平面向量导学案一.doc

平面向量应用(一)导学案
授课人:高三文科备课组
一、学习目标：
二、要点知识整合
1.向量的概念
(1)零向量模的大小为0,方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为晶
Idl
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).
(4)如果直线/的斜率为k,贝lja=(l, k)是直线/的一个方向向量.
(5)向量的投影:lb|cos <a, b)叫做向量b在向量a方向上的投影.
2.向量的运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律.
(2)平面向量数量积的结果是实数，而不是向量.要注意数量积运算与实数运算在运算
律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律.a・b的运算结果不仅与a, b的长度有关，而且也与a, b的夹角有关,即a・b=lallbl cos <a, b).
3.两非零向堡平行、垂直的充要条件
若 a =(玉，凶)，b= (x2,y2)9
则a〃b#a= X b= x}y2 - x2y} =0.
a±b<^>a>b=0<^>x{x2 + =0.
重点：平面的数量积运算
难点：平面向量与几何综合
三、基础训练
四、热点突破探究
题型一平面向量的数量积
例 1 已知|a|=4, |b|=3, (2a—3b)(2a+b)=61.
⑴求a与b的夹角；
(2)求|a+b|；
(3)若届=a,』e=b,求Z\ABC的面积.
自主解答：
【解】(1)由(2a—3b)・(2a+b)=61,
得4|a|2-4a・b-3|b|2=61, V|a|=4, |b|=3,代入上式得 a b=-6,
— m+4n = 3, 2m + n= 12, 解得
m = 5,
n = 2.
・・・c°sO=^j=m=—f 又°*北180。

，.-.0=120°.
(2)|a+b|2 = (a+b)2 = |a|2+2a-b+|b|2 =42+2x(-6)4-32=13, A|a+b|=Vi3.
(3)由(1)知ZBAC=e=120°,
AB| = |a| =4, |AC| = |b|=3,
ASAABC=||AC| |AB|sinZBAC 乙
=?x 3 x 4 x s i n 120 ° = 3/.
探究提高：
⑴准确利用两向量的夹角公式cos〈a, b〉=于—及向量模的公式Ia|=/M.
(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：
%1a-b = 0,未必有a = 0,或b = 0；
%1| a • b | < | a | | b | ；
%1a・(b-c)^(a-b) -c.
变式训练1：已知平面内三个向量:a=(3, 12), b=(—1,2), c=(4, 1).
⑴求满足a=m b + n c]'l勺实数m, n；
(2)若(a+kc) // (2b—a),求实数k.
解：(l)・「a=mb+nc, m, n£R,
/. (3,12)=m(—l,2)+n(4,l)=(—m+4n,2m+n),
所以实数m, n的值分别为5,2.
(2)Va+k c=(3,12)+k(4,l) = (4k+3, k+12), 2b—a=(—2,4)—(3,12) = (—5, —8), 又(a+k c)〃(2b—a),
4
・・・一8(4k+3)+5(k+12)=0, :.k=y
题型二平面向量与三角函数
例 2 己知向量 a = (cosa, sina), b=(cos0, sinp), c=(—1,0).
⑴求向量b + c的长度的最大值；
(2)设且aJL(b + c),求cos。

的值.
【解】(1)法一：b + c=(cosB—1, sin P ),则
|b+c|2=(cos P — l)2 + sin2 P =2(1 —cos P ).
•・・一1 Wcos B W1....0W|b + c|2W4,即0W|b + c| W2.
当cosf3= —1时，有|b+c|=2,所以向量b + c的长度的最大值为2.
法二：・.・|b|=l, |c|=l, |b+c|W|b| + |c| = 2.
当cos P = — 1, sinP = 0 时，有b+c=(—2,0),即|b+c|=2,
所以向量b+c的长度的最大值为2.
(2)法一：由已知可得b+c=(cosB—1, sin & ).
a・(b+c) = cos a cos 3 +sin a sin 3 —cos a =cos( a — 0 )—cos a Va±(b+c), /.a (b+c)=0,即cos( a — 3 )=cos a .
由。

=彳，得cos(彳一0) = CO0 即0—彳=2k7t士彳(kuz), 兀、、
..•P = 2k7i+m或P = 2k7L, kez,于是cosP = 0 或cos[3= 1.
法二：若以=学则a= . 乂由b=(cos&, sinf), c=( —1,0)得a・(b+c) =
/、/'彖 3 A/2 . (cosp —1, sinp) =-r~cosp + sinp —-
乙乙乙乙
Va±(b+c), /.a (b+c)=0,即cosp+sinp=l.
Asinp=l —cos。

，平方后化简得cosp(cosp—1)=0.
解得cos(3=0或cos[3=l,经检验，cos|3 = 0或cos|3= 1即为所求.
探究提高：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性.（1）解这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想.
变式训练2：(2009 年高考江苏卷)设向量a=(4cosa, sin a), b=(sin P , 4cosB), c=(cos —4sinP).
⑴若a与b—2c垂直，求tan((】+ B )的值；
(2)求|b+c|的最大值；
(3)若tan a tan 8=16,求证：a〃b.
解：(1)由已知得b—2c=(sinP —2cosP , 4cos B+8sin B ),
因为a与b—2c垂直,所以a (b—2c)
=4cos a sin B — 8cos a cos P +4sin a cos P +8sin a sin 8
=4sin( a + P ) —8cos( a + P ) = 0,
因此tan( a + P )=2.
(2)由b + c=(sin B +cos B , 4cos P —4sin P ),
^sinp+cos[32+4cosp—4sin[32
=[17—15sin20 又当。

=1＜兀一*k^Z）时，等号成立，所以|b+c|的最大值为4粗.
门 , 八z,.4cosa sina
⑶证明：由tanatanp=16,得与而'=志｛?
即4cosa-4cosp—sina sinp=0,所以a〃b.
%1.高考聚焦
选择题(一) —• —•—♦—•—* —•—♦—♦—• —•
(1)(2007广东文)若向量“'满足1们="1=1*与人的夹角为60。

,则“2 + "'=( B )
1 3 |右
——1+—
A. 2
B. 2
C. 2
D. 2
(2).(2007山东文)巳知向量“=(1‘ 〃)，” = (一1，〃)，若&-b与力垂直，则 a =( C )
A. 1
B. ^2
C. 2
D. 4
—————
(3)(2008海南、宁夏文)己知平面向量“=(1, 一3),》=(4, -2), +力与"垂直，
则义是(A )
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2
(4)(2009广东理)一质点受到平面上的三个力鸟，& (单位：牛顿)的作用而处于平衡
状态.已知匕用成60°角，旦的大小分别为2和4,则％的大小为(D)
A. 6
B. 2
C. 2后
D. 2小
(5)(2010广东文)若向量U=(1,1),5=(2,5),U=(3,X),满足条件(膈一片)三=30,则尤=
(C )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
(二)解答题
- - 2-V5 (6)(2009 广东中山)已知向量a = (cos a, sin a), =(cos”,sin/?), \ci-b |=—.
J
(I )求cos(a —尸)的值；
rr jr5
(II)若0 va< — ,——< /? < 0, fl.sin/?= -------------- ,求sin a.
13
——♦
( 7 )( 2009 广东六校)设。

=(sin2x?cos2x),b = (cos(p9 sin (p) (0 < 伊 <))，函数
一— 3
f(x) = a-b Jl/(-^) = 0.
o
(I )求e； (II)在给出的直角坐标系中画出函数y = /(x)在区间［0,^］±的图像；
(III)根据画出的图象写出函数y = f(x)在［0,勿］上的单调区间和最值.
六.完成作业平面向量应用(二)导学案。