换面法

换面法

一、 换面法概述

当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。

当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。

换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。

1．换面法的基本概念

换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后找出其在新投影面上的投影。

2．新投影面的选择原则

（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；

（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；

（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。

二、 点的换面

点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。

1．点的一次换面

（1）换V 面

图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。

过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1

a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。a 和1

a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（

b ）所示的投影图。由于在

（a）（b）（c）

图2-25点的一次变换（换V面）

新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系：

1

a'a⊥O1X1轴；

1

a'

1x

a=a'

x

a=A a，即：换V面时Z坐标不变。

由此得出点的投影变换规律是：

①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；

②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。

换V面的作图方法和步骤如图2-25（c）所示：

①在被保留的H投影a附近（适当的位置）作O1X1轴；

②由H投影a向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取1a'1x a=a'x a，点1a'即为所求。

（2）换H面

换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系：

a'a⊥O1X1轴；

1

a

1x

a=a

x

a=A a'，换H面是Y坐标不变。

其作图方法和步骤与换V面类似2-25（c），可依此类推，此略。

2．点的二次换面

由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。

但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。如2-26（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。

二次换面的作图步骤如图2-26（b）所示：

（1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影

1

a，而

1

a

1x

a=

a

x

a=A a'，作图方法与点的一次换面完全相同；

（2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影

2

a'，而

2

a'

2x

a

=a '1x a =A 1a ，作图方法与点的一次换面类似。

（1） （2）

图2-26点的二次换面

注：根据实际需要也可以先换V 面，后换H 面，但两次或多次换面应该是V 面和H 面交替更换，如：H V →H

V 1→21H V →23H V ……。 三、几个基本作图问题

1．将一般位置直线变换为投影面的平行线

如图2-27（a ）为把一般位置直线AB 变换为投影面平行线的情况。用V 1面代替V 面，使V 1面∥AB 并垂直于H 面。此时，AB 在新投影体系V 1/H 中为正平线。图2-27（b ）为投影图。作图时，先在适当位置画出与不变投影ab 平行的新投影轴O 1X 1（O 1X 1∥ab ），然

后根据点的投影变换规律和作图方法，求出A 、B 两点在新投影面V 1上的新投影1

a '、1

b '，再连接直线1

a '1

b '。则1a '1b '反应线段AB 的实长，即1a '1b '=AB ，并且新投影11b a ''和新投影轴（O 1X 1轴）的夹角即为直线AB 对H 面的倾角α，如图2-27（b ）。

如图2-27（c ）所示若求线段AB 的实长和与V 面的倾角β，应将直线AB 变换成水平线（AB ∥H 1面）也即应该换H 面，建立V/H 1新投影体系，，基本原理和作图方法同上。

（a ） （b ） （c ）

图2-27将一般位置直线变换为投影面平行线

2．将投影面的平行线变换为投影面垂直线

将投影面平行线变换为投影面的垂直线，是为了使直线积聚成一个点，从而解决与直线有关部门的度量问题（如求两直线间的距离）和空间文质彬彬问题（如求线段面交点）。应该选择哪一个投影面进行变换，要根据给出的直线的位置而定。即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换，使该直线在新投影体系中成为垂直线。

如图2-28（a）表示将水平线AB变换为新投影面的垂直线的情况。图2-28（b）表示投影图的作法：因所选的新投影面垂直于AB，而AB为水平线，所以新投影面一定垂直于H 面，故应换V面，用新投影体系V1/H更换旧投影体系V/H，其中O1X1⊥ab。

（a）（b）

图2-28将投影面的平行线变换为投影面垂直线

3．将一般位置直线变换为投影面垂直线（需要二次换面）

如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须变换两次投影面。先将一般位置直线变换为投影面的平行线，然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。

如图2-29所示，先换V面，使直线AB在新投影体系V1/H中成为正平线，然后再换H 面，使直线AB在新投影体系V1/H2中成为铅垂线。其作图方法详见图2-29（b），其中O1X1

a''。

∥ab，O2X2⊥11b

（a）（b）

图2-29直线的二次换面

4．将一般位置平面变换为投影面垂直面（求倾角问题）

将一般位置平面变换为投影面垂直面，只需使平面内的任一条直线垂直于新的投影面。