河北省保定一中2020届高三数学上学期第二次阶段测试试题理【含答案】
保定一中2020届高三上学期第二次阶段测试数学(理)试题含解析
河北保定七中2020届高三10月第二次阶段数学考试题理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题(60分）一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1.设集合{}{}222320A x xB x x x =-<=-+<，。
则R AC B =A 。
(][)0,12,4 B. ()1,2 C 。
∅D. ()(),04,-∞+∞【答案】A 【解析】 【分析】解二个不等式，化简集合,A B ，先求出RC B ，最后求出RA CB ⋂.【详解】因为2204x x -<⇒<<，232012x x x -+<⇒<<，所以{}{}0412A x x B x x =<<=<<，,因此{}1,2RC B x x x =≤≥或，所以R A C B =(][)0,12,4,故本题选A.【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算,正确解不等式是解题的关键。
2.复数31ii +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）．A 。
第一象限 B. 第二象限 C 。
第三象限 D 。
第四象限【答案】B 【解析】 复数31ii(1i)1i i+=+=-+，其在复平面上对应的点为(1,1)-，该点位于第二象限． 故选B ．点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念。
首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)()()i,(,,,)a b c d ac bd ad bc a b c d ++=-++∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念,如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b对应点为(,)a b ,共轭复数为i(,)a b a b -∈R3。
下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ）A.1y x=B.1y x =-C 。
lg y x =D 。
12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再依据单调性进行选择． 【详解】1y x=为奇函数;lg y x =的定义域为（0，＋∞),不具备奇偶性；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是偶函数但在(0，＋∞)上为减函数；1y x =-在（0，＋∞)上为增函数,且在定义域上为偶函数． 故选B【点睛】本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性的应用． 4。
河北省保定一中2020届高三语文上学期第二次阶段测试试题不分版本
河北省保定一中2020届高三语文上学期第二次阶段测试试题不分版本河北省保定一中2020届高三语文上学期第二次阶段测试试题不分版本河北省保定一中2020届高三语文上学期第二次阶段测试试题说明：1．本试卷由选择题和非选择题两局部构成，其中选择题 42分，非选择题108分，总分150分。
考试时间140分钟。
2．每题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．考试过程中考生答题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域，在其它区域作答无效。
一、古代诗文阅读〔57分〕〔一〕文言文阅读阅读下面的文言文，完成1—12题林聪，字季聪，宁德人。
正统四年进士。
景泰元年进都给事中。
时方多故，聪慷慨论事，无所讳。
中官单增督京营有宠，朝士稍忤者辄遭辱。
家奴白昼杀人，夺民产，侵商税。
聪发其奸，下诏狱．．非令典，请永除其．．。
获宥。
增自是不敢肆。
四年春，上言夺情令。
帝纳之。
正统中，福建银场额重，民不堪。
聪恐生变，请轻之。
时弗能用，已果大乱。
及是复极言其害，竟得减免。
先是，吏部尚书何文渊以聪言下狱，致仕去。
吏部除副使罗篪为按察使，参政李辂、佥事陈永为布政使。
聪疏争之，并言山西布政使王瑛老，宜罢。
篪等遂还故官，瑛致仕。
御史白仲贤以久次擢广东按察使聪言仲贤奔竞不当超擢乃迁镇江知府兵部主事吴诚夤缘得吏部聪劾之遂改工部。
诸司惮聪风裁，聪所言，无敢不奉行者，吏部尤甚。
英宗复辟．．，超拜左佥都御史，出振山东饥，活饥民百四十五万。
还进右副都御史，以廉价，擒戮渠魁数人，余悉解散。
母忧起复，再辞。
不许。
天顺四年，曹钦反。
将士妄杀，至割乞儿首报功，市人不敢出户。
聪署院事，急令获贼者必生致，滥杀为止。
成化七年代王越巡抚大同。
岁余，遇疾致仕．．。
再岁，以故官起掌南院。
前掌院多不乐御史言事，聪独奖励之。
或咎聪，聪曰：“己既不言，又禁他人言，可乎？〞十三年秋，召拜刑部尚书，寻加太子少保。
2020年河北省高三第二次适应性考试数学(理)试题-含答案
角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，
可排成的不同音序有（ ）
A.20 种
B.24 种
C.32 种
D.48 种
9.已知函数
与 轴交于点
，距离 轴最近的最大
值点
，若
，且
，恒有
，则实数 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.如图， 为 的外心，
为钝角， 是边 的中点，则
f（x）＝（4x+4﹣x）|x|是偶函数，但是 f（1）≠0，
f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|是奇函数，不满足题意． f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x|是偶函数，f（1）＝0 满足题意；
f（x）＝（4x+4﹣x）
|x|是偶函数，f（1）＝0，x∈（0，1）时，f（x）＞0，不满足题意．
20.（本题满分 12 分） 由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3 个人依次进行，每人必须 在 1 分钟内完成，否则派下一个人．3 个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否 则淘汰出局．根据以往 100 次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．
（2）若 f (x1) f (x2 ) ， x1 x2 ，求证： ex1 ex2 2 ．
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用 2B 铅 笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．(本小题满分 10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内解开 密码锁的频率； （2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并 且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立． ①求该团队能进入下一关的概率； ②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到最小，并说明 理由． 21.（本题满分 12 分） 已知函数 f (x) ex x ． （1）讨论 f (x) 的单调性；
精品解析：2020届河北省保定市高三上学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年度第一学期高三期末调研考试数学试题（文科）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.在答题卡上与题号相对应的区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡，非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1{||42x x A x y B x +===<，则A B =I （ ） A. (0,1)B. (0,1]C. RD. ∅ 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义条件及指数不等式,可解得集合A 与集合B,再由集合交集运算即可得解.【详解】对于集合{{}||1A x y x x ===≥ 对于集合{}{}{}121|42|22|1x x x x B x x x x ++=<=<=< 所以{}{}|1|1A B x x x x ≥<=∅=I I故选:D 【点睛】本题考查了指数不等式的解法与二次根式有意义的条件,交集的简单运算,属于基础题. 2.复数(23)i i -对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】将复数根据乘法运算化简即可得在复平面内的坐标,即可判断所在象限.【详解】由复数的乘法运算,化简可得()2233232i i i i i -=-+=+则在复平面内对应点的坐标为()3,2所以对应的点在第一象限故选:A【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的几何意义,属于基础题.3.函数2x y xe x =+的图象在点(0,0)处的切线方程为（ ）A. 21y x =--B. 21y x =-C. 3y x =D. 3y x =-【答案】C【解析】【分析】先根据函数求得导函数,再根据切点的横坐标求得切线的斜率,即可由点斜式求得切线方程.【详解】函数2x y xe x =+则'2x x y e xe =++所以切线的斜率023k e =+=由点斜式可得3y x =故选:C【点睛】本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点切线方程的求法,属于基础题.4.已知ABC ∆外接圆半径为1，圆心为O ，若20OA AB AC u u u r u u u r u u u r r ++=，则ABC ∆面积的最大值为（）A. 2B. 32 C. D. 1【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算,可判断出BC 为圆的直径.结合勾股定理及不等式即可求得面积的最大值.【详解】根据向量的减法运算,化简20OA AB AC u u u r u u u r u u u r r ++=可得20OA OB OA OA OC -+-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ,则0OB OC u u u r u u u r r +=即O 为BC 的中点.又因为O 为ABC ∆外接圆圆心,该外接圆的半径为1.所以2BC = 由圆的性质可知, 90BAC∠=o设,AB a AC b ==则224a b +=由不等式性质可知2242a b ab =+≥,则2ab ≤,当且仅当2a b ==时取等号 所以112122ABC S ab ∆=４=即ABC ∆面积的最大值为1故选:D【点睛】本题考查了向量的线性运算,不等式性质的应用,属于基础题.5.设点Q 为10220323x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，所表示的平面区域内的动点，若在上述区域内满足22x y +最小时所对应的点为P ，则OP uuu r 与OQ uuu r （O 为坐标原点）的夹角的取值范围为（ ）A. [0,]4πB. [0,]3πC. [0,]2πD. 3[,]24ππ【答案】A【解析】【分析】根据不等式组,可画出可行域.根据距离的最小值,可判断出P 点位置.再由几何性质即可求得夹角的取值范围.【详解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:满足22x y +最小时所对应的点为P ,即可行域内的P 到原点距离的平方最小当OP 与直线10x y +-=垂直时,交点即为P 点.设直线10x y +-=与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A由直线10x y +-=的斜率与倾斜角可知,45ABO BAO ∠=∠=o由OP 与直线10x y +-=垂直所以当Q 与A 或B 重合时, OP uuu r 与OQ uuu r 的夹角取得最大值;当Q 与P 重合时, OP uuu r 与OQ uuu r的夹角取得最小值 即OP uuu r 与OQ uuu r 的夹角的取值范围为[0,]4π 故选:A【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,距离型最值的求法,平面几何性质的应用,属于基础题. 6.已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）A. 最大值为4-B. 最小值为4C. 最小值为4-D. 最大值为4或4- 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可用1a 表示出d .由数列单调递增可得10a <.用1a 表示出3a ,结合基本不等式即可求得最值.【详解】因为122a a =-由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=- 变形可得112d a a =-- 因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =--> 即10a <而由等差数列通项公式可知312a a d =+()11111242a aa a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由10a ->,140a >-结合基本不等式可得 ()()311114424a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12a =-时取得等号所以3a 的最小值为4故选:B【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题. 7.如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m ，则此时欲经过桥洞的一艘宽12m 的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（ ）A. 6mB. 6.5mC. 7.5mD. 8m【答案】D【解析】【分析】 根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为12m 时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离.【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:设宽度为36m 时与抛物线的交点分别为,A B .当宽度为12m 时与抛物线的交点为,C D .当水面经过抛物线的焦点时,宽度为36m由抛物线性质可知236p =,则抛物线方程为236x y =-则()18,9A -当宽度为12m 时,设()6,C a代入抛物线方程可得2636a =-,解得1a =-所以直线AB 与直线CD 的距离为()()198h =---=即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8m故选:D【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,抛物线几何性质的应用,属于基础题.8.用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最小体积为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】 根据题意,当体积最小时,结合三视图还原空间几何体,即可求解.【详解】根据题意,当几何体体积最小时,空间几何图如下图所示:所以几何体的最小体积为5【点睛】本题考查了三视图还原空间几何体的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.9.函数131()2x f x x =-的零点所在的区间为（ ） A. 1(0,)4 B. 11(,)43 C. 11(,)32 D. 1(,1)2 【答案】C【解析】【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间. 【详解】函数131()2x f x x =-所以函数在R 上单调递增 因为1113331311111033322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1113321211111022222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以函数零点在11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故选:C【点睛】本题考查了根据零点存在定理判断零点所在区间,注意需判断函数的单调性,说明零点的唯一性,属于基础题.10.下列说法正确的个数为（ ）①“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件；②若数据123,,,,n x x x x ⋯的平均数为1，则1232,22,,2,n x x x x ⋯的平均数为2；③在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“sin cos x x +≥”发生的概率为12 ④已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.84P X ≤=，则(0)0.16P X ≤=.A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】根据复合命题真假即可判断①;根据平均数的计算公式可判断②;对于③由辅助角公式化简三角函数式,结合正弦函数的图像与性质即可求得sin cos 2x x +≥的x 取值范围,进而由几何概型概率计算得解;对于④根据正态分布曲线的性质,即可求得概率.【详解】对于①,由复合命题“p q ∨为真”,可知p 为真,或q 为真;若“p q ∧为真”,则p 为真,且q 为真.所以“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的必要不充分条件,所以①错误；对于②,若数据1231n x x x x n+++⋯+=的平均数为1,由平均数公式可知()123123222222n n x x x x x x x x n n+++⋯++⋯+=+=+的平均数为2,所以②正确; 对于③,在区间[]0,π上.若sin cos 4x x x π⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭解得5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 则在区间[]0,π上随机取一个数x ,则事件“sin cos x x +≥”发生的概率为5112123p πππ-==,所以③错误;对于④,随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ,则2μ=.(4)0.84P X ≤=,由正态分布曲线规律可知(0)(4)10.840.16P X P X ≤=≥=-=,所以④正确.综上可知,正确的为②④故选:C【点睛】本题考查了复合命题真假判断,平均数的计算公式,正弦函数的图像与性质及几何概型的概率计算,正态分布曲线的性质及应用,属于基础题.11.若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ）A. 2或eB. 1或eC. 0或1D. e【答案】B【解析】【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率.【详解】设直线l 与函数()x f x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k .则1122l 2,n x y e y x ==+因为'()x f x e =,()1'g x x= 则121x x k e == 所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得 ()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---= 即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e= 代入21k x = 可得1k =或k e =故选:B【点睛】本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.12.正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =u u u u r u u u u r ，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CP D P MP=，则点P 的轨迹为（ ）A. 圆弧B. 线段C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】【分析】 根据题意,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,(),P x y .由1DP CP D P MP=及两点间距离公式,表示出P 的轨迹方程.即可判断轨迹的形状. 【详解】由题意以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,(),P x y 则()0,1C ,由12CM MC =u u u u r u u u u r ,可得23MC = 因为P 在底面ABCD 内运动,且满足1DP CP D P MP=.由勾股定理及两点间距离公式代入可得()()2222222214119x y x y x y x y +-+=+++-+两边同时平方,并展开可得222222222113129x y x y y x y x y y ++-+=+++-+ 交叉相乘,化简可得22189055x y y +-+= 化为标准方程可得 22936525x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 而因为P 在底面ABCD 内运动,所以其轨迹为一段圆弧故选:A【点睛】本题考查了空间几何体中的轨迹方程问题,几何关系式的应用,计算量较为复杂,属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式61()x x-的展开式中4x 项的系数为__________． 【答案】6-； 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项,代入即可求得4x 项的系数.【详解】根据二项定理展开式的通项1C r n r rr n T a b -+=则二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为()66216611rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以当1r =时,4x 的系数为()11616C -=-故答案为:6-【点睛】本题考查了二项式定理及通项式的应用,属于基础题. 14.如图，某地一天从614～时的温度变化曲线近似满足函数()y Asin x b ωϕ＝＋＋0,0,0()A ωϕπ>><<，则该函数的表达式为________．【答案】()8310204y sin x ππ＝＋＋，[6x ∈，14] 【解析】 【分析】通过函数的图象，求出A ，b ，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过(10,20)求出ϕ，得到函数的解析式．【详解】解：由题意以及函数的图象可知，10A =，20b =，2(146)16T =-=，所以28T ωππ==， 由函数经过(10,20)所以2010sin(10)208πϕ=⨯++，又0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以函数的解析式：310sin()2084y x ππ=++，[6x ∈，14]． 故答案为：310sin()2084y x ππ=++，[6x ∈，14]． 【点睛】通过函数的图象求出函数的解析式，是三角函数常考题型，注意图象经过的特殊点，注意函数解析式的范围容易出错遗漏，属于基础题．15.若一个三位数的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，我们就称这个三位数为“递增三位数”.现从所有的递增三位数中随机抽取一个，则其三个数字依次成等差数列的概率为__________． 【答案】421； 【解析】 【分析】利用列举法列举出所有符合“递增三位数”的三位数,并找出符合等差数列的个数,即可由古典概型概率的计算公式求解.【详解】根据定义“递增三位数”, 个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字.可知个位数最小为3,最大为9当个位数为3时,三位数为123,共1个.三个数字依次成等差数列的有1个.当个位数为4时,三位数为124,134,234,共3个.三个数字依次成等差数列的为234,有1个当个位数为5时,三位数为125,135,145,235,245,345,共6个.三个数字成等差数列的为135,345.有2个. 当个位数为6时,三位数为126,136,146,156,236,246,256,346,356,456共10个.三个数字成等差数列的为246,456,有2个.当个位数为7时,三位数为127,137,147,157,167,237,247,257,267,347,357,367,457,467,567共15个,三个数字成等差数列的为147,357,567,有3个. 当个位数为8时,三位数为128,138,148,158,168,178,238,248,258,268,278,348,358,368,378,458,468,478,568,578,678.共21个, 三个数字成等差数列的为258,468,678,有3个. 当个位数为9时,三位数为129,139,149,159,169,179,189,239,249,259,269,279,289,349,359,369,379,389,459,469,479,489,569,579,589,679,689,789共28个, 三个数字成等差数列的为159,369,579,789,有4个. 综上可知, “递增三位数”共有1361015212884++++++=个.三个数字成等差数列的共有112233416++++++=个则从所有的递增三位数中随机抽取一个,则其三个数字依次成等差数列的概率为1648421= 故答案为:421【点睛】本题考查了古典概型概率的简单应用,列举法在概率中的应用,属于基础题.16.已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足213(2)n n S S n n -+=≥，则n a =__________．【答案】1,134,*,,34,*,(1)n n n N n n n N n n =⎧⎪+∈⎨⎪-∈≠⎩为偶数为奇数或1,13(1)4,*,2nn n n N n =⎧⎨+-⨯∈≥⎩【解析】 【分析】根据递推公式,可求得+163n n a n a =++,再递推后可得+2169n n a a n ++=+.两式相减可得+26n n a a -=,即当2n ≥时隔项成等差数列.由递推公式及首项,求得2a ,3a .即可求得通项公式.【详解】数列{}n a 中,其前n 项和为n S ,且满足213(2)n n S S n n -+=≥①则()22+13+1=363n n n n S S n +=++②-②①可得+163n n a n a =++则()+2161369n n a n a n ++++=+= 两式相减可得+26n n a a -=所以数列{}n a 当2n ≥时隔项成等差数列,公差为6 已知数列{}n a 中,11a =当2n =时,代入213n n S S n -+=可得2112S S +=,即12112a a a ++=,解得210a = 当3n =时,代入213n n S S n -+=可得3227S S +=,1231227a a a a a ++++=,解得35a =由数列{}n a 当2n ≥时隔项成等差数列可知当n ∈偶数时,1016342n a n n ⎛⎫+-⨯=+⎪⎝⎭= 当n ∈奇数时,1516342n a n n -⎛⎫+-⨯=-⎪⎝⎭= 因而上式也可写成2n ≥时, 3(1)4,*,nn a n n N =+-⨯∈综上可知1,134,*,,34,*,(1)n n a n n N n n n N n n =⎧⎪=+∈⎨⎪-∈≠⎩为偶数为奇数或1,13(1)4,*,2n nn a n n N n =⎧=⎨+-⨯∈≥⎩ 故答案为:1,134,*,,34,*,(1)n n a n n N n n n N n n =⎧⎪=+∈⎨⎪-∈≠⎩为偶数为奇数或1,13(1)4,*,2n nn a n n N n =⎧=⎨+-⨯∈≥⎩【点睛】本题考查了数列递推公式求通项公式的方法,奇偶项分类讨论求通项公式的应用,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-u r，(2,0)n =r .（1）若23B π=，求m u r 与n r 的夹角θ；（2）若||1,m b ==r，求ABC ∆周长的最大值.【答案】（1）3πθ=（2）【解析】 【分析】 （1）将23B π=代入可求得m u r .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅u r r ,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =r 及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.【详解】（1）23B π=,所以32m ⎫=⎪⎪⎝⎭u r , 因为(2,0)n =r,202m n ⋅=⨯+=u r r ∴ ,又||m ==u r ||2n =r, 1cos 2θ==∴, 3πθ∴=,（2）因为||1m =u r ,即||1m ===r,所以3B π=,方法1.由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.2222()()3()324a c a c a c ac a c ++⎛⎫=+-≥+-⋅=⎪⎝⎭,即2()34a c +≥,即a c +≤（当且仅当a c =时取等号） 所以ABC ∆周长的最大值为方法2.由正弦定理可知, 2sin sin sin a c bA C B===, 2sin ,2sin a A c C ==∴,23A C π+=,所以22sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又203A π<<,5666A πππ<+<, 1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,a c +∈∴,所以当3A π=时,a c +取最大值所以ABC ∆周长的最大值为【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形周长的表示方法,基本不等式与正弦函数的图像与性质应用,属于基础题. 18.已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （2）求n a .【答案】（1）数列{}n b 不是等比数列.见解析（2）+122n n a n =-【解析】 【分析】（1）根据所给通项公式及12a =,24a =,310a =,可求得123,,b b b ,即可利用等比中项定义判断{}n b 是否为等比数列.（2）根据{2}n b +为等比数列,即可由（1）中所得首项与公比求得n b .根据1,n n n a a b +-=结合递推公式与累加法,即可求得n a .【详解】（1）数列{}n b 不是等比数列. 理由如下：由1n n n a a b +-=,且1232,4,10a a a ===得： 所以1212b a a =-=,2326b a a =-=, 又因为数列{2}n b +为等比数列, 所以可知其首项为4,公比为2.所以2324216b +=⨯=,314b =∴,显然22133628b b b =≠=故数列{}n b 不是等比数列.（2）结合（1）知,等比数列{2}n b +的首项为4,公比为2, 故112422n n n b -++=⋅=,所以122n n b +=-,因为1n n n a a b +-=,122(2)n n n a a n --=-≥∴令2,,(1)n n =-L累加得()2322222(1)nn a n -=+++--L ,()23222222n n a n ∴=++++-+L ()1221222221n n n n +-=-+=--,又12a =满足上式,+122n n a n =-∴【点睛】本题考查了利用等比中项判断数列是否为等比数列的方法,构造数列法求通项公式的应用,累加法在求通项公式中的应用,属于中档题.19.如图，几何体ABCDFE 中，ABC ∆，DFE ∆均为边长为2的正三角形，且平面//ABC 平面DFE ，四边形BCED 为正方形.（1）若平面BCED ⊥平面ABC ，求证:平面//ADE 平面BCF ；（2）若二面角D BC A --为150︒，求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）3926【解析】 【分析】（1）取BC 的中点O ,ED 的中点G ,连接,,,AO OF FG AG .可证明//AO FG ,结合AO FG =,可知四边形AOFG 为平行四边形.进而由//AG OF 和//DE BC 及平面与平面平行的判定定理证明平面//ADE 平面BCF ;（2）连结GO ,可知GOA ∠即为二面角D BC A --的平面角.以O 为原点建立空间直角坐标系.由线段关系写出各个点的坐标,求得平面ADE 的法向量,即可根据直线与平面夹角的向量关系求得直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取BC 的中点O ,ED 的中点G ,连接,,,AO OF FG AG .如下图所示:因为AO BC ⊥,且平面BCED ⊥平面ABC , 所以AO ⊥平面BCED , 同理FG ⊥平面BCED , 所以//AO FG ,又因为3AO FG ==所以四边形AOFG 为平行四边形, 所以//AG OF ,//AG 平面BCF , 又//DE BC ,DE ⊄ 平面BCF , 又因为AG 和 DE 交于点G所以平面//ADE 平面BCF .（2）连结GO ,则GO BC ⊥, 又AO BC ⊥所以GOA ∠为二面角D BC A --的平面角, 所以150GOA ∠=︒建立如图所示的空间直角坐标系,则(23,0,0),(0,1,1),(0,1,1),3,1,0)A D E B -所以(23,1,1),(0,2,0)AD ED =-=u u u r u u u r设平面ADE 的一个法向量是(,,)n x y z =r,则00n AD n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u uv r ,即2300x y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩, 令3,6x z =∴=,即3,0,6)n =r,又因为(3,0,1)BD =-u u u r,所以39sin ,||||239BD n BD n n BD ⋅〈〉===⋅u u u r ru u u r r u u u r r即所求的角的正弦值为3926. 【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定,空间向量在求线面夹角中的用法.关键在于作出相应的辅助线,找到线线平行,找到合适的原点建立空间直角坐标系,属于中档题.20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为2,0)，四条直线x a =±，y b =±所围成的区域面积为43（1）求C 的方程；（2）设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，设弦AB 的中点为M ，且1||||2OM AB =（O 为原点），求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=（2）113y x =+【解析】【分析】（1）由题意,结合椭圆的性质可得,,a b c 的方程组,解方程组即可求得椭圆的标准方程.（2）因为直线过定点,设出直线方程,并联立椭圆方程.化简后利用判别式求得斜率的取值范围.由三角形几何性质可知OA OB ⊥,结合平面向量数量积定义及韦达定理求得斜率的方程,解方程即可求得斜率,进而可得直线l 的方程.【详解】（1）依题意得22222223222c a b a b a b a b c ⎧=⎪⎧=⎪⨯=⇒⎨⎨-=⎩⎪-=⎪⎩,解得223,1a b == ∴椭圆C 的方程为2213x y +=．（2）易知直线l 的斜率存在,并设直线方程为3y kx =+,联立椭圆,22133x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,化简得()221318240k x kx +++=, 设()11,A x y 、()22,B x y ,()2228(18)961303k k k ∴∆=-⨯+>⇒>,且1212221824,1313k x x x x k k +=-=++, 由三角形几何性质可知OA OB ⊥0OA OB ∴⋅=u u u r u u u r,即()()121212120330x x y y x x kx kx +=⇒+++=,()()212121390k x x k x x ∴++++=．将1212221824,1313k x x x x k k +=-=++ 代入上式得()222224154901313k k k k+-+=++ 化简得2333k =,所以k =故所求的直线方程为3y =+【点睛】本题考查了由,,a b c 关系求椭圆标准方程的求法,直线过定点时与椭圆的位置关系,平面向量与解析几何的综合应用,韦达定理在用坐标研究向量关系中的应用,属于中档题.21.已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9x x f x f x e e+-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-…成立，求a 的取值范围； （3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.【答案】（1）()3x f x e =-（2）[3,7]-（3）3-，(1-+、ln3，ln(3ln 4)+、1-【解析】【分析】（1）利用构造方程组法即可求得()f x 的解析式;（2）根据不等式,构造函数2()(2)6x x a x ϕ=-+-+与()()()13x F x x e =--.根据不等式恒成立可知满足min max ()()x F x ϕ≥.求得(),F x '()F x ''.通过判断()F x ''的符号可判断()F x '的单调性,由其单调性可得()0min F x '>,进而可知()F x 为单调递增函数,即可求得max ()F x .再根据min max ()()x F x ϕ≥及二次函数性质,可得a 的取值范围;（3）根据()g x 的解析式,画出函数图像.并令()T g x =,则方程变为()1g T =.解得T 的值.即可知()2g x =-、()0g x =及()ln 4g x =.结合函数图像及解析式,即可求得对应方程的解.【详解】（1）2()2()9x x f x f x e e +-=+-Q ,…① 所以2()2()9x x f x f x e e ---+=+-即1()2()29x x f x f x e e-+=+-…② 由①②联立解得:()3x f x e =-.（2）设2()(2)6x x a x ϕ=-+-+, ()()()1333x x x F x x e e xe x =--=+--, 依题意知:当11x -≤≤时,min max ()()x F x ϕ≥ ()()33x x x x F x e e xe xe '+=-+=-+Q又()(1)0x F x x e ''=-+<Q 在(1,1)-上恒成立,所以()F x '在[1,1]-上单调递减()(1)30min F x F e ∴'='=->()F x ∴在[1,1]-上单调递增,max ()(1)0F x F ∴==(1)70(1)30a a ϕϕ-=-≥⎧∴⎨=+≥⎩, 解得:37a -≤≤实数a 的取值范围为[3,7]-.（3）()g x 的图象如图所示：令()T g x =,则()1g T =1232,0,ln 4T T T ∴=-==当()2g x =-时有1个解3-,当()0g x =时有2个解：(12)-+、ln3,当()ln 4g x =时有3个解:ln(3ln 4)+、12(1ln 2)--故方程[()]10g g x -=的解分别为：3-,(12)-、ln3,ln(3ln 4)+、12(1ln 2)--【点睛】本题考查了构造方程组法求函数解析式,二次求导的方法判断函数的单调性与最值,在定区间上恒成立问题的解法,换元法解复合函数与方程的应用,综合性强,属于难题.22.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验一次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次. 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =.试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.【答案】（1）见解析（2）390次【解析】【分析】（1）根据概率性质可知若每个人的血样化验呈阳性的概率为p ,则每个人的血呈阴性反应的概率为1q p =-.由独立性事件概率性质可得k 个人的血混合后呈阴性反应和呈阳性反应的概率.即可由血化验次数为X 得其分布列.（2）结合（1）可求得平均每个人化验次数()E x .当0.1p =时,0.9q =.将k 分别取2,3,4,代入平均化验次数的表达式,即可求得化验次数.根据结果,即可求得相比方案①,化验次数最多平均减少的次数.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ,则1q p =-.所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k q ,呈阳性反应的概率为1k q -. 依题意可知11,1X =+,所以X 的分布列为：（2）方案②中. 结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111()111k k k E x q q q k k k ⎛⎫=⋅++⋅-=-+ ⎪⎝⎭, 所以当2k =时,21()0.910.692E X =-+=,此时960人需要化验的总次数为662次,3k =时,31()0.910.60433E X =-+=,此时960人需要化验的总次数为580次, 4k =时,41()0.910.59394E X =-+=,此时960人需要化验的次数总为570次, 即2k =时化验次数最多,3k =时次数居中,4k =时化验次数最少而采用方案①则需化验960次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当4k =时化验次数最多可以平均减少960570390-=次.【点睛】本题考查了离散型随机变量的两点分布的分布列求法,并对平均值进行判断和应用,文本信息量大,要理解好题意,属于中档题.。
2020年河北省保定市高考数学二模试卷(理科)
2020年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合P ={x|x 2−4x >0}，Q ={x|log 2(x −1)<2}，则(∁R P)∩Q =( )A. [0,4]B. [0,5)C. (1,4]D. [1,5)2. 若复数z 满足(2−i)z =(1+2i)2，则|z|=( )A. 3B. √5C. 2D. √33. 在△ABC 中，“AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4. 已知函数y =sin(ωx −π6)(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，则该函数图象是由y =cos2x的图象经过怎样的变换得到？( )A. 向左平移π3个单位长度 B. 向左平移π6个单位长度 C. 向右平移π3个单位长度D. 向右平移π6个单位长度5. 七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是( )A. 38B. 516C. 716D. 136. 已知sin(π3+α)=cos(π3−α)，则cos2α=( )A. 0B. 1C. √22 D. √327. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 4+12πB. 5+√102+12π C. 5+√102+1+√24πD. 4+1+√24π8. (2x +1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等．则该展开式中1x 2系数为( )A. 56B. 448C. 408D. 17929. 孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是( )A. 132B. 133C. 134D. 13510. 已知点(n,a n )(n ∈N ∗)在函数y =lnx 图象上，若满足S n =e a 1+e a 2+⋯+e a n ≥m 的n 的最小值为5，则m 的取值范围是( )A. (10,15]B. (−∞,15]C. (15,21]D. (−∞,21]11. 已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1(−c,0)作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若∠F 1AF 2的平分线过点M(−13c,0)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. √2C. 3D. √312. 已知方程e x−1+x =e 2(x−1)x−ae x−1有三个不同的根，则实数a 的取值范围为( )A. (−1,e)B. (−e,12)C. (−1,1)D. (−1,12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足：|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，a ⃗ 与b ⃗ 夹角为120°，则|a ⃗ +2b ⃗ |=______． 14. 已知正三棱锥P −ABC ，AB =2√3，PA =2√5，则此三棱锥外接球的半径为______． 15. 已知定义域为R 的函数f(x)=μ+2λe x +λe x x 2+2020sinx2+x 2有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则λ−μ=______．16.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−c2=absinC，acosB+bsinA=c，a=√10，则b=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n+a n−n=0(n∈N∗)．}为等比数列；(1)求证：数列{a n−12(2)求数列{a n−n}的前n项和T n．18.我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95(分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒)两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分(满分100分)，规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品．现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如表：(1)试分别估计两种口罩的合格率；(2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在(1)的前提下，①设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和，求随机变量X的分布列和数学期望；②求生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长2的正方形，PA=PD=√17，E为PA中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH//DM，交PM于H，且FH=1(1)证明：EF//平面PBM；(2)设点N在线段BC上，若二面角E−DN−A为60°，求BN的长度．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为2√3．(1)求椭圆C的方程；(2)经过定点Q(m,0)(m>2)的直线l交椭圆于不同的两点M，N，点M关于x轴的对称点为M′，试证明：直线M′N与x轴的交点S为一个定点，且|OQ|⋅|OS|=4(O为原点)．21. 已知函数f(x)=(a +2)lnx +2a x−x ，(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数ℎ(x)=f(x)−2lnx 有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：f(x 1)+f(x 2)−x 1x 2>8(5ln2−2)；(3)设a =−1，函数f(x)+2x +x 的反函数为k(x)，令k i (x)=k[(in )x ]，i =1，2，…，n −1，n ∈N ∗且n ≥2，若x ∈[−1,1]时，对任意的n ∈N ∗且n ≥2，k 1(x)k 2(x)…k n−1(x)≥1em 恒成立，求m 的最小值．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为{x =2−12t,y =1+√32t,(t 为参数)． (1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)在(1)中，设曲线C 经过伸缩变换{x′=xy′=√3y 得到曲线C 1，设曲线C 1上任意一点为M(x 0,y 0)，当点M到直线l 的距离取最大值时，求此时点M 的直角坐标．23.已知f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|的解集；x(2)若f(x)的最小值为M，且a+b+c=M(a,b，c∈R)，求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵P ={x|x <0或x >4}，Q ={x|1<x <5}， ∴∁R P ={x|0≤x ≤4}，(∁R P)∩Q =(1,4]． 故选：C ．可以求出集合P ，Q ，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵(2−i)z =(1+2i)2，∴z =(1+2i)22−i=4i−32−i=(4i−3)(2+i)(2−i)(2+i)=−2+i ，∴|z|=√(−2)2+12=√5， 故选：B ．根据复数的基本运算法则进行化简即可． 本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.【答案】A【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ>0， ∴cosθ>0，且θ∈(0,π)， 所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B 的补角， 所以B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形， 反过来，△ABC 为钝角三角形，不一定B 为钝角，则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0”是“△ABC 为钝角三角形”的充分条件不必要条件． 故选A利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC 若为钝角三角形，可得B 不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：由题可知，函数y=sin(ωx−π6)的最小正周期T=2×π2=π，∴ω=2πT =2ππ=2，∴y=sin(2x−π6)=cos(2x−π6−π2)=cos2(x−π3)，∴该函数图象是由y=cos2x的图象向右平移π3个单位所得．故选：C．先求出函数y=sin(ωx−π6)的周期，再利用ω=2πT求得ω，从而得y=sin(2x−π6)，然后利用诱导公式将其变形为y=cos2(x−π3)，最后利用三角函数的平移变换法则即可得解．本题考查三角函数的周期性和平移变换法则，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：设大正方形的边长为4，则面积为4×4=16，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2√2，面积12×2√2×2√2=4，另外一部分为梯形，上底为√2，下底为2√2，高为√2，面积12×(√2+2√2)×√2=3，故概率P=3+416=716．故选：C．先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2√2，另外一部分为梯形，上底为√2，下底为2√2，高√2，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题．6.【答案】A【解析】解：∵sin(π3+α)=cos(π3−α)，∴√32cosα+12sinα=12cosα+√32sinα，可得(√32−12)cosα=(√32−12)sinα，可得cosα=sinα，∴cos2α=cos2α−sin2α=0．故选：A．利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简已知等式可得cosα=sinα，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可知几何体是一个14的圆锥与一个三棱锥的组合体，圆锥的底面半径为1，高为1，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为1，高为2；PA=√5，PO=2，BO=OC=1，AC=√5，PC=√2，S△PAC=1 2×√2×(√22)=32所以几何体的表面积为：14×π×12+12×14×2π×√2+12×1×1+12×2×1+12×1×2+32=4+1+√24π．故选：D．利用三视图画出几何体的直观图，结合三视图的数据，求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状，正确求解三角形的面积是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵(2x+1x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等，∴C n2=C n6，∴2+6=n，即n=8．故(2x+1x)n的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅28−r⋅x8−2r，令8−2r=−2，可得r=5，中第3项与第7项的二项式系数用等．则该展开式中1x2系数，则该展开式中1x2系数为C85⋅23=448，故选：B．先求出n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得该展开式中1x2系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：设所求数列为{a n}，该数列为11、26、41、56、⋯，所以，数列{a n}为等差数列，且首项为a1=11，公差为d=26−11=15，所以，a n=a1+(n−1)d=11+15(n−1)=15n−4解不等式2≤a n≤2021，即2≤15n−4≤2021，解得25≤n≤135，则满足25≤n≤135的正整数n的个数为135，因此，该数列共有135项．故选：D．列举出该数列的前几项，可知该数列{a n}为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列{a n}的通项公式，然后求解满足不等式2≤a n≤2021的正整数n的个数，即可得解．本题考查数列项数的计算，求出数列的通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：∵点(n,a n)(n∈N∗)在y=lnx的图象上，∴a n=lnn，∴S n=lna1+lna2+⋯+lna n=1+2+⋯+n=n(n+1)2；又S n>m时n的最小值为5，∴S4<m≤S5，即10<m≤15．故选：A．根据题意，求出a n与S n的表达式，利用S n>m时n的最小值为5，列出不等式S4≤m<S5，求出m的取值范围．本题考查了指数函数与对数函数的运算问题，数列与函数的综合应用，考查转化思想的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1(−c,0)作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若∠F1AF2的平分线过点M(−13c,0)，可得|MF1||MF2|=|AF1||AF2|=12，|AF1|=1 2|AB|=12×2b2a=b2a，|AF2|=2⋅b2a，|AF 2|−|AF 1|=2a ，所以2b 2a−b 2a=2a ，所以b 2=2a 2，可得c 2=3a 2，解得e =ca =√3． 故选：D ．利用已知条件，结合角的平分线的性质以及双曲线的定义，列出关系式，求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.【答案】D【解析】解：原式变形为1+xe x−1=1xe x−1−a ，令m(x)=x e x−1，则1+m =1m−a ，即m 2+(1−a)m −a −1=0，而m′(x)=1−xe x−1，易知函数m(x)在(−∞,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，作出函数y =m(x)的图象如下图所示，由图象可知，必有m 1∈(0,1)，m 2=1或0或m 2<0， 当m 2=0或1时，易知此时不合题意；故m 1∈(0,1)，m 2∈(−∞,0)，由根的分布可知{−a −1<01+(1−a)−a −1>0，解得−1<a <12．故选：D ．原式变形为1+xe x−1=1xe x−1−a ，令m(x)=xe x−1，则m 2+(1−a)m −a −1=0，作出函数y =m(x)的图象，分析可知m 1∈(0,1)，m 2∈(−∞,0)，由根的分布建立不等式组，解出即可．本题考查函数零点与方程根的关系，考查导数的运用以及根的分布问题，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】2√7【解析】解：∵|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,<a ⃗ ,b ⃗ >=120°， ∴a ⃗ ⋅b⃗ =2×3×(−12)=−3，∴(a⃗+2b⃗ )2=a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=4−12+36=28，∴|a⃗+2b⃗ |=2√7．故答案为：2√7．可先求出a⃗⋅b⃗ =−3，然后进行数量积的运算即可求出(a⃗+2b⃗ )2的值，从而可得出|a⃗−2b⃗ |的值．本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】52【解析】解：在正三棱锥中，取底面三角形ABC的外接圆的圆心E，则底面外接圆的半径r=AE=23AQ=23×√(2√3)2−(√3)2=2．连接PE可得PE⊥面ABC，如图所示：所以棱锥的高PE=√PA2−AE2=√(2√5)2−(2)2=4；设外接球的球心为O，半径为R，则R2=r2+(R−PE)2，即：2PE⋅R=r2+PE2，即2×4⋅R=22+42，解得：R=52，故答案为：52．由正三棱锥的棱长可得棱锥的高及底面外接圆的半径，再由外接球的半径和高，底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径．本题主要考查正三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，属于中档题．15.【答案】−2【解析】解：f(x)=2020sinx2+x2+λe x+μ，∵f(x)有最大值和最小值，则λ=0，否则，f(x)没有最大或最小值，于是f(x)=2020sinx2+x2+μ，设f(x)的最大值为m，最小值为n，则m+n=4，∵y=f(x)−μ=2020sinx2+x2是奇函数，∴m−μ+n−μ=0，即2μ=m+n=4，∴μ=2．∴λ−μ=−2．故答案为：−2．先确定λ=0，再根据f(x)−μ是奇函数，得出μ=2．本题考查了函数最值，奇函数的性质，属于中档题．16.【答案】3√2【解析】解；∵a 2+b 2−c 2=absinC ，∴2abcosC =absinC ，则tanC =2，∴sinC =√5，cosC =√5． ∵acosB +bsinA =c ，∴sinAcosB +sinBsinA =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴sinBsinA =cosAsinB ，又sinB ≠0，∴sinA =cosA ，∴A =45°， ∴sinB =sin(A +C)=√10，∵a =√10，则由正弦定理得b =asinB sinA=√10×√10sin45°=3√2，故答案为：3√2．由已知a 2+b 2−c 2=absinC ，acosB +bsinA =c ，利用余弦定理，正弦定理可求角C ，B 的三角函数值，进而求b ．本题考查余弦定理，正弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．17.【答案】(1)证明：由题意，当n =1时，2S 1+a 1−1=0，∵a 1=S 1，∴3a 1−1=0，解得a 1=13， 当n ≥2时，由2S n +a n −n =0，可得 2S n−1+a n−1−(n −1)=0， 两式相减，可得3a n =a n−1+1， 整理，得a n =13a n−1+13，∴a n −12=13a n−1+13−12=13a n−1−16=13(a n−1−12)， ∵a 1−12=13−12=−16，∴数列{a n −12}是以−16为首项，13为公比的等比数列． (2)解：由(1)知，a n −12=−16⋅(13)n−1， ∴a n =−16⋅(13)n−1+12，∴a n −n =−16⋅(13)n−1+12−n =−12⋅(13)n −n +12，T n =(a 1−1)+(a 2−2)+⋯+(a n −n)=[−12⋅(13)1−1+12]+[−12⋅(13)2−2+12]+⋯+[−12⋅(13)n −n +12]=−12⋅[(13)1+(13)2+⋯+(13)n ]−(1+2+⋯+n)+12⋅n=−12⋅13−(13)n+11−13−n(1+n)2+n 2 =14(13n−1)−n 22．【解析】本题第(1)题先将n =1代入表达式计算出a 1=13，当n ≥2时，由2S n +a n −n =0，可得2S n−1+a n−1−(n −1)=0，两式相减，再化简整理可得a n =13a n−1+13，然后计算a n −12并转化可证得数列{a n −12}是以−16为首项，13为公比的等比数列；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{a n −12}的通项公式，以及数列{a n }的通项公式和数列{a n −n}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用分组求和法计算前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和法求和的问题．考查了转化与化归思想，整体思想，等差数列和等比数列的求和公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.【答案】解：(1)由题意知生产KN 90口罩合格率为：P 1=42+31+7100=45，生产KN 95口罩合格率为：P 2=47+35+8100=910．(2)(i)随机变量X 的所有可能取值为−3，1，7，11， P(X =−3)=15×110=150， P(X =1)=45×110=450=225， P(X =7)=15×910=950， P(X =11)=45×910=1825， ∴X 的分布列为：E(X)=−3×150+1×225+7×950+11×1825=9.2．(ii)设“生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元”为事件A ，事件A 包括“生产4个KN 90口罩全合格”和“生产4个KN 90口罩只三个合格”， ∴生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元的概率为：P(A)=(45)4+C 41(45)3(15)=512625．【解析】(1)利用古典概型概率计算公式能求出生产KN 90口罩合格率和生产KN 95口罩合格率． (2)(i)随机变量X 的所有可能取值为−3，1，7，11，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望．(ii)设“生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元”为事件A ，事件A 包括“生产4个KN 90口罩全合格”和“生产4个KN 90口罩只三个合格”，由此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出生产4个KN 90口罩所得的利润不少于8元的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、相互独立事件概率计算公式、n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)证明：取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，则EG//AB ，且EG =1，∵FH//DM ，交PM 于H ，且FH =1，AB//DM ，∴EG//FH ，EG =FH.∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EF//GH ， ∵EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ， ∴EF//平面PBM ．(2)解：由EF ⊥平面PCD ，得EF ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，EF 与AD 相交，∴CD ⊥平面PAD ， ∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ， 取AD 的中点O ，连结PO ，∵PA =PD ，∴PO ⊥AD ， ∵平面ABCD ∩平面PAD =AD ，∴PO ⊥平面ABCD ， 在等腰△PAD 中，PO =√PA 2−AO 2=√17−1=4，以O 为原点，ON 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则O(0,0，0)，A(0,−1,0)，D(0,1，0)，P(0,0，4)，∵E 为PA 中点，∴E(0,−12,2)，设N(2,a ，0)，(−1≤a ≤1)， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−32,2)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,a −1,0)， 设平面EDN 法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−32y +2z =0DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2x +(a −1)y =0，取y =2，得n⃗ =(1−a,2，32)， 平面ABCD 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)，∵二面角E−DN−A为60°，∴cos60°=|m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=32√(a−1)2+4+4=12，解得a=1−√112，∴BN=a−(−1)=2−√112．【解析】(1)取PB的中点G，连结EG，HG，推导出四边形EFHG为平行四边形，EF//GH，由此能证明EF//平面PBM．(2)由EF⊥平面PCD，得EF⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而平面ABCD⊥平面PAD，取AD 的中点O，连结PO，以O为原点，ON为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BN．本题考查线面平行的证明，考查满足二面角的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得e=ca =12，当椭圆上的点为短轴的端点时，它和长轴两端点为顶点的三角形的面积取得最大值，可得12⋅(2a)b=2√3，即ab=2√3，又a2=b2+c2，解得a=2，b=√3，c=1，则椭圆的方程为x24+y23=1；(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在，设为k，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，M′(x1,−y1)，S(n,0)，联立直线y=k(x−m)和椭圆方程3x2+4y2=12，可得(3+4k2)x2−8k2mx+4k2m2−12=0，由△>0，即(8k2m)2−4(3+4k2)(4k2m2−12)>0，可得k2<3m2−4，此时M，N存在，所以x1+x2=−8k2m3+4k2，x1x2=4k2m2−123+4k2，当斜率k不为0时，由M′，N，S三点共线，可得k M′S=k NS，即−y1x1−n =y2x2−n，即y2(x1−n)+y1(x2−n)=0，即k(x2−m)(x1−n)+k(x1−m)(x2−n)=0，化简可得2x1x2−(n+m)(x1+x2)+2mn=0，代入韦达定理即2⋅4k2m2−123+4k2−(n+m)⋅(−8k2m3+4k2)+2mn=0，化简可得mn−43+4k2=0，即mn=4，n=4m ，所以S(4m,0)，且|OQ|⋅|OS|=mn=4，当斜率k=0时，直线MN与x轴重合，满足结论．综上可得，直线M′N 与x 轴的交点S 为一个定点(4m ,0)，且|OQ|⋅|OS|=4．【解析】(1)由椭圆的离心率公式，由椭圆上的点为短轴的端点时，它和长轴两端点为顶点的三角形的面积取得最大值，应用三角形的面积公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； (2)由题意可得直线l 的斜率存在，设为k ，可设直线y =k(x −m)，联立椭圆方程，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，M′(x 1,−y 1)，S(n,0)，应用韦达定理和判别式大于0，然后讨论直线l 的斜率为0时，直线MN 与x 轴重合，满足结论；再讨论k 不为0，应用三点共线的条件：斜率相等，化简整理可得mn =4.即可得证． 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，应用韦达定理和三点共线的条件，考查方程思想和化简运算能力，以及推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数的定义域是(0,+∞)，f′(x)=a+2x−2a x2−1=−(x−2)(x−a)x 2，①a ≤0时，由f′(x)>0，解得：x <2，由f′(x)<0，解得：x >2， 故f(x)在(0,2)递增，在(2,+∞)递减；②0<a <2时，由f′(x)>0，解得：a <x <2，由f′(x)<0，解得：x >2或x <a ， 故f(x)在(0,a)递减，在(a,2)递增，在(2,+∞)递减； ③a =2时，f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)递减；④a >2时，由f′(x)>0，解得：2<x <a ，由f′(x)<0，解得：x >a 或x <2， 故f(x)在(0,2)递减，在(2,a)递增，在(a,+∞)递减； (2)证明：ℎ(x)=f(x)−2lnx =alnx +2a x−x ，x >0，ℎ′(x)=ax −2ax 2−1=−x 2−ax+2ax 2，由已知函数有2个不同的极值点x 1，x 2，知道ℎ′(x)=0有2个不相等的正实数根， 即x 2−ax +2a =0有2个不相等的正实数根， 即{△>0x 1+x 2=a >0x 1⋅x 2=2a >0，解得：a >8， f(x 1)+f(x 2)−x 1x 2 =(a +2)lnx 1+2a x 1−x 1+(a +2)lnx 2+2a x 2−x 2−x 1x 2 =(a +2)ln(x 1x 2)+2a(x 1+x 2)x 1x 2−(x 1+x 2)−x 1x 2=(a +2)ln(2a)+2a⋅a 2a−a −2a =(a +2)ln(2a)−2a ，令u(a)=(a +2)ln(2a)−2a ，(a >8)，则u′(a)=ln(2a)+(a +2)1a −2=ln(2a)+2a −1， ∵a >8，∴ln(2a)−1>0，u′(a)>0， 故u(a)在(8,+∞)递增，u(a)>u(8)=10ln16−16=8(5ln2−2)，结论得证； (3)a =−1时，f(x)+2x +x =lnx ，则k(x)=e x ，故k i (x)=e (in )x ，i =1，2，3，…，n −1，n ∈N ∗且n ≥2， 对x ∈[−1,1]，k 1(x)k 2(x)…k n−1(x)=e (1n )xe (2n )x…e (n−1n)x≥e −m 恒成立，即e (1n )x ⋅(2n )x ⋅⋅⋅(n−1n)x≥e −m ，即−m ≤(1n )x +(2n )x+⋯+(n−1n)x， ∵y =(in )x 在x ∈[−1,1]递减，∴y =(1n)x +(2n )x +⋯+(n−1n)x也递减， 当x =1时，[(1n )x +(2n )x +⋯+(n−1n )x]min =1n+2n+⋯+n−1n=n−12，即对任意n ∈N ∗且n ≥2，−m ≤n−12恒成立，显然当n =2时，(n−12)min =12，即−m ≤12，m ≥−12，故m 的最小值是−12．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断函数的单调性即可；(2)求出ℎ(x)的导数，根据ℎ′(x)=0有2个不相等的正实数根，求出a 的范围，求出y =f(x 1)+f(x 2)−x 1x 2的解析式，令u(a)=(a +2)ln(2a)−2a ，(a >8)，结合函数的单调性证明即可； (3)代入a 的值，问题转化为−m ≤(1n )x +(2n )x +⋯+(n−1n)x，根据函数的单调性得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程是ρ=2，根据ρ2=x 2+y 2，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4． 直线l 的参数方程为{x =2−12t,y =1+√32t,(t 为参数).消去参数得到√3x +y −2√3−1=0． (2){x′=xy′=√3y 转换为{x =x′y =√33y′，代入圆的方程得到曲线C 1为x 24+y 212=1．把椭圆转换为参数方程为{x =2cosθy =2√3sinθ(θ为参数)，设点M(2cosθ,2√3sinθ)到直线l ：√3x +y −2√3−1=0的距离： d =|2√3cosθ+2√3sinθ−2√3−1|2=|2√6sin(θ+π4)−2√3−1|2≤2√6+2√3+12． 当且仅当θ+π4=3π2，即θ=5π4时等号成立，即M(−√2,−√6).【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用三角函数关系式的恒等变换和点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当x <0时，f(x)>|2x|x等价于x 2+2|x −1|>−2，该不等式显然成立；当0<x ≤1时，f(x)>|2x|x等价于{0<x ≤1x 2−2x >0，此时不等组的解集为⌀，当x >1时，f(x)>|2x|x等价于{x >1x 2+2x −4>0，∴x >√5−1，综上，不等式f(x)>|2x|x的解集为(−∞,0)∪(√5−1,+∞)．(2)当x ≥1时，f(x)=x 2+2x −2=(x +1)2−3； 当x =1时，f(x)取得最小值为1；当x <1时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1>1， ∴f(x)最小值为1，∴a +b +c =M =1， ∵a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，∴√a 2+b 2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2， 同理√b 2+c 2≥√2(b+c)2,√c 2+a 2≥√2(c+a)2， ∴√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a +b +c)=√2．【解析】(1)根据f(x)>|2x|x，分x <0，0<x ≤1和x >1三种情况解不等式即可；(2)先求出f(x)的最小值为1，从而得到a +b +c =M =1，然后根据a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，进一步证明√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
河北省九校2020届高三上学期数学(理)第二次联考卷附答案详析
河北省九校2020届高三上学期第二次联考数学（理）试卷一、单选题1．已知集合2{|}20,A x x x x =-<∈-Z ，{}|2,xB y y x A ==∈，则A B =U （ ）A ．{1}B ．{0,1,2}C ．1,1,2,42⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{0,1,2,4}2．已知复数413z i=-+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．直线3y x =-上D ．直线3y x =上3．设124a -=，121log 3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<4．函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．5．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业6．设{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则“20a >”是“1n S S n +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知两个不相等的非零向量a v ，b v ，满足1a =v ，且a v 与b v －a v的夹角为60°，则b v 的取值范围是( )A ．30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．()1,+∞8．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．7842π++B ．7442π++C ．5842π++D ．5442π++9．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A ，C 区域涂同色的概率为（ ）A ．27B ．57C ．913D ．41310．某学生对函数()sin f x x x =的图象与性质进行研究，得出如下结论：①函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；①点(),0π是函数()f x 的图象的一个对称中心；①函数()f x 的图象关于直线2x π=对称；①存在常数0M>，使()||||f x M x ≤对一切实数x 均成立.其中正确的结论是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①11．已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(5,)+∞B ．(1,5)C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．51,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-U B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(1,)-??D ．(,1)(0,1)-∞-U二、填空题13．已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为__________.14．已知23nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________.15．已知抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上任意一点，令||||PA t PF =，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是________. 16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时6cos 3PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______. 三、解答题17．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足22232cos R ac B a c +=+.（1）求B 的大小； （2）已知ABC ∆的面积312abcS =，求a c +的取值范围.18．如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值.19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，短轴长为23，右顶点为A ，上顶点为B ，ABF V 的面积为332. (1)求椭圆的标准方程；(2)过A 作直线l 与椭圆交于另一个点M ，连接MF 并延长交椭圆于点N ，当AMN V 面积最大时，求直线l 的方程.20．已知函数()cos x f x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)证明：()f x 在区间(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.21．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,Nμσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈„，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈„，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈„.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n 格的概率为n P ，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t=-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P 的极坐标为722,4π⎛⎫⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值.23．已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |①|y +z |＞4xyz ； （2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ①2yz ①2xz 的最小值．解析河北省九校2020届高三上学期第二次联考数学（理）试卷一、单选题1．已知集合2{|}20,A x x x x =-<∈-Z ，{}|2,xB y y x A ==∈，则A B =U （ ）A ．{1}B ．{0,1,2}C ．1,1,2,42⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{0,1,2,4}【答案】B【解析】解出集合A 中的不等式，得出解集，求出集合B ，即可求得A B U . 【详解】 解不等式220x x --<，()()120x x +-<，得12x -<<，所以{}2{|}0,120,A x x x x =-<-=∈Z ，{}{}|2,1,2x B y y x A ==∈=，所以{0,1,2}A B =U .故选：B【点睛】此题考查解一元二次不等式，求函数值域，求两个集合的并集，关键在于根据集合关系准确求解.2．已知复数413z i=-+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．直线3y x =-上D ．直线3y x =上【答案】C 【解析】因为413z i=-+=1313i z i --∴=-+ 在复平面内对应的点为(1,3)- 在第二象限，在直线3y x =-上 ，选C.3．设124a -=，121log 3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】一是借助于中间值1，二是化为同底数的对数比较可得． 【详解】112211log log 132>=，12142-=，3311log 2log 32>>=，∴1231214log 2log 3-<<，即a c b <<．故选：B. 【点睛】本题考查对数和幂的比较大小，比较大小时，同是对数的能化为同底数的化为同底数，同是幂的化为同底数或者化为同指数，不能转化的借助中间值如1，0等等比较． 4．函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由()0,0x f x →>得到答案． 【详解】()211sin sin 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →>故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．5．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】C【解析】直接根据图中数据计算对应结果即可求出结论． 【详解】甲企业的成本为：10000； 乙企业的成本为：12000； 丙企业的成本为：15000故成本最大的是丙企业，故A 正确； 甲企业费用支出为：100005%500⨯=； 乙企业费用支出为：1200017%2040⨯=； 丙企业费用支出为：1500015%2250⨯= 故费用支出最高的企业是丙企业，故B 正确； 甲企业支付工资为：1000035%3500⨯=； 乙企业支付工资为：1200030%3600⨯=； 丙企业支付工资为：1500025%3750⨯=； 故甲企业支付的工资最少，故C 错误； 甲企业材料成本为：1000060%6000⨯=； 乙企业材料成本为：1200053%6360⨯=； 丙企业材料成本为：1500060%9000⨯= 故材料成本最高的企业是丙企业，故D 正确； 故选：C ．【点睛】本题主要考查根据图表分析解决问题，是对基础知识的考查，关键是理解题中数据，属于基础题． 6．设{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则“20a >”是“1n S S n +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件、必要条件以及等差数列的性质判断即可. 【详解】 解：由{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若20a >，则10n a +>，又 11n S S n n a ++=-，1n S S n +∴>，故充分性成立； 若1n S S n +>，则1n 10S S n n a ++-=>，20a ∴>，故必要性成立； 综上可得，“20a >”是“1n S S n +>”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质以及充分条件必要条件的判定，属于基础题.7．已知两个不相等的非零向量a v ，b v ，满足1a =v ，且a v 与b v －a v的夹角为60°，则b v 的取值范围是( )A ．30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．()1,+∞【答案】D【解析】设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，由已知a r 与b a -r r的夹角为60︒可得120ABC ∠=︒，由正弦定理sin sin120a b C=︒rr 得31s n 2i b C=>r ，从而可求b r 的取值范围【详解】解：设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，， 如图所示： 则由BCAC AB =-u u u ru u u r u u u r 又Q a r与b a -r r的夹角为60︒，120ABC ∴∠=︒又由1AB a ==u u u r r由正弦定理sin sin120a b C=︒r r 得23sin b C=r 0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q3sin 0,2C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭()231,sin b C∴=∈+∞r故选：D ．【点睛】本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．8．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．7842π++B ．7442π++C ．5842π++D ．5442π++【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，并且三棱柱的上底面被遮掉，并计算出各面的面积，相加即可得出该几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体， 故所求的表面积为()221142234222584284πππ⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯=++， 故选：C.【点睛】本题考查由三视图计算几何体的表面积，解题时要还原几何体的实物图，结合简单几何体的表面积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.9．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A ，C 区域涂同色的概率为（ ）A ．27B ．57C ．913D ．413【答案】D【解析】本题从颜色使用数量上来分类，又由条件知至少使用三种颜色，所以只剩三种情况了．然后选色，再按照规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，使用分步计数原理逐一涂色，即可求出总的基本事件，再弄清A ，C 区域涂同色的占了多少个基本事件，利用古典概型及其概率计算公式求答案． 【详解】解：根据题意，至少使用3种颜色．由使用颜色数量，下面我们分三种情况：（1）使用5种颜色：选色56C ，涂上去55A ，共有5565720C A =种； （2）使用4种颜色：选色46C ，先涂D 有4种，下面，∴、若A 、C 同色，则B 和E 各涂剩余的两色，有223A 种，∴、若A 、C 不同色，则B 和E 必同色，有33A 种．∴共42436263434360360720C A C A ⨯⨯+⨯⨯=+=种；（3）使用3种颜色：选色36C ，先涂D 有3种选择，D 用掉一种颜色，下面只有A 、C 同色，B 、E 同色，有22A 种，共32623120C A ⨯=种，∴共计7207201201560++=种，其中A ，C 区域涂同色的有360120480+=种，则A ，C 区域涂同色的概率为4804156013=． 故选：D ． 【点睛】本题考查古典概型概率计算与分类、分步计数原理的应用，关键正确理解题意，选择好分类标准．属于中档题． 10．某学生对函数()sin f x x x =的图象与性质进行研究，得出如下结论：①函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；①点(),0π是函数()f x 的图象的一个对称中心；①函数()f x 的图象关于直线2x π=对称；①存在常数0M >，使()||||f x M x ≤对一切实数x 均成立.其中正确的结论是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【答案】B【解析】根据函数的奇偶性，单调性，对称性，值域依次判断每个选项得到答案. 【详解】 易知()sin f x x x =为偶函数，()sin cos f x x x x '=+，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，所以()f x 在[0]2π，上单调递增，又()sin f x x x =为偶函数，所以()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故∴正确；因为()(2)sin (2)sin(2)sin (2)sin f x f x x x x x x x x x ππππ+-=+--=--2sin 2sin 0x x x π=-=不恒成立，所以点(),0π不是函数()f x 的图象的对称中心，故∴错误；因为()()sin ()sin()sin ()sin f x f x x x x x x x x x ππππ--=---=--2sin sin 0x x x π=-=不恒成立，即()()f x f x π=-不恒成立，所以直线2x π=不是函数()f x 的图象的对称轴，故∴错误；因为|()||sin ||||sin |||f x x x x x x ==…，所以当1M =时，()||||f x M x ≤对一切实数x 均成立，故∴正确.综上可知，正确的结论是∴∴. 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质，考查考生的逻辑推理能力和基本运算能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.11．已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(5,)+∞B ．(1,5)C ．5,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭D ．51,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】设直线l ：()b y x c a =+，由2F 到l 的距离大于a ，得出b a 的范围，再由21()be a=+计算即可. 【详解】设过1F 与渐近线by x a =平行的直线l 为()b y x c a=+， 由题知2F 到直线l 的距离d a >，即22||bc bc d b a +=+2b a =>，可得12b a >， 所以离心率251()2b e a=+>. 故选：C. 【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式21()b e a=+可使计算变得简便，属于常考题.12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-U B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(1,)-??D ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】D【解析】构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f xg x xf x x=+，由()()1'f x lnx f x x<-可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数，且()()1ln110gf =⨯=，当x ∴(0,1)时,g (x )>0,∴lnx <0,f (x )<0,(x 2-1)f (x )>0; 当x ∴(1,+∞)时,g (x )<0,∴lnx >0,∴f (x )<0,(x 2-1)f (x )<0 ∴f (x )是奇函数,当x ∴(-1,0)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )<0 ∴当x ∴(-∞,-1)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )>0.综上所述,使得(x 2-1)f (x )>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃.本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．二、填空题13．已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为__________.【答案】4【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，建立方程计算得到答案.【详解】 设等比数列{}n a 的公比为q ，因为5a 与432a 的等差中项为12，所以54312a a +=，所以233312a q a q +=，又31a =，所以22320q q +-=， 又数列{}n a 的各项均为正数，所以12q =，所以3124a a q ==.故答案为：4. 【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.14．已知23nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________.【答案】-32【解析】先写出二项式展开式中第5项，因为第5项为常数项解出n ，然后令1x =得各项系数和. 【详解】 解：因为()444242105381n n nn T Cx C x x --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且第5项为常数项 所以2100n -=，即5n =令1x =，得所有项系数和为()()5513232-=-=- 故答案为：32- 【点睛】本题考查了二项式定理的展开通项式，以及各项系数和问题，属于基础题.15．已知抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上任意一点，令||||PA t PF =，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是________. 【答案】±1【解析】令PAB α∠=，则||||1||||sin PA PA t PF PB α===，设200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于4x y '=，所以在点P 处切线的斜率04x k =，计算得到答案. 【详解】由题意知()0,2A -，()0,2F，过点P 作PB l ⊥（l 为抛物线的准线），垂足为B .由抛物线的定义可知||||PF PB =.令PAB α∠=，则||||1||||sin PA PA t PF PB α===， 当sin α最小时，t 最大，当直线PA 与抛物线28x y =相切时，sin α最小，即t 最大.设200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于4x y '=，所以在点P 处切线的斜率04x k =， 所以在点P 处的切线方程为()200084x xy x x -=-，又切线过()0,2A -，所以2200284x x --=-，解得04x =±，所以当t 取得最大值时，直线PA 的斜率为±1. 故答案为：±1.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值和直线的斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时6cos 3PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______. 【答案】2563π【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据6cos 3PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ， 因为8PA PB PC ===，故82AB AC ==，6cos 3PA PAO AD ∠==Q ，3384666PA AD ⨯∴===，则2242BD AB AD =-=，PA ⊥Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =Q I ，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==Q ，D ∴为BC 的中点，282BC BD ∴==，222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径222432PA PB PC R ++==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为()344325633V ππ=⨯=.故答案为：2563π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足22232cos R ac B a c +=+.（1）求B 的大小； （2）已知ABC ∆的面积312abcS =，求a c +的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）(33,6]【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案. （2）根据面积公式化简得到6sin 6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据角度范围得到值域. 【详解】（1）∴22232cos R ac B a c +=+，∴222232cos R a c ac B b =+-=，即33R b =， ∴33sin 2223b B b R b==⨯=，又B 为锐角，∴3B π=. （2）∴ABC ∆的面积31sin 1223abc S ac π==， ∴3b =，∴232233R b ==，又2sin sin a c R A C ==，23A C B π+=π-=， ∴2332(sin sin )23sin sin 23sin cos 322a c R A C A A A A π⎫⎡⎤⎛⎫⎛+=+=+-=+⎪⎪ ⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎣⎦⎭6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC ∆是锐角三角形得,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴3sin ,162A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴(33,6]a c +∈，即a c +的取值范围为(33,6]. 【点睛】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，考查的核心素养是数学运算.18．如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）14-【解析】（1）证明BC AQ ⊥及PB AQ ⊥，即可证明：AQ ⊥平面PBC ，问题得证．（2）建立空间直角坐标系，由（1）得()3,0,3AQ =-u u u v为平面PBC 的法向量，求得平面PCD的法向量为()0,3,1n =v，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角B PC D --的余弦值. 【详解】（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒，所以AB BC ⊥， 又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以BC ⊥平面PAB .又AQ ⊂平面PAB ，所以BC AQ ⊥， 因为Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，所以PB AQ ⊥. 又PB BC B ⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥， 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以⊥OD AB .以AB 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()2,0,0A，()0,2,0D ，()2,2,0C -，()0,0,23P ，()2,0,0B -，所以()0,2,23DP =-u u u v ，()2,0,0CD =u u u v，由（1）知，AQ uuu v为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点，所以()1,0,3Q -，所以()3,0,3AQ =-u u u v， 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =v，由00n CD n DP u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =v.所以23cos ,3331AQ n AQ n AQ n ⋅==+⋅+u u u v vu u u v v u u u v v 14=. 因为二面角B PC D --为钝角， 所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题．19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，短轴长为23，右顶点为A ，上顶点为B ，ABF V 的面积为332. (1)求椭圆的标准方程；(2)过A 作直线l 与椭圆交于另一个点M ，连接MF 并延长交椭圆于点N ，当AMN V 面积最大时，求直线l 的方程.【答案】(1) 22143x y += (2) 1(2)2y x =±-【解析】试题分析：（1）根据题意布列方程组，从而得到椭圆的标准方程；（2）设MN 所在直线斜率存在时()()10y k x k =+≠，由()22134120y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩，得到()22234690k yky k +--=，借助韦达定理表示()24221834AMN k k S k +=+V ，利用换元法转为二次函数最值问题，即可得到直线l 的方程. 试题解析：（∴）根据短轴长知3b =，()133·322ABF S a c V =+=， 则3a c +=，因为222b a c =-，则1a c -=，故21a c ==，， 则椭圆方程为22143x y +=．（∴）设MN 所在直线斜率存在时()()10y k x k =+≠， ()()1122M x y N x y ，，，()212121213||?||422AMN S AF y y y y y y V =-=+-，∴()22134120y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩， ()22234690k y ky k ⇒+--=， 122634k y y k +=+，21229·34k y y k-=+． 代入∴式得()222422223636182343434AMNk k k k S k k k +⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭+V ，令2343t k =+>，则234t k -=， 2222392391811622AMNt t S t t t --==--<V ， 当k 不存在时，92AMN S =V ． 故当AMN V 面积最大时，MN 垂直于x 轴，此时直线l 的斜率为12±， 则直线l 方程：()122y x =±-． 20．已知函数()cos x f x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)证明：()f x 在区间(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.【答案】（1）0x y -=；（2）见解析【解析】（1）给函数求导，将切点的横坐标带入原函数，导函数，分别求出切点和斜率，用点斜式写出直线方程即可. （2）当0x >时，()cos 0x f x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.因为函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<，()010f '=>，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【详解】 （1）()cos x f x e x =-Q，则()sin x f x e x '=+，()00f ∴=，()01f '=.因此，函数()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，即0x y -=.（2）当0x >时，1cos x e x >≥，此时，()cos 0x f x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.()sin x f x e x '=+，构造函数()sin x g x e x =+，则()cos x g x e x '=+，当02x π-<<时，()cos 0x g x e x '=+>，所以，函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<Q ，()010f '=>，由零点存在定理知，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，当2x t π-<<时，()0f x '<，当0t x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【点睛】本题第一问考查导数几何意义中的切线问题，第二问考查函数零点的存在，同时考查了利用导函数求函数的单调区间，属于难题.21．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,Nμσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈„，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈„，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈„.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n 格的概率为n P ，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.【答案】（1）300（千米）（2）0.8186（3）说明详见解析，此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出x ． （2）由~(300X N ，250)．利用正态分布的对称性可得(250400)P X <„．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =．遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种：∴遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -．∴遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -．可得：211122n n n P P P --=+．变形为112(1)2n n n n P P P P ----=--．即可证明149n 剟时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为10P P -，公比为12-的等比数列．利用112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯⋯+-+，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率49P ，失败的概率50P ．进而得出结论．【详解】 解：（1）0.002502050.004502550.009503050.004503550.00150405300x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（千米）．（2）由~(300X N ，250)．0.95450.6827(250400)0.95450.81862P X -∴<=-=„．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =． 遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种：∴遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -． ∴遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -． 211122n n n P P P --∴=+．1121()2n n n n P P P P ---∴-=--．149n ∴剟时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列．1112P ∴-=-，2211()2P P -=-，3321()2P P -=-，⋯⋯，11()2nn n P P --=-． 1112100111()()()()()1222n n n n n n n P P P P P P P P ----∴=-+-+⋯⋯+-+=-+-+⋯⋯-+ 1111()212[1()]1321()2n n ++--==----(0n =，1，⋯⋯，49)． ∴获胜的概率504921[1()]32P =--，失败的概率49495048112111[1()][1()]223232P P ==⨯--=+． 5049484950211111[1()][1()][1()]0323232P P ∴-=---+=->． ∴获胜的概率大．∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、正态分布图的性质、等比数列的定义通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P 的极坐标为722,4π⎛⎫⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值. 【答案】（1）1C 的普通方程为4320x y +-=.2C 的直角坐标方程为2y x =.（2）815【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程的公式得到答案.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+'⎩'⎪代入2y x =，利用韦达定理得到12809t t ''+=，12503t t ''=，计算得到答案.【详解】（1）消去参数t 得曲线1C 的普通方程为4320x y +-=.曲线2C 的极坐标方程可化为2cos sin ρθθ=，即22cos sin ρθρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为2y x =.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+'⎩'⎪（t '为参数），代入2y x =得29801500t t ''-+=，点P 的直角坐标为()2,2-，设'1t ，'2t 分别是,A B 对应的参数，则12809t t ''+=，12503t t ''=. ∴121211||||8||||||||15t t PA PB PA PB PA PB t t ''''+++===⋅. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程标准形式的应用，考查的核心素养是数学运算和直观想象. 23．已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |①|y +z |＞4xyz ；（2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ①2yz ①2xz 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8 【解析】（1）利用基本不等式可得|x |||22242z y z xz yz z xy +⋅+≥⋅= , 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x +z |∴|y +z |＞4xyz . （2）由xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy ++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz ≥3，从而求出2xy ∴2yz ∴2xz 的最小值. 【详解】（1）证明：∴x ，y ，z 均为正数， ∴|x +z |∴|y +z |＝（x +z ）（y +z ）≥22xz yz ⋅＝4z xy ，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号． 又∴0＜xy ＜1，∴44zxy xyz >，。
2020届河北省九校高三上学期第二次联考试题数学(理)试题(解析版)
河北省九校高三上学期第二次联考试题数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|}20,A x x x x =-<∈-Z ，{}|2,xB y y x A ==∈，则A B =U （ ） A ．{1} B ．{0,1,2}C ．1,1,2,42⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{0,1,2,4}【答案】B【解析】解出集合A 中的不等式，得出解集，求出集合B ，即可求得A B U . 【详解】解不等式220x x --<，()()120x x +-<，得12x -<<，所以{}2{|}0,120,A x x x x =-<-=∈Z ，{}{}|2,1,2x B y y x A ==∈=，所以{0,1,2}A B =U . 故选：B 【点睛】此题考查解一元二次不等式，求函数值域，求两个集合的并集，关键在于根据集合关系准确求解. 2．已知复数z =（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第三象限 C．直线y =上 D．直线y =上【答案】C 【解析】因为z ==11z -∴=-在复平面内对应的点为(-在第二象限，在直线y =上 ，选C.3．设124a -=，121log 3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】一是借助于中间值1，二是化为同底数的对数比较可得． 【详解】112211log log 132>=，12142-=，3311log 2log 32>>=，∴1231214log 2log 3-<<，即a c b <<．故选：B. 【点睛】本题考查对数和幂的比较大小，比较大小时，同是对数的能化为同底数的化为同底数，同是幂的化为同底数或者化为同指数，不能转化的借助中间值如1，0等等比较．4．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由()0,0x f x →>得到答案．【详解】()211sin sin 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．5．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】C【解析】直接根据图中数据计算对应结果即可求出结论． 【详解】甲企业的成本为：10000； 乙企业的成本为：12000； 丙企业的成本为：15000故成本最大的是丙企业，故A 正确； 甲企业费用支出为：100005%500⨯=； 乙企业费用支出为：1200017%2040⨯=； 丙企业费用支出为：1500015%2250⨯= 故费用支出最高的企业是丙企业，故B 正确； 甲企业支付工资为：1000035%3500⨯=； 乙企业支付工资为：1200030%3600⨯=； 丙企业支付工资为：1500025%3750⨯=； 故甲企业支付的工资最少，故C 错误； 甲企业材料成本为：1000060%6000⨯=； 乙企业材料成本为：1200053%6360⨯=； 丙企业材料成本为：1500060%9000⨯= 故材料成本最高的企业是丙企业，故D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查根据图表分析解决问题，是对基础知识的考查，关键是理解题中数据，属于基础题．6．设{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则“20a >”是“1n S S n +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件、必要条件以及等差数列的性质判断即可. 【详解】解：由{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 若20a >，则10n a +>，又 11n S S n n a ++=-，1n S S n +∴>，故充分性成立； 若1n S S n +>，则1n 10S S n n a ++-=>，20a ∴>，故必要性成立； 综上可得，“20a >”是“1n S S n +>”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质以及充分条件必要条件的判定，属于基础题.7．已知两个不相等的非零向量a v ，b v ，满足1a =v ，且a v 与b v －a v的夹角为60°，则b v 的取值范围是( )A．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．,12⎫⎪⎪⎣⎭ C．,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．()1,+∞【答案】D【解析】设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，由已知a r 与b a -r r的夹角为60︒可得120ABC ∠=︒，由正弦定理sin sin120a b C=︒rr得1b >r，从而可求b r 的取值范围 【详解】解：设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，，如图所示：则由BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r又Q a r 与b a -r r 的夹角为60︒，120ABC ∴∠=︒又由1AB a ==u u u r r由正弦定理sin sin120a b C=︒r r得b =r0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q3sin 0,C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭()31,b ∴=∈+∞r故选：D ．【点睛】本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．8．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．7842π++B ．7442π++C ．5842π++D ．5442π++【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，并且三棱柱的上底面被遮掉，并计算出各面的面积，相加即可得出该几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体， 故所求的表面积为(221142234222584284πππ⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯=++， 故选：C. 【点睛】本题考查由三视图计算几何体的表面积，解题时要还原几何体的实物图，结合简单几何体的表面积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.9．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A ，C 区域涂同色的概率为（ ）A ．27B ．57C ．913D ．413【答案】D【解析】本题从颜色使用数量上来分类，又由条件知至少使用三种颜色，所以只剩三种情况了．然后选色，再按照规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，使用分步计数原理逐一涂色，即可求出总的基本事件，再弄清A ，C 区域涂同色的占了多少个基本事件，利用古典概型及其概率计算公式求答案． 【详解】解：根据题意，至少使用3种颜色．由使用颜色数量，下面我们分三种情况：（1）使用5种颜色：选色56C ，涂上去55A ，共有5565720C A =种； （2）使用4种颜色：选色46C ，先涂D 有4种，下面，①、若A 、C 同色，则B 和E 各涂剩余的两色，有223A 种，②、若A 、C 不同色，则B 和E 必同色，有33A 种．∴共42436263434360360720C A C A ⨯⨯+⨯⨯=+=种；（3）使用3种颜色：选色36C ，先涂D 有3种选择，D 用掉一种颜色，下面只有A 、C同色，B 、E 同色，有22A 种，共32623120C A ⨯=种， ∴共计7207201201560++=种，其中A ，C 区域涂同色的有360120480+=种， 则A ，C 区域涂同色的概率为4804156013=． 故选：D ． 【点睛】本题考查古典概型概率计算与分类、分步计数原理的应用，关键正确理解题意，选择好分类标准．属于中档题．10．某学生对函数()sin f x x x =的图象与性质进行研究，得出如下结论： ①函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ②点(),0π是函数()f x 的图象的一个对称中心；③函数()f x 的图象关于直线2x π=对称；④存在常数0M >，使()||||f x M x ≤对一切实数x 均成立.其中正确的结论是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】根据函数的奇偶性，单调性，对称性，值域依次判断每个选项得到答案. 【详解】易知()sin f x x x =为偶函数，()sin cos f x x x x '=+，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，所以()f x 在[0]2π，上单调递增，又()sin f x x x =为偶函数，所以()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故①正确；因为()(2)sin (2)sin(2)sin (2)sin f x f x x x x x x x x x ππππ+-=+--=--2sin 2sin 0x x x π=-=不恒成立，所以点(),0π不是函数()f x 的图象的对称中心，故②错误；因为()()sin ()sin()sin ()sin f x f x x x x x x x x x ππππ--=---=--2sin sin 0x x x π=-=不恒成立，即()()f x f x π=-不恒成立，所以直线2x π=不是函数()f x 的图象的对称轴，故③错误；因为|()||sin ||||sin |||f x x x x x x ==…，所以当1M =时，()||||f x M x ≤对一切实数x 均成立，故④正确. 综上可知，正确的结论是①④. 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质，考查考生的逻辑推理能力和基本运算能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.11．已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．C ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】设直线l ：()b y x c a=+，由2F 到l 的距离大于a ，得出ba 的范围，再由e =.【详解】设过1F 与渐近线by x a =平行的直线l 为()b y x c a=+， 由题知2F 到直线l 的距离d a >， 即d =2b a =>，可得12b a >，所以离心率e =>故选：C. 【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式e =可使计算变得简便，属于常考题. 12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-U B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(1,)-?? D ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】D【解析】构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x=+，由()()1'f x lnx f x x<-可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，当x ∈(0,1)时,g (x )>0,∵lnx <0,f (x )<0,(x 2-1)f (x )>0; 当x ∈(1,+∞)时,g (x )<0,∵lnx >0,∴f (x )<0,(x 2-1)f (x )<0 ∵f (x )是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )<0 ∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )>0.综上所述,使得(x 2-1)f (x )>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃. 本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．二、填空题13．已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为__________. 【答案】4【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，建立方程计算得到答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为5a 与432a 的等差中项为12，所以54312a a +=，所以233312a q a q +=，又31a =，所以22320q q +-=， 又数列{}n a 的各项均为正数，所以12q =，所以3124a a q ==.故答案为：4. 【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.14．已知2nx⎛⎝的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________. 【答案】-32【解析】先写出二项式展开式中第5项，因为第5项为常数项解出n ，然后令1x =得各项系数和. 【详解】解：因为()44424210581n n n n T C x C x--⎛== ⎝，且第5项为常数项 所以2100n -=，即5n =令1x =，得所有项系数和为()()5513232-=-=- 故答案为：32- 【点睛】本题考查了二项式定理的展开通项式，以及各项系数和问题，属于基础题.15．已知抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上任意一点，令||||PA t PF =，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是________. 【答案】±1【解析】令PAB α∠=，则||||1||||sin PA PA t PF PB α===，设200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于4x y '=，所以在点P 处切线的斜率04x k =，计算得到答案. 【详解】由题意知()0,2A -，()0,2F ，过点P 作PB l ⊥（l 为抛物线的准线），垂足为B . 由抛物线的定义可知||||PF PB =.令PAB α∠=，则||||1||||sin PA PA t PF PB α===， 当sin α最小时，t 最大，当直线PA 与抛物线28x y =相切时，sin α最小，即t 最大.设200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于4x y '=，所以在点P 处切线的斜率04x k =，所以在点P 处的切线方程为()200084x xy x x -=-，又切线过()0,2A -，所以2200284x x --=-，解得04x =±，所以当t 取得最大值时，直线PA 的斜率为±1. 故答案为：±1.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值和直线的斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时6cos PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】3π【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据6cos PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ， 因为8PA PB PC ===，故82AB AC ==6cos 3PA PAO AD ∠==Q ，4666AD ∴===2242BD AB AD =-=，PA ⊥Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =Q I ，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==Q ，D ∴为BC 的中点，282BC BD ∴==，222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径222432PA PB PC R ++==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为()344325633V ππ=⨯=.故答案为：2563π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足22232cos R ac B a c +=+. （1）求B 的大小； （2）已知ABC ∆的面积312abcS =，求a c +的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）(33,6]【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.（2）根据面积公式化简得到6sin 6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据角度范围得到值域. 【详解】（1）∵22232cos R ac B a c +=+，∴222232cos R a c ac B b =+-=，即3R b =， ∴3sin 223b B b R b==⨯=，又B为锐角，∴3B π=. （2）∵ABC ∆的面积31sin 1223abc S ac π==， ∴3b =，∴232233R b ==，又2sin sin a c R A C ==，23A C B π+=π-=， ∴2332(sin sin )23sin sin 23sin cos 32a c R A C A A A A π⎫⎡⎤⎛⎫⎛+=+=+-=+⎪ ⎪ ⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎦⎭ 6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC ∆是锐角三角形得,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴3sin ,162A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴(33,6]a c +∈，即a c +的取值范围为(33,6]. 【点睛】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，考查的核心素养是数学运算.18．如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）14-【解析】（1）证明BC AQ ⊥及PB AQ ⊥，即可证明：AQ ⊥平面PBC ，问题得证．（2）建立空间直角坐标系，由（1）得()3,0,3AQ =-u u u v为平面PBC 的法向量，求得平面PCD 的法向量为()0,3,1n =v，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角B PC D --的余弦值.【详解】（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒， 所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以BC ⊥平面PAB .又AQ ⊂平面PAB ，所以BC AQ ⊥，因为Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，所以PB AQ ⊥. 又PB BC B ⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥， 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以⊥OD AB .以AB 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()2,0,0A ，()0,2,0D，()2,2,0C -，(0,0,23P ，()2,0,0B -，所以(0,DP =-u u u v ，()2,0,0CD =u u u v ， 由（1）知，AQ uuu v为平面PBC 的法向量， 因为Q 为PB 的中点，所以(Q -，所以(AQ =-u u u v，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =v，由00n CD n DP u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2020x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()n =v.所以cos ,AQ nAQ n AQ n⋅==u u u v vu u u v v u u u v v 14=. 因为二面角B PC D --为钝角， 所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题．19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F，短轴长为A ，上顶点为B ，ABF V的面积为2. (1)求椭圆的标准方程；(2)过A 作直线l 与椭圆交于另一个点M ，连接MF 并延长交椭圆于点N ，当AMN V 面积最大时，求直线l 的方程.【答案】(1) 22143x y += (2) 1(2)2y x =±-【解析】试题分析：（1）根据题意布列方程组，从而得到椭圆的标准方程；（2）设MN 所在直线斜率存在时()()10y k x k =+≠，由()22134120y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩，得到()22234690k yky k +--=，借助韦达定理表示AMN S =V 法转为二次函数最值问题，即可得到直线l 的方程. 试题解析：（Ⅰ）根据短轴长知b =()12ABF S a c V =+=则3a c +=，因为222b a c =-，则1a c -=，故21a c ==，， 则椭圆方程为22143x y +=．（Ⅱ）设MN 所在直线斜率存在时()()10y k x k =+≠，()()1122M x y N x y ，，，121||?||2AMN S AF y y V =-=①()22134120y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩， ()22234690k y ky k ⇒+--=， 122634k y y k +=+，21229·34k y y k-=+． 代入①式得AMNS ==V ，令2343t k =+>，则234t k -=，92AMNS ==<V ， 当k 不存在时，92AMN S =V ． 故当AMN V 面积最大时，MN 垂直于x 轴，此时直线l 的斜率为12±， 则直线l 方程：()122y x =±-． 20．已知函数()cos xf x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)证明：()f x 在区间(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.【答案】（1）0x y -=；（2）见解析【解析】（1）给函数求导，将切点的横坐标带入原函数，导函数，分别求出切点和斜率，用点斜式写出直线方程即可.（2）当0x >时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.因为函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<，()010f '=>，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【详解】（1）()cos xf x e x =-Q ，则()sin xf x e x '=+，()00f ∴=，()01f '=.因此，函数()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，即0x y -=. （2）当0x >时，1cos x e x >≥，此时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点； 又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.()sin x f x e x '=+，构造函数()sin x g x e x =+，则()cos x g x e x '=+，当02x π-<<时，()cos 0x g x e x '=+>，所以，函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<Q ，()010f '=>，由零点存在定理知，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，当2x t π-<<时，()0f x '<，当0t x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【点睛】本题第一问考查导数几何意义中的切线问题，第二问考查函数零点的存在，同时考查了利用导函数求函数的单调区间，属于难题.21．2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈„，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈„，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈„.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n 格的概率为n P ，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.【答案】（1）300（千米）（2）0.8186（3）说明详见解析，此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出x ． （2）由~(300X N ，250)．利用正态分布的对称性可得(250400)P X <„．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =．遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -．②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -．可得：211122n n n P P P --=+．变形为112(1)2n n n n P P P P ----=--．即可证明149n 剟时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为10P P -，公比为12-的等比数列．利用112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯⋯+-+，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率49P ，失败的概率50P ．进而得出结论． 【详解】 解：（1）0.002502050.004502550.009503050.004503550.00150405300x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（千米）．（2）由~(300X N ，250)．0.95450.6827(250400)0.95450.81862P X -∴<=-=„．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =． 遥控车移到第(249)n n 剟格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -． ②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -．211122n n n P P P --∴=+． 1121()2n n n n P P P P ---∴-=--．149n ∴剟时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列．1112P ∴-=-，2211()2P P -=-，3321()2P P -=-，⋯⋯，11()2nn n P P --=-． 1112100111()()()()()1222n n n n n n n P P P P P P P P ----∴=-+-+⋯⋯+-+=-+-+⋯⋯-+ 1111()212[1()]1321()2n n ++--==----(0n =，1，⋯⋯，49)． ∴获胜的概率504921[1()]32P =--，失败的概率49495048112111[1()][1()]223232P P ==⨯--=+． 5049484950211111[1()][1()][1()]0323232P P ∴-=---+=->． ∴获胜的概率大．∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、正态分布图的性质、等比数列的定义通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P的极坐标为74π⎛⎫⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值.【答案】（1）1C 的普通方程为4320x y +-=.2C 的直角坐标方程为2y x =.（2）815【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程的公式得到答案. （2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+'⎩'⎪代入2y x =，利用韦达定理得到12809t t ''+=，12503t t ''=，计算得到答案. 【详解】（1）消去参数t 得曲线1C 的普通方程为4320x y +-=.曲线2C 的极坐标方程可化为2cos sin ρθθ=，即22cos sin ρθρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为2y x =.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+'⎩'⎪（t '为参数）， 代入2y x =得29801500t t ''-+=，点P 的直角坐标为()2,2-，设'1t ，'2t 分别是,A B 对应的参数， 则12809t t ''+=，12503t t ''=. ∴121211||||8||||||||15t t PA PB PA PB PA PB t t ''''+++===⋅. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程标准形式的应用，考查的核心素养是数学运算和直观想象.23．已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ；（2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8【解析】（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥=, 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x +z |⋅|y +z |＞4xyz .（2）由xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy ++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz ≥3，从而求出2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值.【详解】（1）证明：∵x ，y ，z 均为正数，∴|x +z |⋅|y +z |＝（x +z ）（y +z ）≥＝4当且仅当x ＝y ＝z 时取等号．又∵0＜xy ＜1，∴44xyz >，∴|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ；（2）∵xyz x y z ++＝13，即1113yz xz xy ++=．∵112yz yz yz +=…， 112xz xz xz+=…，12xy xy +=…， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号， ∴1116xy yz xz xy yz xz+++++…， ∴xy +yz +xz ≥3，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz ＝2xy +yz +xz ≥8，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．。
2023-2024学年河北省保定市部分高中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省保定市部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，B ＝{x |0＜x ＜2，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，2）B ．（0，2）C ．{0，1}D ．{1}2．已知复数z 满足z （1+i ）＝2﹣2i ，则z ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣2iC ．2iD ．23．已知单位向量a →，b →满足|a →+2b →|=2，则a →⋅b →=（ ） A ．1B ．14C ．−14D ．124．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，下列命题正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥n ，则m ∥lC ．若m ∥β，n ⊥l ，则m ∥nD ．若m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β5．已知cos(α+π8)+2cos(α−3π8)=0，则tan(2α+π4)=（ ）A ．12B ．43C ．﹣1D ．−436．已知a ＞0，且10ab +a 2＝1，则a +b 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．35D ．2√11117．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =n+22n ，若S n ≤k 恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．72B ．4C ．92D ．58．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f （x ），存在一个实数x 0，使得f （x 0）＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x 0为函数的不动点．设函数f （x ）＝e x ﹣1+e 1﹣x +x 2﹣x +a ，a ∈R ．若f （x ）在区间（0，3）上存在不动点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣e 2﹣e ﹣2﹣3，﹣1]B ．[﹣e 2﹣e ﹣2，﹣1]C ．[﹣e 2﹣e ﹣2﹣7，﹣e ﹣e ﹣1]D ．（﹣e 2﹣e ﹣2﹣5，﹣e ﹣e ﹣1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 9．已知函数f （x ）＝（x 2+a 2）（x +a ），下列结论正确的是（ ）A ．若f （x ）为奇函数，则a ＝0B ．f （x ）的图象关于点（﹣a ，0）中心对称C ．f （x ）没有极值点D ．∀x ∈（﹣a ，+∞），f （x ）＞010．已知圆C 1：x 2+y 2−2x +2y −7=0，圆C 2：x 2+y 2+2x −4y −44=0，则（ ） A ．直线C 1C 2与直线4x +6y ＝0垂直 B ．C 1与C 2没有公共点 C ．C 1与C 2的位置关系为外离D ．若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为10+√13 11．已知函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(xy)=f(x)y +f(y)x，则（ ） A ．f （1）＝0 B ．f （2）＝1 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）没有极值点12．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是√3，则（ ）A ．这两个球体的半径之和的最大值为3+√32B ．这两个球体的半径之和的最大值为23C ．这两个球体的表面积之和的最大值为10π9D ．这两个球体的表面积之和的最大值为(6+3√3)π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x ，x ＜02−x ，x ≥0，则f （f （﹣1））＝ ．14．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1＝2，D 是CC 1的中点，则异面直线AC 1与B 1D 所成角的余弦值为 ．15．已知函数f(x)=sin(ωx +π3)，f （x ）的图象关于直线x =π3对称，且f （x ）在(π36，π9)上单调，则ω的最大值为 ．16．已知函数f （x ）＝ln |x |+|lnx 2|，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 有4个零点，且其4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）成等差数列，则m ＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知A =2π3，a =√13，b ＝3c ． （1）求c 的值； （2）求sin B 的值．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，1a n+1−1a n=2n +1．（1）求{a n }的通项公式； （2）若b n =2a n2na n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知函数f （x ）＝2x sin x ﹣x 2cos x ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程； （2）求f （x ）在[0，2π]上的最值．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，且AB ＝4，正三角形ADE 的边长为2． （1）证明：EF ∥平面ABCD ；（2）若EF ＜AB ，且直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为√217，求EF 的值．21．（12分）圆x 2+y 2＝a 2+b 2称为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的蒙日圆．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，C的蒙日圆方程为x2+y2＝3．（1）求C的方程；（2）若F为C的左焦点，过C上的一点A作C的切线l1，l1与C的蒙日圆交于P，Q两点，过F作直线l2与C交于M，N两点，且l1∥l2，证明：|PQ|2+8√2|MN|是定值．22．（12分）（1）证明：当x＞0时，lnx≤x﹣1＜e x﹣2．（2）已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣x﹣lna，试讨论f（x）的零点个数．2023-2024学年河北省保定市部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，B ＝{x |0＜x ＜2，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，2）B ．（0，2）C ．{0，1}D ．{1}解：由x 2﹣2x ≤0⇒0≤x ≤2即A ＝{x |0≤x ≤2}， 又因为B ＝{x |0＜x ＜2，x ∈N }＝{1}，所以A ∩B ＝{1}． 故选：D ．2．已知复数z 满足z （1+i ）＝2﹣2i ，则z ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣2iC ．2iD ．2解：由题意可知：z =2−2i 1+i =(2−2i)(1−i)2=(1−i)2=−2i ． 故选：B ．3．已知单位向量a →，b →满足|a →+2b →|=2，则a →⋅b →=（ ） A ．1B ．14C ．−14D ．12解：已知单位向量a →，b →满足|a →+2b →|=2，则|a →+2b →|2=a →2+4b →2+4a →⋅b →=4，则a →⋅b →=−14．故选：C ．4．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，下列命题正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥n ，则m ∥lC ．若m ∥β，n ⊥l ，则m ∥nD ．若m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若m ⊥n ，则α，β不一定垂直，A 错误；对于B ，若m ∥n ，必有m ∥β，由直线与平面平行的性质，可得m ∥l ，B 正确； 对于C ，若m ∥β，必有m ∥l ，而n ⊥l ，必有m ⊥n ，C 错误； 对于D ，若m ⊥l ，m ⊥n ，α，β不一定垂直，D 错误． 故选：B ．5．已知cos(α+π8)+2cos(α−3π8)=0，则tan(2α+π4)=（ ）A．12B．43C．﹣1D．−43解：因为cos(α+π8)+2cos(α−3π8)=0，所以cos（α+π8）+2cos（α+π8−π2）＝0，即cos(α+π8)+2sin(α+π8)=0，所以tan(α+π8)=sin(α+π8)cos(α+π8)=−12，所以tan(2α+π4)=2tan(α+π8)1−tan2(α+π8)=2×(−12)1−(−12)2=−43．故选：D．6．已知a＞0，且10ab+a2＝1，则a+b的最小值为（）A．1B．2C．35D．2√1111解：由10ab+a2＝1得b=1−a2 10a，故a+b=a+1−a210a=9a10+110a≥2√9a10⋅110a=35，当且仅当a=13，b=415时，等号成立．故选：C．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=n+22n，若S n≤k恒成立，则k的最小值是（）A．72B．4C．92D．5解：S n=32+422+523+⋯+n+22n，12S n=322+423+524+⋯+n+22n+1，两式相减可得：1 2S n=32+122+123+124+⋯+12n−n+22n+1，=32+122(1−12n−1)1−12−n+22n+1=2−n+42n+1，∴S n=4−n+42n，∵n+42n＞0，∴4−n+42n＜4，即S n＜4恒成立，故k≥4．故选：B．8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个实数x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x0为函数的不动点．设函数f（x）＝e x﹣1+e1﹣x+x2﹣x+a，a∈R．若f（x）在区间（0，3）上存在不动点，则a的取值范围是（）A．（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]B．[﹣e2﹣e﹣2，﹣1]C．[﹣e2﹣e﹣2﹣7，﹣e﹣e﹣1]D．（﹣e2﹣e﹣2﹣5，﹣e﹣e﹣1]解：由题意可得，f（x）＝e x﹣1+e1﹣x+x2﹣x+a＝x在（0，3）上有解，即e x﹣1+e1﹣x+x2﹣2x+1＝1﹣a有解，令x﹣1＝t，t∈（﹣1，2），则﹣a+1＝e t+e﹣t+t2，令函数g（t）＝e t+e﹣t+t2，g′（t）＝e t﹣e﹣t+2t，当t∈（0，2）时，g′（t）＞0，所以g（t）在（0，2）上单调递增，g（﹣t）＝e﹣t+e t+（﹣t）2＝e t+e﹣t+t2＝g（t），所以g（t）为偶函数，所以g（t）在（﹣1，0）上单调递减．g（t）min＝g（0）＝2，g（t）＜g（2）＝e2+e﹣2+4，故﹣a+1∈[2，e2+e﹣2+4），a∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．已知函数f（x）＝（x2+a2）（x+a），下列结论正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则a＝0B．f（x）的图象关于点（﹣a，0）中心对称C．f（x）没有极值点D．∀x∈（﹣a，+∞），f（x）＞0解：对于A选项，函数f（x）＝（x2+a2）（x+a）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（0）＝a2•a＝a3＝0，解得a＝0，此时，f（x）＝x3为奇函数，合乎题意，A对；对于B选项，f（0）＝a3，f（﹣2a）＝5a2•（﹣a）＝﹣5a3，当a≠0时，f（0）+f（﹣2a）＝﹣4a3≠0，此时，函数f（x）的图象不关于点（﹣a，0）对称，对于C选项，f′(x)=2x(x+a)+x2+a2=3x2+2ax+a2=3(x+a3)2+2a23≥0，所以，函数f（x）在R上为增函数，函数f（x）没有极值点，C对；对于D选项，因为函数f（x）在R上为增函数，且f（﹣a）＝0，所以，∀x∈（﹣a，+∞），f（x）＞f（﹣a）＝0，D对．故选：ACD．10．已知圆C1：x2+y2−2x+2y−7=0，圆C2：x2+y2+2x−4y−44=0，则（）A．直线C1C2与直线4x+6y＝0垂直B ．C 1与C 2没有公共点 C ．C 1与C 2的位置关系为外离D ．若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为10+√13解：由题意可知圆C 1：(x −1)2+(y +1)2=9，则圆心C 1（1，﹣1），半径r 1＝3， 圆C 2：(x +1)2+(y −2)2=49，则圆心C 2（﹣1，2），半径r 2＝7， 则k C 1C 2=−1−21−(−1)=−32，直线4x +6y ＝0的斜率为−23，因为−32•（−23）≠﹣1，所以两条直线不垂直，故A 不正确；因为|C 1C 2|=√22+32=√13＜7−3=4，所以圆C 1与圆C 2的位置关系为内含，故B 正确，C 不正确； 对于D ，|PQ |的最大值为|C 1C 2|+r 1+r 2=10+√13，故D 正确． 故选：BD ．11．已知函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(xy)=f(x)y +f(y)x，则（ ） A ．f （1）＝0 B ．f （2）＝1 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）没有极值点解：令x ＝y ＝1，得f （1）＝0，A 正确； 令x ＝2，y ＝1，得f(2)=f(2)1+f(1)2=f(2)+0， 故f （2）的值不确定，B 错误； 令x ＝y ＝﹣1，得f （﹣1）＝0， 令y ＝﹣1，得f(−x)=−f(x)+f(−1)x=−f(x)，则f （x ）为奇函数，C 正确； 由f(xy)=f(x)y +f(y)x，可得xyf （xy ）＝xf （x ）+yf （y ）， 根据函数结构举例，当x ＞0时，可设xf （x ）＝lnx ， 则f(x)={lnxx ，x ＞0ln(−x)x，x ＜0， 当x ＞0时，f(x)=lnx x ，f ′(x)=1−lnx x 2， 当x ∈（0，e ）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（e ，+∞）时，f ′（x ）＜0， 所以f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减， 此时f （x ）有极值点，D 错误． 故选：AC ．12．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是√3，则（）A．这两个球体的半径之和的最大值为3+√3 2B．这两个球体的半径之和的最大值为2 3C．这两个球体的表面积之和的最大值为10π9D．这两个球体的表面积之和的最大值为(6+3√3)π解：当这两个球体的半径之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，如图所示．过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点O'作O'E⊥AB垂足为E，过点O'作O'D⊥OF，垂足为D．设圆O的半径为R，圆O'的半径为r，R的最大值为13√(√3)2−(√32)2=13×32=12，且R取最大值时，r取得最小值，最小值为r=13(23×32−12)=16，∴R∈[16，12]，r∈[16，12]．|OD|＝R﹣r，|OO'|＝R+r，|O′D|=|EF|=|AB|−|AF|−|BE|=√3−√3R−√3r．∵|OD|2+|O'D|2＝|OO'|2，∴(R−r)2+(√3−√3R−√3r)2=(R+r)2，①整理得R=1−r3−23√3r−2r2．令函数f(r)=R+r=1−r3−23√3r−2r2+r=1+2r3−23√3r−2r2，r∈[16，12]，则f ′(r)=√23√3r−2r2．令函数g(r)=2√3r −2r 2−3+4r ，g ′(r)=1√3r−2r 2+4＞0，∴g （r ）是增函数．又∵g(16)＜0，g(12)＞0，∴∃r 0∈[16，12]，g （r 0）＝0，∴当r ∈[16，r 0]时，g （r ）＜0，f ′（r ）＜0；当r ∈[r 0，12]时，g （r ）＞0，f ′（r ）＞0，∴f （r ）在[16，r 0]上单调递减，在[r 0，12]上单调递增．∵f(16)=f(12)=23，∴f （r ）的最大值为23，即这两个球体的半径之和的最大值为23；由①可得R 2+r 2=−12[(R +r)2−6(R +r)+3]，这两个球体的表面积之和为4π（R 2+r 2）＝﹣2π[（R +r ）2﹣6（R +r ）+3]．令x =R +r ≤23，函数y ＝﹣2π（x 2﹣6x +3）在(−∞，23]上单调递增，∴y max =−2π×[(23)2−6×23+3]=10π9，即这两个球体的表面积之和的最大值为10π9．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x ，x ＜02−x ，x ≥0，则f （f （﹣1））＝ 32 ．解：由题意得f(−1)=12，f(f(−1))=f(12)=2−12=32．故答案为：32．14．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1＝2，D 是CC 1的中点，则异面直线AC 1与B 1D 所成角的余弦值为√1515．解：取AC 中点E ，连接EB ，ED ，EB 1，∵D 是CC 1的中点，所以DE ∥AC 1，则∠EDB 1为异面直线夹角或其补角，又AB ＝BC ＝AA 1＝2，AB ⊥BC ，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，所以B 1D =√5，DE =√3，B 1E =√6，cos ∠EDB 1=DE 2+DB 12−B 1E 22DE⋅DB 1=3+5−62√3×√5=√1515， 故异面直线AC 1与B 1D 所成角的余弦值为√1515． 故答案为：√1515． 15．已知函数f(x)=sin(ωx +π3)，f （x ）的图象关于直线x =π3对称，且f （x ）在(π36，π9)上单调，则ω的最大值为 192． 解：因为f （x ）的图象关于直线x =π3对称， 所以πω3+π3=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω=12+3k ，k ∈Z ， 因为f （x ）在(π36，π9)上单调，所以π9−π36=π12≤T 2， 即T =2π|ω|≥π6，解得|ω|≤12， 当ω=192时，f(x)=sin(19x 2+π3)， 当x ∈(π36，π9)时，19x 2+π3∈(43π72，25π18)， 所以当x ∈(π36，π9)时，f （x ）单调递减， 所以ω的最大值为192． 故答案为：192． 16．已知函数f （x ）＝ln |x |+|lnx 2|，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 有4个零点，且其4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）成等差数列，则m ＝ 34ln3 ．解：f(x)=ln|x|+|lnx 2|={ 3lnx ，x ≥1，−lnx ，0＜x ＜1，−ln(−x)，−1＜x ＜0，3ln(−x)，x ≤−1.因为f （﹣x ）＝ln |﹣x |+|ln （﹣x ）2|＝ln |x |+|lnx 2|＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，如图：所以x 1＝﹣x 4，x 2＝﹣x 3．因为x 1，x 2，x 3，x 4成等差数列，所以x 3﹣x 2＝x 4﹣x 3，则3x 3＝x 4．因为f （x 3）＝f （x 4）＝m ，所以﹣lnx 3＝3lnx 4＝3ln （3x 3），可得x 3−1=（3x 3）3⇒x 34=3﹣3， 所以x 3=3−34，m =f(x 3)=34ln3． 故答案为：34ln3． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知A =2π3，a =√13，b ＝3c ． （1）求c 的值；（2）求sin B 的值．解：（1）因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以13＝b 2+c 2+bc ，又b ＝3c ，所以13＝（3c ）2+c 2+3c 2，解得c ＝1；（2）由（1）可得b ＝3c ＝3，因为b sinB =a sinA ，所以3sinB =√13sin 2π3， 解得sinB =3√3926． 18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，1a n+1−1a n=2n +1． （1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =2a n 2na n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为1a n+1−1a n =2n +1，所以当n ≥2时，1a 2−1a 1=2×1+1=3，1a 3−1a 2=2×2+1=5，1a n −1a n−1=2n −1，1a n−1−1a n−2=2n −3，⋯，1a 2−1a 1=2×1+1=3， 累加得1a n −1a 1=3+5+⋯+(2n −1)=(n−1)(3+2n−1)2=n 2−1，又a 1＝1，所以1a n =n 2，故a n =1n 2； （2）b n =2a n 2na n +1=2×1n 22n×1n 2+1=2n(n+2)=1n −1n+2， T n =1−13+12−14+13−15+⋯+1n −1n+2=1+12−1n+1−1n+2=32−2n+3(n+1)(n+2)． 19．（12分）已知函数f （x ）＝2x sin x ﹣x 2cos x ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程；（2）求f （x ）在[0，2π]上的最值．解：（1）因为f （x ）＝2x sin x ﹣x 2cos x ，所以f ′（x ）＝2sin x +2x cos x ﹣2x cos x +x 2sin x ＝（x 2+2）sin x ，则f ′（π）＝0，f （π）＝π2，故曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程为y ＝π2．（2）因为f ′（x ）＝（x 2+2）sin x ，所以当x ∈（0，π）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（π，2π）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）在（0，π）上单调递增，在（π，2π）上单调递减．所以当x ＝π，为f （x ）在区间[0，2π]的极大值且为最大值，又f （0）＝0，f （π）＝π2，f （2π）＝﹣4π2，所以f （x ）在[0，2π]上的最大值为π2，最小值为﹣4π2．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，且AB ＝4，正三角形ADE 的边长为2．（1）证明：EF ∥平面ABCD ；（2）若EF ＜AB ，且直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为√217，求EF 的值．（1）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ，因为平面ABFE ∩平面CDEF ＝EF ，AB ⊂平面ABFE ，所以AB ∥EF ，又EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ；（2）解：分别取AD ，BC 的中点O ，M ，连接OE ，OM ，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，△ADE 为正三角形，以O 为坐标原点，OA ，OM ，OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），B （1，4，0），C （﹣1，4，0），E （0，0，√3），设F(0，m ，√3)(0＜m ＜4)，则AE →=(−1，0，√3)，BC →=(−2，0，0)，BF →=(−1，m −4，√3)， 设平面BCF 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则由{BC →⋅m →=0BF →⋅m →=0，得{−2x =0−x +(m −4)y +√3z =0，令z =√3，得m →=(0，−3m−4，√3)，因为直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为√217， 所以|cos ＜AE →，m →＞|=|AE →⋅m →||AE →||m →|=32×√(m−4)2+3=√217，解得m ＝2或m ＝6（舍去），故EF ＝2．21．（12分）圆x 2+y 2＝a 2+b 2称为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的蒙日圆．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝3． （1）求C 的方程；（2）若F 为C 的左焦点，过C 上的一点A 作C 的切线l 1，l 1与C 的蒙日圆交于P ，Q 两点，过F 作直线l 2与C 交于M ，N 两点，且l 1∥l 2，证明：|PQ |2+8√2|MN|是定值． （1）解：由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝3． 可得{a 2+b 2=3e =c a =√22a 2=b 2+c2，得{a 2=2b 2=1c 2=1， 所以C 的方程为x 22+y 2=1． （2）证明：当l 1，l 2的斜率不等于0时，设l 1：x ＝my +t ，则l 2：x ＝my ﹣1．由{x =my +t ，x 22+y 2=1，得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣2＝0， 令Δ＝（2mt ）2﹣4（m 2+2）（t 2﹣2）＝0，得t 2＝m 2+2．设O 到l 1的距离为d ，则d =|0+0−t|√m 2+1=|t|√m +1， 得|PQ|=2√3−d 2=2√3m 2+3−t 2m 2+1=2√3m 2+3−(m 2+2)m 2+1=2√2m 2+1m 2+1． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{x =my −1，x 22+y 2=1， 得（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0，则{y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2， 则|MN|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2√4m 2(m 2+2)2+4m 2+2=2√2(m 2+1)m 2+2．故|PQ|2+8√2|MN|=4(2m2+1)m2+18√2(m2+2)2√2(m2+1)=4(3m2+3)m2+1=12．当l1，l2的斜率等于0时，|PQ|=2√3−1=2√2，|MN|=2√2，所以|PQ|2+8√2|MN|=12．综上，|PQ|2+8√2|MN|是定值．22．（12分）（1）证明：当x＞0时，lnx≤x﹣1＜e x﹣2．（2）已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣x﹣lna，试讨论f（x）的零点个数．（1）证明：令函数g(x)=lnx−x+1，g′(x)=1−x x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即lnx≤x﹣1．令函数v（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），v′（x）＝e x﹣1＞0，所以v（x）在（0，+∞）上单调递增，所以v（x）＞v（0）＝0，即e x﹣x﹣1＞0，即x﹣1＜e x﹣2．综上，当x＞0时，lnx≤x﹣1＜e x﹣2．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞），且a＞0，f′(x)=2ax2−x−1x．令函数2ax2﹣x﹣1＝0，解得x1=1+√1+8a4a＞0，x2=1−√1+8a4a＜0，所以2ax12−x1−1=0，即a=x1+1 2x12．当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，f(x)≥f(x1)=ax12−lnx1−x1−lna=x1+12−lnx1−x1−lnx1+12x12=−x12+12−ln(12+12x1)，令函数u(x)=−x2+12−ln(12+12x)，u′(x)=−(x−1)(x+2)2(x2+x)，当x∈（0，1）时，u′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u′（x）＜0，故u（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以u（x）在x＝1处取得极大值．①因为当x＝1时，u（1）＝0，所以当x1＝1，即a＝1时，f（1）＝0，此时f（x）只有一个零点．②因为当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，u（x）＜u（1）＝0，所以当x1∈（0，1）∪（1，+∞），即a∈（0，1）∪（1，+∞）时，f（x1）＜0，f（x）＝ax2﹣ln（ax）﹣x≥ax2+1﹣ax﹣x＝ax2﹣（a+1）x+1，令函数h（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a＞0），h（0）＝1，h（x1）≤f（x1）＜0，根据二次函数的图象及性质可得，∃x2∈（0，x1），h（x2）＞0，∃x3∈（x1，+∞），h（x3）＞0，即∃x2∈（0，x1），f（x2）＞0，∃x3∈（x1，+∞），f（x3）＞0，所以当x1∈（0，1）∪（1，+∞），即a∈（0，1）∪（1，+∞）时，f（x）有2个零点．综上，当a＝1时，f（x）只有一个零点；当a∈（0，1）∪（1，+∞）时，f（x）有2个零点．。
河北省保定市2020年高三第二次模拟数学(理科)试卷(含答案)
2020年高三第二次模拟考试，理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分， 共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}042>-=x x x P ，{}2)1(log 2<-=x x Q ，则Q P C R I )(=A ． [0，4]B ．[0，5）C ．（1，4]D ．[1，5）2．若复数z 满足2)21()2(i z i +=-，则|z|=A ．3B ．5C ．2D ．33．在△ABC 中，“0>⋅”是“△ABC 是钝角三角形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件：4．已知函数)0)(6sin(>-=ωπωx y 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由x y 2cos =的图象经过怎样的变换得到？A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.完整图案为一正方形（如图）：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是A ．83B ．165C ．167D ．31 6．已知)3cos()3sin(απαπ-=+，则=α2cos ． A ． 0 B ．1 C ．22 D ．23 7．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A ．π214+ B ．π212105++ C ．π4212105+++ D ．π4214++ 8．n x x )12(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等。
2020届河北省保定一中高三上学期第二次阶段性质量检测物理试题(解析版)
绝密★启用前河北省保定市第一中学2020届高三年级上学期第二次阶段性质量检测物理试题(解析版)第Ⅰ卷选择题（50分）一、选择题（本大题有15个小题，1—10为单项选择题，每题3分。
11—15为多选题，全部选对得4分，漏选且正确得2分，不选、错选得0分）1.如图所示，一恒力F与水平方向夹角为θ，作用在置于光滑水平面上，质量为m的物体上，作用时间为t，则力F的冲量为（）A. FtB. mgtC. FcosθtD. (mg-Fsinθ)t 【答案】A【解析】【详解】根据冲量的定义式，得F的冲量为Ft，A对，BCD错。
2.如图所示，质量为M的小船在静止水面上以速率v0向右匀速行驶，一质量为m的救生员站在船尾，相对小船静止．若救生员以相对水面速率v水平向左跃入水中，则救生员跃出后小船的速率为()A. v0＋mM(v0＋v) B. v0－mMvC. v0＋mMv D. v0＋mM(v0－v)【答案】A【解析】【详解】人在跃出的过程中船人组成的系统水平方向动量守恒,规定向右为正方向,由动量守恒定律得：（M +m ）v 0=Mv ′-mv ,解得：v ′=v 0+m M （v 0+v ）； A. v 0＋mM(v 0＋v ),与结论相符,选项A 正确； B. v 0－m Mv ,与结论不相符,选项B 错误； C. v 0＋m Mv ,与结论不相符,选项C 错误； D. v 0＋m M (v 0－v ) ,与结论不相符,选项D 错误；【此处有视频,请去附件查看】3.一辆质量为m 的汽车在平直公路上,以恒定功率P 行驶,经过时间t ,运动距离为x ,速度从v 1增加到v 2,已知所受阻力大小恒为f ,则下列表达式正确的是（ ）A. x=122v v +tB. P=fv 1C. 1P v ﹣2P v =12()m v v t- D. Pt ﹣fx=12mv 22﹣12mv 12 【答案】D【解析】汽车以恒定功率P 行驶,则P f ma v-=,物体做加速度减小的加速,最终匀速。
2020届河北省保定一中高三上学期第二次阶段测试数学理科试卷(PDF版)
保定一中2019-2020学年第一学期高三年级第二次阶段考试理科数学试卷说明：1.本试卷有选择题和非选择题两部分构成，其中选择题60分，非选择题90分，总分150分. 考试时间120分钟.2. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．考试过程中考生答题必须使用0.5毫米黑色水笔作答，答案必须写在指定的答题区域，在其它区域作答无效.第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1．设集合{}{}222,B 320A x x x x x =-<=-+<.则R A C B ⋂=( ) A.B.C.D.2．复数31ii +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A. 1y x =B. 1y x =-C. lg y x =D. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4．已知函数1()f x x x =-，若2(log 6)a f =，22(log )9b f =-，0.5(3)c f =，则，，的大小关系为（ ） A.B.C.D.5．不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：，，，其中的真命题是（ ） A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的i =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．8．函数1()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny --=上，其中，，则12m n+的最小值为（ ） A.4B.5C.6D.9．已知在各项为正数的等比数列中，2a 与8a 的等比中项为8，则374a a +取最小值时，首项1a =（ ）A.8B.4C.2D.110．已知：(cos 2,sin )a αα=，(1,2sin 1)b α=-，(,)2παπ∈，若25a b ⋅=则tan()4πα+的值为（ ）A ．23B ．13C ．27D ．1711. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()()sin π=-F x f x x ，在区间[]1-，m 上有10个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3.54，B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5 5.5，[]2121212.()220182019,1,1,()()1f x ax x t R t t x x f x f x a =--∈-+-≥已知函数对任意,在区间存在两个实数，使成立，则的取值范围是（ ）11Α.[,]22- B .[1,1]- (]{}[)C .,101,-∞-⋃⋃+∞{}11D.,0,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭第Ⅱ卷 非选择题（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若对任意的x ∈R ，不等式1221x x a --+≤-恒成立，则实数a 的取值范围为________. 14．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________ 15.已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b s i n )()s i n (s i n 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．16．已知函数22()23,(),1f x x x ag x x =-+=-若对任意1[0,3]x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为____．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17.(本小题满分10分) 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求函数f (x )的解析式.（2）写出函数f (x )的单调递增区间. (3)当x ∈,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的值域. 18．(本小题满分12分)已知a b c ，，分别为ABC △的三内角A ，B ，C 的对边，其面积222602S B a c b ︒==+=，，在等差数列{}n a 中，1a a =，公差d b =．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且*210n n T b n -+=∈N ，．（1）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 19．(本小题满分12分)定义：已知函数()f x 在[],()m n m n <上的最小值为t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[],()m n m n <上具有“”性质．（）判断函数2()22f x x x =-+在[]1,2上是否具有“”性质？说明理由．（）若2()x 2f x ax =-+在[],1a a +上具有“”性质，求的取值范围．20．(本小题满分12分)已知函数()214f x x a x=-+-． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）设函数()()g x xf x =，讨论()g x 在区间（0，1）上零点的个数．21．(本小题满分12分)已知函数()||f x x m =+(1)m ≥.（1）当2m =时，求不等式()112f x x->-的解集； （2）设1()()g x f x m=-+，记()()()p x f x g x =+，证明：()3p x ≥.22. (本小题满分12分)已知函数()ln 1()xmf x x m R e =+-∈，其中无理数.（1）若函数()f x 有两个极值点，求的取值范围； （2）若函数3211()(2)32x g x x e mx mx =--+的极值点有三个，最小的记为1x ，最大的记为2x ，若12x x 的最大值为1e，求12x x +的最小值.保定一中2019-2020学年第一学期高三年级第二次阶段考试理科数学试卷答案ABBDB CADCD AD(][)12-∞-⋃+∞，，, -6,13-11. 由()()20f x f x -+=可知函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称， 且()()()2f x f x f x -=-=-，所以，()()2f x f x +=，所以，函数()y f x =的周期为2， 由于函数()y f x =为奇函数，则()00f =，则()()240f f ==， 作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示：211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ,11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-、12-、0、12、1、32、2、52、3、72，第11个交点的横坐标为4，因此，实数m 的取值范围是[)3.5,4，故选：A 。
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+ a2 • b2 +…+ an • bn ＝1×21+2×21+3×21+…+ n 2n ，∴2 Sn ＝1×22+2×23+3×24+…+n2n+1，
∴﹣ Sn ＝1×21+（22+23+…+2n）﹣n2n+1， 即：﹣ Sn ＝（1-n）2n+1-2，
∴ Sn ＝（n﹣1）2n+1+2.
19.试题解析：（1）∵f(x) = x2 - 2x + 2，x ∈ [1,2]，对称轴x = 1，开口向上，
x ex
xex ，
令φ(x) = ex - mx，x > 0，
（1）判断函数 f (x) x2 2x 2 在1, 2上是否具有“DK”性质？说明理由．
（2）若 f (x) x2 ax 2 在a, a 1上具有“DK”性质，求a的取值范围．
f x x2 a 1
20．(本小题满分 12 分)已知函数
4x ．
（1）当 a 为何值时，x 轴为曲线 y f x的切线；
，
g
x 在（0，1）有一个零点；
③若 g
a 3
＞0，即
3 4
a
3,
g (0)
0,
g (1)
a
5 4
，
当
3 4
a
5 4
时，
g
x 在（0，1）有两个零点；当
5 4
a
3
时，
g
x 在（0，1）有一个零
点；
综上可得，a＜
3 4
时，
g
x
在（0，1）无零点；当
a=
3 4
或
a≥
5 4
时，
g
x
在（0，1）有一
个零点；当
f x 2 f x
y f x
且
，所以，
，所以，函数
的周期为
2，
y
由于函数
f
x 为奇函数，则
f
0 0 ，则
f
2
f
4 0 ，
y f x
y sin x
作出函数
与函数
的图象如
下图所示：
Q
f
1 2
log2
1 2
1
,
f
1 2
f
1 2
1
，
于是得出
f
7 2
f
3 2
f
1 2
x2
[2,3] ，使
得 f (x1) g(x2 ) 成立，则实数 a 的值为____．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.）
17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0,0<φ< )的 2
图象与
x
轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
p(x) 3.
22.
(本小题满分 12 分)已知函数
f
(x) ln x
m ex
1
(m R)
，其中无理数e = 2.718⋯.
（1）若函数 f (x) 有两个极值点，求m的取值范围；
（2）若函数
g(
x)
(
x
2)ex
1 3
mx3
1 2
mx2
的极值点有三个，最小的记为
x1
，最大的记为
x2
，若
x1 x2
则有a + 3 ≤ a，解得a无解．
综上所述，若g(x) = x2 - ax + 2在[a,a + 1]上具有“DK”性质，则a ≥ 2．
20.（1）
f
(x)
x2
a
1 4x
的导数为
f
( x)
2x
1 4x2
，
设切点为 x0，0，可得
f
x0 0，f x0 0 ，即 x02
a
1 4 x0
0,
3 4
＜a＜
5 4
时，
g
x
在（0，1）有两个零点．
21，（1） m 2
f
x
x2
不等式
f
x1 1
2x
即为
x 2 1 1
2x
，即
x
2 1 2x
2x
0
上述不等式同解于
x 0 1 3x
0
，即
x
0
①，或
2 x 0
1
3x
0
，即
2
x
1 3
②，或
x 2 x 3 0
，即
x
≤
2
③，
由①②③得不等式的解集为
当x = 1时，取得最小值为f(1) = 1，∴f(x)min = f(1) = 1 ≤ 1，∴函数f(x)在[1,2]上具有“DK”性
质．
（2）g(x)
=
x2
-
ax
+
2，x
∈
[a,a
+
1]，其图象的对称轴方程为x
=
a
2．
①
a
当2
≥
0，即a
≥
0时，g(x)min
=
g(a)
=
a2
-
a2
+
2
=
2．
若函数g(x)具有“DK”性质，则有2 ≤ a总成立，即a ≥ 2．
河北省保定一中 2020 届高三数学上学期第二次阶段测试试题 理
说明：
1.本试卷有选择题和非选择题两部分构成，其中选择题 60 分，非选择题 90 分，总分 150 分. 考试时间120 分钟.
2. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.
4 的值为（
）
2 A． 3
1 B． 3
2 C． 7
1 D． 7
11. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ，满足 f (2 x) f (x) 0 ，当 x 0,1时，
f
(x)
log2
x ，若函数 F x
f
(x) sin x
1，m
，在区间
上有
10 个零点，则 m 的
取值范围是（ ）
6．执行如图所示的程序框图，则输出的 i （ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
f (x) ln | x | 1
7．函数
x 的图象大致为( )
A．
B．
C．
D．
8．函数 f (x) ax1 2(a 0, a 1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上，其
1 2 中m > 0，n > 0，则 m n 的最小值为（ ）
前 n 项和为 Tn ，且 Tn 2bn 1 0，n N* ．
（1）求数列
an
，bn
的通项公式；
（2）若 cn anbn ，求数列 cn 的前 n 项和 Sn ．
19．(本小题满分 12 分)定义：已知函数 f (x) 在m, n (m n) 上的最小值为 t，若 t m 恒
成立，则称函数 f (x) 在m, n (m n) 上具有“DK”性质．
2
，且图象上一个最低点为
M
2 3
,
2
(1)求函数 f(x)的解析式.（2）写出函数 f(x)的单调递增区间.
(3)当
x∈
12
,
2
时，求
f(x)的值域.
18．(本小题满分 12 分)已知 a，， b c 分别为△ABC 的三内角 A，B，C 的对边，其面积
S 3，B， 60 a2 c2 2b2 ，在等差数列an中， a1 a ，公差 d b ．数列bn的
1
1
3
18. （1）S 2 acsinB 2 ac• 2
3 ，∴ac＝4，又 a2 c2 2b2 ， b2 ＝
a2 c2 2accosB ，
∴ b2 ac 4 ，∴b＝2，从而 a c2 ＝ a2 c2 2ac 64 ⇒ a c 8 ∴ a c 2 ,
故可得：
ad1
2 2
15.已知 a, b, c 分别为 ABC 三个内角 A, B,C 的对边， a 2 ，且
2 b(sin A sin B) (c b) sin C ，则 ABC 面积的最大值为____________．
16．已知函数
f
(x)
x2
2x 3a, g(x)
2 , 若对任意 x 1
x1 [0, 3] ，总存在
D .
,
1 2
0
1 2
,
第Ⅱ卷 非选择题（90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13．若对任意的 x R ，不等式 x 1 x 2 2a 1 恒成立，则实数 a 的取值范围为
________. π
14．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为 3 ，若向量 b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________
x x1 3或
x 0
g x
（2）
f
x
1 m
x
1 m
m
px x m x 1 m
m
x m x 1 m 2m 1
m
m
p x 2m 1
m
p x 2m 1
m 1
m
h
m
2m
1 m
在区间
1,
上是增函数
px 3
h m 3
1 m ex - mx