高中数学解题方法之参数法(含答案)

五、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。

直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。

换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。

参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。

运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

Ⅰ、再现性题组：
1. 设2x ＝3y ＝5z >1，则2x 、3y 、5z 从小到大排列是________________。

2. （理）直线x t
y t
=--=+⎧⎨⎪⎩⎪2232上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。

（文）若k<－1，则圆锥曲线x 2－ky 2＝1的离心率是_________。

3. 若复数z 在复平面内对应的点Z 在虚轴上移动，则复数C ＝z 2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为________ _________。

4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。

5. 设函数f(x)对任意的x 、y ∈R ，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R 上是______函数。

(填“增”或“减”)
6. 椭圆
x
2
16
＋
y
2
4
＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是_____。

A. 3
B. 11
C. 10
D. 22
【简解】1小题：设2x ＝3y ＝5z ＝t ，分别取2、3、5为底的对数，解出x 、y 、z ，再用“比较法”比较2x 、3y 、5z ，得出3y<2x<5z ；
2小题：（理）A(-2,3)为t ＝0时，所求点为t
2
时，即(-1,2)或(-3,4)；
（文）已知曲线为椭圆，a ＝1，c ＝11+
k
，所以e ＝－
1k
k
k 2
+；
3小题：设z ＝b ｉ，则C ＝1－b 2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x 轴向左的射线；
4小题：设三条侧棱x 、y 、z ，则
12
xy ＝6、
12
yz ＝4、
12
xz ＝3,所以xyz ＝24,体积为4。

5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；
6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝|sin cos|
442
5
αα
+-
的最大值，选C。

Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a2＋b2＋c2的最小值。

【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝1
3
＋t
1
，
b＝1
3
＋t
2
，c＝
1
3
＋t
3
，代入a2＋b2＋c2可求。

【解】由a＋b＋c＝1，设a＝
1
3
＋t
1
，b＝
1
3
＋t
2
，c＝
1
3
＋t
3
，其中t
1
＋t
2
＋t
3
＝0，∴ a2＋b2＋c2＝（
1
3
＋t
1
）2＋（
1
3
＋t
2
）2＋(
1
3
＋t
3
)2＝
1
3
＋
2
3
(t
1
＋t
2
＋t
3
)
＋t
12＋t
2
2＋t
3
2＝
1
3
＋t
1
2＋t
2
2＋t
3
2≥
1
3
所以a2＋b2＋c2的最小值是1
3。

【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。

本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a2＋b2＋c2＝
(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥1
3。

两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。

例2. 椭圆x2
16
＋
y2
4
＝1上有两点P、Q，O为原点。

连OP、OQ，若k
OP
·k
O Q
＝－
1
4
，
①．求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值；②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

【分析】由“换元法”引入新的参数，即设
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
4
2
cos
sin
θ
θ
（椭圆参数方程），参数θ
1
、
θ
2为P、Q两点，先计算k
OP
·k
O Q
得出一个结论，再计算|OP|2＋|OQ|2，并运用“参数
法”求中点M的坐标，消参而得。

【解】由x2
16
＋
y2
4
＝1，设
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
4
2
c o s
s i n
θ
θ
，P(4cosθ
1
,2sinθ
1
)，Q(4cosθ
2
,2sinθ
2
),
则k
OP ·k
O Q
＝
2
4
1
1
sin
cos
θ
θ
∙
2
4
2
2
sin
cos
θ
θ
＝－
1
4
，整理得到：
cosθ
1 cosθ
2
＋sinθ
1
sinθ
2
＝0,即cos（θ
1
－θ
2
）＝0。

∴ |OP|2＋|OQ|2＝16cos 2θ1
＋4sin 2θ
1
＋16cos 2θ
2
＋4sin 2θ2
＝8＋12(cos 2θ1＋cos 2θ
2
)＝20＋6（cos2θ
1
＋cos2θ
2
)
＝20＋12cos （θ
1
＋θ
2
）cos （θ
1－θ
2
）＝20，
即|OP|2＋|OQ|2等于定值20。

由中点坐标公式得到线段PQ 的中点M 的坐标为x y M M =+=+⎧⎨⎩21212
(cos cos )
sin sin θθθθ，
所以有(
x 2
)2＋y 2＝2＋2(cos θ
1
cos θ
2
＋sin θ1
sin θ
2
)＝2,
即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为
x
2
8
＋
y
2
2
＝1。

【注】由椭圆方程，联想到a 2＋b 2＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。

本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M 点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cos θ1＋ cos θ
2
）
2
＋（sin θ
1
＋sin θ
2
）2，这是求点M 轨迹方程“消参法”的关键一步。

一般地，求动点
的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x 、y 坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。

本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k ，解出P 、Q 两点坐标再求： 设直线OP 的斜率k ，则OQ 的斜率为－
14k
，由椭圆与直线OP 、OQ 相交于PQ 两点有：
x y y kx 224160+-==⎧⎨⎩
，消y 得(1＋4k 2)x 2
＝16,即|x P |＝4142
+k ； x y y k x 224160
14+-==-
⎧⎨⎪⎩
⎪，消y 得(1＋142k )x 2
＝16，即|x Q |＝||8142
k k +； 所以|OP|2＋|OQ|2＝(12
+k
∙
4142
+k
)2
＋（11162
+
k
∙
||8142
k k
+）2
＝
2080142
2
++k k
＝20。

即|OP|2＋|OQ|2等于定值20。

在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝12
+k AB
∙|x A －x B |求|OP|
和|OQ|的长。

例3.已知正四棱锥S —ABCD 的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cos α=-cos 2β。

【分析】要证明cos α=-cos 2β，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。

【解】连AC 、BD 交于O ，连SO ；取BC 中点F ，连SF 、OF ；作BE ⊥SC 于E ，连DE 。

则∠SFO ＝β，∠DEB ＝α。

设BC ＝a (为参数)， 则SF ＝
O F cos β
＝
a 2cos β
,
SC ＝SF F C 22
+＝(
cos )(
)a a 22
2
2
β
+
＝
a 2cos β
12
+cos β
又 ∵BE ＝
SF BC SC
·＝
a
2
2cos β
⨯
1212
a cos cos β
β
+＝
a 12
+cos β
在△DEB 中，由余弦定理有：cos α＝
2222
2
BE BD
BE
-＝
2122122
2
2
2
⨯
+-⨯
+a
a
a
cos cos ββ
＝－cos 2β。

所以cos α＝－cos 2β。

【注】 设参数a 而不求参数a ，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。

Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知复数z 满足|z|≤1，则复数z ＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。

2. 函数y ＝x ＋2＋142
--x x
的值域是________________。

3. 抛物线y ＝x 2－10xcos θ＋25＋3sin θ－25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值为_____
A. 5
B. 10
C. 23
D. 3
4. 过点M(0,1)作直线L ，使它与两已知直线L 1：x －3y ＋10＝0及L 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段被点M 平分，求直线L 方程。

5. 求半径为R 的球的内接圆锥的最大体积。

6. f(x)＝(1－a 2
cos 2x)sinx ，x ∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a 的取值范围。

7. 若关于x 的方程2x 2＋xlg ()
a a 2
3
3
18-＋lg 2(a
a 2
1
2-)＋lg
21
2
a
a
-＝0有模为1的虚根，求实数
a 的值及方程的根。

8. 给定的抛物线y 2＝2px (p>0)，证明：在x 轴的正向上一定存在一点M ，使得对于抛物线的任意一条过点M 的弦PQ ，有12
||
M P ＋
12
||
M Q 为定值。

参数法巩固性题组答案
6、解：由f(x)＝(1－a 2
cos 2x)sinx ，x ∈[0,2π)及f(x)≤1得：2
sin cos sin 12
a x x x -
≤
2
(1sin )sin 1sin (1sin )sin 12
2
a a x x x x x ⇒-
-≤-⇒-+≤，令1(1sin )sin 2
y x x =-+
则2
111(sin )228
y x =-
+
+
，2
190(sin )24
x ≤+
≤
，故118
y -≤≤
，当0a =，显然有：
f(x)≤1，当0a >时，由18
a ay a -≤≤，及1ay ≤恒成立知：08a <≤
当0a <时，由
18
a ay a ≤≤-及1ay ≤恒成立知：10a -≤<，
综上可知：a 的取值范围是[1,8]-
注：本题关键是成功地引入了辅助变量y ，以及对a 的符号的讨论。

7、解：令2
1lg
2a m a
-=，则原方程可化为22
230x mx m m ++-=，又方程有模为1的虚
根。

设(,,0)x c di c d R d =+∈≠,则由实系数一元二次方程虚根成对原理得：322
m c =-
2
22
()()12
m m c di c di c d -+-=+=
=，解得2m =或1m =-
当m=2时，32
c =-
与221c d +=矛盾，故应舍去。

1m ∴=-
此时2
11lg 1210
a a a
-±
=-⇒=，34
c =
，4
d =±
，即方程的根为34
4
x =
±
注：本题关键是成功引入辅助变量m,简化了运算。

还抓住了虚根成对原理。

8、解：设0(,0)M x ，直线PQ 的倾斜角为θ，直线PQ 的参数方程为：
0cos sin x x t y t θθ
=+⎧⎨
=⎩，（t 为参数），代入抛物线方程2
2y px =得： 2
2
0sin 2cos 20t pt px θθ--=，设1||PM t =，2||Q M t =且
1220
1222cos sin 2sin p t t px t t θθ
θ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
于是222221212122222222
121200()211cos sin t t t t t t M P M Q t t t t x x p θθ++-+===+ 2
2
2
002
200
cos sin ()sin p x p x p x p
x p
θθ
θ
++-=
=
，由于
2
2
11M P
M Q
+
为定值。

故0x p =
注：本题在于成功地利用了直线的参数方程，引入了辅助变量0x 、t 和θ。