长和面积圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr²。
其中r为半径，π≈3.14159。
2. 弧长与圆心角以及面积的关系（1）弧长L=θr，其中θ为圆心角的度数，r为半径。
（2）圆的面积S=θ/360*πr²，其中θ为圆心角的度数，r为半径。
3. 锥的切线定理（切割定理）如果直线L与圆C相交于点A和B，那么从点A、B作出的切线AB与L垂直（AB与弦的交角=弦的交角的一半）。
证明：设AB是切线，则AC、BC就是切线，所以∠ABC=∠ACB，所以AB⊥L。
三、常见的计算题目1. 已知圆的半径为r，求圆的周长和面积。
解：圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr²。
2. 圆的面积为S，求圆的半径和周长。
解：圆的半径r=√(S/π)，圆的周长C=2πr。
高中关于圆的试题及答案
高中关于圆的试题及答案题目一：求圆的面积和周长某圆的半径为5厘米，求该圆的面积和周长。
解答：圆的面积公式为：\[ A = \pi r^2 \]圆的周长公式为：\[ C = 2\pi r \]将半径 \( r = 5 \) 厘米代入公式计算：面积 \( A = \pi \times 5^2 = 25\pi \) 平方厘米周长 \( C = 2\pi \times 5 = 10\pi \) 厘米题目二：圆的切线问题已知点P(4,3)在圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 上，求过点P的圆的切线方程。
解答：首先，我们知道圆心O的坐标为(0,0)，半径为5。
点P在圆上，所以OP是半径，OP的长度为5。
切线与半径垂直，因此切线的斜率与OP的斜率互为相反数的倒数。
OP 的斜率为 \( \frac{3-0}{4-0} = \frac{3}{4} \)，所以切线的斜率为 \( -\frac{4}{3} \)。
切线方程为 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)，代入点P(4,3)和斜率\( m = -\frac{4}{3} \)，得到：\[ y - 3 = -\frac{4}{3}(x - 4) \]化简得切线方程为：\[ 4x + 3y - 25 = 0 \]题目三：圆与直线的位置关系已知直线 \( l: 2x - 3y + 6 = 0 \) 与圆 \( C: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0 \)，求直线l与圆C的位置关系。
解答：首先，将圆的方程化为标准形式：\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 9 \]圆心C的坐标为(2,3)，半径r为3。
接下来，计算圆心C到直线l的距离d：\[ d = \frac{|2\cdot2 - 3\cdot3 + 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 - 9 + 6|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \]由于 \( d < r \)，即 \( \frac{1}{\sqrt{13}} < 3 \)，所以直线l 与圆C相交。
高中圆的知识点
高中圆的知识点高中圆的知识点圆是数学中的基本图形之一，它在几何学、代数学、三角学等领域都有广泛应用。
在高中阶段，圆的相关知识点主要包括圆的定义、性质、判定方法、弧长与扇形面积、圆锥曲线等方面。
一、圆的定义和性质1. 定义：平面上所有到定点距离相等的点构成一个圆。
2. 性质：（1）圆心：定点称为圆心，通常用字母O表示。
（2）半径：从圆心到任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
（3）直径：通过圆心并且两端点在圆上的线段称为直径，它是半径长度的两倍。
（4）弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。
（5）切线：与圆只有一个公共点且垂直于半径的直线称为切线。
二、判定方法1. 判定一个图形是否是一个圆：若该图形满足所有到某个定点距离相等，则该图形是一个圆。
2. 判定两个图形是否相交：若两个图形有公共部分，则它们相交；否则，它们不相交。
3. 判定两个图形是否相切：若两个图形有公共部分且只有一个公共点，则它们相切；否则，它们不相切。
三、弧长与扇形面积1. 弧长：圆上任意弧的长度称为弧长，通常用字母l表示。
2. 扇形面积：由圆心和圆上两点所构成的扇形所包含的面积称为扇形面积，通常用字母S表示。
四、圆锥曲线1. 椭圆：平面上所有到两个定点距离之和等于常数的点构成一个椭圆。
2. 双曲线：平面上所有到两个定点距离之差等于常数的点构成一个双曲线。
3. 抛物线：平面上所有到定点距离等于直线距离的点构成一个抛物线。
4. 圆：平面上所有到定点距离相等的点构成一个圆。
五、习题实战1. 已知正方形ABCD中心为O，半径为r，则以O为圆心，以r为半径作一圆与正方形ABCD相切。
求该圆周长和扇形面积。
解：由于圆与正方形相切，所以正方形的对角线等于圆的直径，即2r=AB=BC=CD=DA。
又由于正方形的中心是圆的圆心，所以该圆半径也为r。
（1）周长：C=2πr=2π×r=2πr（2）扇形面积：S=1/4πr²2. 已知一个半径为5cm的圆与一条长度为12cm的线段相交，求此线段与圆弧之间所夹的面积。
高中圆知识点总结
高中圆知识点总结
一、圆的基本概念
定义：圆是平面上到一个定点距离等于定长的所有点的集合。
这个定点叫做圆心，定长叫做半径。
圆心：圆所在平面内到圆内任意点的距离都相等的点。
半径：圆心到圆上任意一点的距离。
直径：通过圆心且两端都在圆上的线段。
二、圆的基本性质
圆的对称性：圆是中心对称图形，也是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
三、圆与直线的位置关系
相离：直线与圆没有公共点。
相切：直线与圆有且只有一个公共点，叫做切点。
相交：直线与圆有两个公共点，叫做交点。
四、圆的方程
标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
一般方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D^2 + E^2 - 4F > 0。
五、与圆有关的计算
圆的周长：C = 2πr，其中r为圆的半径。
圆的面积：S =
πr^2，其中r为圆的半径。
六、与圆相关的定理和推论
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
割线长定理：从圆外一点引圆的两条割线，它们的割线长满足一定的比例关系。
以上是高中圆的主要知识点总结。
在学习圆的过程中，应注重理解概念、掌握性质、熟悉定理，并结合具体的题目进行练习，以加深对知识点的理解和应用。
高中圆的知识点
高中圆的知识点一、圆的定义和性质1.1 圆的定义- 圆是由平面内到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
- 圆心：圆的固定点。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离。
1.2 圆的性质- 圆上的任意两点和圆心连线构成的线段是圆的弦，而半径是弦的一种特殊情况。
- 半径相等的圆，互为同心圆。
- 圆的直径是任意两点在圆上的弦的最大长度。
- 圆的面积是半径的平方乘以π(pi)。
- 圆的周长是直径乘以π(pi)。
二、圆上的重要角度2.1 弧度与弧长- 弧度：圆上的角度可用弧度来表示，一个圆的弧度等于半径长的弧所对应的角度。
- 弧长：圆的弧长是圆心角所对应的弧的长度，计算公式为弧长 = 弧度× 半径。
2.2 弧度与角度的转换- 弧度与角度之间的转换公式：弧度= (π/180) × 角度。
2.3 弧度制的优势- 使用弧度制可以方便地处理圆形的运算。
三、圆的方程3.1 圆的一般方程- 圆的一般方程表示为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。
3.2 圆的标准方程- 圆的标准方程表示为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
3.3 圆与其他图形的方程关系- 圆与直线的关系：直线与圆相交一次、相切或者不相交。
- 圆与两直线的关系：两直线与圆相交于两点、相切于一个点或者不相交。
- 圆与双曲线的关系：圆内不包含双曲线图像。
四、圆的切线与法线4.1 切线- 圆上一点的切线是通过该点并且与圆相切的直线。
- 切线与半径垂直。
- 垂直半径的切线称为半径的法线。
4.2 切线与圆心角的关系- 切线与圆心角相等的两线段互为相等弧所对应的角。
4.3 切线的判定- 切线的判定方法有三种：切线是半径垂直的直线、切线与过圆心的直线垂直、过圆外一点的切线是离圆心最近的直线。
五、圆与三角形的关系5.1 圆内接三角形- 圆内接三角形的三个顶点都在圆上。
高中圆和圆的知识点总结
高中圆和圆的知识点总结一、圆的定义和性质1. 圆的定义圆是由平面上距离一个定点（圆心）一定距离的所有点组成，这个距离叫做半径。
2. 圆的性质（1）圆的各点到圆心的距离都相等；（2）圆的半径相等的两个圆是全等的；（3）圆的半径相等，则它们的圆心到圆心的距离相等；（4）圆内的任意两点之间的线段都在圆内；（5）圆外的任意两点之间的线段都在圆外；（6）圆内任意一点到圆心的距离都小于半径；（7）直径是圆的最长的一条线段，直径=2×半径；（8）圆的周长为2×π×半径；（9）圆的面积为π×半径的平方。
二、圆的相关线段1. 直径直径是圆的最长的一条线段，直径等于圆的半径的两倍。
直径是与圆的周长密切相关的概念，在数学和工程学中均有广泛的应用。
2. 半径半径是由圆心到任意圆上一点所画的线段，半径的所有点到圆心的距离都相等。
半径是圆的面积和周长的重要参数，也是圆的基本要素之一。
3. 弦弦是圆上任意两点之间的线段，可以说是连接圆上任意两点的线段。
弦的长度与所对的圆心角有密切的关系，也是探索圆的性质和定理的重要线索之一。
4. 弧弧可以看做是圆上任意两点之间的曲线部分，用来连接这两点。
弧的长度与弧所对的圆心角大小关系密切，也是在实际问题中广泛应用的概念。
三、圆的相关角度1. 圆心角圆心角是圆心处的角，其顶点是圆心，圆弧也是其两边。
圆心角的大小与其所对的弧相关，也是研究圆的性质和运用定理的重要线索。
2. 弧度弧度是一个用来衡量圆上弧长的单位，也是角度的另一种度量方式，1弧度等于半径长的弧所对的圆心角的面积。
弧度的概念在理解圆的面积和周长的时候有重要的作用。
3. 正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切是三角函数中的重要概念。
在圆中，正弦等于对边与斜边的比值，余弦等于邻边与斜边的比值，正切等于对边与邻边的比值。
这三个概念在处理与圆相关的问题时起到了重要的作用。
四、圆的相关性质1. 圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系有以下几种：（1）鲁卡斯定理：如果一个点在一个圆上，则它到圆心的距离等于该点到圆周的切线的距离；（2）弦切定理：一个切线和一个弦的交角等于跟这个弦对应的圆周角的一半；（3）弦弧定理：一个弦和它所对的圆周角的两个角相等；（4）被弦分割的角相等定理：如果一个直径或一个弦分割了圆的一个圆周角，则它所分得的两个圆周角相等；（5）弦的性质：从一个外点到圆上弦的两个切点的两条切线相等；从圆的外点引直线与圆相切，则直线垂直于半径；（6）切线的性质：过圆外一点有且只有一条与圆相切的线；切点到圆心的线段与切点处切线成90度直角；（7）圆的切线性质：过圆外一点引圆的两个切线，这两条切线的夹角等于它们与过该点引的圆的半径形成的角的一半。
高三圆的知识点总结
高三圆的知识点总结在高三数学学习中，圆是一个重要的几何形状，涉及到许多基本概念和性质。
下面我将对高三圆的相关知识点进行总结。
一、基本概念1. 圆的定义：圆是由一个平面内与一个确定点的距离相等的所有点组成的集合。
2. 圆的要素：圆心、直径、半径等。
圆心是指离圆上任意一点的距离相等的点；直径是通过圆心的两个点将圆分为两部分的线段；半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 圆的符号表示：用大写字母表示圆心，用小写字母表示圆上的点。
二、圆的性质1. 同一圆中，半径相等。
2. 同一圆中，两条弧所对的圆心角相等。
3. 圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度。
4. 在同一圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等。
三、弧与角1. 弧的定义：圆上两点间的弧是由这两点在圆上所有的点组成的部分。
2. 弧长的计算：弧长等于弧所对的圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长。
弧长也可用半径和圆心角的弧度表示。
3. 圆心角的定义：以圆心为顶点的角称为圆心角。
4. 弧度制和角度制：圆心角的弧度数等于弧长与半径的比值。
圆周角是一个完整的圆心角，其度数为360度或2π弧度。
四、圆的位置关系1. 同圆：具有相同半径的两个或多个圆。
2. 切圆：外切于同一直径的两个圆。
3. 相交圆：半径不等的两个圆相交于两个点。
4. 外切圆：与一个三角形的三条边都相切的圆。
5. 内切圆：与一个三角形的三边都相切，且位于三角形内部的圆。
五、圆的构造问题1. 圆的画法：给定圆的半径或直径，可以利用画圆法、丝线法等来画圆。
2. 已知圆上两点，可以通过作弦、作垂线等方式来确定圆的位置关系。
3. 圆与直线的位置关系：可以通过做垂线、做弦等方式来判断圆与直线的位置关系。
六、圆与三角形的关系1. 角内切定理：如果圆的切点与三角形的一个内角的两边相切，则这两边的夹角等于切点所对的弧的一半。
2. 角平分线定理：如果圆的切点与三角形的一个内角的两边相切，则切点到两边的距离相等，且切分线等于切点所对的弧的一半。
高中数学圆知识点总结
高中数学圆知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上到一个定点的距离等于常数的所有点的集合所组成的图形。
这个定点叫做圆心，这个常数叫做圆的半径。
2. 圆的符号表示：我们通常用一个大写字母表示圆心，用小写字母 r 表示半径，从而表示某个圆为原点 O ，半径为 r 的圆为∠O(r) 。
3. 圆的元素：圆由圆心、半径以及圆上的所有点组成，这些点到圆心的距离都等于半径的长度。
二、圆的基本性质1. 圆的直径：圆上任意两点间的最长距离叫做圆的直径，圆的直径等于圆的半径的二倍。
2. 圆周率：圆周率是一个无理数，通常用符号π 来表示，它的近似值是3.14159 ，是圆周长和直径之比的数学常数。
3. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π ，也可以用公式表示为：C=2πr 。
4. 圆的面积：圆的面积等于π 乘以圆的半径的平方，也可以用公式表示为：S=πr^2 。
5. 弧长和扇形面积：圆的一部分叫做圆弧，圆弧的长度叫做弧长，弧长和圆的周长的比值等于弧所对的圆心角的比值；圆的一部分叫做扇形，扇形的面积等于扇形所对的圆心角的比值。
三、圆的相关定理1. 圆心角的性质：圆心角是圆上的一个角，它的顶点在圆心上，它的两条边都是圆的弧。
圆心角的大小可以用角度或弧度表示，弧度是圆的一种度量单位，弧长等于半径乘以圆心角的弧度。
弧长和弧所对的圆心角的关系，用公式表示为：L=rθ 。
2. 弦的性质：弦是圆上的一段线段，它的两端都在圆上，弦也可以看做是圆上的一个弧。
弦的性质包括：两条相等的弧所对的弦也是相等的；圆的直径是圆的最长弦，且它恰好把圆分成两个相等的半圆。
3. 切线的性质：切线是指平面上的一条直线，它只与圆相交于一点，这个点叫做切点。
切线和半径的垂直平分线相交于圆上的切点处成直角，切线和圆心之间的连线是切线的切线长。
4. 正弦定理和余弦定理：这两个定理属于三角形和圆的结合性质，它们可以用来求解三角形和圆的面积。
四、圆的相关应用1. 圆和直线的位置关系：圆和直线的位置关系有着许多重要的定理和知识点，这些知识点在几何、代数和三角等领域都有着广泛的应用，学习和掌握它们对我们解题和理解圆的相关性质是非常重要的。
高中数学圆相关知识点总结
高中数学圆相关知识点总结1. 圆的基本概念圆是一个由平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆的边界称为圆周，圆周上任意两点及圆心连线的长度为半径。
符号圆记作“Ο”。
2. 圆的性质（1）圆周率圆周率是圆的周长与直径的比值，在数学中通常用希腊字母π表示。
π的近似值为3.1415926，这个值是一个无理数，无限不循环小数。
在计算中通常用π的近似值3.14进行近似计算。
（2）圆的面积一个圆的面积可以用πr^2来表示，其中r为圆的半径。
圆的面积也可以表示为πd^2/4，其中d为圆的直径。
（3）弧和扇形圆的边界可以看作是由无数个弧段组成的。
当我们从一个圆的边界上任意取出一段弧，这段弧就叫做圆周上的一段弧。
如果一个弧的长度等于圆周的长度，那这个弧就叫做整圆周弧，否则就叫做部分弧。
如果一个圆的半径等分圆周上的一个弧，那么这个半径对应于这个弧的就被叫做该弧所对的圆心角。
而圆心角对应的弧长度叫做圆心角的对应弧长。
（4）正多边形的内切圆和外接圆对于一个正多边形，可以找到一个圆，使得该圆和多边形的所有的顶点都相切。
这个圆称为该多边形的内切圆。
同样的，也可以找到一个圆，使该圆和多边形的所有边都相切，这个圆称为该多边形的外接圆。
由此可知，正多边形的内切圆和外接圆的关系，内切圆的半径等于多边形的边长度的一半，外接圆的半径等于多边形的边长度的一半除以sin(π/n)，其中n为正多边形的边数。
3. 圆的相关定理（1）切线定理在一个圆上，任意一条直线与圆相交，如果直线所与的圆相切，那么直线与圆的切点到切点连线与圆心的连线是平行的。
切线定理是圆的重要性质之一，在解决圆的相关问题时经常会用到。
（2）弦定理对于在圆内的两条弦，如果这两条弦各自对应的弧长相等，那就说明这两条弦的长度也相等。
这个定理也常用于圆相关问题的求解。
（3）垂径定理在圆上的两条垂线的交点与圆心相连得到的直线与任意一条垂直于这条直径并且与这条直径相交的弦垂直。
高考圆的知识点归纳总结
高考圆的知识点归纳总结高考数学中的圆是一个非常重要的内容，涉及到圆的定义、性质、相关定理等知识点。
下面对高考数学中与圆相关的知识点进行归纳总结，以帮助考生复习和备考。
一、圆的定义与性质1. 定义：平面上所有到一个给定点距离相等的点组成的图形，这个给定点叫做圆心，相等的距离叫做半径。
2. 性质：a. 圆上任意两点到圆心的距离相等。
b. 圆上的点与圆心构成的线段叫做半径，半径相等的两个圆叫做同心圆。
c. 圆周上的任意一条弧所对的圆心角都相等，且角的度数等于弧所对的圆心角所对的弧长所占整个圆周的比例。
二、弧长与扇形面积1. 弧长：指圆周上的一段弧的长度，计算公式为弧长 = 弧度 ×半径，其中弧度是弧所对的圆心角的度数除以360°乘以2π。
2. 扇形面积：指以圆心为顶点的两条半径和与这两条半径所夹圆弧所围成的图形的面积。
计算公式为扇形面积 = 弧度 ×半径的平方的一半。
三、相交与切线1. 相交：两个圆相交于两个不同的交点，则称它们为相交圆。
2. 切线：指与圆只有一个交点的直线。
a. 切线的性质：- 切线与半径的垂直关系：切线与半径的垂直关系，即切线与半径所构成的角为直角。
- 切线的长度关系：切线的长度等于半径和半径所构成的圆心角的弦长之和。
b. 切线定理：外切圆的切线和切点所构成的两条线段相等。
四、圆的位置关系1. 内切与外切：若两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，则这两个圆是相切于外面的；若两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差，则这两个圆是相切于里面的。
2. 相离与相交：两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆是相离的；当圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，但大于两个圆的半径之差时，这两个圆是相交的。
五、圆与直线的位置关系1. 切线与直径：切线与直径的垂直关系，即切线与直径所构成的角为直角。
2. 弦：指圆上连接两点的线段。
a. 弦的性质：- 弦的中点：弦的中点与圆心和圆心连线的中点共线。
圆各知识点总结
第24章 圆知识点总结一、 圆的基本性质1.圆的有关概念（1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 拓展：a.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；b.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；c.到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；d.到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
(2)圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。
(3)弦：圆上任意两点连成的线段；通过圆心的弦是直径，是圆中最长的弦，也是圆的对称轴。
(4) 弧：圆上任意两点之间的部分；以A 、B 为端点的弧记作B A(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分为两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（半圆是弧，不包括直径的部分，因此求半圆的周长时不要画蛇添足。
）(6)劣弧：在同圆或等圆中，弧长小于该圆半圆的弧叫劣弧。
优弧：弧长大于该圆半圆的弧叫优弧。
（优弧通常用三个字母表示，如C AB。
） (7)同心圆：圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆(8)等圆：能够重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆. (9)弦心距：从圆心到弦的距离 2.圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆点。
3．垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分线所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
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高中圆的基本概念与点圆关系知识点与答案解析第一节圆的基本概念1. 圆的标准方程：(x- a)2+ (y- b)2 = r2(圆心(a,b)，半径为r )例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径(1)x2 + ( y + 3) 2 = 2 ; (2) (x + 2) 2 + ( y T) 2 = a2 ( a^0)圆心在直线x -2y -3 = 0上，且过A(2 ,£) , B(-,七)，求圆的方程.例3已知三点A(3 , 2) , B(5 , -3) , C( - , 3)，以P(2 ,-)为圆心作一个圆, 使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.2. 圆的一般方程：x2 + y2 + Dx+ Ey+ F = 0 (其中D2 + E2- 4F > 0),圆心为点(—D —1),半径r D2 E2—4F2 2 2(I)当D2+ E2- 4F = 0时，方程表示一个点，这个点的坐标为(--,--)2 2 (U)当D2+ E2- 4F < 0时，方程不表示任何图形。
例1:已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。
解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，• •• (2k)2 42 4(3k 8) 0，解得k 4或k 1•••当k 4或k 1 时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。
例2:若(2m2+m-1 x2+(m2-m+2)y2+m+2=啲图形表示一个圆，贝U m的值是._____ 0答案：—3 例3:求经过三点A (1,—1)、B (1,4 )、C (4,—2)的圆的方程。
解：设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0,A (1,—1)、B (1,4 )、C (4,—2)三点在圆上，代入圆的方程并化简,得DEF 2D 4EF 17，解得D= —7, E= —3, F= 24D 2E F 20•••所求圆的方程为x2 y2 7x 3y 20。
例4:若实数x, y满足x2 y2 4x 2y 4 0 ,则x2寸的最大值是________________________ <解：由x2 y2 4x 2y 4 0，得(x 2)2 (y 1)29•••点P(x, y)在以(一2,1 )为圆心，半径r=3的圆C上,IOCI . (0一2厂(0一1)2、5 ,•••原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为丨OC| + r = . 5 + 3•x2 y2的最大值为(5 3)214 6 5。
3. 圆的一般方程的特点：(1) ①x2和y2的系数相同，不等于0。
②没有xy这样的二次项。
(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D E、F,只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。
(3) 与圆的标准方程相比较，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。
4. 圆的一般方程变形2 2如果Ax + Bxy+ C y + Dx+ Ey+ F 二 °是圆，一定有(1)A=C 0; (2) B=0; (3)D2+E2-4AF>0反之，也成立。
例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
(1) 4x2 + 4y2- 4x+ 12y+ 9= 0(2) 4x + 4y - 4x+ 12y+ 11= 0例2:方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时，m的取值范围是( D )1例3:如果圆的方程为x 1 2 3 4+y 2+kx+2y+k 2=0,那么当圆面积最大时圆心坐标为A.(-1，1)B. ( 1, -1)C. (-1，0)D. ( 0, -1)例 4 :圆x 2 y 2 2axcos 2aysin 0的圆心坐标为 _______________为 ______ .例 5:方程 x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4 * * 7+9=0表示一个圆。
2 :求实数m 的范围。
3 :求该圆半径r 的范围。
4 :求圆心C 的轨迹的普通方程。
A. < m< 1B. 4m> 1 C. 1 m< - 4 D. m< -或 m>1 4) 半径第二节点与圆的关系1•点M(x o ,y 。
)与圆(x- a)2+(y- b)2 = r 2的关系的判断方法(1) (x o - a)2 + (y o - b)2>r 2，点在圆外(2) (x o - a)2 + (y o - b)2 = r 2，点在圆上(3) (x o - a)2 + (y o - b)2<r 2，点在圆内例1: VABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,- 3),C(2,- 8),求它的外接圆的方程。
解析：用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数。
例2:已知圆经过点 A(1,1)和B(2,- 2),且圆心在l:x- y+1=0上，求圆的标准方 程。
解析：圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,- 2),由于圆心C 与A,B 两点的距离相等， 所以圆心C 在AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线I 上，因此圆心C 是直线I 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 例3 :写出圆心为A(2, 3)半径长等于5的圆的方程，并判断点MJ5, 7),M 2( Z5, 1)是否在这个圆上。
2.圆的对称性问题：圆的对称性问题可以转化为原点的对称性，而圆的半径r相等。
例1:求x 2+y 2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程解析：圆方程可以转化为(x+2) 2+(y-6) 2=1，圆心0(-2,6)，半径为1。
设圆心关 于直线的对称点O'(a,b) ，00和直线3x-4y-5=0对称，因此有： | H -L I — 解得所求圆的方程为 (x-乎)2+ 5 (y+^)2= 1 53. 与圆有关的轨迹方程方法一：代入转移求轨迹方程已知线段AB的端点B(4,3),端点A在圆(x 1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
女口.方法二：参数法求轨迹方程当a取不同的非零实数时，方程x2y2—2ax —2. 3ay 3a20表示的曲线是不同的圆。
求圆心的轨迹方程。
方法三：充分利用韦达定理如：设0为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+仁0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0 对称,又满足0P • OQ=0,求直线PQ的方程。
解：曲线方程为(x+1) 2+ (y —3) 2=9表示圆心为(一1, 3),半径为3的圆.•••点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，•••圆心(一1, 3)在直线上.代入得m=- 1。
•••直线PQ与直线y=x+4垂直，•••设P (X1, yd、Q(X2, y2), PQ方程为y=—x+b.将直线y= —x+b 代入圆方程，得2x2+2 (4—b) x+b2—6b+1=0.△=4 (4—b) 2—4X 2X( b2—6b+1) >0,得2—3,2 <b<2+3 2。
2由韦达定理得X1+X2=—(4—b) , X1 • X2=b —6b 1。
22 2y1 • y2=b —b (X1+X2) +X1 • X2=b —6b 1 +4b.2■/ OP • OQ =0,二X1X2+y1y2=0,即b2—6b+1+4b=0.解得b=1€( 2— 3 2 , 2+3 2 )。
•所求的直线方程为y= —x+1。
4. 圆中的最值思想y- bm = -------(1)形如x- a的最值问题，转化为动直线斜率的问题；(2)形如m=ax+by的最值问题，转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m=(x-a)2+(y-b) 2最值问题，转化为两点间距离的平方最值问题。
如：已知点P (x,y、是圆(x+2) 2+y2 =1上任意一点。
(1)求P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；(2)求x-2y的最大值和最小值；y- 2(3)求x- 1的最大值和最小值。
解：(1)圆心C (-2,0 )到到直线3x+4y+12=0的距离为：|3*( -2)+4*0+12| 6d = . =、32+ 42 56 11 6 1 •••所以P到直线距离的最大值为d+r= 5+仁5 ,最小值为d-r= 5-仁5 (2)设t=x-2y,、 . 2 2•••直线x-2y-t=0 与圆(x+2) +y =1有公共点•圆心到直线的距离小于等于半径k= 2(3)设X- 1，则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2) 2+y2 =1有公共点•圆心到直线的距离小于等于半径解：(1)方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0，即：4(m+3)2+4(1-4 卅)2-4(16 卅+9)>0，1解之得-1<m<1.7(2) r 卫一E2_ 4F，得到r的取值范围2(3) 设圆心为(x，y)，『x = ffi 4-3则'一2消去m得:y=4(x-3) -1，■/ - !<0<1，7即轨迹为：y=4(x-3) 2-1( 20<x<4)7例6:已知实数x,y满足等式(x 4)2 (y 3)29，求x y的最值。