电动力学郭硕鸿第三版第7次课(第一章习题课)

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《电动力学》(郭硕鸿第三版)答案

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郭硕鸿电动力学习题解答完全版（1_6章）

郭硕鸿电动力学习题解答完全版（1_6章）1. 根据算符?的微分性与矢量性推导下列公式(Ar ? Br) = Br × (?× Ar) + (Br ??)Ar + Ar ×(?× Br) + (Ar ??)Br Ar × (?× Ar) = 1 ?Ar 2(Ar ??)Ar2 解1 ?(Av ? Bv) = Bv × (?× Av) + (Bv ??)Av+ Av × (?× Bv) + (Av ??)Bv首先算符?是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题 ?将作用于 Av 和Bv又?是一个矢量算符具有矢量的所有性质因此利用公式cv × (av ×bv) = av ?(cv ?bv) ? (cv ?av)bv 可得上式其中右边前两项是 ?作用于 v v A 后两项是?作用于 Bv v2 根据第一个公式令 A B 可得证2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数证明f (u) = dfu duAr(u) = ?u ? dArdur ?× Ar(u) = ?u × .dA du证明 1f (u) = ?f (u) er x + ?f (u) er y + ?f (u) er z = df du ? e x + r ?u er y + df ?ur ?e z = df ?u ?u ?x ?y ?zdu ?y du ?z du 2Ar y (u) ?y dAr y (u) du ?Ar x (u) + ?x + ?Ar z z(u) = dAr x (u) ? ?u + ? ?u + dAr z (u) ? ?u rz = ?u ? du ?? Ar(u) = dAz du ?x ?y dz 3r r r e z ? e e ?Ar y )er x + (?Ar ? ?zAr ?Ar x )er z = ?y r rx y ?× Ar(u) = = (? x ? ? )e y + ( y ? ?xA A r z z ?x ?y A y (u) A z (u) ?z ?y ?z ?x r r r A x(u)= (dAr z ? dAr y ?u r dAr x ?u ? dA r r u ? dA u r dAr)e y + (dA u ? du ?z )e x + ( ?u r ? ? r x y z du ?x du ?y )e z = ?u × dudu ?y du ?z du ?x3. 设r = (x ? x ' ) 2+ (y ? y ' ) 2+ (z ? z' ) 2为源点 x'到场点 x 的距离 r 的方向规定为从源点指向场点r ? ' + er ? '+ er ? 1 证明下列结果并体会对源变数求微商 (?'= e ?z ' )与对场变数求zx ?x y ?y 微商(? = er x ? r ? r+ e z ?z)的关系x + e y ?y r r r r r r 1 r ' 1 r r r r rr = ??'r = ,? = ?? = ? ,?×r 3 = 0,?? r = ??' 3 = 0.(r ≠ 0)r r 3 3 r (最后一式在人 r 0点不成立见第二章第五节) 2 求rr,?×rr,(ar ??)rr,?(ar ?rr),??[Er 0 sin(kr ?rr)]及?×[Er 0 sin(krrr)],其中ar,kr 及Er 0均为常矢量证明 ??rr=(x ? x ?x ') + ?(y ? yy ') + ?(z ? z ') =3 ?zr r r e e e x y z ?×rr == 0 ?x x ? x ?y y ? y ?z z ? z' ' 'v(av ??)rr = [(a x ev x + a y ev y + a z ev z ) ? ( e x + ??y ev y + ??z ev z )][(x ? x')ev x + (y ? y')er y + (z ? z')ev z ]x = (a x ? + a y ? + a z )[(x ? x')ev x + (y ? y')er y +(z ? z')ev z ] ? ?x ?y ?z= a x ev x + a y ev y + a z ev z =av(av ?rv) = av × (?×rv) + (av ??)rv + rr × (?×av) + (rv ??)?av= (av ??)rv + rv ×(?×av)+ (rv ?ar)?av= av + rv × (?×av) + (rv ??)?av[Er 0 sin(kr ?rr)] = [?(sin(kr ?rr)]? Er 0 + sin(kr ?rr)(?? Er 0)= [??x sin(kr ?rr)er x + ??y sin(kr ?rr)er y + ??z sin(kr ?rr)er z ]E 0= cos(kr ?rr)(k x er x + k y er y + k z er z )Er 0 = cos(krrr)(krEr) ?×[Er 0 sin(kr ?rr)] = [?sin(kr ?rr)]×Er 0+sin(kr ?rr)?× Er 0 4. 应用高斯定理证明dV ?× fr = ∫S dSr × fr∫应用斯托克斯 Stokes 定理证明∫S dSr ×?φ =∫Ldlr φ证明 1)由高斯定理dV ?? gr = ∫SdSr ? gr∫ V ?g 即(? g ?x ?g ∫ V x + y + z z )dV = ∫ g x dS x + g y dS y + g z dS zy S而?× frdV = [( f z ? ??z f y )ir + ( f x ? ??x f z )rj + ( f y ? ??y f x )kr]dV ? ? ? ∫ V∫ ?y ?z ?x= ∫ [??x ( f y kr ? f z rj) + ??y ( f z ir ? f x kr)+ ??z ( f x rj ? f y ir)]dVr r [( f z dS y ? f y dS z )ir + ( f x dS z ? f z dS x )rj + ( fy dS x ? f x dS y )kr] ( fy kr ? f z rj)dS x + ( f z ir ? f x kr)dS y + ( f x rj ? f y ir)dS z∫ S dS × f= ∫ 又S = ∫ 若令H x = f y kr ? f z rj,H y = f z ir ? f x kr,HZ= f x rj ? f y ir则上式就是HrdV = ∫S dSr ? Hr ,高斯定理则证毕∫V 2)由斯托克斯公式有fr ?dlr = ∫S ?× fr ?dSr ∫fr ?dlr =l ( f x dl x + f y dl y + fzdl z) ∫ ∫l ∫S× fr ?dSr = ∫Sf zf y)dS x+ ( f xf z)dS y+ ( f yf x)dS zz ?z ?x ?x ?y ? ? ? (?y而∫dlr φ=∫l∫SdSr ×?φ= ∫S(dS z)ir + ( dS x)rj + ( ?y dS y )kr ?φ dS ? ?φ ?φ dS ? ?φ ?φ dSφ ?x yzx ?z ?y x ?z r ?φ rj)dS +(?φ r i ? ??φx kr)dS y +(??φx rj ? ?φ?y ir)dSzφ = ∫ ( k ?x ?y ?zz 若令f x = φi , f y = φ j , f z = φk 则证毕5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为Pr(t) = ρ(x ,t)x dV, r ' r ' '∫ V 利用电荷守恒定律?? Jr +ρr ?t = 0证明 P 的变化率为dPr =dt rr 'J(x ,t)dV '∫ V ?Pr = ?ρ r ' r 't x dV r ∫ V ' =? ∫ V ? ' j 'x dV r '' 证明 ?t rt ) x = ?Pr ' ?'rj 'x 'dV ' = ?∫[?' ?(x ' j ) ? (?'x ')?rj ']dV ' = r '( ∫ V ∫ V ( j x' ??' ?(x ' j )dV ' = ∫ j x dV ' ? ∫S xrj ?dSr 若S → ∞,则( )? xj dSr r ∫ = 0,(rj S= 0)r ?t ) y =r ?ρ ,(?ρ?t ) z = j dV ( ∫ j dV y' ∫' 同理即z dPr = r r '∫ j x ,t)dV '( dt V mr × Rr 的旋度等于标量? = mr ? Rr 的梯 6. 若m 是常矢量证明除 R 0 点以外矢量 Ar =rR3R3度的负值即× Ar =其中 R 为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点证明mv × Rv)1 r 1 r 1 v r1 r ?× Av = ?× (= ??×[mv × (? R1 )] = (??mv)? + (mv ??)?[??(? )]m ?[(? )??]mv R 31 = (mv ??)? ,(r ≠ 0)r= ?(mvRv 1 r 1 r 1 r 1 r ) = ??[mv ?(? )] = ?mv ×[?× (? )]? (? )× (?×mv) ? (mv ??)? R 3[(? )??]mv = ?(mv ??)? 1 r 1 r ∴?× Av =7 有一内外半径分别为 r 1和 r 2的空心介质球介质的电容率为ε使介质内均匀带静止自由电荷ρ f 求1 空间各点的电场2 极化体电荷和极化面电荷分布∫ 解 1∫S DrdSr =ρ f dV , (r 2>r>r 1)即D ? 4πr 2 = 43π (r 3 ? r 13)ρ f(r 3 ? r 13)ρ f 3εr 3∴Er= rr,(r 2 > r > r 1) r r Q = 4π (r 23 ? r 13)ρ f ,(r > r 2) 3ε 0f 由 E ?dS =∫ 0 ∴Er = (r 23 ? r 13) 3ε 0r 3 rρ f rr,(r > r 2) r < r 1时 E 0r 2) P ε 0χe Er = ε 0 r E = (ε ?ε 0)Er ε ?εε 0∴ρP = Pr = ?(ε ?ε 0)?? Er = ?(ε ?ε 0)??[ (r 3 ? r 13) 3εr 3 ρ f rr] =ε ?ε 0 ρ f ??(rr ? r r 3 r)1 3ε r 3 = ? ε ?ε 0 ρ f (3? 0) = ?(εε 0 )ρ f 3ε εσ P = P 1n ? P 2n考虑外球壳时 r r 2n 从介质 1指向介质 2 介质指向真空 P 2n = 0r 3 ? r 133εr 3) r 23 ? r 13 σ P = P 1n = (ε ?ε 0) ρ f rr r=r 2= (1? ε 0ε ρ f 3 3r 2 考虑到内球壳时 r r 2σ P = ?(ε ?ε 0) r 3 ? r 1 ρ f r r=r 1 = 0 3 r 3εr 38 内外半径分别为 r 1和 r 2的无穷长中空导体圆柱沿轴向流有恒定均匀自由电流 J f 导体的磁导率为μ 求磁感应强度和磁化电流解Hr ?dlr = I f + ddt∫S Dr ?dSr =I f∫ 当r < r 1时,I f = 0,故Hr = Br = 0l H ?dlr = 2πrH = j f ?dSr = j f π(r 2 ? r 12) r r∫ l∫ S当 r 2>r>r 1时μj f (r 2 ? r 12)2rBv = = μ( r 2 ? r 12r 2)rj f ×rr 2 当 r>r 2时2πrH = πj f (r 22 ?r 12)Br = μ0(r 22 2)rj f ×rrr 1 2r 2 J M = ?× Mr = ?× (χM Hr ) = ?× (μ ? μ0) r μ ?1)?× (rjf ×r2r r ? r 12 )μ0 )H = (μ02r 2 = (μμ ?1)?× Hr = ( μ ?1)rj f ,(r 1 < r < r 2) 0 μ0α r M = nr × (Mr 2 ? Mr 1),(n 从介质1指向介质2在内表面上 M1 = 0,M2 = (μμ ?1) r 2 ?r 12 ) r=r = 02r 21故αM = nr × Mr 2 = 0,(r= r 1) r 在上表面 r r 2时r M = nr × (?Mr 1) = ?nr × Mr 1 r=r 2= ? × r r 2 ? r 12 r j f ×rr r=r 2 = ? r 2 ? r 12 r j ( μ ?1) μr α f r 2 r 2 r 2 2r 0 r 22 ? r 12 r 2= ?(μμ1) jf。

(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

郭硕鸿《电动力学》课后答案

（2）在（1）中令 A B 得：
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A ，所以 A ( A) 1 2 ( A A) ( A ) A
2 A ( A ) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA f (u ) u ， A(u ) u ， A(u ) u du du du
电动力学习题解答
电பைடு நூலகம்力学答案
第一章电磁现象的普遍规律
1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：
( A B) B ( A) ( B ) A A ( B ) ( A ) B A ( A) 1 A 2 ( A ) A 2
3.
设r
( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为
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电动力学习题解答
从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1 / r ) ' (1 / r ) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ； (r / r 3 ) '(r / r 3 ) 0 ， (r 0) 。（2）求 r ， r ， (a )r ， (a r ) ， [ E 0 sin( k r )] 及 [ E 0 sin( k r )] ，其中 a 、 k 及 E 0 均为常向量。
所以
c dV f dV [c ( f )] dV ( f c ) ( f c ) dS

电动力学第三版课后答案

ε
0
)∇
⋅
[
(r
3− 3εr
r13
3
)
ρf
rr] =
−ε
−ε0 3ε
ρ f ∇ ⋅ (rr
−
r13 r3
rr)
=
−ε
−ε0 3ε
ρ
f
(3 − 0)
=
−(ε
− ε
ε
0
)
ρ
f
σ P = P1n − P2n
考虑外球壳时 r r2 n 从介质 1 指向介质 2 介质指向真空 P2n = 0
-5-
电动力学习题解答
4π 3ε 0
(r23
−
r13 )ρ
f
, (r
>
r2 )
∴
Er
=
(r23 − r13 ) 3ε 0r 3
ρ
f
rr, (r
>
r2 )
r < r1时 Er 0
2) Pr
ε 0 χ e Er
= ε0
ε
−ε0 ε0
Er
=
(ε
− ε 0 )Er
∴ρP
=
−∇ ⋅ Pr
=
−(ε
− ε 0 )∇ ⋅ Er
=
−(ε
−
源点指向场点
1
证明下列结果
并体会对源变数求微商 (∇'
=
erx
∂ ∂x '
+ ery
∂ ∂y '
+ erz
∂ ∂z
'
)
与对场变数求
微商 (∇
=
erx
∂ ∂x
+

电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)

电动力学答案第一章电磁现象得普遍规律1、根据算符得微分性与向量性,推导下列公式:２。

设就是空间坐标得函数,证明:,,证明:3。

设为源点到场点得距离,得方向规定为从源点指向场点。

(1)证明下列结果,并体会对源变量求微商与对场变量求微商得关系:; ; ;, 。

(２)求,,, ,及,其中、及均为常向量。

4。

应用高斯定理证明,应用斯托克斯(Sｔokeｓ)定理证明5、已知一个电荷系统得偶极矩定义为,利用电荷守恒定律证明ｐ得变化率为:6。

若ｍ就是常向量,证明除点以外,向量得旋度等于标量得梯度得负值,即,其中Ｒ为坐标原点到场点得距离,方向由原点指向场点、７、有一内外半径分别为与得空心介质球,介质得电容率为,使介质球内均匀带静止自由电荷,求:(１)空间各点得电场;(２)极化体电荷与极化面电荷分布。

8. 内外半径分别为与得无穷长中空导体圆柱,沿轴向流有恒定均匀自由电流,导体得磁导率为,求磁感应强度与磁化电流。

９.证明均匀介质内部得体极化电荷密度总就是等于体自由电荷密度得倍。

１０、证明两个闭合得恒定电流圈之间得相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间得相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)11。

平行板电容器内有两层介质,它们得厚度分别为与,电容率为与,今在两板接上电动势为Ｅ得电池,求:(1)电容器两极板上得自由电荷面密度与;(2)介质分界面上得自由电荷面密度。

(若介质就是漏电得,电导率分别为与当电流达到恒定时,上述两物体得结果如何？)12、证明:(1)当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时,电场线得曲折满足其中与分别为两种介质得介电常数,与分别为界面两侧电场线与法线得夹角。

(2)当两种导电介质内流有恒定电流时,分界面上电场线得曲折满足其中与分别为两种介质得电导率。

13。

试用边值关系证明:在绝缘介质与导体得分界面上,在静电情况下,导体外得电场线总就是垂直于导体表面;在恒定电流情况下,导体内电场线总就是平行于导体表面。

电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理（复习备考专用）（可编辑修改word版）

电动⼒学-郭硕鸿-第三版-课后题⽬整理（复习备考专⽤）（可编辑修改word版）2 电动⼒学答案2. 设u 是空间坐标 x , y , z 的函数，证明：f (u ) = d fd uu ，A (u ) = u d A，d u第⼀章电磁现象的普遍规律1. 根据算符? 的微分性与向量性，推导下列公式：( A B ) = B ( A ) + (B ) A + A ( B ) + ( A )BA ? (? ? A ) = 1 ?A 2- (A ? ?) A ? ? A (u ) = ?u ? d Ad u证明：3. 设 r = 的距离， r 为源点 x ' 到场点 x 的⽅向规定为从源点指向场点。

4. 应⽤⾼斯定理证明 ?Vd V ? ? f= d S ? f ，应⽤斯托克斯S （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微（Stokes ）定理证明 ?d S ? ?= ? d l商的关系：r = -' r = r / r ；SL(1/ r ) = -'(1/ r ) = -r / r 3； ? ? (r / r 3 ) = 0 ；(r / r 3 ) = -'(r / r 3 ) = 0 ，(r ≠ 0) 。

（ 2）求 ? ?r ， ? ? r ， (a ? ?)r ， ?(a ? r ) ， ? ?[E 0 sin(k ? r )] 及 ? ?[E 0 sin(k ? r )]，其中a 、 k 及 E 0 均为常向量。

(x - x ')2 + ( y - y ')2 + (z - z ')25. 已知⼀个电荷系统的偶极矩定义为 p (t ) =V( x ', t )x ' d V '，6. 若 m 是常向量，证明除 R = 0 点以外，向量 A =（m ? R ）/ R 3的旋度等于标量 = m ? R / R 3 的梯度的负值，即利⽤电荷守恒定律 ? ? J + ?t= 0 证明 p 的变化率为：A = -，其中 R 为坐标原点到场点的距离，⽅向由原d p = ? J ( x ', t )d V 点指向场点。

郭硕鸿《电动力学》课后答案

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 AA A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯ 即 AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d uu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++= （3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

郭硕鸿《电动力学》习题解答完全版（章）

= (µµ −1)∇× Hr = ( µ −1)rj f ,(r1 < r < r2)
0
µ0
αrM = nr× (Mr 2 − Mr 1),(n从介质1指向介质2
3ε
r3
= − ε −ε 0 ρ f (3− 0) = −(ε −ε 0 )ρ f
3ε
ε
σ P = P1n − P2n
考虑外球壳时 r r2 n从介质 1指向介质 2 介质指向真空 P2n = 0
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电动力学习题解答
第一章电磁现象的普遍规律
σ P = P1n = (ε −ε 0)
r 3 − r13 ρ f rr r=r2 3εr 3
= cos(kr ⋅rr)(kxerx + k yery + kzerz )Er0 = cos(kr ⋅rr)(kr ⋅ Er) ∇×[Er0 sin(kr ⋅rr)] = [∇sin(kr ⋅rr)]×Er 0+sin(kr ⋅rr)∇× Er0
4. 应用高斯定理证明
∫ dV∇× fr = ∫S dSr× fr
V
应用斯托克斯 Stokes 定理证明
∫S dSr×∇φ = ∫Ldlrφ
证明 1)由高斯定理
dV∇⋅ gr = ∫S dSr ⋅ gr
∫
∫ ∫ 即
V
(∂ g x ∂x V
+ ∂g y ∂y
+ ∂g zz )dV = ∂
g
S
xdS x + g ydS y + g zdS z
而 ∇× frdV = [(∂ f z − ∂∂z f y )ir ∂+ ( f x − ∂∂x f z )rj∂+ ( f y − ∂∂y f x )kr]dV

郭硕鸿《电动力学》课后习题答案

dp d ( x' , t ) x' dV ' [ ( x' , t ) x' ]dV ' x' dV ' ('J ) x' dV ' V V V V dt dt t t dp e1 ('J ) x1'e1dV ' x1' ('J )dV ' ['( x1'J ) (' x1' ) J ]dV ' V V V dt
S S S S S S S S
（1）
（2）（3）（4）
因为 a 为任意非零常向量，所以
dS dl
S
5.
已知一个电荷系统的偶极矩定义为
J
dp J ( x' , t )dV 0 证明 p 的变化率为： dt V t
p(t ) ( x ' , t )x ' dV ' ，利用电荷守恒定律
（1）证明： r 1 ○
( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2
r (1 / r )[( x x' )e x ( y y' )e y ( z z' )e z ] r / r
' r (1 / r )[( x x' )e x ( y y' )e y ( z z' )e z ] r / r 可见 r ' r 1 r 1 d 1 2 r 2 r 3 ○ r r r dr r 1 r 1 d 1 ' ' r 2 ' r 3 r r r dr r 可见 1 / r ' 1 / r

《电动力学》(郭硕鸿第三版)答案

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电动力学郭硕鸿(第三版)第一章习题答案

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$[ X $\ X $] X

电动力学郭硕鸿第三版课后题目整理复习备考专用

（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

郭硕鸿《电动力学》课后答案

ex ey ez dA （3） u u / x u / y u / z du dAx / du dAy / du dAz / du
( dAy u dAx u dA u dAz u dAz u dAy u )e x ( x )e y ( )e z du y du z du z du x du x du y Ay (u ) Ax (u ) A (u ) Az (u ) A (u ) Ay (u ) [ z ]e x [ x ]e y [ ]e z y z z x x y A(u)
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A ，所以 A ( A) 1 2 ( A A) ( A ) A
即
2 A ( A) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y , z 的函数，证明： df dA dA ， A(u ) u f (u ) u ， A(u ) u du du du
（1）证明： r 1 ○
( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2
r (1 / r )[( x x' )e x ( y y' )e y ( z z' )e z ] r / r
' r (1 / r )[( x x' )e x ( y y' )e y ( z z' )e z ] r / r 可见 r ' r 1 r 1 d 1 2 r 2 r 3 ○ r r r dr r 1 r 1 d 1 ' ' r 2 ' r 3 r r r dr r 可见 1 / r ' 1 / r

郭硕鸿第三版电动力学第1章

0 有电荷，也有电场。
0 电场线发出，正电荷。
0 电场线终止，负电荷。
E
空间某点电场的散度只和该点电荷密度有关。
0
三、电场的旋度
问：静电场的电场线有旋涡么？答：显然没有。
E 0
静电场的微分方程
简证：
E
Qr
4 0r 3
Q
4 0
r r3
0
静电场基本规律：
E
0
E 0
即电荷是电场的源，电场线从正电荷发出，终止于负电荷，在自由空间电场线连续通过；静电场下电场没有旋涡状结构。
一、法线分量的边值关系二、切线分量的边值关系
边界上的电磁场问题
1、实际电磁场问题都有边值问题
实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。即使是无界空间的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界条件。
一、介质的概念
介质，由分子组成，内有原子核和电子。构成带电粒子系统，内有微观电磁场。
我们研究的宏观物理量，用大数目分子在小体积内的平均值来描述。无外场时，介质无宏观电流分布。
加外场时，分子内电荷发生相对位移，介质极化或磁化，引起宏观电荷电流分布，产生附加宏观电磁场，和外场迭加后形成总的电磁场。
l
s
s
B 0 J 恒定磁场基本微分方程
四、磁场的散度及公式证明
因为磁场线总是闭合的曲线，所以磁场为无源场。
B 0 磁场基本微分方程
例题：半径为a的直导线，沿轴向有恒定均匀自由电流J，
求个点的磁场强度及其磁场的旋度。
解：由安培环路定理可得 B dl 0 I

郭硕鸿《电动力学》课后习题答案

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d duu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++= （3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

电动力学第三版课后答案

第一章电磁现象的普遍规律
σP
=
P1n
= (ε
−
ε
0
)
r
3− 3εr
r13
3
ρ f rr
r =r2
=
(1
−
ε0 ε
)
r23 − r13 3r23
ρf
考虑到内球壳时 r r2
σP
=
−(ε
−
ε
0
)
r
3− 3εr
r13
3
ρ f rr
r =r1
=0
8 内外半径分别为 r1 和 r2 的无穷长中空导体圆柱沿轴向流有恒定均匀自由电流 Jf 导体
的磁导率为 µ 求磁感应强度和磁化电流
解
∫ ∫ l Hr ⋅ dlr = I f
+
d dt
Dr
S
⋅
dSr
=I
f
当 r < r1时, I f = 0,故Hr = Br = 0
∫ ∫ 当 r2>r>r1 时
Hr ⋅ dlr = 2πrH =
l
S rj f
⋅ dSr =
j f π (r 2 − r12 )
fy
−
∂ ∂y
f x )kr]dV
∫=
[
∂ ∂x
(
f
y
kr
−
fz
rj ) +
∂ ∂y
( f z ir
−
f x kr) +
∂ ∂z
( f x rj
−
f yir)]dV
∫ ∫ 又
dSr × fr =
S
[(
S
f z dS y

《电动力学第三版郭硕鸿》第1-5章练习题答案

9. S
10. 变化磁场激发电场
11. 电场强度随时间的变化率
∇
×
G E
=
−
G ∂B
12.
∂t
G ∇×H
=
G J+
G ∂D
13.
∂t
G 14. ∇ ⋅ D = ρ
G
15. ∇ ⋅ B = 0 16. 稳恒电流
G
G GG
17. f = ρ E + J × B (适用于电荷分布情况)
G
GG
18. e E + e v × B
0
Pn (cos
θ
)]
=
Q
⇒
b0
=
Q 4πε 0
, b1
=
−
E 0 R03 2
,bn
=
0(n
≠
0 ,1)
⇒
ϕ
=
− E 0 R cos θ
+
Q 4πε 0 R
−
E 0 R03 2R 3
cos
θ
-8-
《电动力学》各章练习题参考答案（2014） __________________________________________________________________________________
（三）证明题： 1. 书上内容P112-113。 2．书上内容P115。 3. 书上内容P115。 4. 书上内容P122。 5. 书上内容P126。
（四）计算、推导题：
1.解： G
GGG
(1)k G ek =
= G k
k
−3ex
+ G
ey
+ G
ez

电动力学第一章郭硕鸿第三版

第一章一．主要内容：电磁场可用两个矢量—电场强度 ),,,(t z y x 和磁感应强度),,,(t z y x B 来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出 E , B所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。

在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。

完成由普通物理到理论物理的自然过渡知识体系：库仑定律： 30()4V x r E x dV r r r r rDr电磁感应定律：L S ddl dS dtr r r r Ñ t介质极化规律：0D P r rr 毕——萨定律：Lr rdV J B 3040 r 介质磁化规律：0rr rD J tr r r 能量守恒定律能量密度12w D H B r r，能流密度：H S二．内容提要：1．电磁场的基本实验定律：（1）库仑定律：对静电场：30()4V x rE x dV rr r r r 对n 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：涡旋电场假设位移电流假设边值关系3110()4n n i ii i i i Q r E x E r r r r r 对于场中的一个点电荷，受力 F Q E r r（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）闭合线电流：Lr r l Id B 304闭合体电流：Lr rdV J B 304（3）电磁感应定律L S i S d dt d l dt①感生电场为有旋场（i E r 又称漩涡场）,与静电场S E r本质不同。

②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。

（4）电荷守恒的实验定律Vs dV t s d JtJ①反映空间某点与J r之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。

电动力学 郭硕鸿 第三版 第7次课(第一章习题课)

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