高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录
二．教学过程：
（一）复习回顾，知识梳理
1． 常见函数的导数公式：
；；；． 2．法则1 ．
法则2 , ．
法则3 ． 3．复合函数的导数：设函数u =(x )在点x 处有导数u ′x =′(x )，函数
y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f ( (x ))在点x 处也有导数，且 或f ′x ( (x ))=f ′(u ) ′(x )．
4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
5．对数函数的导数： ．
6．指数函数的导数：； ．
（二）讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像 可以看到：
的值随着x 的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）为增函数；在区间（，2），切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）为减函数
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间有导数，如果在这个区间>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间的增函数；如果在这个区间<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间的减函数
2．用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x )．
②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的围就是递增区间。

③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的围，就是递减区间。

（三）、讲解例
0'=C 1)'(-=n n nx x x
x cos )'(sin =x x sin )'(cos -=)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+[()]'()Cu x Cu x '='
2
''
(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝
⎭
ϕϕϕx u x u y y '''⋅=ϕϕx x 1)'(ln =e x
x a a log 1
)'(log =x x e e =)'(a a a x x ln )'(=342+-=x x y /y ∞+∞-/y <∞-/y /y
例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数。

解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2． 令2x －2＞0，解得x ＞1．
∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1．
∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．
例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数 解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0
∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．
当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．
令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．
∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 例3证明函数f (x )=
在(0，+∞)上是减函数． 证法一：（用以前学的方法证） 证法二：（用导数方法证） ∵f ′(x )=(
)′=(－1)·x －2=－，x ＞0，∴x 2＞0，∴－＜0． ∴f ′(x )＜0，∴f (x )= 在(0，+∞)上是减函数。

点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。

例4求函数y =x 2(1－x )3的单调区间．
解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1) =x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x )
令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜
． ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，
) 令x (1－x )2
(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞且x ≠1．
∵为拐点，∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(
，+∞) x
1
x 1
21x 21x
21
x
5
2
5
25
2
1x =5
2
例5当x ＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2
x ．
分析：假设令f (x )=e 2x －1－2x ．∵f (0)=e 0－1－0=0, 如果能够证明f (x )在(0，+∞)上是增函数，那么f (x )＞0，则不等式就可以证明。

证明：令f (x )=e 2x －1－2x ． ∴f ′(x )=2e 2x －2=2(e 2x －1)
∵x ＞0，∴e 2x ＞e 0=1，∴2(e 2x
－1)＞0, 即f ′(x )＞0 ∴f (x )=e 2x －1－2x 在(0，+∞)上是增函数。

∵f (0)=e 0－1－0=0．∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)=0，即e 2x －1－2x ＞0． ∴1+2x ＜e 2x
点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。

例6已知函数y =x +
，试讨论出此函数的单调区间。

解：y ′=(x +
)′ =1－1·x －2
= 令＞0． 解得x ＞1或x ＜
－1．
∴y =x +
的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)． 令
＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1．
∴y =x +
的单调减区间是(－1，0)和(0，1)． （四）课堂练习
1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3
x
1
x
1
2
22)
1)(1(1x
x x x x -+=-2
)
1)(1(x x x -+x
1
2
)
1)(1(x x x -+x
1
2．讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间．
3．求下列函数的单调区间(1)y =
(2)y = (3)y =+x
（五）小结
f (x )在某区间可导，可以根据f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f ′(x )=0在某个区间上，那么f (x )在这个区间上是常数函数
（五）.课后作业 步步高P285-286
三．教学反思：本节课通过观察分析、小组讨论，加深了学生对函数单调性与导数关
系的理解，但在练习中发现部分学生对求导公式记忆不牢，运用时不熟练且易出错，所以接下来的学习中还要加强此方面的巩固练习。

x
x 2
+92-x x x。