三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：抛物线

抛物线

1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆

2213x y p p

+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3

C ．4

D ．8

2.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求

1

2

S S 的最小值及此时点G 的坐标.

3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =2

2

x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切

线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，

5

2

)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 4．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：2

4y x =的焦点F ，

C 于点M (M

在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为 A

B

． C

． D

．5．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线2

4y ax =截得的线段长为

4，则抛物线的焦点坐标为_________．

6．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线2

4=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与

C 交于A ，B 两点，||8=AB ．

(1)求l 的方程；

(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．

7．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：2

4y x =上存在

不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．

(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；

(2)若P 是半椭圆2

2

14

y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 8．（2017新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：2

4

x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．

(1)求直线AB 的斜率；

(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线

AB 的方程．

9．（2017浙江）如图，已知抛物线2

x y =．点11

(,)24A -，39(,)24

B ，抛物线上的点(,)

P x y 13

()22

x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．

（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；

（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．

答案部分

1.解析：由题意可得：2

32p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

，解得8p =．故选D ． 2.（I ）由题意得

12

p

=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.

（Ⅱ）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2

A x t =.

由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为21

12t x y t

-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t

--

-=，

故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B t

t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.

又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =

++=++及重心G 在x 轴上，故2

20c t y t

-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫

-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. 所以，直线AC 方程为()

222y t t x t -=-，得()

21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而

42242212

44

242222211|2|||322

221222211|||1||2|23A

c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t

-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令2

2m t =-，则m >0，

122122213434S m S m m m m =-=-=+

++++…

当m =1

2S S

取得最小值1，此时G （2，0）.

3.解析（1）设()111,,,2D t A x y ⎛

⎫-

⎪⎝

⎭

，则2112x y =.

由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11

11

2y x x t

+

=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -

设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2

.

（2）由（1）得直线AB 的方程为12

y tx =+

. 由2

122

y tx x y ⎧

=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2

1212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.

设M 为线段AB 的中点，则2

1,2M t t ⎛

⎫+

⎪⎝

⎭

. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()

220t t t +-=.解得

t =0或1t =±.

当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为2

2

542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；

当1t =±

时，||EM =u u u u r 2

2522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝

⎭.

4．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=o

，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ∆

为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，

cos 60FH

NF

=o ，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ∆中NF

边上的高，易知为

2

NF =C ．