高中圆的基本性质与点圆关系-知识点及试题答案

高中圆的基本概念与点圆关系知识点与答案解析

第一节圆的基本概念

1. 圆的标准方程：(x- a)2+ (y- b)2 = r2(圆心(a,b)，半径为r )

例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径

(1)x2 + ( y + 3) 2 = 2 ; (2) (x + 2) 2 + ( y T) 2 = a2 ( a^0)

圆心在直线x -2y -3 = 0上，且过A(2 ,

£) , B(-,七)，求圆的方程.

例3已知三点A(3 , 2) , B(5 , -3) , C( - , 3)，以P(2 ,-)为圆心作一个圆, 使A、

B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.

2. 圆的一般方程：x2 + y2 + Dx+ Ey+ F = 0 (其中D2 + E2- 4F > 0),圆心为点(—D —

1),半径r D2 E2—4F

2 2 2

(I)当D2+ E2- 4F = 0时，方程表示一个点，这个点的坐标为(--,--)

2 2 (U)当D2+ E2- 4F < 0时，方程不表示任何图形。

例1:已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。

解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，

• •• (2k)2 42 4(3k 8) 0，解得k 4或k 1

•••当k 4或k 1 时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。

例2:若(2m2+m-1 x2+(m2-m+2)y2+m+2=啲图形表示一个圆，贝U m的值是.

_____ 0

答案：—3 例3:求经过三点A (1,—1)、B (1,4 )、C (4,—2)的圆的方程。

解：设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0,

A (1,—1)、

B (1,4 )、

C (4,—2)三点在圆上，代入圆的方程并化简,

得

DEF 2

D 4

E

F 17，解得D= —7, E= —3, F= 2

4D 2E F 20

•••所求圆的方程为x2 y2 7x 3y 2

0。

例4:若实数x, y满足x2 y2 4x 2y 4 0 ,则x2寸的最大值是________________________ <解：由x2 y2 4x 2y 4 0，得(x 2)2 (y 1)29

•••点P(x, y)在以(一2,1 )为圆心，半径r=3的圆C上,

IOCI . (0一2厂(0一1)2、5 ,

•••原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为丨OC| + r = . 5 + 3

•x2 y2的最大值为(5 3)214 6 5。

3. 圆的一般方程的特点：

(1) ①x2和y2的系数相同，不等于0。

②没有xy这样的二次项。

(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D E、F,只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。

(3) 与圆的标准方程相比较，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。

4. 圆的一般方程变形

2 2

如果Ax + Bxy+ C y + Dx+ Ey+ F 二 °是圆，一定有(1)A=C 0; (2) B=0; (3)

D2+E2-4AF>0反之，也成立。

例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

(1) 4x2 + 4y2- 4x+ 12y+ 9= 0

(2) 4x + 4y - 4x+ 12y+ 11= 0

例2:方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时，m的取值范围是( D )

1

例3:如果圆的方程为x 1 2 3 4+y 2+kx+2y+k 2=0,那么当圆面积最大时圆心坐标为

A.(-1，1)

B. ( 1, -1)

C. (-1，0)

D. ( 0, -1)

例 4 :圆x 2 y 2 2axcos 2aysin 0的圆心坐标为 _______________

为 ______ .

例 5:方程 x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4 * * 7+9=0表示一个圆。

2 :求实数m 的范围。

3 :求该圆半径r 的范围。

4 :求圆心C 的轨迹的普通方程。

A. < m< 1

B. 4

m> 1 C. 1 m< - 4 D. m< -或 m>1 4

) 半径

第二节点与圆的关系

1•点M(x o ,y 。)与圆(x- a)2+(y- b)2 = r 2的关系的判断方法

(1) (x o - a)2 + (y o - b)2>r 2，点在圆外

(2) (x o - a)2 + (y o - b)2 = r 2，点在圆上

(3) (x o - a)2 + (y o - b)2

例1: VABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,- 3),C(2,- 8),求它的外接圆的方程。 解析：用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数。

例2:已知圆经过点 A(1,1)和B(2,- 2),且圆心在l:x- y+1=0上，求圆的标准方 程。

解析：圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,- 2),由于圆心C 与A,B 两点的距离相等， 所以圆心C 在AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线I 上，因此圆心C 是直线I 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 例3 :写出圆心为A(2, 3)半径长等于5的圆的方程，并判断点

MJ5, 7),M 2( Z5, 1)是否在这个圆上。

2.

圆的对称性问题：圆的对称性问题可以转化为原点的对称性，而圆的半径

r

相等。

例1:求x 2+y 2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程

解析：圆方程可以转化为(x+2) 2+(y-6) 2=1，圆心0(-2,6)，半径为1。设圆心关 于直线的对称点O'(a,b) ，00和直线3x-4y-5=0对称，因此有： | H -L I — 解得

所求圆的方程为 (x-乎)2

+ 5 (y+^)2= 1 5