201x届九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第1课时知能演练提升新版北师大版

3.正方形的性质与判定

第一课时

知能演练提升

ZHINENG YANLIAN TISHENG

能力提升

1.

如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F.若

DE=4,BF=3,则CD的长为()

A.4

B.5

C.6

D.7

2.

如图,四边形OABC是正方形,边长为6,点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA上,且点D 的坐标为(2,0),P是OB上一动点,则PA+PD的最小值为()

A.2

B.

C.4

D.6

3.

把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D',边BC与D'C'交于点O,则四边形ABOD'的周长是()

A.6

B.6

C.3

D.3+3

4.

如图,点B的坐标为(4,4),作BA⊥x轴,BC⊥y轴,垂足分别为A,C,点D为线段OA的中点,点P从点A 出发,在线段AB,BC上沿A→B→C运动,当OP=CD时,点P的坐标为.

5.

如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点,连接AG,DE⊥AG于点E,BF∥DE交AG于点F,探究线段AF,BF,EF三者之间的数量关系,并说明理由.

6.

如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ,求证:

(1)EA是∠QED的平分线;

(2)EF2=BE2+DF2.

7.

如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

(1)求证:∠BAE=∠FEC;

(2)求证:△AGE≌△ECF;

(3)求△AEF的面积.

创新应用

8.(1)如图①,以△ABC的边AB,AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,试判断△ABC与△AEG面积之间的关系,并说明理由.

(2)园林小路,曲径通幽,如图②,小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成.已知小路中间的所有正方形的面积之和是a m2,内圈的所有三角形的面积之和是b m2,求这条小路的占地面积.

答案：

能力提升

1.B

2.A

3.A

4.(2,4)或(4,2)

5.解线段AF,BF,EF之间的数量关系是AF=BF+EF.

理由如下:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠BAF+∠DAE=90°.∵DE⊥AG,∴∠DEA=90°.∴∠DAE+∠ADE=90°.

∴∠BAF=∠ADE.

又∵∠DEF=90°,BF∥DE,∴∠BFA=90°.

∴△DAE≌△ABF.∴AE=BF.

∴AF=AE+EF=BF+EF.

6.证明 (1)由题意可知△ADF≌△ABQ,

∴∠DAF=∠BAQ,AF=AQ.

∵∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠DAF=90°,∠EAF=45°,

∴∠DAF+∠BAE=45°.∴∠BAQ+∠BAE=45°,

即∠EAQ=45°.

在△AEQ与△AEF中,

∴△EAQ≌△EAF.∴∠AEQ=∠AEF,即EA是∠QED的平分线.

(2)由(1)可知EQ=EF.

∵△ADF≌△ABQ,

∴DF=BQ,∠ADF=∠ABQ.

在正方形ABCD中,∠ADB=∠ABD=45°,

∴∠ABQ+∠ABD=90°,即∠DBQ=90°.

在Rt△BEQ中,EQ2=BE2+BQ2,

∴EF2=BE2+DF2.

7.(1)证明∵∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°.

在Rt△ABE中,∠AEB+∠BAE=90°,

∴∠BAE=∠FEC.

(2)证明∵G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,

∴AG=GB=BE=EC,且∠AGE=180°-45°=135°.

又∵CF是∠DCH的平分线,∴∠ECF=90°+45°=135°.在△AGE和△ECF中,∠GAE=∠FEC,AG=EC,∠AGE=∠ECF,

∴△AGE≌△ECF.

(3)解由△AGE≌△ECF,得AE=EF.

又∵∠AEF=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形.

由AB=a,BE=a,知AE=a,

∴S△AEF=a2.

创新应用

8.解(1)△ABC与△AEG面积相等.理由如下:过点C作CM⊥AB于点M,过点G作GN⊥EA,交EA 的延长线于点N(图略),则∠AMC=∠ANG=90°.∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形,∴∠BAE=∠CAG=90°,AB=AE,AC=AG.∴∠BAC+∠EAG=180°.

又∵∠EAG+∠GAN=180°,

∴∠BAC=∠GAN.

∴△ACM≌△AGN.

∴CM=GN.

又∵S△ABC=AB·CM,S△AEG=AE·GN,

∴S△ABC=S△AEG.

(2)由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和,所以这条小路的占地面积为(a+2b)m2.

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