量子力学(第四章)

c.c.
(t
t
)
,
k
k
,
(t
)
c.c.
H ih
(t
),
k
k
,
(t)
c.c.
1 ih
(t
),
H
k
k
,
(t
)
c.c.
Ek ih
(t
),
---
k
2
c.c.
0
(7)
在量子力学中，如不显含力学量 Aˆ 与体系的 Hamilton量对易，则称为体系的一个守恒 量。按上述分析，量子体系的守恒量，无论 在什么态下，平均值和几率分布都不随时间 改变。
---
位力(Virial)定理 当体系处于定态下，关于平均值随时间
的变化，有一个有用的定理，即位力定理。 设粒子处于势场V (rv)中，Hamilton量为
H p2 V (rv) 2m
考虑 rv pv的平均值随时间的变化。我们有
ih d rv pv rv pv, H
dt
1 2m
rv
pv,
p2
级一般是简并的。
证：由于F, H 0， F与 H可以有共同本征函
数
H E , F F
考虑到 G, H 0，故有
HG GH GE EG
即
G
也是H
的本征态，对应于本征值 ---
E
。
但 G 与 是否同一个量子态？考虑到
F,G 0，一般说来，
FG GF GF FG
即 G 不是 F的本征态。但 是 F的本征态， 因此 G与 不是同一个量子态。但它们又都 是 H的本征值为 E 的本征态，因此能级是简 并的。
---
同样若在t 0时 Aˆ 无确定值， (rv, 0)并非 Aˆ 的 本征态，则在以后由Schrödinger方程给出的 态 (rv,t) 中，测量Aˆ 也不会有确定值，亦即 相应的态也不是 Aˆ 的本征态，但 Aˆ 的平均值 及测值几率的分布不变。由于守恒量具有上 述性质，它的量子数称为好量子数。
---
2. 能级简并与守恒量的关系
守恒量的应用极为广泛，在处理能量本 征值问题，量子态随时间变化，量子跃 迁以及散射等问题中都很重要。这里要 害是涉及能量简并，它们包括：(a)能 级是否简并？(b)在能级简并的情况下， 如何标记各简并态。
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定理：设体系两个彼此不对易的守恒量F 和G ，
即F, H 0,G, H ，0 但 F,G ，0 则体系能
Hˆk Ekk , Aˆk Akk
(5)
于是，体系的任何一态 (t)均可用 k 展开
(t) ak (t) k , ak (t) k , (t) (6)
k
---
在 (t)态下，在 t时刻测量 Aˆ得 Ak的几率为 ak (t) 2，而
d dt
ak (t) 2
dak* dt
ak
,
Aˆ
t
1 , HˆAˆ ih
1 , Aˆ Hˆ
ih
,
Aˆ
t
1 ih
, Aˆ, Hˆ
,
Aˆ
t
1 ih
Aˆ ,
Hˆ
Aˆ t
(2)
---
如Aˆ 不显含时间 (以后如t 不特别声明，都是指这
种力学量)，即
Aˆ 0 t
则
d dt
A
1 ih
Aˆ, Hˆ
(3)
因此，如
---
量子力学守恒量的几个重要特征
a. 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量 并不一定取确定值，即体系的状态并不一定 就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时 刻 t 是否处于某守恒量 Aˆ 的本征态，要根据 初条件决定。若在 t 0 时 Aˆ有确定值，则在 以后任何时刻 Aˆ 也有确定值。即若体系在初 始时刻处于 Aˆ 的某一本征态，则在以后任何 时刻均处在同一本征态。
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推论：如果体系有一个守恒量 F ，而体系的 某条能级不简并(即对应于某能量本征值E 只有一个量子态 E)，则 E 必为 F 的本征态。 因为
HF E FH E FE E EF E
即 F E也是 H的本征值为 E 的本征态。但按假 定，能级E 无简并，所以 F E与 E只能是同 一个量子态，因此它们最多可以相差一个常数 因子，记为F，即 F E F E，所以 E也是 F 的本征态(F即本征值)。
Aˆ, Hˆ 0
则
dA 0
(4)wk.baidu.com
dt
即力学量 Aˆ 在任何态 (t)之下的平均值都不 随时间改变。还可以进一步证明，在任意态
(t)下 Aˆ 的几率分布也不随时间改变。
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由于 Aˆ, Hˆ 0，我们可以选择包括 Aˆ和 Hˆ在 内的一组力学量完全集，其共同本征态记为
k( k 是一组完备的量子数的标记)，即
rv
pv,V
(rv)
(8)
ih
1 m
p2
rvV
---
对于定态，d rv pv 0，所以
dt 1 p2 rvV m
即
2T rvV
(9)
式中T p2 2m 是粒子动能，上式即位力定理。
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位力定理特例
设V(x, y, z)是x, y, z 的n次齐次函数（即
第四章 力学量随时 间的演化与对称性
本章所讲的主要内容
力学量随时间的演化(4.1) 波包的运动，Ehrenfest定理(4.2)
Schrodinger图像与Heisenberg图像(4.3)
守恒量与对称性的关系(4.4)
全同粒子体系与波函数的交换对称性(4.5)
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§4.1 力学量随时间的演化
1. 守恒量
与经典力学不同，量子力学中， 处于量子态下的体系，在每一时刻， 并非所有力学量都具有确定值，而只 具有确定的几率分布和平均值。
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力学量 Aˆ 的平均值为
A(t) (t), Aˆ (t)
(1)
所以
d dt
A(t)
t
,
Aˆ
,
Aˆ
t
,
Aˆ
t
Hˆ
ih
,
Aˆ
,
Aˆ
Hˆ
ih
---
b. 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时 取确定值。例如中心力场中的粒子，Lˆ 的 三分量都守恒( Lˆi , Hˆ 0, i x, y, z)，但由 于 Lˆx, Lˆy , Lˆz不对易，一般说来它们并不能同 时取确定值（角动量 l 0 的态除外）。
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c. 定态和守恒量的区别 定态是体系的一种特殊的状态，即能量本征 态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量， 它与体系的Hamilton量对易。在定态下，一 切力学量(不显含t ，不管是否守恒量)的平 均值及测量值几率分布都不随时间改变，这 正是称之为定态的理由。而守恒量则是在一 切状态下(不管是否定态)的平均值和测量值 几率分布都不随时间改变，这正是称之为量 子体系守恒量的理由。