平面向量与空间向量知识点及理科高考试题

平面向量与空间向量知识点及理科高考试题

一、考试内容要求：

(一)、平面向量：

（1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景。②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。③理解向量的几何表示.

（2）向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义.

（3）平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义。

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

（4）平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

（5）向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

(二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量

语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

二、知识要点归纳：

(一)、平面向量

§2.1.1、向量的物理背景与概念

1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.

2、既有大小又有方向

的量叫做向量.

§2.1.2、向量的几何表示

1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向

量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与

任意向量平行.

§2.1.3、相等向量与共线向量

1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§2.2.1、向量加法运算及其几何意义

1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、b a +≤b a +.

§2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.

2、 三角形减法法则和

平行四边形减法法则.

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，

它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,

⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()

0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

a b λ=.

§2.3.1、平面向量基本定理

1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这

一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=.

§2.3.3、平面向量的坐标运算

1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵

()2121,y y x x b a --=-，

⑶()11,y x λλλ=，⑷1221//y x y x =⇔.

2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x --=.

§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则

⑴线段AB 中点坐标为()2

22

1

2

1

,y

y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()333

2

1

3

2

1

,y y y x x x ++++. §2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

1、 θb a =⋅.

2、 在θ.

3、 2

=. 4、=. 5、 0=⋅⇔⊥b a b a . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：

⑴2121y y x x +=⋅ 2121y x +=

⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=

2、 设()()2211,,,y x B y x A ()()212212y y x x -+-=.

3、

两向量的夹角公式

2

1

cos a b a b

x θ⋅=

=

+

4、点的平移公式

平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=， 则.

x x h

y y k '=+⎧⎨

'=+⎩

函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=- §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接：空间向量