概率论第章协方差相关性协方差矩阵

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协方差矩阵的性质

协方差矩阵的性质协方差矩阵是一种重要的数学工具，可以用来描述两个或更多变量之间的相关性。

它可以为统计分析中的多种模型提供有力的证据，并且是直观、快速并且易于计算的解决方案。

今天，我们将概述协方差矩阵的性质，以及它如何用于实际的分析问题中。

首先，协方差矩阵可以用来描述两个或多个变量之间的相关性。

如果两个变量之间呈现正相关，那么他们在协方差矩阵中的值将为正；而如果两个变量之间呈现负相关，协方差矩阵中的值则为负。

根据这些值，我们就能够得到每对变量之间的关系是正相关还是负相关，从而更好地了解研究的问题。

协方差矩阵还可以用来进行多变量分析。

比如，假设我们想要探究一组变量（如年龄、性别和收入水平）之间的关系。

我们可以使用协方差矩阵来计算每个变量与其他变量之间的方差，从而更好地探究变量之间的相关性。

通过计算每个变量之间的方差，我们可以确定哪些变量之间具有最大的相关性，从而帮助我们更好地分析问题。

此外，协方差矩阵还可以用来进行无监督学习，比如聚类分析。

在聚类分析中，我们将数据分为几个聚类，每个聚类中的每个变量都与其他变量之间具有最强的相关性。

为了实现这一点，我们可以使用协方差矩阵来计算每个变量之间的关系，从而找出最相关的聚类。

最后，协方差矩阵还可以用于分类模型中，比如决策树和逻辑回归。

在这些模型中，我们可以使用协方差矩阵来计算各个变量之间的相关性，从而增强模型的准确性。

例如，如果我们正在使用决策树进行分类，我们可以使用协方差矩阵来比较不同变量之间的相关性，以决定哪个变量最能帮助我们建立更好的模型。

总之，协方差矩阵的性质可以说是非常多的，它的应用非常广泛。

它可以用来描述两个或更多变量之间的相关性，也可以用于多变量分析、聚类分析和分类模型等。

协方差矩阵是一种快速、有效和高效的计算方法，可以帮助我们更加客观和准确地分析数据。

概率论方差

第四章数字特征4.1 数学期望4.2 方差4.3 协方差与相关系数4.4 矩与协方差矩阵()()22()Var X E XE X =−⎡⎤⎣⎦证明:()Var X =()()222E X XE X EX ⎡⎤=−+⎣⎦()()222[()][]E XE EX X E EX =−+()()()()()222c E X E X E X E X E X ==−+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦代回()()E X E X c==为常数设)()(222c E cX E EX +−()()(),E cX cE X E c c ==⎡⎤⎣⎦()()222E XcE X c =−+()()22.E X E X =−⎡⎤⎣⎦()()()2222E X E X E X =−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()0Var X ≥()()22.E XE X ∴≥⎡⎤⎣⎦注：由知：()2E X EX ⎡⎤−⎣⎦()()22().Var X E XE X ∴=−⎡⎤⎣⎦（方差的简算公式）x y=1x= 0594.()()().E XY E X E Y =⋅随机变量X 与Y 相互独立，则(与数学期望对比来学习)n X X Y X ,,,,1⋯设为随机变量，c 为常数。

().0=c Var 性质1性质2 性质3,()()()2cov(,)X Y Var X Y Var X Var Y X Y ±=+±对于任意、有如果记:()()()EY Y EX X E Y X −−=),cov(的协方差与为称Y X Y X ),cov(().c c E =性质1 ()().E kX c kE X c +=+性质2(),,X Y E X Y EX EY∀+=+有性质3性质4()).()(Y Var X Var Y X Var +=+性质44.2.2 方差的性质随机变量X 与Y 相互独立,则()2+().Var kX c k Var X =().0=c Var 性质1()2+().Var kX c k Var X =性质2 证明:()Var c =0Ec c==()2E c Ec −()Var kX c +=证明:[]2()kX k E c c X E E +−−[]{}22()E k X E X =−2().k Var X =[]2()E c k kX X E c =+−−()2kX c kX E c E −=⎡⎤⎣⎦++[]2()E k X E k X =−证明:=+)(,Y X Var Y X 有和对于任意()(){}{}2E X EY X E Y =+⎡⎤⎡⎣−⎤⎦⎣⎦−()()()(){}222E X E X Y E Y X E X Y E Y =−+−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()222E X E X E Y E Y E X E X X E X =−+−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦),cov(2)()(Y X Y Var X Var ++=(同理可得到减法的公式)记:()()()()cov(,)X Y E X E X Y E Y ⎡⎤=−−⎣⎦，的协方差与为称Y X Y X ),cov(性质3),cov(2)()()(,Y X Y Var X Var Y X Var Y X ±+=±有和对于任意{}2([()])E E Y X X Y −++。

协方差知识点总结

协方差知识点总结一、协方差的定义协方差是描述两个随机变量之间的线性关系的统计量。

在概率论和统计学中，协方差是用来衡量两个随机变量之间的相关性的一种方法。

协方差的计算公式如下：\[ \text{cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y}) \]其中，$X$ 和 $Y$ 是两个随机变量，$X_i$ 和 $Y_i$ 是它们的取值，$\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 是它们的均值，$n$ 是观测次数。

协方差可以是正的、负的或零，分别表示两个变量之间的正相关、负相关和无关系。

二、协方差的性质1. 协方差是对称的，即 $\text{cov}(X, Y) = \text{cov}(Y, X)$。

2. 如果两个变量之间存在线性关系，协方差为正，表示它们是正相关的；如果协方差为负，则表示它们是负相关的；如果协方差为零，则表示它们是无关系的。

3. 协方差的绝对值越大，表示两个变量之间的相关性越强。

4. 如果两个变量之间存在线性关系，协方差的大小与变量取值的变化范围有关，因此协方差不能直接反映两个变量之间的相关性强度。

5. 协方差的量纲是两个变量的量纲的乘积，这使得不同变量之间的协方差难以比较。

三、协方差的应用1. 金融学中的协方差在金融学中，协方差常被用来衡量不同证券之间的相关性。

通过计算不同证券的收益率之间的协方差，可以帮助投资者进行资产配置和风险管理。

2. 统计学中的协方差在统计学中，协方差被广泛应用于计量经济学、时间序列分析等领域。

通过计算变量之间的协方差，可以帮助研究人员分析变量之间的关系，从而进行更深入的分析和预测。

3. 机器学习中的协方差在机器学习领域，协方差被用来衡量特征之间的相关性。

通过计算特征之间的协方差，可以帮助机器学习算法进行特征选择和降维，从而提高模型的精度和效率。

协方差矩阵的概念

协方差矩阵的概念协方差矩阵是概率论和统计学中一个重要的概念，用于描述多维随机变量之间的关联程度。

它是一个对称的矩阵，其中包含了各个随机变量之间的协方差以及它们的方差。

协方差是一种描述两个随机变量之间关系的统计量，它衡量了两个随机变量的变化趋势是否一致。

具体而言，对于随机变量X和Y，它们的协方差定义为E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，其中E[·]表示期望值操作符。

如果协方差大于0，则表明X和Y 之间存在正相关关系；如果协方差小于0，则表明X和Y之间存在负相关关系；如果协方差等于0，则表明X和Y之间没有线性关系。

对于多个随机变量的情况，我们将它们的协方差组成一个矩阵，即协方差矩阵。

设有n个随机变量X1，X2，...，Xn，它们的协方差矩阵记为Σ，其中Σ(i, j)表示随机变量Xi和Xj之间的协方差。

协方差矩阵是一个对称矩阵，满足以下性质：1. 对角线上的元素是随机变量的方差，即Σ(i, i) = Var(Xi)；2. 非对角线上的元素是对应两个随机变量的协方差，即Σ(i, j) = Σ(j, i)。

协方差矩阵的作用主要体现在以下几个方面：1. 描述随机变量之间的关联性：协方差矩阵可以直观地展示多个随机变量之间的相关性。

通过对协方差矩阵进行分析，可以了解随机变量之间的关系强度和方向。

2. 变量选择与降维：通过协方差矩阵，可以判断不同随机变量之间的相关性。

在建模分析中，我们可以通过分析协方差矩阵来选择与目标变量相关性最强的变量，去除冗余的变量，从而实现降低维度的目的。

3. 风险度量：在金融领域，协方差矩阵可用于衡量资产之间的风险关系。

通过计算资产收益率之间的协方差矩阵，可以估计投资组合的风险水平，为资产配置、风险控制提供依据。

4. 生成随机样本：协方差矩阵可用于生成符合特定相关性要求的随机样本。

通过给定均值向量和协方差矩阵，可以使用相关多元正态分布的特性生成具有一定相关性的随机样本。

自相关矩阵和协方差矩阵

自相关矩阵和协方差矩阵
自相关矩阵和协方差矩阵是用于描述数据序列中各个元素之间的相关性。

自相关函数指的是列向量的相关系数构成的函数，对于离散序列，自相关函数的变量就是序列的时间差。

而自协方差矩阵主要用于描述数据序列中各个元素与其自身滞后版本之间的关系。

另一方面，协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差。

在统计学与概率论中，自相关矩阵与自协方差矩阵，互相关矩阵与互协方差矩阵可以通过计算随机向量（自相关或自协方差时为x，互相关或互协方差时为x,y）其第（i（个与第（j（个随机向量即随机变量构成的向量）之间的自、互关系数来得到。

协方差矩阵和概率分布

协方差矩阵和概率分布摘要：1.协方差矩阵的定义与性质2.概率分布的定义与性质3.协方差矩阵与概率分布的关系4.协方差矩阵在实际应用中的例子正文：1.协方差矩阵的定义与性质协方差矩阵是一个用于衡量多元随机变量之间相关性的矩阵，它反映了各个变量之间的线性相关程度。

设X 和Y 是两个n 维随机向量，其协方差矩阵记为Σ，定义为：Σ= E[(X - μX)(Y - μY)] / σX^2σY^2其中，E[·] 表示期望，μX 和μY 分别是X 和Y 的均值向量，σX 和σY 分别是X 和Y 的标准差向量。

协方差矩阵具有以下性质：（1）协方差矩阵是一个对称矩阵。

（2）协方差矩阵的元素反映了各个变量之间的相关程度，值越接近1 表示相关性越强，值越接近0 表示相关性越弱，值接近-1 表示负相关，值接近1 表示正相关。

2.概率分布的定义与性质概率分布是用来描述随机变量取值及其概率的数学工具。

概率分布具有以下性质：（1）概率分布的和为1，即所有可能取值的概率之和为1。

（2）概率分布的值非负，即任何随机变量的概率都大于等于0。

3.协方差矩阵与概率分布的关系协方差矩阵与概率分布密切相关，协方差矩阵中的每个元素都与概率分布有关。

协方差矩阵的元素可以看作是各个随机变量的概率分布的函数。

例如，若X 和Y 是两个离散型随机变量，其概率分布分别为P(x) 和P(y)，则协方差矩阵的元素可以表示为E[XY] = ∑x∑yP(x)P(y)。

4.协方差矩阵在实际应用中的例子协方差矩阵在实际应用中具有重要意义，它可以用于衡量投资组合的风险、分析多元回归模型等。

例如，在投资领域，协方差矩阵可以用来衡量投资组合中各项资产之间的相关性，从而帮助投资者选择更优的投资组合。

协方差矩阵和相关系数矩阵的关系

协方差矩阵和相关系数矩阵的关系协方差矩阵与相关系数矩阵是统计学中常见的概念，它们之间有一定的关系，可以为统计学中的问题提供指导。

首先，本文将讨论协方差矩阵和相关系数矩阵的定义及其之间的关系。

然后，本文将提供一个简单的数学例子，来讨论两者之间的关系。

最后，本文将简要提出洞察协方差矩阵和相关系数矩阵的关系的理论依据。

什么是协方差矩阵以及相关系数矩阵？协方差矩阵是一个方阵，它用来表示两个或更多的变量之间的关系，它的大小可以从实际的数据得到。

每一个元素Cij表示第i个变量与第j个变量之间的协方差，它可以为正，负或零。

另一方面，相关系数矩阵是由相关系数组成的方阵，它与协方差矩阵相关，但具有更多的特征。

相关系数表示两个变量之间的线性关系，它可以在-1到1之间取值，当两个变量之间的相关系数为1时，表明他们之间存在强烈的正相关；当相关系数为-1时，表明他们之间存在强烈的负相关；而当相关系数为0时，则表明他们之间不存在相关。

协方差矩阵和相关系数矩阵之间的关系可以通过数学方法来描述。

假设有两个变量X和Y，他们之间的协方差矩阵表示为Cov(X,Y)，而它们之间的相关系数矩阵表示为ρ(X,Y)，则协方差矩阵和相关系数矩阵之间的关系可以用下式表示：ρ(X,Y)=Cov(X,Y) / (σX *Y)其中，σX表示X的标准差，σY表示Y的标准差。

计算可以看出，协方差矩阵和相关系数矩阵之间的关系是：协方差矩阵的值除以变量的标准差的乘积，就可以得到相关系数矩阵。

由此可见，协方差矩阵和相关系数矩阵之间的关系是紧密的，它们可以结合使用，以更好地了解变量之间的关系。

协方差矩阵和相关系数矩阵之间的关系可以由概率论和概率分布中的参数来解释。

假设X和Y之间存在一个线性关系，我们可以把这个关系表示为：Y=α+βX，其中α和β是常数，称为线性回归方程中的参数。

当X和Y之间的参数确定时，协方差的值就被求出，而相关系数的值也可以从参数β算出。

由此可见，线性回归方程的参数β就是表示X和Y之间相关关系的参数，而且它可以由协方差矩阵求出，也可以由相关系数矩阵求出。

协方差矩阵求相关矩阵例题

协方差矩阵求相关矩阵例题摘要：一、协方差矩阵和相关矩阵的定义与性质二、协方差矩阵的计算方法及例题三、相关矩阵的计算方法及例题四、协方差矩阵与相关矩阵的关系正文：一、协方差矩阵和相关矩阵的定义与性质协方差矩阵是一个n 阶对称矩阵，用于描述多个随机变量之间的线性相关程度。

协方差矩阵的第i 行第j 列表示随机变量xi 和xj 之间的协方差。

协方差矩阵的元素范围为[-1,1]，若所有元素均接近0，则表示各个随机变量之间相关性较弱。

相关矩阵则是用于描述多个变量之间的线性相关程度，其元素表示变量之间的相关系数。

相关矩阵的行和列分别对应于不同的变量，矩阵中的元素表示对应变量之间的相关程度。

相关矩阵的元素范围也为[-1,1]。

二、协方差矩阵的计算方法及例题计算协方差矩阵的方法有多种，其中一种常见的方法是利用样本均值和样本方差来计算。

假设有一个n×m 的矩阵x，表示m 个随机变量，我们可以先计算出每个变量的样本均值，然后计算每个变量的样本方差，最后根据协方差的定义计算出协方差矩阵。

例题：给定一个3×3 的矩阵x，其元素为：x = [[1, 2, 3],[7, 8, 9]]计算协方差矩阵。

解：首先计算每个变量的样本均值：x_mean = [[2, 5, 8],[5, 8, 11],[8, 11, 14]]然后计算每个变量的样本方差：sx_1 = (1-2)^2 + (2-5)^2 + (3-8)^2 = 14sx_2 = (4-5)^2 + (5-8)^2 + (6-11)^2 = 22sx_3 = (7-8)^2 + (8-11)^2 + (9-14)^2 = 22最后根据协方差的定义计算协方差矩阵：cov(x) = [[0, sx_2, sx_3],[sx_2, 0, sx_1],[sx_3, sx_1, 0]]cov(x) = [[0, 22],[22, 0],[22, 0]]三、相关矩阵的计算方法及例题相关矩阵的计算方法与协方差矩阵类似，也是利用样本均值和样本方差来计算。

方差矩阵是什么,协方差矩阵计算公式

方差矩阵是什么，协方差矩阵计算公式
在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

矩阵中的数据按行排列与按列排列求出的协方差矩阵是不同的，这里默认数据是按行排列。

即每一行是一个observaTIon（or sample），那么每一列就是一个随机变量。

协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵
协方差矩阵：
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵
协方差矩阵的维度等于随机变量的个数，即每一个observaTIon 的维度。

在某些场合前边也会出现1 / m，而不是1 / （m - 1）。

在统计学与概率论中，协方差矩阵是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的协方差。

这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵
举个例子，矩阵X 按行排列：
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵1. 求每个维度的平均值
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵2. 将X 的每一列减去平均值
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵其中：
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵3. 计算协方差矩阵
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵注意：
有时候在书上或者网上会看到这样的公式，协方差矩阵Σ：
协方差矩阵是什么_协方差矩阵计算公式_如何计算协方差矩阵
这里之所以会是X * X‘ 是因为原始数据集X 是按列排列的，即：。

第13讲协方差及相关系数矩及协方差矩阵

2 2 i 2
因此
2 2 3 2 Eη E(ξ 2, 因ξ 而 i ξ ) 3 i ξ ~ N(0, ), 3 3 i1
2
1 1 cov(ξ ξ ) E[(ξ 0, i ξ , i ξ ) ξ ] E(ξ i ξ ) E ξ 3 3 即ξ 而它们都是正态分布, i ξ 与 ξ 互不相关,
则
ρ XY
Cov(X,Y) D(X) D(Y)
称为随机变量X与Y的相关系数. XY是一个无量纲的量.
现证明||1
令X'=X-EX,Y'=Y-EY, 则X',Y'都是期望值为0的随机变量. 对于任给的实数t, 相信E(X'+tY')20, 即 EX'2+2tE(X'Y')+t2EY'20, 即是说关于t的一元二次方程 EX'2+2tE(X'Y')+t2EY'2=0最多只有单个实根或者没有实根, 也就说明判别式 b2-4ac0
四、矩
定义设X和Y是随机变量, 若 E(Xk), k=1,2,... 存在, 称它为X的k阶原点矩, 简称k阶矩. 若若 E{[X-E(X)]k}, k=1,2,... E(XkYl), k,l=1,2,...
存在, 称它为X的k阶中心矩.
存在, 称它为X和Y的k+l阶混合矩.
若
E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}, k,l=1,2,...
定理
两个随机变量X和Y呈线性关系的充分必要条件,
是它们的相关系数的绝对值为1, 即 ||=1
而另一方面, 如果X与Y相互独立, 则它们的相关系数必为0,

概率论与数理统计第4章

dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2

( t )e
dt
1-91
31
1 E( X ) x e 2
( x )2 2 2
dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2

( t )e
t2 2
得
从而
的概率密度为:
1-91
21
故所求数学期望分别为
1-91
22
三.数学期望的性质
性质1: 设 C 为常数，则性质2: 设 C 为常数，X 为随机变量，则有性质3: 设 X , Y 为任意两个随机变量, 则有为 n 个随机变量，
推论1 设
为常数，则
1-91
23
性质4 设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有
证: 因为 X 和 Y 相互独立，所以于是
推广:
1-91 24
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的均值解引入随机变量
显然有
1-91
25
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的均值
1-91
18
例5. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。
解: 设T 为乘客到达车站的时刻，则
其概率密度为
设Y 为乘客等车时间，则
1-91
19
已知
1-91

协方差矩阵相关系数矩阵

协方差矩阵相关系数矩阵
协方差矩阵和相关系数矩阵是在统计学和数据分析中常用的两种矩阵。

协方差矩阵描述了多个变量之间的相关性。

它的对角线上是各个变量的方差，非对角线上是变量之间的协方差。

例如，如果一个协方差矩阵是：
```
[[ 5.0 2.0 1.5]
[ 2.0 10.0 3.0]
[ 1.5 3.0 15.0]]
```
意味着第一个变量与自己的方差是 5.0，与第二个变量的协方差是 2.0，与第三个变量的协方差是 1.5。

类似地，第二个变量与自己的方差是 10.0，与第一个变量的协方差是 2.0，与第三个变量的协方差是 3.0。

相关系数矩阵是一种标准化的协方差矩阵，即将协方差值除以对应的两个变量的标准差。

这个矩阵的值域在 -1 和 1 之间。

例如，如果一个相关系数矩阵是：
```
[[ 1.0 0.4 0.2 ]
[ 0.4 1.0 0.3 ]
[ 0.2 0.3 1.0 ]]
```
意味着第一个变量与自己的相关系数是 1.0，与第二个变量的相关系数是 0.4，与第三个变量的相关系数是 0.2。

类似地，第二个变量与自己的相关系数是 1.0，与第一个变量的相关系数是 0.4，与第三个变量的相关系数是 0.3。

协方差矩阵和相关系数矩阵都可以用来检查多个变量之间的线性关系。

一般而言，相关系数矩阵比协方差矩阵更好用，因为它是标准化的，并且不受各个变量度量单位的影响。

概率论与数理统计协方差及相关系数详解演示文稿

故有 D[Y (a0 b0 X )] 0 E[Y (a0 b0 X )] 0
从而有 P{Y (a0 b0 X )} 1,即P{Y a0 b0 X} 1
第十四页，共35页。
(2) 若存在常数a*,b*使得P{Y=a*+b*X}=1,则有P{[Y(a*+b*X)]2=0}=1.即得E {[Y-(a*+b*X)]2}= 0,又由
特别, 若X=Y,则 cov(X,X)=E(X-E(X))2=D(X) 因此,方差是协方差的特例,协方差刻画两个随机
变量之间的“某种”关系.
第七页，共35页。
3. 计算对于任意随机变量X与Y,总有
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
由协方差定义得
cov(X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
Cov(X ,Y ) E[(XY ) YE(X ) XE(Y ) E(X )E(Y )]
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
这是计算协方差的常用公式.
可见，若X与Y独立，则 Cov(X,Y)= 0 .
第八页，共35页。
4.协方差的性质
(1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
(对称性)
(1) 求 Z 的数学期望和方差. (2) 求 X 与 Z 的相关系数.
解 (1)由E( X ) 1, D( X ) 9, E(Y ) 0, D(Y ) 16.
得 E(Z ) E( X Y ) 1 E( X ) 1 E(Y )
32 3
2
1. 3
第二十五页，共35页。
D(Z ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
0 E{[Y (a* b*X )]2}

概率论--方差、协方差和相关系数

2021/5/23
2
例2，某零件的真实长度为a，现用甲、
乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐
标上的点表示如图：
• • • •• a•• • • •
测量结果的甲仪器测量结果
均值都是 a
••••• a•••••
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
E ( E ) ( E ) E ( E ) E ( E ) 0
故 D ( )D D
2021/5/23
14
若 1 ， ...， n 相互独立，则
D ( 1 .. n ) ＝ D 1 ... D n
D 1.n ..n n 1D 1.n ..D n
协方差相关系数前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差对于二维随机变量xy我们除了讨论x与y的数学期望和方差以外还要讨论描述x和y之间关系的数字特征这就是本讲要讨论的协方差和相关系数三协方差covariance与相关系数根据方差性质4我们已经知道ddd2eee定义对二元随机变量称为与的协方差
上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.
2021/5/23
1
§4 方差、协方差
(一)方差的概念例1 两批零件的长度有如下的分布律 1 8 8.5 9 9.5 10 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
2 8.5 8.8 9 9.2 9.5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 两者的平均长度是相同的，均为9 第二批零件更好。因为它的误差相对较小。

两个向量的协方差矩阵

两个向量的协方差矩阵协方差矩阵是用来描述两个随机变量之间相关性的矩阵，也常常称为方差-协方差矩阵。

在机器学习和数据分析中，协方差矩阵经常被用来分析数据的结构和相关性，并且用于估计模型参数和做出预测。

本文将重点介绍两个向量的协方差矩阵。

一、定义在概率论和统计学中，给定两个随机向量 $X$ 和 $Y$，协方差矩阵 $\Sigma$ 的定义如下：$$\Sigma_{ij} = Cov(X_i, Y_j) = E[(X_i - E(X_i))(Y_j - E(Y_j))]$$其中 $E(.)$ 表示期望，$Cov(.,.)$ 表示协方差。

协方差是两个变量之间的相关性度量，它衡量的是它们的变化趋势是否相同。

如果协方差为正数，则两个变量的变化趋势是相同的，而如果协方差为负数，则变化趋势是相反的，即一个变量增加时另一个变量会减少。

如果协方差为 0，则两个变量之间没有相关性。

协方差矩阵是一个 $n \times n$ 的矩阵，其中 $n$ 是向量的维度。

例如，如果$X$ 是一个 $n$ 维的向量，则协方差矩阵可以表示为：$$\Sigma =\begin{bmatrix}Cov(X_1, X_1) & Cov(X_1, X_2) & \cdots & Cov(X_1, X_n) \\Cov(X_2, X_1) & Cov(X_2, X_2) & \cdots & Cov(X_2, X_n) \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\Cov(X_n, X_1) & Cov(X_n, X_2) & \cdots & Cov(X_n, X_n)\end{bmatrix}$$二、性质协方差矩阵具有以下性质：1. 对称性：$\Sigma$ 是对称矩阵，即 $\Sigma_{ij} = \Sigma_{ji}$。

一组随机变量的协方差矩阵公式

随机变量的协方差矩阵是统计学和概率论中非常重要的概念，它描述了两个随机变量之间的关系，是矩阵中的元素反映了两个随机变量之间的相关性以及各自的方差。

在实际应用中，协方差矩阵常常被用来分析多元统计数据的特征和相互关系，例如在金融领域中用于分析投资组合的风险，或者在生物学中用于分析基因之间的关联性等。

一组随机变量的协方差矩阵可以通过以下公式计算：1. 设有n个随机变量X1, X2, …, Xn，它们的均值分别为μ1, μ2, …,μn。

2. 则它们的协方差矩阵记为Σ，其中Σij表示第i个随机变量和第j个随机变量的协方差。

3. 则有Σij = Cov(Xi, Xj) = E[(Xi - μi)(Xj - μj)]，其中E[•]表示期望。

4. 协方差矩阵Σ的对角线元素Σii即为随机变量Xi的方差，即Σii = Var(Xi) = Cov(Xi, Xi) = E[(Xi - μi)2]。

5. 若随机变量之间相互独立，则它们之间的协方差为0。

协方差矩阵在统计学和概率论中有着广泛的应用，其计算的过程需要对随机变量的相关性有较深的理解和掌握。

通过对协方差矩阵的分析，可以更好地理解多元数据之间的关系和特征，为实际问题的解决提供了重要的数学工具。

协方差矩阵是多元统计分析中的一个重要概念，它能够描述多个随机变量之间的关联性，以及它们各自的方差。

在实际应用中，协方差矩阵被广泛应用于金融、生物学、工程学等不同领域，帮助解决了诸如投资组合风险分析、基因关联性研究的问题。

究其原因，这是因为协方差矩阵奠定了多元数据分析的基础，提供了关键的信息来理解和解释复杂的关联数据。

在统计学和概率论中，一组随机变量的协方差矩阵可以通过以下公式来计算：假设有n个随机变量X1, X2, …, Xn，它们的均值分别为μ1, μ2, …, μn，则它们的协方差矩阵记为Σ，其中Σij表示第i个随机变量和第j个随机变量的协方差，即Σij = Cov(Xi, Xj) = E[(Xi - μi)(Xj - μj)]，其中E[•]表示期望。

概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩)

实验步骤：实验步骤： (1) 整理数据如图所示．整理数据如图4-5所示所示．
图4-5 整理数据
(2) 计算边缘概率计算边缘概率P{X = xi}和P{Y = yj} 和在单元格G2中输入公式：在单元格中输入公式： = SUM(B2:F2)，并将中输入公式，其复制到单元格区域G3:G6 其复制到单元格区域在单元格B7中输入公式：在单元格中输入公式：=SUM(B2:B6)，并将其中输入公式，复制到单元格区域C7:F7 复制到单元格区域 (3) 计算期望计算期望E(XY) 首先在单元格B9中输入公式：首先在单元格中输入公式：中输入公式 =MMULT(B1:F1,B2:F6)，，
−
π
∫ πcos zdz = 0, ∫ πsin z cos zdz = 0
−
1 E ( XY ) = 2π
π
因而Cov(X，Y) = 0，ρXY = 0．，因而，．不相关，相关系数ρXY = 0，说明随机变量与Y不相关，，说明随机变量X与不相关但是，所以X与不独立不独立．但是，由于 X 2 + Y 2 = 1 ，所以与Y不独立．
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400,
所以
ρ XY =
Cov( X , Y ) 19 / 400 133 = = = 0.87 D( X ) D(Y ) 153 / 2800 153
4.3.2 相关系数下面不加证明地给出相关系数的两条性质：下面不加证明地给出相关系数的两条性质： (1) |ρXY | ≤ 1；；的充要条件是， (2) |ρXY | = 1的充要条件是，存在常数，b，使的充要条件是存在常数a， P{Y = aX + b} = 1．．定义4.6 若ρXY = 0，称X与Y不相关．0 < ρXY ≤ 1，称定义，与不相关．，不相关 X与Y正相关，– 1 ≤ ρXY < 0，称X与Y负相关．正相关，负相关．与正相关，与负相关事实上,相关系数事实上相关系数ρXY是X与Y线性关系强弱的一个与线性关系强弱的一个度量,X与的线性关系程度随着的线性关系程度随着| 的减小而减弱, 度量与Y的线性关系程度随着 ρXY|的减小而减弱的减小而减弱的线性关系最强，时与的线性关系最强当|ρXY| = 1时X与Y的线性关系最强，的不存在线性关系，当ρXY = 0时，意味与Y的不存在线性关系，即X 时意味X与的不存在线性关系不相关. 与Y不相关不相关

协方差矩阵和相关矩阵

协方差矩阵和相关矩阵Last revision on 21 December 2020一、协方差矩阵变量说明：设为一组随机变量，这些随机变量构成随机向量，每个随机变量有m个样本，则有样本矩阵其中对应着每个随机向量X的样本向量，对应着第i个随机单变量的所有样本值构成的向量。

单随机变量间的协方差：随机变量之间的协方差可以表示为根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下：可以进一步地简化为：协方差矩阵：（5）其中，从而得到了协方差矩阵表达式。

如果所有样本的均值为一个零向量，则式（5）可以表达成：补充说明：1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差，如元素C ij就是反映的随机变量X i, X j的协方差。

2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。

对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。

3、必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的数目越多，样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。

4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。

5、协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。

由此引入相关系数。

二、相关矩阵（相关系数矩阵）相关系数：着名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。

【数学】方差、协方差、协方差矩阵

【数学】⽅差、协⽅差、协⽅差矩阵⽬录设有样本集合a=[a1,a2,⋯,a m]。

【注意，下⽂所述的如向量a=[a1,a2,⋯,a m]，并不意味着就是⼀个样本，代表其中有m个特征，⽽是有m个样本，由每个样本的第⼀个特征组成的向量a，具体看下⽂就知道了。

】均值(mean)均值描述的是⼀个样本集合的中间点。

µ=1mm ∑i=1a i标准差(standard deviation)标准差可以⽤来描述单个点到均值的距离的平均值，或者说其描述的就是⼀种分散程度。

【注意：标准差和⽅差中求平均时除以m-1⽽不是m，是因为这样能使我们以较⼩的样本集更好的逼近总体的标准差，即统计上所谓的“⽆偏估计”，若除以m则为有偏】s=1m−1.m∑i=1(a i−µ)2如两个向量[0,5,10]和[4,5,6].两者均值都是5，但是可以看出两者有很⼤的差别，计算得到标准差分别为5和1。

也可以明显看出，后者较前者数据更为集中，所以其标准差也更⼩。

⽅差 (variance)：单个向量⽅差⽤来描述数值的分散(离散)程度，也即数据偏离均值的程度。

某个向量的⽅差可以⽤该向量的每个元素减去均值的完全平⽅再求平均来求得。

⽅差仅仅是标准差的平⽅，则有s2=Var(a)=1m−1.m∑i=1(a i−µ)2零均值化(也叫中⼼化)处理是将原数据集减去该数据集的均值，即a=a−µ，这样数据a的均值就是零了。

再说⼀句，零均值化不是简单的将均值令为零，⽽是要减去均值，这样才有零均值，这⾥之所以看到还是a i是因为相减后还令为了a i，即a i=a i−µ，或者说将下⽂中的a i还是要视为a i=a i−µ。

则将向量零均值化处理，可以有Var(a)=1m−1.m∑i=1a2i协⽅差(covariance)：两个向量协⽅差可以⽤来表⽰两个向量之间的相关性，如在PCA降维中，我们希望降维后的向量可以保存更多的原始信息，所以尽可能的减少向量之间的相关性，因为相关性越⼤，则就代表着两个变量不是完全独⽴的，也即必然有重复的信息。