复数的加减法运算PPT

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2020版高中数学人教B版选修2-2课件：3.2.1 复数的加法与减法

由复数加减法的几何意义可得
uuur uuur DA＝EA
EuuDur＝1
uuur CA
1
uuur BD
22
＝
1
uuur AC
1
uuur BD＝
1
uuur uuur (AC＋BD).
22
2
所以
DuuAu对r 应的复数为-
(61+8i-4+6i)=-1-7i.
2
所以向量 DuuAu对r 应的复数为-1-7i.
【方法技巧】 1.复数加减运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. (2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.
2.复数加减运算的关注点 (1)在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所得结果依然是一个复数,其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差.注意中间用“+”号,如 z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2 =(a-c)-(b-d)i.
复数的差z1-z2与
义
对
向量 OuuZuur1+
uuuur OZ2
=
uuur OZ
应的坐标对应
向量 OuuZuur1- OuuZuu=r2 Zuu2uZur1的坐标对应
【自我检测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)两个复数的加法不满足结合律. ( ) (2)复数的加法运算法则只适用于两个复数相加. ( )
(2)
uuur CA
表示的复数.
世纪金榜导学号
【解题探究】1.典例1中z1,z2,z在复平面内对应的点可以构成一个什么图形? 提示:由z=z1-z2及复数减法的几何意义知,构成的是一个三角形.

复数的四则运算(2个课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

i2021 i45051 (i4 )505 i i
2i 5 5
55
3.实系数一元二次方程在复数集内的解
x2 2x 1 0在复数集内的解: 析 : (2)2 4 1 (1) 8 0, 配方得(x 1)2 2 ( 2 )2
x 1 2, x 1 2.
求根公式: x 2 8 1 2
②若 b2 4ac 0, 方程系数化为1得x2 b x c 0,
aa
配方得(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
[(b2 4ac)] 4a2
[(b2 4ac)]i2 4a2
x b 2a
(b2 4ac) i, x
b
2a
2a
b2 4ac i b 2a
b2 4ac i 2a
(1)z 1; (2)z i; (3)z (2 i) 复数加减法→对应向量加减法
(1)记OZ1 (1,0),则z 1对应的向量是OZ OZ1 OA1.
(2)记OZ2 (0,1),则z i对应的向量是OZ OZ2 Z2Z.
(3)记OZ3 (2,1),则z (2 i)对应的向量是OZ OZ3 OA2.
y
y
A2
y
Z A1
Z
Z
Z2
Z3
Z1
x
x
x
[例6]复数z满足 | z i | 2,求复数z对应的点Z在复平面内的轨迹. 析 : 设i对应的点Z1(0,1).
| z 1|| OZ OZ1 | | Z1Z | 2
即Z与Z1(0,1)的距离为2. 点Z的轨迹是以(0,1)为圆心,以2为半径的圆.
[变1]复数z满足| z i | 1 3i,求复数z对应的点Z 在复平面内的轨迹. 析 : 即 | z i | 2. (同上)

2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2

【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i，由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC，所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C，表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理，得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理，得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.

复数的乘、除法运算及几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

(1) x2 2 0; (2) ax2 bx c 0,其中a, b, c R，且a 0, b2 4ac 0.
课堂练习教材P80练习
1. 计算：（1）(7 6i)(3i)；（2）(3 4i)(2 3i)；（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)． 2. 计算：
（1）( 3 2 i) ( 3 2 i) ；（2）(1 i)2；（3）i(2 i)(1 2i)．
化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.
2
PART TWO
例题精讲
例3：计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 解析： (1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i. 例4：计算(1) (2+3i)(2-3i); (2) (1+i)2. 解析：（1）(2+3i)(2-3i)=22-(3i)=4-(-9)=13.
= (ac-bd)+(ad+bc)i. 即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：两个复数的积是一个确定的复数.
知识点一复数的乘法运算
问题1 规定了复数乘法运算法则，请回答下列问题？（1）两个复数的积是个什么数?它的值唯一确定吗? （2）当 z1 ，z2 都是实数时,与实数乘法法则一致吗? （3）运算中的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘
知识点一复数的乘法运算
问题2 复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是否满足实数乘法的交换律、结合律、分配律呢？

新教材2020-2021学年高中第二册同步课件：7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

()
A. 5
B.5
C.2 5
D.10
【解析】选B.依题意知,AC 对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,因此i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为
()
A.5-3i
B.3+5i
C.7-8i
D.7-2i
【解析】选C.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)=(6-1+2)+(-3-3-2)i=7-8i.
2.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于 ( )
对任意z1,z2,z3∈C,有 ①交换律:z1+z2=_z_2+_z_1_. ②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
【思考】若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2? 提示:不能,如2+i-i>0,但2+i与i不能比较大小.
2.复数加、减法的几何意义
(1)如图所示,设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为OZ1
【思路导引】(1)根据点O,A,C的坐标,应用求向量坐标的方法求出 AO,BC ,CA 的坐标,然后转化为复数.
(2)根据复数与向量的关系,利用向量法求向量 OB的坐标.
【解题策略】用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. (2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
相加得虚部.
(3) ×.复数的加减法满足结合律.

复数加减法的几何意义 PPT

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
1.
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应向量 OZ
一一对应
2.复数与其相对应的向量的模相等，即：对应平面向量OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
(5). z 1
点( x, y)到点(0,1)的距离
练习：
1.若复数z满足z 1 z 1 ,求z 1的最小值。
z 1 min 1
2.若z1 1, z2 2,求z1 z2 的最值。
z1 z2 max 3, z1 z2 min 1
y
(x, y)
B
y
2
1
A
(1,0) o (1,0) x
1.复数加、减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
所以
| z | = a2 b2
问题：复数的模为一实数。则复数的模可以
进行加、减、乘、除四则运算。那么，复数本身是否也可以进行加、
减、乘、除四则运算呢？
1.复数代数形式的加、减法运算法则，即：
z1+z2=？
z1-z2=？
2.复数代数形式的加、减运算的几何意义；
3.特别的：z1 z2 的几何意义。

复数的加法与减法

的取值范围是[0,2].
二、复数加减法的几何意义：
1.复数的加法可以按向量的加法法则进行, 即遵循平行四边形法则. 2.两个复数的差z1-z2(即OZ1-OZ2)与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应. 3.两点间的距离公式 (1)设复数z1、z2在复平面内对应的点分别为Z1、Z2, 则Z1、Z2两点间的距离公式为d=|z1-z2|. (2)以复数p的对应点为圆心,r为半径的圆的方程为: |z-p|=r.
故z+3-4i的对应点的轨迹是以3-4i的对应点为圆心, 2为半径的圆.
三、小结：
1.复数加、减法的运算法则是复数集中最基本的运算, 可结合多项式运算记忆法则,运算过程中应善于利用共轭复数及模的概念与性质,以达到化繁为简的目的. 2.复数的模及其运算的几何意义是复数问题几何化的保证,必须熟练把握. 3.复数轨迹问题的求法有二: (1)设轨迹上任一点,对应的复数为z=x+yi(x,y∈R),把问题转化为解析几何中的求轨迹问题. (2)直接建立轨迹上的点Z对应的复数z的方程,据方程所呈现的几何特征给出轨迹形状.
(3)以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线方程为:|z-z1|=|z-z2|.
(4)方程|z-z1|+|z-z2|=2a,当|z1-z2|<2a时表示以z1、z2 的对应点为焦点,2a为长轴长的椭圆; 若|z1-z2|=2a,则以z1、z2的对应点为端点的线段. (5)方程|z-z1|-|z-z2|= 2a,当|z1-z2|>2a时表示以z1、 z2的对应点为焦点,2a为实轴长的双曲线.若|z1-z2| =2a,则表示两条射线. 4.复数模的两个重要性质:
4.根据复数差及模的几何意义可知,两复数差的模即为其在复平面内对应的两点间距离,所以解析几何中,凡是用距离定义的曲线,其方程都可用复数的形式来表示,如圆、椭圆、双曲线、线段及其垂直平分线等.

12.2第1课时复数的加减与乘法运算-【最新版】苏教版(2019)高中数学必修第二册精品课件

探究
(3)已知复数 z 满足|z|＋z＝1＋3i，求 z.
时分
层
释
作
疑
业
难
·
返首页
17
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新知
(1)1＋i [13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－34＋12－1＋23i
素养
合
作探
＝1＋i.]
课时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返首页
·
18
·
情
课
景
(2)[解] 法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
提素
知
养
①复数的乘法法则
合
作
课
探
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
究
时分
释疑
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_a_c_－_b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i ______.
层作业
难
返首页
·
8
·
情
课
景
堂
导
②乘法运算律
小
学
结
·
探新
对于任意 z1，z2，z3∈C，有
难
复数仍是它本身．
返首页
·
10
·
情
课
景
堂
导
思考：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
小
学
结
·
探
提
新第1课时复数的加减与乘法运算

复数的加减法

分别写成复数方程的形式。
答：|Z+C|+|Z-C|=2a，其中C= a²-b² ； ||Z+C|-|Z-C|| =2a，其中C= a²+b²；
22
你现在学习的是第22页，课件共25页
作业
基础题习题二十七
1、2、3、4、5
提高题
习题二十七 6、7、8、9
23
你现在学习的是第23页，课件共25页
复数的加法与减法
RZ=RS+SZ=PZ1+QZ2 =b+d
∴ 点Z (a+c, b+d) ,
oz 就是与复数(a+c)+ (b+d)i 对应的向量. 9
二、复数加法与减法运算的几何意义
(2) o，z 共oz线
1
2
画出一个“压扁”了的平行四边形，并据
画此出它的对角线来表示 oz , oz 的和.
2
1
复数的加法可以按照向量的加法法则来进行，这就是复数加法的几何意义.
3
你现在学习的是第3页，课件共25页
一、复数加法与减法的运算法则
2、复数减法的运算法则复数减法规定是加法的逆运算
(a+bi )－(c+di) = x+yi ，
(c+di )+(x+yi) = a+bi ，由复数相等定义，有
c+x=a ， d+y=b 由此，x=a－c ， y=b－d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i
1
例如|Z+1|=|Z -i|是连结复数-1, i
-1 0 1
在复平面内对应点的线段的垂直

复数的加法与减法(课件)高一数学(北师大版2019 必修第二册)

课前探究学习
课堂讲练互动
2．复数加法的运算律 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1. (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
3．复数加减法的几何意义
如图：设复数 z1，z2 对应向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形
OZ1ZZ2 为平行四边形，则与
z1＋z2 对应的向量是
→ OZ
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．正确理解复数代数形式的加、减运算法则复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算，其合理性可以从以下几点理解： (1)当复数的虚部为零时，与实数的加、减法法则一致． (2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立． (3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数． (4)可以推广到多个复数进行加、减运算．
∵|z|∈R，∴2－|z|是 z 的实部．
于是|z|＝ 2－|z|2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2， ∴|z|＝17.代入 z＝2－|z|＋8i 得：z＝－15＋8i.
课前探究学习
课堂讲练互动
误区警示复数减法的几何意义应用有误而致错
【示例】已知复数 z1＝2＋i，z2＝1＋2i 在复平面内对应的点分别为 A、B，求A→B对应的复数 z 在复平面内所对应的点在第几象限？
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练3】已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解法一设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，
代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i.
∴a＋ a2＋b2＝2， b＝8，
解得ab＝＝－ 8. 15，
∴z＝－15＋8i.
法二原式可化为：z＝2－|z|＋8i，

2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法(1)

§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律：交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1．结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)．分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ，所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ，所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________．【解析】利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数．故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}．【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ，又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ，所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________．解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________．解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3，所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ，所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________．解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0，得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0，根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值．解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )，其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。

2021高中人教A版数学必修第二册课件：第七章-7.2 复数的四则运算

训练题
三解复数方程
例5［2020·江苏省海头高级中学高二检测］已知复数z＝1+2i（i为虚数单位）. （1）若z·z0＝2z+z0，求复数z0的共轭复数；（2）若z是关于x的方程x2-mx+5＝0的一个虚根，求实数m的值.
训练题
1.已知关于x的方程x2+（1-2i）x+（3m-i）＝0有实数根，求实数m的值.
1.复数的减法法则（a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i. 2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.
3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部部分分别相加（减）
4.复数减法的几何意义
两个复数z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的向量分别是OZ1 ，OZ2 ，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是OZ1 -OZ2 ，即向量 Z2Z1 .
训练题2［2019·福建厦门高三模拟］已知|z|＝3，且z+3i是纯
虚数，则z＝
.
2.答案： 3i 解析：设z＝x+yi（x，y∈R），∵ x2+y2＝
32，且z+3i＝x+yi+3i＝x+（y+3）i是纯虚数，∴
x 0，
y
3.
∴ z＝3i.
【技巧点拨】进行复数加、减运算时：（1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）把i看作一个字母，类比多项式加、减运算中的合并同类项. （3）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形. 【注意】（1）复数z＝a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b）. （2）当已知|z|求解复数z时，一般用待定系数法求解，需设z＝a+bi （a，b∈R）.

新教材人教A版高中数学必修第二册7.2复数的四则运算精品教学课件

设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1＋z2＝____(_a_＋__c_)_＋__(b_＋__d_)_i___， z1－z2＝__(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i__.
2.复数加法的运算律
(1)交换律：__z_1_＋__z_2＝__z_2_＋__z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(_z2_＋__z_3)__.
(1)―AO→表示的复数； (2)对角线―CA→表示的复数； (3)对角线―O→B 表示的复数.
[解] (1)因为―AO→＝－―O→A ，所以―AO→表示的复数为－3 －2i.
(2)因为―CA→＝―O→A －―O→C ，所以对角线―CA→表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线―O→B ＝―O→A ＋―O→C ，所以对角线―O→B 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
A.8i
B.6
C.6＋8i
D.6－8i
解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.
答案：B
2.设 z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则 z1－z2 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2 在复平面内对应的点位于第四象限.
形状？提示：正方形.
[学透用活] [典例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，求|z1－z2|. [解] 法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd) ＝2，∴|z1－z2|＝ 2.

高中数学第3章数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件苏教版选修1-2

交换律结合律乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？答案满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ，减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据.
本课结束
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2021/11/22
知识点二复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？答案类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有
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解析答案
3. 设复数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ，若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ，则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.

-高中数学 3.2复数的四则运算课件苏教版选修2-2

z1 z 2 ＝ z 2 z 1 交换律 ( z1 z2 ) z3 ＝ z1 ( z2 z3 ) 结合律乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3
(2)在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立，即对于
m＋n 任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有zmzn＝ z ， (zm)n ＝
解 (1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i.
题型二复数的乘除运算
【例2】计算下列各题： 1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 (1) ＋－； 1－i 1＋i 4＋3i
(3)法一
(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋
(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i) ＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 007－2 008)＋2 009]＋[(－2 ＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 008＋2 009)－2 010]i ＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i＝1 005－1 006i.
2 4 1
1 ＝－2＋
3 34 i ＋(－8＋8 3i) 2
＝1－8＋8 3i＝－7＋8 3i.
对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的效果．比如下列结果，要记住： 1＋i 1－i 1 ① i ＝－i；② ＝i；③ ＝－i；④a＋bi＝i(b－ai)． 1－i 1＋i
5．复数的除法法则给出两个复数a＋bi，c＋di(c＋di≠0)，将满足等式 (c＋di) (x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0) 的复数 x ＋ yi 叫做复数 a ＋ bi 除以 c a＋bi ＋di所得的商，记作 c＋di 或者 (a＋bi)÷(c＋di) ．

高二数学复数的加减运算(共10张PPT)

的三角 (1)|z－(1+2i)|
(2)|z+(1+2i)|
形法则. | z- i| + | z + i|= 4
设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) (3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。
(3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。 (3)|z-1+i|<=2 设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R)
三、复数加减法的几何意义
1.|z1|= |z2| 平行四边形OABC是菱形
2.| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是矩形
o
C
z2
z2-z1
z1 A
3. |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是正方形
z1+z2
B
3、共轭复数：
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共
轭复数，也称这两个复数互相共轭。
新课讲解
加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法的平行四边形法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
减法运算的几何意义?
复数yz2－z1
向量Z1Z2
(1)|z－(1+2i)| (2)|z+(1+2i)|
(3)|z－1|
(4)|z+2i|
例1.设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件下求

最新人教A版高一数学必修二课件：7.2.1复数的加、减运算及其几何意义