平面向量导学案一.doc

平面向量应用(一)导学案

授课人:高三文科备课组

一、学习目标：

二、要点知识整合

1.向量的概念

(1)零向量模的大小为0,方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为晶

Idl

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).

(4)如果直线/的斜率为k,贝lja=(l, k)是直线/的一个方向向量.

(5)向量的投影:lb|cos

2.向量的运算

(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律.

(2)平面向量数量积的结果是实数，而不是向量.要注意数量积运算与实数运算在运算

律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律.a・b的运算结果不仅与a, b的长度有关，而且也与a, b的夹角有关,即a・b=lallbl cos

3.两非零向堡平行、垂直的充要条件

若 a =(玉，凶)，b= (x2,y2)9

则a〃b#a= X b= x}y2 - x2y} =0.

a±b<^>a>b=0<^>x{x2 + =0.

重点：平面的数量积运算

难点：平面向量与几何综合

三、基础训练

四、热点突破探究

题型一平面向量的数量积

例 1 已知|a|=4, |b|=3, (2a—3b)(2a+b)=61.

⑴求a与b的夹角；

(2)求|a+b|；

(3)若届=a,』e=b,求Z\ABC的面积.

自主解答：

【解】(1)由(2a—3b)・(2a+b)=61,

得4|a|2-4a・b-3|b|2=61, V|a|=4, |b|=3,代入上式得 a b=-6,

— m+4n = 3, 2m + n= 12, 解得

m = 5,

n = 2.

・・・c°sO=^j=m=—f 又°*北180。，.-.0=120°.

(2)|a+b|2 = (a+b)2 = |a|2+2a-b+|b|2 =42+2x(-6)4-32=13, A|a+b|=Vi3.

(3)由(1)知ZBAC=e=120°,

AB| = |a| =4, |AC| = |b|=3,

ASAABC=||AC| |AB|sinZBAC 乙

=?x 3 x 4 x s i n 120 ° = 3/.

探究提高：

⑴准确利用两向量的夹角公式cos〈a, b〉=于—及向量模的公式Ia|=/M.

(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：

%1a-b = 0,未必有a = 0,或b = 0；

%1| a • b | < | a | | b | ；

%1a・(b-c)^(a-b) -c.

变式训练1：已知平面内三个向量:a=(3, 12), b=(—1,2), c=(4, 1).

⑴求满足a=m b + n c]'l勺实数m, n；

(2)若(a+kc) // (2b—a),求实数k.

解：(l)・「a=mb+nc, m, n£R,

/. (3,12)=m(—l,2)+n(4,l)=(—m+4n,2m+n),

所以实数m, n的值分别为5,2.

(2)Va+k c=(3,12)+k(4,l) = (4k+3, k+12), 2b—a=(—2,4)—(3,12) = (—5, —8), 又(a+k c)〃(2b—a),

4

・・・一8(4k+3)+5(k+12)=0, :.k=y

题型二平面向量与三角函数

例 2 己知向量 a = (cosa, sina), b=(cos0, sinp), c=(—1,0).

⑴求向量b + c的长度的最大值；

(2)设且aJL(b + c),求cos。的值.

【解】(1)法一：b + c=(cosB—1, sin P ),则

|b+c|2=(cos P — l)2 + sin2 P =2(1 —cos P ).

•・・一1 Wcos B W1....0W|b + c|2W4,即0W|b + c| W2.

当cosf3= —1时，有|b+c|=2,所以向量b + c的长度的最大值为2.

法二：・.・|b|=l, |c|=l, |b+c|W|b| + |c| = 2.

当cos P = — 1, sinP = 0 时，有b+c=(—2,0),即|b+c|=2,

所以向量b+c的长度的最大值为2.

(2)法一：由已知可得b+c=(cosB—1, sin & ).

a・(b+c) = cos a cos 3 +sin a sin 3 —cos a =cos( a — 0 )—cos a Va±(b+c), /.a (b+c)=0,即cos( a — 3 )=cos a .

由。=彳，得cos(彳一0) = CO0 即0—彳=2k7t士彳(kuz), 兀、、

..•P = 2k7i+m或P = 2k7L, kez,于是cosP = 0 或cos[3= 1.

法二：若以=学则a= . 乂由b=(cos&, sinf), c=( —1,0)得a・(b+c) =

/、/'彖 3 A/2 . (cosp —1, sinp) =-r~cosp + sinp —-

乙乙乙乙

Va±(b+c), /.a (b+c)=0,即cosp+sinp=l.

Asinp=l —cos。，平方后化简得cosp(cosp—1)=0.

解得cos(3=0或cos[3=l,经检验，cos|3 = 0或cos|3= 1即为所求.

探究提高：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性.（1）解这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想.

变式训练2：(2009 年高考江苏卷)设向量a=(4cosa, sin a), b=(sin P , 4cosB), c=(cos —4sinP).

⑴若a与b—2c垂直，求tan((】+ B )的值；

(2)求|b+c|的最大值；

(3)若tan a tan 8=16,求证：a〃b.

解：(1)由已知得b—2c=(sinP —2cosP , 4cos B+8sin B ),

因为a与b—2c垂直,所以a (b—2c)

=4cos a sin B — 8cos a cos P +4sin a cos P +8sin a sin 8

=4sin( a + P ) —8cos( a + P ) = 0,

因此tan( a + P )=2.

(2)由b + c=(sin B +cos B , 4cos P —4sin P ),

^sinp+cos[32+4cosp—4sin[32

=[17—15sin20 又当。=1＜兀一*k^Z）时，等号成立，所以|b+c|的最大值为4粗.

门 , 八z,.4cosa sina