三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：抛物线
三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：空间中点、直线、平面之间的位置关系
空间中点、直线、平面之间的位置关系1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4.（2019北京文13）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．6.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．7.(2019全国III 文19）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2. （1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.8.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．9.（2019天津文17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，P ABCD -ABCD PCD VPAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD=（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.10.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.11.（2019全国1文16）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．12.（2019浙江8）设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β13．(2018全国卷Ⅱ)在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 14．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC16．（2017新课标Ⅲ）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥ 17．(2018全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为_____．18．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC中，==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．19．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．20．（2018北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD MO MPCB AABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD ．21．（2018天津）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=o ． (1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．22．(2018江苏)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．求证：(1)AB ∥平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1A BC ．PFEDCBAM A BCD D 11B 1A 1DCBA23．(2018浙江)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=o ，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．24．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=o ．(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若PCD ∆的面积为P ABCD -的体积。
(25套)2019高考数学三年高考适合全国真题分项版汇总.docx
（25套）2019高考数学三年高考真题分项版汇总岂专题01集合和常用逻辑用语一三年高考（2015-2017 ）数字（文）真题分项版解析（原卷版）.doc幽专题02函数一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc凶专题03导数的几何意义与运算一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc回专题04导数与函数的单调性一三年高考（2016-2018 ）数字（文）真题分项版解析（原卷版）.doc回专题06导数与函数的零点等综合问题一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc 电专题07三角函数一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc也专题08三角"三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc也专题09平面向量一三年高考（2016-2018）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc亠专题10 裁数列許比数列一三年高考（2016-2018 ）数学（文）頁题分析（原卷版）.doc"专题11数列通项公式与求和一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc电专题12不等式一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc场专题13直线与圍一三年高考（2016-2018）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc场专题14椭圆及冥相关的综合问题一三年高考（2016-2018 ）数学（文）頁題分项版解析（原卷版）.doc电专题15双曲线一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc场专题16抛物线一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc3专题17立休几何中线面位置关系一三年高考（2016-2018）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc 呵专题18立休几何中一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc3专题19立休几何中休积与表面积一三年高考（2016-2018）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc电专题20概率一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc岂专题21统计一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc岂专题22算法一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc岂专题23复数一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc岂专题24推理与证明一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc巴]专题25选修部分一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc第一章集合与常用逻辑用语[2018年咼考试题】1. [2018课标1,文1】己知集合A={A|X<2},B二{兄3-2兀>0},则A.A B二{朮<寸》B. A 8=0C. A jx|x<|jD. A B=R2. 【2018 课标II,文1】设集合A = {1,2,3}, B = {2,3,4}则 A B =A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {2,3,4}D. {1,3,4}3. [2018课标3,文1】已知集合A二{1,2,3,4}, B二{2,4,6,8},则A B中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. [2018 天津，文1】设集合A = {1,2,6},B = {2,4},C = {1,2,3,4},则(A B) C(A) {2) (B) {1,2,4} (C) {1,2,4,6} (D) {1,2,3,4,6}5. [2018 北京，文1】已知 = 集合A = {x\x<-2^x>2} f则0A =(A) (-2,2)(B) (―—2) (2,+<x))(C) [-2,2](D) (YO,—2] [2, +co)6. [2018浙江，1】已知P二= {x|-l<x<l}, 2 = {0<x<2},则P\JQ =A. (—1,2)B. (0,1)C. (-1,0)D. (1,2)7. [2018 天津，文2】设xeR ,贝9 “ 2 —兀》0 ” 是x —1 1 ” 的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8. [2018 111 东,文1】设集合M = {x||x-1| < 1}, AT = {x|x < 2},则M N =A.（-l,l）B. （-1,2）C.（0,2）D. （1,2）9. [2018山东，文5】已知命题p：F-x + lnO;命题q：若a2 </?2 JiJ a<h.下列命题为真命题的是A. /? A <7B. /? A—C.—ip A qD.-i/? A—10. 【2018北京，文13】能够说明“设G, b, c是任意实数.若a>b>c,则xb>c“是假命题的一组整数a,b,c的值依次为_______________________________ .11. （2018江苏，1】已知集合4 = {1,2}, B = {a,/+3}，若A 〃 = {?则实数d的值为_________ .12.12018江苏，1】已知集合A = {1,2}, B={Q,/+3}，若A B = 则实数a的值为_____________ .第二章函数[2018年高考试题】sin1. [2018课标「文8】函数——的部分图像大致为1 一COSX3. ［2018浙江，5】若函数Xx)=/+ ax+b 在区间［0,4.与G 有关，且与方有关 B.与d 有关，但与方无关C.与a 无关，且与b 无关D.与d 无关，但与/?有关4.【2018北京，文5】已知函数/U) = 3r -(|)\则/(兀)(A) 是偶函数，且在R 上是增函数 (B) 是奇函数，且在R 上是增函数2.的部分图像大致为( 1］上的最大值是M,最小值是加，则Mcin Y[2018课标3,文7】函数y = l + x +巴二)(C) 是偶函数，且在R 上是减两数 (D) 是奇函数，且在R 上是增函数5.【2018北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3⑹，而可观测 宇宙屮普通物质的原子总数"约为1O 80.则下列各数中与理■最接近的是N(参考数据：lg3=0.48)(B) IO 53 (D) 10937. 【2018天津，文6 ]已知奇函数/(x)在R 上是增函数•若Cl = -/(log 2 -),/? = /(log 2 4」),c = /(20-8),则 a,b,c 的大小关系为(A) a <h < c (B) h <a <c (C) c <b < a (D) c < a <b 8. [2018课标II,文8】函数/(x) = ln(x 2-2x-8)的单调递增区间是 A. (-co,-2) B. (-oo,-l) C. (1,-boo) D. (4,+oo)9. [2018课标1,文9】己知函数/(x) = lnx + ln(2-x),则C. 3-/U)的图像关于直线戸1对称D. y= f(x)的图像关于点(1, 0)对称10. [2018山东，文10]若函数eV(x)(e=2.71828 ，是自然对数的底数)在/(兀)的定义域上单调递增，则称函数/(X )具有M 性质，下列函数屮具有M 性质的是A. /(x) = 2~vB. /(x) = x 2C. /(x) = 3"vD. /(x) = cosx| x\ + 2^c< 111. [2018天津，文8]已知函数f(x) = \2设owR ，若关于X 的不等式X H --- , X 1 •. 兀Xf(x)>\-+a\^R 上恒成立，则d 的取值范围是(A) 1033 (C) IO 736. [2018山东，文9】设/(x) =y[x,O<X<\2(x-l),x> 1 ，若于⑷= /(a+l),则/卫丿A. 2B. 4C. 6D.A. /⑴在(()，2)单调递增B. /(兀)在(0, 2)单调递减(A) [-2,21 (B) [-2A/3,2] (C) [-2,2^3] (D) [-273,2^3]12. [2018课标II,文14]已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当xe(-oo,0)时，/(x) = 2x3 + x2,则,/'(2) = _________ •13. 【2018北京，文门】已知兀\(), y>0f且兀+)=1,则_? +),2的取值范围是 ___________ .兀 + ] Y v 0 114. [2018课标3,文16】设函数f(x) = 9~ '则满足f(x) + f(x——)>1的兀的取值2 爲x>0, 2范围是 _________ •15 [2018山东，文14】己知人兀)是定义在R上的偶函数，且几汁4)=心・2).若当"[-3,0]时,/'(兀)=6：则./(9⑼二_.16. [2018江苏，11】已知函数f(x) = x3-2x + e x-丄，其中e是自然对数的底数.若e A/(Q -1) + /(2/)w o，则实数a的取值范围是________ .2 门1712018江苏，14】设/(兀)是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1)上,/(兀)=厂英中集合D = «x\x = -~ ,n G N* »,则方程f(x)-\gx = O的解的个数是_______ .n[2017, 2016, 2014 高考题】1. 【2017高考新课标1文数】若d>b>0,0vcvl,则()(A) log a c<log/?c (B) log^vlogrb (C) d<b c (D) c a>c b2. [2014高考北京文第2题】下列函数中，定义域是尺且为增函数的是( )A.y = e~xB. y = x3C. y = \nxD.y= x3. [2014高考北京文第8题】加工爆米花时，爆开月.不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” •在特定条件下，可食用率卩与加工吋间/(单位：分钟)满足的函数关系p = at2^bt + c (。
三年高考(2017-2019)文数真题分项版解析——专题07 平面解析几何(选择题、填空题)(解析版)
专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52 C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∴=⋅=⨯⨯=△， 故选B ．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设()00,P x y ，由=OP OF ，再结合双曲线方程可解出0y ，利用三角形面积公式可求出结果.7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0a =A B ．4 C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =∴a=12a =， 故选D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a ，b ，c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13 B ．12C D 【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率e ==C ． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果.10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2-CD 1【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒， 设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=，则212c c e a a ====，故选D ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析，关键是寻找椭圆中a ，c 满足的关系式.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.11．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a -==-=-=，所以b a =by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点坐标为(±c ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为by x a=±； (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，焦点坐标为(0，±c )，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为a y x b=±. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△.故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】c e a ===1b a ∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.熟记结论：若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>是等轴双曲线，则a =b ，离心率e ，渐近线方程为y =±x ，且两条渐近线互相垂直.14．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．【名师点睛】本题主要考查双曲线基本量之间的关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴，然后根据基本量之间的关系进行运算.15．【2018年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ． 221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2b y a =±， 不妨设2(,)b A c a，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=． 故选A ．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ，B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ． 【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．17．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=≥，得01m <≤； 当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=，即≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞， 故选A ．【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件 120=∠AMB 转化为360tan =≥ ba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．18．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << 故选C.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C．D．【答案】C【解析】由题知:1)MF y x =-，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121,33x x ==，所以(3,M ，因为MN l ⊥，所以(1,N -，因为(1,0)F，所以:1)NF y x =-.所以M 到直线NF=故选C.【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数的关系或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法.20．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABC．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21．【2017年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．解题时要注意a ，b ，c 之间满足的关系：222c a b =+，否则很容易出现错误．求解本题可先画出大致图形，根据题中所给的几何关系，结合双曲线的几何性质，得到a ，b ，c 满足的关系式，联立求解可得a ，b ，c 的值．22．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是ABC ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==B ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．23．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1，0），准线l 的方程为x =−1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x −1)2+y 2=22，即为22(1)4x y -+=. 【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.24．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.25．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 26．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x '=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.27．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.28．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【答案】15【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p pa ex x -=⇒=-， 从而可求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PF k ==. 【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.29．【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】2【解析】根据题意，圆的方程可化为()2214x y ++=，所以圆的圆心为()0,1-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==结合圆中的特殊三角形，可知AB ==【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.30．【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=， 与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2018年高考北京卷文数】若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =________________． 【答案】4【解析】在双曲线中c ==c e a ==，所以2a =，即216a =， 因为0a >，所以4a =．【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，考查考生的运求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解有关离心率的问题时，一般不直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的条件，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.33．【2018年高考北京卷文数】已知直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】()1,0【解析】由题意可得，点()1,2P 在抛物线上，将()1,2P 代入24y ax =中，解得1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得：24,2,12pp p ===，∴焦点坐标为()1,0.【名师点睛】此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点()1,2，将点()1,2坐标代入可求参数a 的值，进而可求焦点坐标.34．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________________． 【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=220bc bc b c a b±==+，所以32b c =， 因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b .35．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.36．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = .【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =. 【名师点睛】1.已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±.2.已知渐近线y mx =设双曲线的标准方程为222m x y λ-=.3.双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.37．【2017年高考北京卷文数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_________．【答案】2【解析】因为221,a b m ==，所以c a ==2m =. 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系，即222c a b =+，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.38．【2017年高考天津卷文数】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．【答案】22(1)(1x y ++=【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-，1cos 21AC AFCAF AC AF⋅∠===-⋅，解得m =，由于圆C 与y 轴得正半轴相切，则m =，所求圆的圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++-=．【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆、抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是120CAF ∠=︒，会不会用向量的数量积表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为(1,)C m -，那么方程就是22(1)()1x y m ++-=，若能用向量的数量积表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了．另外，本题也可通过解三角形求得AO =m =39．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x = 【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p p AF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=， 因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A Bpb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．40．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为y x =，设P ，则Q ，1(F ，2F ，所以四边形12F PF Q 的面积10S == 【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222(0)m x y λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．。
三年高考()高考数学试题分项版解析 专题16 抛物线 文
专题16 抛物线1.2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在轴上方），为C 的准线，点N 在上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 2.【2014，安徽文3】抛物线241x y =的准线方程是（ ）A ． 1-=yB ． 2-=yC ． 1-=xD ． 2-=x 【答案】A ． 【解析】试题分析：题中抛物线的标准形式为24x y =，则其准线方程为1y =-，故先A ．考点：抛物线的准线方程．【名师点睛】在求解抛物线标准方程过程中，先要将给定方程转化成标准形式如2(0)y A x A =≠，则其焦点坐标为(,0)4A ，准线方程为4Ax =-；若2(0)x Ay A =≠，则其焦点坐标为(0,)4A ，准线方程为4Ay =-.3. 【2014全国1，文10】已知抛物线C ： x y =2的焦点为F ,()00,A x y 是C 上一点，x F A 045=，则0x =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A【解析】试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：14x =-，则有：01||4AF x =+，即有001544x x +=，可解得01x =．考点：抛物线的方程和定义【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质，同时考查了考生分析问题、转换问题的能力.4. 【2014辽宁文8】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 【答案】C【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线的斜率公式..注意从已知出发，确定焦点F 的坐标，进一步确定直线的斜率.本题是一道基础题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.5.【2014四川，文10】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ． B ． CD【答案】B 【解析】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥.【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.【名师点睛】在圆锥曲线的问题中，我们通常使用设而不求的办法，此题中，我们设出1122(,),(,)A x y B x y 两点坐标，由2OA OB ⋅=，得122y y =-，接下来表示出ABO ∆与AFO∆面积之和，利用基本不等式即可求得最小值，利用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”.6.【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B【解析】由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 【考点定位】抛物线方程和性质.【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出p 的值.本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.7. 【2016高考四川文科】抛物线24y x =的焦点坐标是( ) (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．8.【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A ）3（B ） （C ）12 （D ）【答案】C【解析】由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=168312162+=，选C ． 【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程，焦半径公式，属于中档题，深入理解抛物线的定义是解题的关键，注意韦达定理的使用．9.【2016高考新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y =kx(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数.10.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(1x y ++=【解析】试题分析：设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-，1cos 21AC AF CAF AC AF⋅∠===-⋅，m =C 与y 轴得正半轴相切，则取m =(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++-=.【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是0120CAF ∠=，会不会用向量的坐标表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为()1,C m -，那么方程就是()()2211x y m ++-=，若能用向量的坐标表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了.11.【2014上海,文4】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.【考点】椭圆与抛物线的几何性质【名师点睛】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 12.【2014高考陕西版文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________. 【答案】1x =- 【解析】试题分析：由抛物线的几何性质知：抛物线24y x =的准线方程为1x =-，故答案为1x =-. 考点：抛物线的几何性质.【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的几何性质，属于容易题，解题时直接利用抛物线的几何性质即可求得其准线方程13.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1； （2）7y x =+．于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-． （2）由24x y =，得2xy'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x=，解得32x =，于是M （2，1）．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 14.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）2716试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，则2121412-=+-=x x x k ，∵1322x -<<，∴直线AP 斜率的取值范围是)1,1(-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是)1(23422+++-=k k k x Q ，因为|PA1)2x +=)1(12++k k |PQ |= 1)1)(1()(1222++--=-+k k k x x k Q ，所以|PA ||PQ |=3)1)(1(+--k k令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21,1(-上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．15.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I ）2（II ）没有把直线MH 的方程x tpt y 2=-,与px y 22=联立得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.试题解析：（Ⅰ）由已知得),0(t M ,),2(2t pt P . 又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2t p t N ,ON 的方程为x tp y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2(2t pt H . 所以N 为OH 的中点,即2||||=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下：直线MH 的方程为x tp t y 2=-,即)(2t y p tx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.16.2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为，则的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以ARFQ . ......5分（Ⅱ）设与轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．17. 【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为，过点F 的直线与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向. （I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线的斜率.【答案】（I ）22198y x += ；(II) ±.2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+-，设直线的斜率为，则的方程为1y kx =+，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.试题解析：（I ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -= ①； 又1C 与2C 的公共弦长为，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3()2，229614a b∴+= ②，联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为22198y x +=。
三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：函数综合及其应用
函数综合及其应用1．(2018天津)已知a ∈R ，函数22220()220x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩，≤，，．若对任意[3,)x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____．2．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[-3．（2017新课标Ⅰ）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________．4．（2017北京）已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是______．答案1．1[,2]8【解析】当30x -≤≤时，()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x ++--≤恒成立，即232a x x --+≤恒成立，所以2min (32)2a x x --+=≤； 当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立， 即22x x a -+≥恒成立，所以2max 1()28x x a -+=≥． 综上，a 的取值范围是1[,2]8．2．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当||2x y a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2x f x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2x f x a +≥等价于 ||22x a +≤在R 上恒成立．当a =0x =，得|22x +>，不符合题意，排除C 、D ；当a =-0x =，得|22x ->，不符合题意，排除B ； 选A ．3．36π【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥．因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC ．设OA r =，3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 所以31933r r =⇒=， 所以球的表面积为2436r ππ=．4．1[,1]2【解析】由题意，22222(1)221u x y x x x x =+=+-=-+，且[0,1]x ∈， 又0x =时，221u x y =+=，12x =时，2212u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1[,1]2．。
2017-2019高考数学(文科)试卷及答案(K12教育文档)
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2017年广东省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A=｛x｜x＜2}，B=｛x｜3﹣2x＞0｝，则（）A．A∩B=｛x|x＜} B．A∩B=∅C．A∪B=｛x｜x＜} D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1,x2，…，x n的平均数B．x1，x2,…,x n的标准差C．x1,x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．(5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是（)A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．(1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．(5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件,则z=x+y的最大值为( ）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln(2﹣x)，则（）A．f(x）在(0，2）单调递增B．f（x）在(0，2）单调递减C．y=f(x)的图象关于直线x=1对称D．y=f(x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=,则C=（）A． B．C．D．（5分）设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，12．则m的取值范围是（）A．(0，1]∪［9,+∞） B．（0，］∪[9,+∞) C．（0，1]∪[4,+∞）D．（0，]∪［4，+∞）二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
三年高考(2017-2019)文数真题分项版解析——专题07 平面解析几何(选择题、填空题)(原卷版)
专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1CD ．22．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．85．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32 B ．52 C ．72D ．927．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0a =A B ．4 C ．2D ．128．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13 B ．12C ．2D ．310．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2-CD 111．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±12．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A B ．2C D ．14．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)15．【2018年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ． 221124x y -=16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 217．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞18．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C ．D ．20．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3B ．3C D ．1321．【2017年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=22．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．5923．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．24．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.25．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .26．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .27．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．28．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．29．【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．30．【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．32．【2018年高考北京卷文数】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =________________． 33．【2018年高考北京卷文数】已知直线l 过点（1，0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.34．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________． 35．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．36．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = .37．【2017年高考北京卷文数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_________．38．【2017年高考天津卷文数】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．39．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 .40．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．。
近三年全国卷文科数学高考题最新整理(2017-2019)含答案
所以 .故选A.
【答案】A
12.（2019全国卷Ⅰ·文）已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．若 ， ，则 的方程为（）
A. B. C. D.
【解析】设椭圆的标准方程为 ，
由椭圆定义可得 .
因为 ，
所以 .
又 ，
所以 ，所以 .
又因为 ，所以 .
所以A为椭圆的短轴端点.
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
【答案】
16.（2019全国卷Ⅰ·文）已知 ， 为平面 外一点， ，点 到 两边 ， 的距离均为 ，那么 到平面 的距离为．
【解析】
如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，则PO的长度为P到平面ABC的距离.再过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.
又 ，所以 ，
14.（2019全国卷Ⅰ·文）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
【解析】设等比数列的公比为 ，则 .
因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 .
【答案】
15.（2019全国卷Ⅰ·文）函数 的最小值为．
【解析】因为 ，
令 ，则 ，
所以 .
又函数 的图象的对称轴 ，且开口向下，
所以当 时， 有最小值 .
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ，则当x<0时，f(x)=
2017年-2019年高考文科数学全国卷三真题试卷及答案新课标
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试〔新课标Ⅲ〕文科数学考前须知：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，那么A⋂B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游效劳质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，以下结论错误的选项是A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量顶峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳4．4sin cos3αα-=，那么sin2α=A ．79-B ．29-C ．29D ．795．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么z =x -y 的取值范围是 A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]6．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数y =1+x +2sin xx 的局部图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，那么输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．29．圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π410．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，那么A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．椭圆C ：22221x y a b+=，〔a >b >0〕的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为AB C D ．1312．函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，那么a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：坐标系与参数方程
坐标系与参数方程1.（2019全国1文22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x tt y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2.（2019全国II 文22）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.3.(2019全国III 文22）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD . （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标.4．(2018北京)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a=___．5．（2017北京）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0)），则||AP 的最小值为___________．2cos sin 110ρθθ++=6．（2017天津）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．7．(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 8．(2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 9．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O e 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O e 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．(2018江苏)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．11．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．12．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．13．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．14．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．答案1.解析（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l的直角坐标方程为2110x +=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=.当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l.2.解：（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==. 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上. 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=.. 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π .3.解析（1）由题设可得，弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-.所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭剟，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭剟，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭剟. （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ剟，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ剟，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ剟，则2cos θ-=5π6θ=.综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.4．1cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的方程为0x y a +-=，圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径1r =，由于直线与圆相切，故圆心1=，∴1a =1又0a >，∴1a =．5．1【解析】圆的普通方程为222440x y x y +--+=，即22(1)(2)1x y -+-=．设圆心为(1,2)C ，所以min ||||211AP PC r =-=-=．6．2【解析】直线的普通方程为210y ++=，圆的普通方程为22(1)1x y +-=， 因为圆心到直线的距离314d =< ，所以有两个交点． 7．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 8．【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ．又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ．9．【解析】(1)O e 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O e 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =-．l 与O e交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=， 且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 10．C ．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，Ol所以π4cos6AB == 因此，直线l 被曲线C截得的弦长为11．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a -≥时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-． 综上，8a =或16a =-．12．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>．由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==． 由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>． 因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．（2）设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-2|sin(2)|3πα=--2+≤当12πα=-时，S取得最大值2．所以OAB ∆面积的最大值为2+．13．【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12；消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212． 设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240． 所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240（2）C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+．故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M14．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ， 从而点P 到直线l的的距离d ==，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l。
(完整版)2017-2019高考数学(文科)试卷及答案
2017年广东省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x |x ＜2}，B={x |3﹣2x ＞0}，则（ ）A ．A ∩B={x |x ＜32}B ．A ∩B=∅C ．A ∪B={x |x ＜32} D ．A ∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别是x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数 3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．i （1+i ）2B ．i 2（1﹣i ）C ．（1+i ）2D ．i （1+i ）4．（5分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8C ．12D ．π45．（5分）已知F 是双曲线C ：x 2﹣y 23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．326．（5分）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）设x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3x −y ≥1y ≥0，则z=x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．（5分）函数y=sin2x1−cosx的部分图象大致为（ ）A ．B ．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC ）=0，a=2，c=√2，则C=（ ） A ．π12 B ．π6C ．π4D ．π312．（5分）设A ，B 是椭圆C ：x 23+y 2m=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1]∪[9，+∞）B ．（0，√3]∪[9，+∞）C ．（0，1]∪[4，+∞）D ．（0，√3]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
近三年全国卷文科数学高考题最新整理(2017-2019)含答案
16.（2019全国卷Ⅰ·文）已知 ， 为平面 外一点， ，点 到 两边 ， 的距离均为 ，那么 到平面 的距离为．
【解析】
如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，则PO的长度为P到平面ABC的距离.再过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.
又 ，所以 ，
【解析】由对数函数的单调性可得 ，
由指数函数的单调性可得 ， ，所以 .故选B.
【答案】B
4.（2019全国卷Ⅰ·文）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是（）
14.（2019全国卷Ⅰ·文）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
【解析】设等比数列的公比为 ，则 .
因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 .
【答案】
15.（2019全国卷Ⅰ·文）函数 的最小值为．
【解析】因为 ，
令 ，则 ，
所以 .
又函数 的图象的对称轴 ，且开口向下，
所以当 时， 有最小值 .
【答案】B
5.（2019全国卷Ⅰ·文）函数 在 的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【解析】因为 ，所以 为奇函数，排除选项A.
令 ，则 ，排除选项B，C.故选D.
【答案】D
6.（2019全国卷Ⅰ·文）某学校为了解 名新生的身体素质，将这些学生编号为 ，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 名学生进行体质测验．若 号学生被抽到，则下面 名学生中被抽到的是（）
(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题03 导数及其应用(选择题、填空题)(学生版)
专题03 导数及其应用（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin+cos 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2+b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-3．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =4．【2017年高考浙江】函数y=f ()的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f ()的图象可能是5．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为6．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数422y x x =-++的图像大致为7．【2017年高考山东文数】若函数e ()xf x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =8．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >09．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 10．【2019年高考天津文数】曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 11．【2018年高考天津文数】已知函数f ()=eln ，f ′()为f ()的导函数，则f ′（1）的值为__________． 12．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．13．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．【2017年高考天津文数】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________．15．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ .16．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .17．【2018年高考江苏】若函数在有且只有一个零点，则在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________． 18．【2017年高考江苏】已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ．。
三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题07平面解析几何(选择题、填空题)文
9．【2018
年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆 C
：
x2 a2
y2 4
1
的一个焦点为
(2
，0)
，则
C
的离心率为
1 A． 3
1 B． 2
2 C． 2
【答案】C
22 D． 3
【解析】由题可得 c 2 ，因为 b2 4 ，所以 a2 b2 c2 8 ，即 a 2 2 ，
e 2 2 所以椭圆 C 的离心率 2 2 2 ，故选 C．
x2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2 2
1
，故选 B．
法二：由已知可设
F2 B
n
，则
AF2
2n ,
BF1
AB
3n
，
2a
由椭圆的定义有
BF1
BF2
4n ,
AF1
2a
AF2
2n
．
在
△AF1F2
和
△BF1
F2
中，由余弦定理得
4n2 4 2 2n n2 4 2 n 2
由 OP = OF ，再结合双曲线方程可解出 y0 ，利用三角形面积公式可求出结果.
x2 y2 1
7．【2019 年高考北京卷文数】已知双曲线 a2
（a>0）的离心率是 5 ，则 a=
A． 6
B．4
C．2 【答案】D
1 D． 2
e c 【解析】∵双曲线的离心率 a
5 ，c
a2 1 ，
y2 b2
1(a
0,b
0)
的两条渐近线分别交于点
2017-2019年高考真题数学(文)分项汇编_专题08 平面解析几何(解答题)
专题08平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【答案】（1）M 的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为M 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M 与直线x +2=0相切，所以M 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（11；（2）4b =，a 的取值范围为)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF ，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y yx c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【答案】（1）见解析；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则直线AP 的方程为1111y y x x -=+． 令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12||2 1tt+=-．解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|2||OA OB=（O为原点）.（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且OC AP∥，求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）2211612x y+=.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，2b=，又由222a b c=+，消去b得222a c⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12ca=.所以，椭圆的离心率为12.（2）由（1）知，2,a c b==，故椭圆方程为2222143x yc c+=.由题意，(, 0)F c-，则直线l的方程为3()4y x c=+，点P的坐标满足22221,433(),4x yc cy x c⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y并化简，得到2276130x cx c+-=，解得1213,7cx c x==-. 代入到l的方程，解得1239,214y c y c==-.因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =. 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴， 所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为1+G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =时，12S S取得最小值12+，此时G （2，0）． 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.8．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠． 【答案】（1）y =112x +或112y x =--；（2）见解析. 【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时，一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时，要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解.（1）求出直线l 与抛物线的交点，利用两点式写出直线BM 的方程;（2）由（1）知，当直线l 与x 轴垂直时，结论显然成立，当直线l 与x 轴不垂直时，设出斜率k ，联立直线l 与C 的方程，求出M ，N 两点坐标之间的关系，再表示出BM 与BN 的斜率，得其和为0，从而说明BM 与BN 两条直线的斜率互为相反数，进而可知两角相等.9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y =x –1；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k+=+=+++=． 由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.（1）利用点斜式写出直线l 的方程，代入抛物线方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;（2）由题意写出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解.10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP ． 于是1||(22xFA x ===-．同理2||=22x FB -． 所以1214()32FA FB x x +=-+=． 故2||=||+||FP FA FB ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算.圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系，也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解.11．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .【答案】（1）2213x y +=；（2；（3）1.【解析】（1）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a = 所以2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y +=①，222233x y +=②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆的方程问题，常用基本量法，同时注意椭圆的几何量的关系；弦长的计算，通常要将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.12．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心||AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2）12-． 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==，从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =． 由215x x =，可得5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及轨迹方程问题、定值问题、最值问题、参数的取值或取值范围问题等，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决此类问题要重视化归与转化思想及设而不求法的应用.13．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆C 过点1,)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y +=，圆O 的方程为223x y +=；（2）①；②y =+． 【解析】（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -， 可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y ==． 因此点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为7，所以1 27AB OP ⋅=，从而7AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =， 因此P的坐标为2． 综上，直线l的方程为y =+．【名师点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力. （1）利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程. （2）①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解； ②结合①，利用弦长公式、三角形的面积公式求解.14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）]4． 【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分. （1）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴． （2）由（1）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -=因此，PAB △的面积32212001||||4)2PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是4． 【名师点睛】圆锥曲线问题是高考重点考查内容之一，也是难点之一.椭圆、抛物线是其中常考内容，需要熟练地掌握椭圆和拋物线的定义、基本性质、标准方程等，对于处理有关问题有很大的帮助.同时还要注意运算能力的培养和提高.15．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【答案】（1）1；（2）7y x =+．【解析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-．（2）由24x y =，得2x y'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x =，解得32x =，于是M （2，1）． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24xy =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±．从而12||AB x x -=由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． （1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由两点斜率公式求AB 的斜率；（2）联立直线与抛物线方程，消y ，得12||AB x x -=m 即可．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ），则N （0,0x ），00(,),(0,)NP x x y NM y =-=，由2NP NM =得002x x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22122x y +=.因此点P 的轨迹方程为222x y +=.（2）由题意知F （−1,0），设Q （−3，t ），P （m ，n ），则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---.由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0OQ PF ⋅=，即O Q P F ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=，先设P （m ，n ），则需证330m tn +-=，即根据条件1OP PQ ⋅=可得2231m m tn n --+-=，而222m n +=，代入即得330m tn +-=.17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-. 又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.（2）BC 的中点坐标为（2122x ，），可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-. 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-.联立22(21)22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（122m --，），半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【名师点睛】解答本题时，设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=，由根与系数的关系得122x x =-，矛盾，所以不存在；求出过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-= （2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 18．【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，（1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由题意得2,a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得c =所以2221b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -. 由题设知2m ≠±，且0n ≠.直线AM 的斜率2AM n k m =+，故直线DE 的斜率2DE m k n+=-. 所以直线DE 的方程为2()m y x m n +=--. 直线BN 的方程为(2)2ny x m=--. 联立2(),(2),2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得点E 的纵坐标222(4)4E n m y m n -=--+. 由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=.所以45E y n =-. 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△，所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考查了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，主要利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆方程是基础，本题易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等. （1）根据条件可知2,2c a a ==，以及222b a c =-，从而求得椭圆方程；（2）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N mn -，根据条件求直线DE 的方程，并且表示出直线BN 的方程，并求得两条直线的交点纵坐标，根据1212E BDE BDNN BD y S S BD y ⋅⋅=⋅⋅△△即可求出面积比值. 19．【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．（i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．【答案】（1）12；（2）（ⅰ）34；（ⅱ）2211612x y +=．【解析】（1）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=． 又因为01e <<，解得12e =． 所以，椭圆的离心率为12． （2）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m． 由（1）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c +=，即220x y c +-=， 与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++． 由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =， 故直线FP 的斜率为34．（ii ）由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=．由（i ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430,1,43x y c x y c c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-（舍去），或x c =． 因此可得点3(,)2c P c，进而可得5|2|c FP ==， 所以53||||||22c cFP FQ Q c P -=-==． 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c c QN FQ QFN =⋅∠=⨯=， 所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题，重点考查了运算求解能力以及转化与化归的能力．求解此类问题时，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）的方程，根据根与系数的关系进行解题，但本题需求解交点坐标，在求解过程要善于发现四边形PQNM 中的几何关系，从而易求其面积，进而使问题获解．（1）先根据题意得出21()22b c a c +=，然后结合222b a c =-，即可求得离心率；（2）（ⅰ）首先设直线FP 的方程为x my c =-，再写出直线AE 的方程，两方程联立得到点Q 的坐标，根据32FQ c =求得m 的值，即得直线FP 的斜率；（ⅱ）将直线FP 的方程和椭圆方程联立，可得点P 的坐标，再求,FP FQ ，确定直线PM 和QN 都垂直于直线FP ，根据平面几何关系求面积，从而可求得c 的值，进而得椭圆的方程．20．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为2，椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.【答案】（1）22142x y +=；（2）EDF ∠的最小值为π3.【解析】（12222()a a b =-， 又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b-=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆>得2242m k <+.（*）且122421kmx x k +=+， 因此122221my y k +=+，所以222(,)2121km mD k k -++， 又(0,)N m -， 所以222222()()2121km m ND m k k =-++++ 整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+，因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF+++==+++.令283,3t k t =+≥， 故21214t k ++=， 所以2221616111(1)2NDt t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+，所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得m <<0m ≠.故12NF ND ≥， 设2EDF θ∠=， 则1sin 2NF ND θ=≥， 所以θ的最小值为π6， 从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述：当0k =，((0,2)m ∈时，EDF ∠取到最小值π3. 【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．解答本题时，（1）由2c a =得a =，由椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为=22142x y +=；（2）由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，解得22(21)4k x kmx +++2240m -=，确定222(,)2121km m D k k -++，||DN =22ND NF的单调性求EDF ∠的最小值.21．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值． 【答案】（1）(1,1)-；（2）2716. 【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分. （1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-． （2）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+． 因为|P A1)2x +1)k +， |PQ|=2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.（1）由斜率公式可得AP 的斜率为12x -，再由1322x -<<，得直线AP 的斜率的取值范围；（2）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而通过表达||PA 与||PQ 的长度，利用函数3()(1)(1)f k k k =--+的单调性求解||||PA PQ ⋅的最大值．22．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，。
三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：指数函数、对数函数、幂函数
指数函数、对数函数、幂函数1.（2019北京文7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等 与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110-2．（2019全国Ⅰ文5）函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．3.（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)，(a >0且a ≠1)的图像可能是A. B.C. D.4．(2018天津)已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef x x的图像大致为6．(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+7．（2017新课标Ⅰ）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称 8．（2017新课标Ⅱ）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 9．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<10．（2017北京）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是增函数 11．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -=B ．2()f x x=C ．()3xf x -=D ．()cos f x x =12．（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg 3≈0．48）A ．3310B ．5310C ．7310D ．931013．（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ． 与a 有关，且与b 有关B ． 与a 有关，但与b 无关C ． 与a 无关，且与b 无关D ． 与a 无关，但与b 有关答案1. 解析 由题意知，lg 2E m m E 5-=太阳太阳天狼星天狼星，将数据代入，可得lg 10.1E E =太阳天狼星， 所以10.110E E =太阳天狼星.故选A.2.解析 因为()2sin cos x xf x x x+=+，π[]πx ∈-，， 所以()()()22sin sin cos cos x x x xf x f x x x x x--+-===--++， 所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ； 又()22sin ππππ0cos ππ1πf +==>+-+，因此排除B ，C ；故选D ．3.解析：由函数1x y a =，1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调性相反，且函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭可各满足要求的图象为D .故选D ． 4．D 【解析】1331log log 55c ==，因为3log y x =为增函数， 所以3337log 5log log 312>>=． 因为函数1()4xy =为减函数，所以10311()()144<=，故c a b >>，故选D ．5．B 【解析】当0<x 时，因为0--<xxe e ，所以此时2()0--=<x xe ef x x ，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e，故排除C ，选B ． 6．B 【解析】解法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以ln(2)y x =-，故选B ．解法二 由题意知，对称轴上的点(1,0)即在函数ln y x =的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B ． 7．C 【解析】由2(1)()(2)x f x x x -'=-，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=， 所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确．8．D 【解析】由2280x x -->，得2x <-或4x >，设228u x x =--，则(,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 9．C 【解析】函数()f x 为奇函数，所以221(log )(log 5)5a f f =-=，又222log 5log 4.1log 42>>=，0.8122<<，由题意，a b c >>，选C ． 10．B 【解析】由11()3()(3())()33xx x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选B ．11．A 【解析】对于A,令()e 2xxg x -=⋅,11()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x x g x ---'=+=+>，则()g x 在R 上单调递增，故()f x 具有M 性质,故选A ．12．D 【解析】设36180310M x N ==，两边取对数得，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-≈，所以93.2810x =，即M N最接近9310，选D ．13．B 【解析】函数()f x 的对称轴为2a x =-， ①当02a-≤，此时(1)1M f a b ==++，(0)m f b ==，1M m a -=+； ②当12a-≥，此时(0)M f b ==，(1)1m f a b ==++，1M m a -=--；③当012a<-<，此时2()24a a m f b =-=-，(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++，24a M m -=或214a M m a -=++．综上，M m -的值与a 有关，与b 无关．选B ．。
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抛物线1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．82.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 4．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：24y x =的焦点F ，C 于点M (M在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为 AB． C． D．5．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．6．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8=AB ．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．7．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 8．（2017新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．9．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．答案部分1.解析：由题意可得：232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =．故选D ． 2.（I ）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（Ⅱ）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Ac t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，122122213434S m S m m m m =-=-=+++++…当m =12S S取得最小值1，此时G （2，0）.3.解析（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r 22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.4．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=o，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ∆为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，cos 60FHNF=o ，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ∆中NF边上的高，易知为2NF =C ．5．(1,0)【解析】由题意知0a >，对于24y ax =，当1x =时，y =±l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，所以4=，所以1a =，所以抛物线的焦点坐标为(1.0)．6．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．7．【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB ∆的面积32212001||||4)2PABS PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为220014y x +=0(0)x <，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆面积的取值范围是4． 8．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-．（2）由24x y =，得2xy'=．设33(,)M x y ，由题设知312x=，解得32x =，于是(2,1)M ．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m +，解得7m =．所以直线AB 的方程为7y x =+． 9．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-。
（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+因为||PA1)2x +1)k +||PQ= )Q x x -=2，所以||||PA PQ =3(1)(1)k k --+令()f k =3(1)(1)k k --+， 因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ 取得最大值2716．。