2020-2021学年山西省阳泉市高三(上)期末数学试卷(文科)

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山西省阳泉市城区2022-2023学年七年级上学期期末模拟测试数学试卷(含解析)

阳泉市城区2022-2023学年七年级（上）数学期末模拟测试一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。

下列各题，每小题只有一个选项符合题意。

）1. 比﹣1大2的数是（）A. 3B. 1C. ﹣1D. ﹣32. 长江是我国最长的河流，长度约为6300km，下列说法正确的是（）A. 这个数是准确数B. 这个数是近似数，精确到百位C. 这个数是近似数，精确到个位D. 这个数是近似数，精确到千位3. 某班数学老师结合中国共产党建党一百周年，在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”活动课，下图是该正方体展开图的一种，那么原正方体中，与“党”字所在面对应的面上的汉字是（）A. 礼B. 赞C. 百D. 年4. 在海上，灯塔位于一艘船的北偏东50°的方向，那么这艘船位于这个灯塔的( )A. 南偏西40°方向B. 南偏西50°方向C. 北偏西40°方向D. 北偏西50°方向5. 若单项式的系数是m，次数是n，则（）A. B. C. D.6. 若a，b是互为相反数（a≠0），则关于x的一元一次方程ax+b＝0的解是（）A. 1B. ﹣1C. ﹣1或1D. 任意有理数7. 下列图形不能作为一个三棱柱的展开图的是（）A. B.C. D.8. 如图，乐乐将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a、b、c分别标上其中的一个数，则－2（3a－2b－c）的值为（）A. －12B. 12C. 4D. 209. 下列语句中：正确的个数有（）①画直线②连接点A与点B的线段，叫做A、B两点之间的距离③两条射线组成的图形叫角④任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知点C在直线AB上，AB=4，BC=6，点D是线段AC的中点，则AD等于（）A. 5B. 2C. 5或1D. 5或2二.填空题(共5题，总计15分)11. -3-1=________．12. 数轴上点A表示的数是，点B表示的数是2，则A，B两点的距离是________．13. 已知关于的方程的解是，则的值是___．14. 已知，且，则_____________15. 如图，七个正方形拼成一个长方形图案，若中间小正方形面积为1，则图中最大正方形的面积等于________．三.解答题(共8题，总计75分)16. 已知a，b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，求的值．17. 先化简，再求值：，其中，．18. 如图，在“和谐”公园的绿茵广场上有A，B，C三棵树．测得B树和C树相距100m，，，请用代表20m，画出类似的图形，量出，的长（精确到），再换算出A树距B，C两树的实际距离．19. 如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求a的值．20. 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2.5 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3 h．已知水流的速度是2 km/h，求船在静水中的平均速度．21. 如图，已知∠AOB=40°，∠BOC=3∠AOB，OD平分∠AOC，求∠COD的度数．解：因为∠BOC=3∠AOB，∠AOB=40°，所以∠BOC= °．所以∠AOC= + = °+ °= °．因为OD平分∠AOC，所以∠COD==× °= °．22. 如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）可以通过调节扣调节，经测量，得到下列数据．双层部分长度（cm）281420b单层部分长度（cm）148136124a88（1）根据数据规律，将表格补充完整：______；______；（2）设双层部分的长度为x cm，请用x的代数式表示单层部分的长度．（3）当背带的长度调为130cm时，此时双层部分的长度为多少cm？（4）试求背带长度的最大值与最小值．23. 问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG ＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．操作发现（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF 与∠FGC之间的数量关系；结论应用（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若，则∠CFG等于______（用含的式子表示）．阳泉市城区2022-2023学年七年级（上）数学期末模拟测试参考答案及解析一.选择题1.【答案】：B解析：解：﹣1+2=（2﹣1）=1，故选B．2.【答案】：C解析：解：长江是我国最长的河流，长度约为6300km，6300km是个近似数，因数6300末尾数字0在个位，所以它精确到个位．故选：C．2.【答案】：D解析：结合展开图可知：建对应百；党对应年；赞对应礼，故答案为：D.4.【答案】：B解析：解：灯塔位于一艘船的北偏东50°的方向，那么这艘船位于这个灯塔的南偏西50°．故选：B．5.【答案】：C解析：解：由题意得：m＝，n＝4．∴m+n＝．故选：C．6.【答案】：A解析：∵a，b互为相反数∴∵ax+b＝0∴∴故选：A7.【答案】：A解析：解：由图形可知作为一个三棱柱展开图有B、C、D；故不能作为一个三棱柱的展开图的是：A；故选：A．8.【答案】：B解析：解：∵5+1+(−3)=3，而每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，∴a+5+0=3， 3+1+b=3，c+(−3)+4=3∴a=−2，b=−1，c=2∴－2（3a－2b－c）==12故选：B．9.【答案】：B解析：直线不可以度量，所以画直线AB=3cm是错误的；连接点A与点B的线段的长度，叫做A、B两点之间的距离，原说法错误；具有公共端点的两条射线组成的图形叫角，原说法错误；任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，原说法正确；故正确答案有1个，故选：B．10.【答案】：C解析：当点C在线段AB的延长线上时，AB=4，BC=6，，点D是线段AC的中点，；当点C在线段AB的反向延长线上时，AB=4，BC=6，，点D是线段AC的中点，；综上，AD等于5或1．故选：C．二. 填空题11.【答案】：-4解析：解：-3-1=-3+(-1)=-4，故答案为-4.12.【答案】：5解析：解：∵点A表示数是，点B表示的数是2，∴A，B两点间的距离是：2-（-3）=5，故答案为：5．13.【答案】：2解析：解：把x=1代入方程得：2+a-4=0，解得：a=2，故答案为：2．14.【答案】：或解析：，，又，或，或，故答案为：或．15.【答案】：25解析：解：设最大正方形1号的边长为x，则6号正方形的边长为x-1，5号正方形的边长为x-2，2、3、4号正方形的边长为x-3，由题意可得：x+x-1=3（x-3）+x-2，解得：x=5，即最大正方形的面积等于5×5=25，故答案为：25．三.解答题16【答案】：－22或8解析：解：根据题意，得，，，所以或．当时，原式；当时，原式．故的值是－22或8．17【答案】：，18解析：解：当，时，原式．18【答案】：图见解析，A树距B，C两树的实际距离分别是200m,173.2m.解析：解：如图，经测量可得：AB≈100.0mm=10cm，AC≈86.6mm=8.66cm，换算可知：A树距B树的实际距离为，A树距C树的实际距离为．19【答案】：解析：解：解方程，得，解方程，得，因为两个方程的解互为相反数，所以，解得．20【答案】：船在静水中的平均速度为22 km/h解析：设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺流速度为km/h，逆流速度为km/h．依题意，．解得．答：船在静水中的平均速度为22 km/h．21【答案】：120；∠AOB；∠BOC；40；120；160；∠AOC；160；80解析：解：因为∠BOC=3∠AOB，∠AOB=40°，所以∠BOC=120°．所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+120°=160°．因为OD平分∠AOC，所以∠COD=∠AOC=× 160°=80°．故答案为：120；∠AOB；∠BOC；40；120；160；∠AOC；160；80．22【答案】：（1）112；32（2）（3）cm（4）最大值为152cm，最小值为76cm解析：【小问1解析】根据数据，136=148-12；124 =136-12；则a=112=124-12；8=2+6；14=8+6；20=14+6；26=20+6；则b=32=26+6【小问2解析】根据（1）得到规律：152-2×双层部分的长度=单层部分的长度即单层部分的长度为：【小问3解析】由题意可得方程：解得：【小问4解析】因为背带长为：当时，背带长的最大值为152cm，当时，背带长的最小值为76cm．23【答案】：（1）∠1＝40°（2）∠AEF＋∠GFC＝90°；说明见解析（3）解析：（1）根据，可得∠1=∠EGD，再根据∠2=2∠1，∠FGE＝60°，即可得出∠EGD＝（180°−60°）＝40°，进而得到∠1＝40°；（2）根据，可得∠AEG＋∠CGE＝180°，再根据∠FEG＋∠EGF＝90°，即可得到∠AEF＋∠FGC＝90°；（3）依据，可得∠AEF＋∠CFE＝180°，再根据∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，即可得到∠GFC＝180°−90°−30°−α＝60°−α．【小问1解析】如图（1）．∵，∴∠1＝∠EGD．又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD．又∵∠FGE＝60°，∴，∴∠1＝40°；【小问2解析】解：∠AEF＋∠GFC＝90°，理由：如图（2）．∵，∴∠AEG＋∠CGE＝180°，即∠AEF＋∠FEG＋∠EGF＋∠FGC＝180°．又∵∠FEG＋∠EGF＝90°，∴∠AEF＋∠GFC＝90°；【小问3解析】解：如图（3）．∵，∴∠AEF＋∠CFE＝180°，即∠AEG＋∠FEG＋∠EFG＋∠GFC＝180°．又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，∴．故答案为．。

山西省阳泉市2020届高三数学上学期期末考试试题文

山西省阳泉市2020学年度第一学期期末考试试题高三文科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q I 等于A. {}1,2,3B. {}2,3C. {}1,2D. {}22.复数4312iz i+=+的虚部为 A. i B. i - C. 1- D . 13.若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，，，，则12z x y =+的最大值为A.52B.72C. 3D.44.已知向量()313362a b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭r r，，，，则向量a r 与2b r 的夹角是 A.6π B.4πC. 3π D.2π5.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若244a =，且436a a +=，则5S =A. 31B. 32C. 30D. 296.程大位是明代著名的数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为A ．120B ．84C ．56D ．287.若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为A ．1B ．2C ．9D ．18 8.函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（） A ． B ． C ．D ．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.13 B.23C ．1 D.4310.设ABC △的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC △的面积等于10，4b =，则a 的值为A.233 B. 283 C. 263D. 25311.关于函数()cos ?223sin cos f x x x x =-，有下列命题：①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数f (x )的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；④将函数f (x )的图象向左平移512π个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin 2x 的图象重合．其中正确的命题是 A. ①②③B. ②④ C.①③ D. ①②④12.已知函数()1ln f x m x x=+有两个零点，则实数m 的取值范围是 A ．(),e +∞B ．1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．()0,e D ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上. 13.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。

2020-2021学年山西省阳泉市人教版二年级上册期末教学质量检测数学试卷

…………外……○…………装………○…学校:___________姓_________班级：……内…………○…………装……○…………订…○…………线…绝密★启用前2020-2021学年山西省阳泉市人教版二年级上册期末教学质量检测数学试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题 1．如果将下图中的纸条拉直，它的长度大约为（）厘米。

A ．2B ．3C ．42．谁拔得萝卜多？（）A ．小白兔B ．小灰兔C ．一样多3．小方看到的茶壶的样子是哪一幅图？（）A ．B ．C ．外…………○……………………○……学级：________…………装………线…………○…○…………装…………○…A ．B ．C ．5．一条长60米的彩带，第一次剪去16米，第二次剪去19米，现在比原来短了（）米。

A ．3B ．25C ．35第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 6．用这四张数字卡片能组成( )个不同的两位数，其中最大的数是( )，最小的数是( )，它们相差( )。

7．亮亮一家人围坐在一起吃饭，每人用一双筷子，亮亮拿出10根筷子正好用完，亮亮家一共有( )人在吃饭。

8．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

4×9( )63 36－20( )15 14＋7( )7×4 3＋3＋3＋3＋3( )5×3＋1 2×8＋8( )8×3－8 40－8( )37 23＋6( )83 2×2( )2＋2 30分( )2时 70厘米＋30厘米( )1米9．先在横线上写出钟面上的时间，再判断时针和分针形成的是什么角，填在括号里。

________ ________ ________ ( ) ( ) ( )……………○…………装…………○…………订…………○………线…………学校:___________姓名：_________班级：___________考号：___________…内……………………○…………订…………○………线…………○……………………○………内…………○…………装…10．看图列算式。

2020届山西省阳泉市高三上学期期末数学(文)试题(解析版)

2020届山西省阳泉市高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合则等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：【考点】集合的交集运算2．复数4312i zi+ =+的虚部为（）A．i B．i-C．1 D．-1【答案】D【解析】由()()()()43124310521212125i ii iz ii i i+-+-====-++-，所以复数的虚部为1-，故选D．3．若,x y满足2040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y=+的最大值为（）A．52B．3 C．72D．4【答案】C【解析】作可行域，如图，则直线12z x y=+过点A(1,3)时z取最大值为72，选B. 4．已知向量(3,3)a=v，31()2b=v，则向量av与2bv的夹角是（）A．6πB．4πC．3πD．2π【答案】C【解析】先写出向量a v与2b v，再计算其夹角即可. 【详解】解：因为)a v=，12b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭v，所以2b ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭v所以21,222a b cosa b a b===n n v v v vv v 所以向量a v与2b v的夹角为3π 故选C . 【点睛】本题考查了平面向量坐标运算，夹角公式，属于基础题.5．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若244a =，且436a a +=，则5S =（）A ．31B ．32C ．30D ．29【答案】A【解析】结合已知可先求出公比q 及首项1a ，然后根据等比数列的求和公式可求．【详解】解：设等比数列的公比q 及首项1a ，由题意可得，42a =，34a =，312124a q a q ⎧=∴⎨=⎩解得12q =，116a =，根据等比数列的求和公式可得，551161231112S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．6．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A ．28B ．56C ．84D ．120【答案】C【解析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解. 【详解】模拟程序的运行，可得：0,0,0i n S === 执行循环体，1,1,1i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，2,3,4i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，3,6,10i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，4,10,20i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，5,15,35i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，6,21,56i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，7,28,84i n S ===；满足判断条件7i ≥，退出循环，输出S 的值为84. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．若双曲线2221(0)9y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（） A ．1 B ．2 C ．9 D ．18【答案】D【解析】先求出渐近线的一般方程，利用斜率乘积为1-得到a 的值后可得实轴长. 【详解】渐近线的方程为30ax y ±=，因0a >，故渐近线30ax y +=与直线13y x =垂直，故1133a -⨯=-，解得9a =，所以双曲线的实轴长为218a =，故选D. 【点睛】如果双曲线的方程为()22220x y a b λλ-=≠，那么求其渐近线的方法就是把λ变成零后所得两个二元一次方程就是渐近线方程.另外()22220x y a bλλ-=≠表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）. 8．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果. 【详解】函数()1ln 1x f x x -=+的定义域为{|1}x x ≠±，当12x =时，1()ln 302f =-<，排除B 和C ；当2x =-时，(2)ln 30f -=>，排除A. 故选：D. 【点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题. 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，由此求出它的体积．【详解】解：由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，如图所示；则该三棱锥的体积为11122123323ABC V S h ∆==⨯⨯⨯⨯=g ．故选：B ．【点睛】本题考查了三视图与直观图的应用问题，也考查了空间想象能力与转化能力，属于基础题．10．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（）A ．233B ．283C ．263D ．253【答案】D【解析】由正弦定理化简已知，结合sin 0A ≠，可求4cos sin 3C C =，利用同角三角函数基本关系式可求3sin 5C =，进而利用三角形的面积公式即可解得a 的值．【详解】解：3cos 4sin a C c A =Q ，∴由正弦定理可得3sin cos 4sin sin A C C A =，sin 0A ≠Q ，3cos 4sin C C ∴=，即4cos sin 3C C =，222221625sin cos sin sin sin 199C C C C C ∴+=+==，解得：3sin 5C =或3sin 5C =-（舍去）4b =Q ，ABC ∆的面积11310sin 4225S ab C a ===⨯⨯⨯，∴解得253a =．故选：D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 11．已知函数()1ln f x m x x=+有两个零点，则实数m 的取值范围是（） A ．(),e +∞ B ．1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．()0,eD ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】函数1()f x mlnx x=+的定义域为(0,)+∞，利用导数研究其单调性，可得其最小值，由最小值小于0，构造关于m 的函数，再由导数求m 的取值范围．【详解】解：函数1()f x mlnx x=+的定义域为(0,)+∞， 2211()m mx f x x x x -∴'=-+=， Q 函数1()f x mlnx x=+有两个零点，0m ∴>．由()0f x '=，解得1x m=，则当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增． ∴当1x m=时，()f x 有极小值也是最小值为11f m mln m mlnm m m ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭．则0m mlnm -<．令()g m m mlnm =-，()11g m lnm lnm '=--=-，则(0,1)m ∈时，()0g m '>，当(1,)m ∈+∞时，()0g m '<， ()g m ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．而()11g =，当0m +→时，()0g m >，()0g e =，∴当(,)m e ∈+∞时，()0g m <． ∴实数m 的取值范围是(,)e +∞．故选：A ．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求最值，属于中档题．二、填空题12．天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组.得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353.则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是__________,三天中有两天下雨的概率的近似值为__________ 【答案】13 15【解析】先找出10组数据中有几组表示3天中有2 天下雨，再利用古典概型的概率公式即可求出结果．【详解】解：每个骰子有6个点数，出现1或2为下雨天，则每天下雨的概率为2163=， 10组数据中，114，251，表示3天中有2 天下雨，∴从得到的10组随机数来看，3天中有2 天下雨的有2组，则3天中有2天下雨的概率近似值为：21105=，故答案为：13；15．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题．13．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意得或，解得实数的取值范围为点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量的取值范围.14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,222p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 32px =交于E ，G 两点，若22EG =，则抛物线C 的方程是_________【答案】24y x =.【解析】根据题意，利用勾股定理求得M 点坐标，代入抛物线方程，即可求得p ，求得抛物线方程．【详解】解：由题意可知，过M 作2pMN x ⊥=交2p x =于点N ，由题意可知：222||||||MN ME NE =-，所以||1MN =，则(12p M +，2)，代入抛物线22y px =，即82(1)2p p =+，整理得2280p p +-=，解得2p =或4p =-（舍去），所以抛物线得方程为24y x =，故答案为：24y x =．【点睛】本题考查抛物线得标准方程，考查垂径定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 15．已知四面体ABCD 内接于球O ，且2,2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为33，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____．【答案】16π【解析】根据2,2AB BC AC ===,可知△ABC 为直角三角形,其外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,可知1OO ⊥平面ABC ,根据1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥ 平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高,根据四面体ABCD 的体积可求得DC ,在直角三角形DCA 中由勾股定理可求得外接球的直径AD ,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】如图:在三角形ABC 中,因为222AB BC AC +=,所以△ABC 为直角三角形,所以三角形ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,根据垂径定理,可得1OO ⊥平面ABC ,因为1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高.所以11232232DC ⨯=,解得23DC =所以22(23)24AD =+=. 所以四面体ABCD 的外接球的半径为2,表面积为24R π=24216ππ⨯=.【点睛】本题考查了球与四面体的组合体,三棱锥的体积,球的表面积公式,利用垂径定理和中位线平行得到DC ⊥ 平面ABC 是解题关键.属于中档题.三、解答题16．关于函数()cos 2+23cos f x x x x =，下列命题正确的个数是( ) ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，12()()f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称图象； ④将函数()f x 的图象向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．A ．①②③B ．②④C ．①③D ．①②④【答案】C【解析】将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质依次判断命题的对错即可得到答案．【详解】解：由()cos 223cos f x x x x =+， ()cos 232f x x x ∴=()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭()f x 的周期22T ππ==，则有11()()f x f x π=+， ∴当12x x π-=时，12()()f x f x =成立．故①对．由sin x 函数的图象和性质，可得：()f x 的单调递增区间为[3k ππ-，]6k ππ+，()k ∈Z ，区间[6π-，][33k πππ-à，]6k ππ+，k Z ∈，故②不对．函数()f x 的图象的中心对称为,0212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()k ∈Z ，当0k =时，得,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭为函数的对称中心．故③对．由()2sin(2)6f x x π=+向左平移512π个单位后得到：52sin 2126x ππ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简得：2sin 2x -，与2sin 2y x =的图象不重合．故④不对．综上所述：①③对，②④不对．故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的化简能力和计算能力，以及三角函数的图象和性质的运用能力．综合性比较强，属于中档题．17．数列{}n a 中，112a =，()*1122nn n a a n -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ，数列{}n b 满足()*2n n n b a n =⋅∈N ．（I ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2log n nn c a =，求数列22n n c c +⎛⎫ ⎪⎝⎭的前n 项n T ．【答案】（Ⅰ）证明详见解析，2n n na =；（Ⅱ）3122n1T n 1n =--++. 【解析】（I ）将1122nn n a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭配凑成11221n n n n a a ++=-.由此证得数列{}n b 是等差数列.求得n b 的表达式，进而求得数列{}n a 的通项公式. （II ）先求得n c 的表达式，然后利用裂项求和法求得n T . 【详解】（I ）由1122nn n a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即11221n n n n a a ++=-．而2nn n b a =，∴11n n b b +=-，即11n n b b +-=．又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列．于是1(1)1=2nn n b n n a =+-⨯=，∴2n n n a =．（II ）∵22log log 2n n nnc n a ===， ∴22211(2)2n n c c n n n n +==-++． ∴1111111111111132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L311212n n =--++．【点睛】本小题主要考查配凑法求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查等差数列的证明，属于基础题.18．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，12AC BC =，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若2AC =，求三棱锥P BMC -的体积．【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】（1）由三线合一的性质得出CM PA ⊥，再利用平面与平面垂直的性质定理可得出CM ⊥平面PAB ，可得出AB CM ⊥，再由AB AC ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理可得出AB ⊥平面PAC ；（2）由（1）知AB ⊥平面PAC ，则三棱锥B PMC -的高为AB ，计算出PMC ∆的面积和AB ，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥B PMC -的体积，即为三棱锥P BMC -的体积.【详解】（1）PAC ∆Q 为等边三角形，且M 为PA 的中点，CM PA ∴⊥.Q 平面PAB ⊥平面PAC ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，CM ⊂平面PAC ，CM ∴⊥平面PAB ，AB ⊂Q 平面PAB ，AB CM ∴⊥.又AB AC ⊥，CM AC C =I ，AC 、CM ⊂平面PAC ，AB ∴⊥平面PAC ；（2）AB AC ⊥Q ，且2AC =，24BC AC ==，AB ∴=又PAC ∆是边长为2的等边三角形，且M 为PA 的中点，则CM PA ⊥，且sin 60CM PC ==o ，PMC ∆的面积为111222PMC S PM CM ∆=⋅=⨯=.因此，三棱锥P BMC -的体积为111332P BMC B PMC PMC V V S AB --∆==⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，解题时要充分利用题中的线面垂直或面面垂直条件寻找三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“33+”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定A 省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%分别赋分70分、60分、50分、40分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A 省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单料全班排名），知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理82分，化学70多分．（1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．【答案】（1）70分；（2）76,77,78,79；（3）25. 【解析】（1）根据物理82分判断所处的百分比，根据百分比确定分数；（2）先排除赋分70分的分数，然后利用百分比计算赋分60分的人数，结合数据，给出可能的取值；（3）采用列举法以及古典概型的概率计算公式来求解. 【详解】（1）∵1[110(0.0050.0150.0250.035)]0.12⨯-⨯+++=，100.0050.05⨯=， ∴此次考试物理成绩落在(80,90]，(90,100]内的频率依次为0.1，0.05，频率之和为0.15，且小明的物理成绩为82分，大于80分，处于前15%，∴小明物理成绩的最后得分为70分.（2）因为40名学生中，赋分70分的有4015%6⨯=人，这六人成绩分别为89，91，92，93，93，96；赋分60分的有4035%14⨯=人，其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为76，77，78，79；因为小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学70多分，所以小明的原始成绩的可能值为76，77，78，79.（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A ，a ，b ，c ，d ，e ，小明的所有可能选法有(,,)A a b ，(,,)A a c ，(,,)A a d ，(,,)A a e ，(,,)A b c ，(,,)A b d ，(,,)A b e ，(,,)A c d ，(,,)A c e ，(,,)A d e 共10种，其中包括化学的有(,,)A a b ，(,,)A a c ，(,,)A a d ，(,,)A a e 共4种，∵若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为：42105P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图、茎叶图以及古典概型的应用，难度一般.理解频率分布直方图时，注意其横轴和纵轴所表示数据的含义.20．已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，M 是椭圆C 上一点，当112MF F F ⊥时，有213MF MF =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点，试问在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）存在， T （4，0）【解析】（1）由题意，2c =．故224a b =+．然后设点M 坐标为(2,)M y -，代入椭圆方程，联立椭圆定义21||||2MF MF a +=，进一步计算可得椭圆C 的标准方程；（2）假设存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立，则0TA TB k k +=，设出A 、B 、T 点坐标代入0TA TB k k +=计算，可得122112T x y x y x y y +=+．然后设直线:2l x my =+．联立直线与椭圆方程，消去x 整理可得一元二次方程，根据韦达定理有12242my y m -+=+，12242y y m -=+g ．然后代入122112T x y x y x y y +=+进行计算可判断是否是定值，即可得到结论．【详解】解：（1）由题意，2c =．故224a b =+．可设点M 坐标为(2,)M y -，则22241My a b+=，解得22||M b y a =，即212||b MF a =． 221122||||4||4b a MF MF MF a∴=+==g ，解得224a b =．28a ∴=，24b =．∴椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）由题意，假设存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立，设(T T x ，0)，且2T x ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则 11TA T y k x x =-，22TB Ty k x x =-．22ATF BTF ∠=∠Q ，0TA TB k k ∴+=，即12120T Ty y x x x x +=--．整理，得122112T x y x y x y y +=+．设直线:2l x my =+．联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得22(2)440m y my ++-=．()()()222442432320m m m ∴∆=-⨯+⨯-=+>12242m y y m -∴+=+，12242y y m -=+g ． 12211221(2)(2)x y x y my y my y +=+++Q 121222()my y y y =++．12211212121222()T x y x y my y y y x y y y y +++∴==++21212242222242y ym m m m y y m -+=+=+-++g g1224m m=+=g ．∴存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立，且点T 坐标为(4,0)．【点睛】本题主要考查椭圆的基础知识，及直线与椭圆的综合问题，考查了方程思想和转化思想，设而不求法的应用，逻辑思维能力和数学运算能力．属于中档题．21．已知函数()()11ln x f x e a x x -=--+ (a R ∈，e 是自然对数的底数).（1）设()g x =()f x ' (其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值；（2）若对[)1,x ∈+∞，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 2a -(Ⅱ) (] 2-∞，【解析】(Ⅰ)求出()g x '，分别令()'0g x >求得x 的范围，可得函数()g x 增区间，()'0g x <求得x 的范围，可得函数()g x 的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减，()()12f x f a ''≥=-.讨论当2a ≤时，当2a >时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数a 的取值范围. 【详解】(Ⅰ)()()()110x g x f x ea x x -=+-'=>，()121x g x e x --'=. 令()()()1210x x g x e x x ϕ-=-'=>，∴()1320x x e xϕ-'=+>，∴()g x '在()0+∞，上为增函数，()10g '=. ∵当()01x ∈，时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，， ∴()()12g x g a ==-极小.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴()()12f x f a ''≥=-.当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件；当2a >时，()120f a ='-<. 又∵()ln 11ln 10ln 1ln 1af a ea a a +=-+=>++'，∴()01ln 1x a ，∃∈+，使得()00f x '=，此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0ln 1x x a ∈+，，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(]2-∞，. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，A ，B 均异于原点O ，且AB =，求α的值. 【答案】（1）()()222224,24x y x y -+=+-=；（2）3π4. 【解析】（1）根据曲线1C 的参数方程，消去参数，即可得到1C 的普通方程；由4sin ρθ=两边同时乘以ρ，即可得到24sin ρρθ=，进而可得2C 的直角坐标方程；(2)根据1C 的直角坐标方程先得到其极坐标方程，将θα=分别代入1C 和2C 的极坐标方程，求出A ρ和B ρ，再由A B AB ρρ=-=.【详解】（1）由222x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ，得1C 的普通方程为()2224x y -+=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，又sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.（2）由（1）知曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=，所以其极坐标方程为4cos ρθ=.设点A ，B 的极坐标分别为(),A ρα，(),B ρα，则4cos A ρα=，4sin B ρα=，所以4cos sin 4A B AB πρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭所以sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，即()42k k Z ππαπ-=+∈，解得()34k k Z παπ=+∈，又0απ<<，所以34πα=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23．已知()221f x x x =++-的最小值为t . （1）求t 的值；（2）若实数a ，b 满足2222a b t +=，求2214a b +的最小值. 【答案】（1）2；（2）9.【解析】（1）由绝对值定义去掉绝对值符号，化函数为分段函数，再根据分段函数性质求得最小值．（2）由基本不等式可得最小值．【详解】（1）31,1()2213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-⎨⎪--≤-⎩＜＜， ∴f （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增， ∴f （x ）min ＝f （﹣1）＝2，∴t ＝2；（2）由（1）可知2a 2+2b 2＝2，则a 2+b 2＝1，∴()2222222222141445b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当22224=b a a b，即213a =，223b =时取等号，故2214a b+的最小值为9．【点睛】本题考查绝对值函数的性质，考查基本不等式求最值．对绝对值函数可根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后再研究分段函数的性质即可．。

2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．124．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．1856．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵A＝{x|0＜x＜5}，B＝Z，∴A∩B＝{1，2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，∴，解得n＝10．则袋中球的总个数为10．故选：C．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185解：i＝0，a＝1，b＝1；第一次执行循环体后，a＝3，b＝2，不满足退出循环的条件，i＝1；第二次执行循环体后，a＝7，b＝5，不满足退出循环的条件，i＝2；第三次执行循环体后，a＝15，b＝14，不满足退出循环的条件，i＝3；第四次执行循环体后，a＝31，b＝41，满足退出循环的条件；故输出a+b值为72，故选：C．6．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，所以f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣（﹣x）2＝e x+e﹣x﹣x2＝f（x），所以函数为偶函数，又f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，故f″（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以f′（x）在R上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，解得或m＜﹣2．故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，又A+B+C＝π，所以B＝．有余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos60°＝（a+c）2﹣3ac，即72＝132﹣3ac，所以ac＝40．所以△ABC的面积S＝ac sin B＝10．故选：C．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．解：由AB＝AC＝2，得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设OABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝8，所以r＝4，则球心O到平面ABC的距离等于＝3，则△ABC的面积S＝2×＝7，故三棱锥O﹣ABC的体积为＝7．故选：A．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），则f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则＝f（﹣log2257）＝f（8﹣log2257）＝﹣f（log2257﹣8），而8＝log2256＜log2257＜log2512＝9，则0＜log2257﹣8＝log2＜1，且当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝﹣f（log2）＝﹣（）＝﹣，故选：D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），令z＝x﹣y，化为y＝x﹣z，作出直线x﹣y＝0，把直线平移，由图可知，当直线经过A时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最小，z有最大值1，当直线经过B时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值﹣1，∴x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（﹣c，0），把x＝﹣c代入双曲线方程中，有，∴y＝±，∴P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），∵AP⊥BQ，∴＝（﹣c+a，）•（﹣c﹣a，﹣）＝c2﹣a2﹣＝0，化简得，a2＝b2，即a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．解：（Ⅰ）由题意（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[60，70），且（70﹣x）×0.02+0.3+0.2+0.15＝0.75，解得x＝65．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1，DD1⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1．（Ⅱ）解：如图，在平面BCC1内作C1F⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ）知BD⊥平面ADD1，因为平面ADD1∥平面BCC1，所以BD⊥平面BCC1，所以BD⊥C1F，又因为BD∩BE＝B，所以C1F⊥平面BDE．所以线段C1F的长就是点C1到平面BDE的距离．因为CC1＝DD1＝BD＝4，BC＝3，所以．在平面BCC1内，可知△BCE∽△C1FE，所以，得，所以点C1到平面BDE的距离为．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为．（1分）所以．又因为f（1）＝0，f（e）＝0，因此y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线方程分别为y＝﹣x+1和．令y＝1，可得M和N的坐标分别为（0，1）和，故．（Ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，而，所以必然存在x0∈（1，2），满足f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0））时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，f（x）取得最小值f（x0）＝x0lnx0+1﹣x0﹣lnx0．由f′（x0）＝0，可得，所以．当x0∈（1，2）时，，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。

2020-2021学年山西省阳泉市中学第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2020-2021学年山西省阳泉市中学第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（）A. 函数的最小正周期是B. 图像关于直线对称C. 函数在区间上单调递减D. 图像关于点对称参考答案：C【分析】根据三角函数的图象平移关系求出的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，对于,函数的最小正周期为，所以该选项是正确的；对于，令，则为最大值，函数图象关于直线，对称是正确的；对于中，，则，，则函数在区间上先减后增，不正确；对于中，令，则，图象关于点对称是正确的，故选：．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．2. 下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是( )A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x+1|C．f（x）=D．f（x）=ln参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=sinx，是奇函数，在[﹣1，1]上单调递增，不满足条件．函数f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，不满足条件，函数f（x）=是偶函数，不满足条件，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3. 已知等比数列{a n}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．3 B．15 C．48 D．63参考答案：C【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质进行求解即可．【解答】解：∵a1+a2=3，a3+a4=12，∴（a1+a2）q2=a3+a4，即q2=4，则a5+a6=（a3+a4）q2=12×4=48，故选：C．4. 设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x|x≥1}，则M∩N={x|1≤x＜2}故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5. 设函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D作出函数的图象.因为由方程,得或.显然有一个实数根,因此只要有两个根(不是),利用图象可得, 实数a的取值范围是.6. 函数的定义域是（）A．B．[1，+∞） C．D．（﹣∞，1]参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】欲使函数有意义，须，解之得函数的定义域即可．【解答】解：欲使函数的有意义，须，∴解之得：故选C．【点评】对数的真数必须大于0是研究对数函数的定义域的基本方法，其中，若底数含有参数，必须分类讨论，结论也必须分情况进行书写．7. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）．A．B．C．D．参考答案：C解：，继续，，，继续，，，继续，，，停业．故选．输出为．8. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算并输出该数列的第10项，则判断框内的条件可以是A. B.C. D.参考答案：C略9. 已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]参考答案：C考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10. 设i是虚数单位，复数（a∈R）的实部与虚部相等，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，又已知复数（a∈R）的实部与虚部相等，即可解得a的值．【解答】解：∵ =，又复数（a∈R）的实部与虚部相等，∴，解得a=0．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 由曲线，直线，直线围成的封闭图形的面积为__________。

山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)

山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为；若|TF |5=，则|PQ |的值为．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元．以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增，求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则223e ≤a ＜12e，选C ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅，对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题），所以1111()242n n P P +−=−，令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =，故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+，所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误；经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为．答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为；若|TF |5=，则|PQ |的值为．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①：因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元．以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′，则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。

2021年-有答案-山西省阳泉市平定县人教版三年级上册期末考试数学试卷

2021学年山西省阳泉市平定县人教版三年级上册期末考试数学试卷一、填空题1. 线段长(________)厘米(________)毫米。

2. 在括号里填上合适的单位。

一把尺子厚2(________)。

教室黑板的周长是8(________)。

眨一下眼睛用的时间大约是1(________)。

小红每天早上刷牙用的时间大约是2(________)。

一辆卡车每小时行驶的路程是50(________)，载重量是6(________)。

3. 括号里填合适的数。

1米−7分米＝(________)分米400毫米＝(________)分米1吨+500千克＝(________)千克1分20秒＝(________)秒4. 上午10:50上第四节课，一节课40分钟，第四节课应该在(________)下课。

5. 超市上午9:00开门，妈妈上午8:35到了超市门口，她还要等(________)分钟才能进入超市。

6. 我9:10进入电影院时，电影已经演了半小时，电影是(________)开演的。

7. 男生379人，女生423人，男生和女生大约一共(________)人。

8. 一台电扇198元，买4台这样的电扇大约需要(________)元。

9. 54是6的(________)倍；7的8倍是(________)；(________)的4倍是36。

10. 小芳做纸花，做了9朵红花，48朵黄花。

要使黄花的数量是红花的6倍。

如果黄花的数量不变，需要减少(________)朵红花。

如果红花的数量不变，需要增加(________)朵黄花。

11. 把一个长12厘米，宽6厘米的长方形，平均分成两个正方形，每个正方形的周长是________厘米。

12. 一个长方形的宽是3厘米，长是宽的2倍。

这个长方形的长是(________)厘米，周长是(________)厘米。

13. 里面有(________)个；3个和(________)个相等。

14. 绘画社团有16名学生，其中是男生，是女生，女生有()人。

2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析

最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。

2020-2021学年山西省阳泉市十第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2020-2021学年山西省阳泉市十第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 必要条件D. 既不充分条件也不必要条件参考答案：A2. 如图为一个半圆柱, 是等腰直角三角形, F是线段CD的中点, ,该半圆柱的体积为18π,则异面直线AB与EF所成角的正弦值为（）A．B． C. D．参考答案：B本题考查异面直线所成的角的知识,考查空间想象能力和运算求解能力.设上底半圆的半径为,由,得.因为,所以.又异面直线与所成的角为所以.3. 下列命题中的假命题是A. B.C.D .参考答案：A4. 已知，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：（A）①③（B）①④（C）②④（D）②③参考答案：5. 在平面直角坐标系xoy中，过动点P分别作圆和圆圆的切线PA,PB(A,B为切点)，若，则的最小值为（）A. B. C. D. 2参考答案：B略6. “”是“是函数的极小值点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A，则，令或.检验：当时，，为极小值点，符合；当时，，为极小值点，符合.故“”是“函数的极小值点为”的充分不必要条件.7. 设，，给出下列三个结论：① ＞；②；③，其中所有的正确结论的序号是（）.A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③参考答案：【知识点】不等式的性质E1D①，，又，，正确；②由指数函数性质，可得，正确；③，而，正确；故选D.【思路点拨】由不等式性质，结合其他性质，加以计算可得.8. 是集合A到集合B的一个函数，其中，则为单调递增函数的概率是（）A B C D参考答案：D略9. 已知函数，则不等式的解集为（）A .B . C. D.参考答案：D10. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有．参考答案：30012. 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 __________钟，该病毒占据64MB内存.（其中，1MB=210KB）参考答案：4513. 已知函数满足，函数关于点对称，，则_________参考答案：略14. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，且导函数有最小值，则，.参考答案：2，15. 已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 切于点（1，3），则a ，b 的值分别为．参考答案：﹣1和3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】因为（1，3）是直线与曲线的交点，所以把（1，3）代入直线方程即可求出斜率k 的值，然后利用求导法则求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k 列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，然后把切点坐标和a 的值代入曲线方程，即可求出b 的值．解：把（1，3）代入直线y=kx+1中，得到k=2，求导得：y′=3x 2+a ，所以y′|x=1=3+a=2，解得a=﹣1，把（1，3）及a=﹣1代入曲线方程得：1﹣1+b=3，则b 的值为3．故答案为：﹣1和3．【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题． 16. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为．参考答案：π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，体积为对应的圆柱的体积的一半，即可得出结论．【解答】解：直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，体积为对应的圆柱的体积的一半，即=π．故答案为π． 17. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。

2020届山西省阳泉市高三上学期期末数学(文)试题(解析版)

由题意可得， a4 2 ， a3 4 ，
a1q3 2 a1q2 4
1 解得 q ， a1 16 ，
2
.
5. 已知数列 an 为各项均为正数的等比数列， Sn 是它的前 n 项和，若 a42 4 ，且 a4 a3 6 ，则 S5 =（
）
A. 31
B. 32
C. 30
D. 29
【答案】 A
【解析】【分析】
结合已知可先求出公比 q 及首项 a1 ，然后根据等比数列的求和公式可求．
【详解】解：设等比数列的公比 q及首项 a1，
【解析】
【分析】
先写出向量
av
与
v 2b
，再计算其夹角即可
.
1
v ，所以 2b
62
3 ,1 3
cosva,2bv
所以
avn av n
v 2b
v 2b
13 23 23
1 2
3
所以向量
av
与
v 2b
的夹角为
3
故选 C.
【点睛】本题考查了平面向量坐标运算，夹角公式，属于基础题
考点：集合的交集运算
4 3i
2.复数 z
的虚部为（）
1 2i
A. i
B. i
3,2 P Q 2
C. 1
D. -1
【答案】 D
【解析】
4 3i 由z
1 2i
4 3i 1 2i 1 2i 1 2i
10 5i 2 i ，所以复数的虚部为
5
1，故选 D．
xy20 3.若 x, y 满足 x y 4 0 ，则 z 1 x y 的最大值为（）
山西省阳泉市 2019—2020 学年度第一学期期末考试试题高三文科数学

山西省运城市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理+文)+语文试题含答案

高二数学（理）参考答案第1页（共5页）
19.解：(1)取 AB 中点 H ,连接 EH, HD ,在直三棱柱
ABC
−
A1B1C1
中,
EC1∥
1 2
AC
.
…………2
∵ D 为 BC 中点, H 为 AB 中点,
∴ HD∥ 1 AC, 2
HD∥EC1 ,
…………4
∴四边形 DHEC1 为平行四边形,∴ DC1 ∥ HE .…………5
6(1 + 2k 2 ) = 6 2 ………9 分
3 + 4k 2
7
解得 k 2 = 1 或 k 2 = − 11 （舍去） ∴ k = ±1 24
∴直线 l 的方程为 y = x +1或y = −x +1
…………………………12 分
20. (1)证明：如图所示，取 PB 中点 M，连接 MF，AM.
且 BC = 2 AD = 2CD = 2 2 ∴ AB = AC = 2,∴ AB ⊥ AC …………2 又 AB ⊥ PC , AC ∩ PC = C, AC ⊂ 平面 PAC , PC ⊂ 平面 PAC ∴ AB ⊥ 平面 PAC …………3 ∴PA = AC = 2, PC = 2 2,∴ PA ⊥ AC …………4 又Q PA ⊥ AB, AB ∩ AC = A, AB ⊂ 平面 ABCD , AC ⊂ 平面 ABCD ,…………5 ∴ PA ⊥ 平面 ABCD …………6 (2)解:在线段 AD 上取点 N,连接见 MN ,使 MN / / PA ，取 BC 的中点 E，则 AE, AD, AP
高二数学（理）参考答案第4页（共5页）
则
x1
+

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由；（℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =，所以正整数n 为8．故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误；第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误；令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确；故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=，故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==，又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ，所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ，连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ．又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤，又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =．这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解；（2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<．因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2，因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===，所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算；（2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=，乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==，所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2020-2021学年山西省阳泉市高三(上)期末数学试卷(理科) (解析版)

2020-2021学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足z•（3﹣2i）＝13i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣2）＜5}，B＝{x|log2（x﹣a）＞1，a∈N}，若A∩B为空集，则a的可能取值组成的集合为（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．N*3．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（）A．y＝100x B．y＝50x2﹣50x+100C．y＝50×2x D．y＝100log2x+1004．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于（）A．B．5C．6D．75．已知函数f（x）＝x2+x+alnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣3，+∞）C．[﹣2，0）D．[﹣3，0）6．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．f（x）的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z7．若a＞0，b＞0，二项式（ax+b）6的展开式中x3项的系数为20，则定积分的最小值为（）A．0B．1C．2D．38．已知α∈（0，π），2sin（π﹣2α）＝cos2α﹣1，则sinα＝（）A．B．C．D．9．两个正数1、9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线的离心率为（）A．B．C．D．与10．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足AB＝CD＝5，BD＝AC＝6，AD＝BC＝7，则该鞠的表面积为（）A．55πB．60πC．63πD．68π11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x2＝1B．C．D．12．设a＝log23，b＝log34，c＝log58，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a二、填空题（共4小题）.13．已知向量＝（1，3），＝（2，﹣），若单位向量与﹣2平行，则＝．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝lny﹣lnx的最小值是．15．甲、乙、丙丁4名学生参加体育锻炼，每人在A、B、C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为．16．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为1，，则顶点D到平面α的距离是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题（共60分）17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+2，数列{b n}的前n项和为S n，且S n＝2﹣b n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设∁n＝a n+b n，求数列{∁n}的前n项和T n．18．如图，平面ABCD⊥平面DBNM，且菱形ABCD与菱形DBNM全等，且∠MDB＝∠DAB，G为MC中点．（Ⅰ）求证：平面GBD∥平面AMN；（Ⅱ）求直线AD与平面AMN的所成角的正弦值．19．高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程，某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到表：组别选考科目频数第1组历史、地理、政治20第2组物理、化学、生物17第3组生物、历史、地理14第4组化学、生物、地理12第5组物理、化学、地理10第6组物理、生物、地理9第7组化学、历史、地理7第8组物理、历史、地理5第9组化学、生物、政治4第10组生物、地理、政治2合计：100（Ⅰ）从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；（Ⅱ）从第8组、第9组、第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X，求X的分布列和期望；（Ⅲ）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大？并说明理由．20．已知圆C：x2+y2＝4，点P为圆C上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，设D为PQ的中点，且D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）不过原点的直线l与曲线E交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率k1，k，k2成等比数列，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为S1，S2，试探就S1+S2是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（a∈R）．（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）当a＝1时，不等式f（x）≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程，并求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4--5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足z•（3﹣2i）＝13i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：，则z的共轭复数为﹣2﹣3i，故z在复平面内对应的点为（﹣2，﹣3），在第三象限．故选：C．2．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣2）＜5}，B＝{x|log2（x﹣a）＞1，a∈N}，若A∩B为空集，则a的可能取值组成的集合为（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．N*解：∵集合A＝{x|（x+2）（x﹣2）＜5}＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|log2（x﹣a）＞1，a∈N}＝{x|x＞a+2，a∈N}，∴A∩B为空集，∴a+2≥3，a∈N，∴a≥1，a∈N，∴a的可能取值组成的集合是N*．故选：D．3．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（）A．y＝100x B．y＝50x2﹣50x+100C．y＝50×2x D．y＝100log2x+100解：对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x＝3或4时误差也较大．对于C中的函数，当x＝1，2，3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选：C．4．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于（）A．B．5C．6D．7解：连接BD，在△BCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，BD＝2，S△BCD＝×2×2×sin120°＝．在△ABD中，∠ABD＝120°﹣30°＝90°，AB＝4，BD＝2，∴S△ABD＝AB•BD＝×4×2＝4，∴四边形ABCD的面积是5．故选：B．5．已知函数f（x）＝x2+x+alnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣3，+∞）C．[﹣2，0）D．[﹣3，0）解：∵f（x）＝x2+x+alnx在[1，+∞）上单调递增，∴f'（x）＝2x+1+≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x2﹣x．令g（x）＝﹣2x2﹣x＝﹣2+（x≥1），∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝﹣3．∴a≥﹣3．故选：B．6．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．f（x）的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z解：由图可得f（0）＝1，即2sinφ＝1，可得sinφ＝，又|φ|＜，∴φ＝，由五点法作图可得ω+＝，解得ω＝，∴f（x）＝2sin（x+），当x＝﹣时，f（﹣）＝2sin[×（﹣）+]＝0，故x＝﹣不是f（x）图象的对称轴，故A错误；令x+＝kπ，k∈Z，可得x＝2kπ﹣，k∈Z，故f（x）图象的对称中心为（2kπ﹣，0），k∈Z，故B错误；由f（x）≥1，得2sin（x+）≥1，即sin（x+）≥，即2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得4kπ≤x≤4kπ+，k∈Z，故f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈Z，故C正确；令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得4kπ+≤x≤4kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z，故D错误．故选：C．7．若a＞0，b＞0，二项式（ax+b）6的展开式中x3项的系数为20，则定积分的最小值为（）A．0B．1C．2D．3解：根据题意，二项式（ax+b）6的展开式为T r+1＝C6r（ax）3b3，当r＝3时，有T4＝20a3b3x3，若二项式（ax+b）6的展开式中x3项的系数为20，则有a3b3＝1，又由a＞0，b＞0，则ab＝1，＝x2+x2＝a2+b2，又由ab＝1，则＝a2+b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b时，等号成立；即定积分的最小值为2；故选：C．8．已知α∈（0，π），2sin（π﹣2α）＝cos2α﹣1，则sinα＝（）A．B．C．D．解：∵已知α∈（0，π），2sin（π﹣2α）＝cos2α﹣1，即2sin2α＝（1﹣2sin2α）﹣1，即4sinαcosα＝﹣2sin2α，∴tanα＝﹣2＝，α为钝角．再根据sin2α+cos2α＝1，可得sinα＝，故选：D．9．两个正数1、9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线的离心率为（）A．B．C．D．与解：∵两个正数1、9的等差中项是a，等比中项是b，∴，∴a＝5，b＝±3，则当曲线方程为：时，离心率为e＝当曲线方程为：时，离心率为e＝＝．故选：D．10．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足AB＝CD＝5，BD＝AC＝6，AD＝BC＝7，则该鞠的表面积为（）A．55πB．60πC．63πD．68π解：因为AB＝CD，BD＝AC，AD＝BC，所以可以把A，B，C，D四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．设该长方体的长、宽、高分别为x，y，z，“鞠”的半径为R，则（2R）2＝x2+y2+z2．因为x2+y2＝25，x2+z2＝36，y2+z2＝49，所以＝，所以S＝4πR2＝110π．故选：A．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x2＝1B．C．D．解：若（+）•＝0，即为若（+）•（﹣+）＝0，可得2＝2，即有|AF2|＝|F2F1|＝2c，由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+2c，在等腰三角形AF1F2中，tan∠AF2F1＝﹣，cos∠AF2F1＝﹣＝，化为3c＝5a，即a＝c，b＝c，可得a：b＝3：4，a2：b2＝9：16．故选：D．12．设a＝log23，b＝log34，c＝log58，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：log34＝log2764＝，log58＝log2564＝，∵log6427＞log6425＞0，∴＜，即log34＜log58，即b＜c，log23＝log49＞log48＝，log58＝，∵log85＞log84＞0，∴＜，即log58＜log48＜log49，即c＜a，综上a＞c＞b，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（1，3），＝（2，﹣），若单位向量与﹣2平行，则＝（，﹣）或（﹣，）．解：∵向量＝（1，3），＝（2，﹣），∴＝（1，3）﹣（4，﹣1）＝（﹣3，4），∵单位向量与﹣2平行，∴＝（﹣3，4）＝（﹣3，4）．∴＝（，﹣）或＝（﹣，）．故答案为：（，﹣）或（﹣，）．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝lny﹣lnx的最小值是﹣ln3．解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得B（1，3），由z＝lny﹣lnx＝ln，而的最大值为k OA＝，∴z＝lny﹣lnx的最大值是﹣ln3．故答案为：﹣ln3．15．甲、乙、丙丁4名学生参加体育锻炼，每人在A、B、C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为．解：甲、乙、丙丁4名学生参加体育锻炼，每人在A、B、C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，基本事件总数n＝3×3＝9，甲不选A项、乙不选B项包含的情况有：甲选B，包含的基本事件有2个，甲不选B，包含的基本事件有1个，则甲不选A项、乙不选B项的概率为P＝＝．故答案为：．16．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为1，，则顶点D到平面α的距离是．解：如图，以点A为原点，以AB，AC，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则＝（3，0，0），＝（0，3，0），＝（0，0，3），设平面α的法向量为＝（a，b，c），则，所以++＝9，因为d1＝1，d2＝，所以d3．即所求点D到平面α的距离为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题（共60分）17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+2，数列{b n}的前n项和为S n，且S n＝2﹣b n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设∁n＝a n+b n，求数列{∁n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）由a1＝1，a n+1＝a n+2，可得数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；由S n＝2﹣b n，得b1＝1，当n≥2时，S n﹣1＝2﹣b n﹣1，可得S n﹣S n﹣1＝2﹣b n﹣2+b n﹣1，即（n≥2），则数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列．∴；（Ⅱ）∁n＝a n+b n＝（2n﹣1）+．则T n＝C1+C2+…+∁n＝＝＝．18．如图，平面ABCD⊥平面DBNM，且菱形ABCD与菱形DBNM全等，且∠MDB＝∠DAB，G为MC中点．（Ⅰ）求证：平面GBD∥平面AMN；（Ⅱ）求直线AD与平面AMN的所成角的正弦值．【解答】（I）证明：连接AC，交DB于E，连接GE，则点E为AC的中点，∵G为MC中点，∴GE∥AM，∵GE⊄平面AMN，AM⊂平面AMN，∴GE∥平面AMN，又BD∥MN，BD⊄平面AMN，MN⊂平面AMN，∴BE∥平面AMN，∵BE∩GE＝E，BE、GE⊂平面GBD，∴平面GBD∥平面AMN．（II）解：连接ME，∵菱形ABCD与菱形DBNM全等，且∠MDB＝∠DAB，∴AD＝AB＝BD，DM＝BD＝MB，∴ME⊥BD，又AC⊥BD，且AC∩ME＝E，∴BD⊥平面AMC，∵BD⊂平面GBD，∴平面GBD⊥平面AMC．过C作CF⊥GE，∵平面GBD∩平面AMC＝GE，∴CF⊥平面GBD，连接BF，由于AD∥BC，故∠CBF即为直线AD与平面GBD所成角，由（I）知，平面GBE∥平面AMN，故∠CBF即为直线AD与平面AMN所成角．∵AD＝AB＝BD，∴∠DAB＝60°，在Rt△MAE中，ME＝AE，∴∠MAE＝45°，∴∠GEC＝45°∴，又在Rt△BCE，∠EBC＝60°，∴，∴，∴．故直线AD与平面AMN所成角的正弦值为．19．高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程，某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到表：组别选考科目频数第1组历史、地理、政治20第2组物理、化学、生物17第3组生物、历史、地理14第4组化学、生物、地理12第5组物理、化学、地理10第6组物理、生物、地理9第7组化学、历史、地理7第8组物理、历史、地理5第9组化学、生物、政治4第10组生物、地理、政治2合计：100（Ⅰ）从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；（Ⅱ）从第8组、第9组、第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X，求X的分布列和期望；（Ⅲ）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大？并说明理由．解：（Ⅰ）设A＝“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，则P（A）＝，故从样本中随机选1名学生，该学生选择了化学的概率为．（Ⅱ）第8、9、10组共有11人，其中选择政治的有6人，所以X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，所以X的分布列为X012P数学期望E（X）＝．（Ⅲ）选择地理的总人数为20+14+12+10+9+7+5+2＝79，所以P（“同时选择生物”）＝，P（“同时选择化学”）＝，P（“同时选择政治”）＝，P（“同时选择物理”）＝，P（“同时选择历史”）＝，因为最大，所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大．20．已知圆C：x2+y2＝4，点P为圆C上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，设D 为PQ的中点，且D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）不过原点的直线l与曲线E交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率k1，k，k2成等比数列，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为S1，S2，试探就S1+S2是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．解：（1）设D（x，y），P（x0，y0），∵D为PQ的中点，∴．∵P（x0，y0）在圆C：x2+y2＝4上，∴x2+4y2＝4，所以曲线E的方程为：．（2）设直线l的方程为y＝kx+m（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）由得（x+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，∴，由题设知，＝，∴，∴，∵m≠0，∴，则＝＝＝＝＝．21．已知函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（a∈R）．（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）当a＝1时，不等式f（x）≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）f'（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，f'（x）＝e x﹣a＞0，所以f（x）在R上单调递增，无极值．②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0即函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，此时只有一个极值点．综上所述，当a≤0时，f（x）在R上无极值点；当a＞0时，函数f（x）在R上只有一个极值点．（2）当a＝1时，由题即e x﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立令h（x）＝e x﹣x﹣1﹣kxln（x+1）且h（0）＝0，则，，则且g'（0）＝1﹣2k，（ⅰ）当1﹣2k≥0时，即时，由于x≥0，e x≥1，而，所以g'（x）≥0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，即h'（x）≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）＝0，即e x﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立，故符合题意．（ⅱ）当1﹣2k＜0时，即时g'（0）＜0，由于在[0，+∞）上单调递增，令x＝ln（2k）＞0因为，故在（0，ln2k）上存在唯一的零点x0，使g'（x0）＝0，因此，当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）＜g（0）＝0，即h'（x）＜0，h（x）在（0，x0）上单调递减，故h（x）＜h（0）＝0，与题不符．综上所述，k的取值范围是．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程，并求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），可得（x﹣4）2+（y﹣5）2＝25cos2t+25sin2t＝25，即为x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0，由x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0；曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，可得ρ2＝2ρsinθ，由ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y，可得x2+y2﹣2y＝0；（Ⅱ）将ρ＝2sinθ代入ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0，可得cosθ（cosθ﹣sinθ）＝0，即有cosθ＝0，或cosθ＝sinθ，即tanθ＝1，因为ρ≥0，0≤θ＜2π，由cosθ＝0，可得θ＝，ρ＝2；由tanθ＝1，可得θ＝，或θ＝，解得ρ＝，或ρ＝﹣（舍去），则C1与C2交点的极坐标为（，），（2，）．[选修4--5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．解：（1）因为a＝b＝c＝1，所以f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝2|x+1|+|x﹣1|，法1：由上可得：所以，当x＝﹣1时，函数f（x）的最小值为2；法2：f（x）＝）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝|x+1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x+1|+|x+1﹣x+1|＝2+|x+1|≥2，当且仅当，即x＝﹣1时取得最小值2；证明（2）：因为a，b，c为正数，所以要证，即证明就行了，法1：因为＝≥2+2+2＝2（a+b+c），当且仅当a＝b＝c时取等号．又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即，法2：因为（a+b+c）（++）≥1，当且仅当＝＝取等号，又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即．。

山西省阳泉市高三数学上学期期末考试试题理

山西省阳泉市—2020学年度第一学期期末考试试题高三理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}062<--=x x x A ,{}01<-=x x B ,则B A ⋂的值是 A.()1,-∞ B.()1,2- C.()1-,3- D.()+∞,3 2.若复数z 满足()i i z 21=+，则z 的值是A.i -1-B.i +1-C.i -1D.i +13.若方程m x =ln 有两个不等的实根1x 和2x ，则2221x x +的取值范围是 A.()+∞,1 B.()+∞,2 C.()+∞,2 D.()1,04.随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，累计里程累计耗电量平均耗电量=平均耗电量剩余电量剩余续航里程=）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是A. 等于5.12B.5.12到6.12之间C.等于6.12D.大于6.125.已知函数()()03sin >+⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωk x A x f 的图象向右平移34π个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是A.32 B. 23 C.34D.436.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的b a ,分别为2,5，则输出的n 的值是A.2B.3C.4D.57.函数()x x xx x f cos 3+-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡22-ππ，的图像大致为A B C D8.在ABC ∆中，37tan =A ,,4,2==AC AB D 是线段BC 上一点，且,4DC DB =则BC AD •是。

2020-2021学年山西省太原市九年级(上)期末数学试卷及参考答案

2020-2021学年山西省太原市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母序号填入下表相应位置.1．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+a＝0有一个根为1，则a的值为（）A．0B．﹣1C．1D．22．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）当x＜0时，反比例函数y＝的图象在（）A．第三象限B．第二象限C．第一象限D．第四象限4．（3分）太原市轨道交通2号线一期于2020年12月26日12：00开通初期运营，从此山西驶入地铁时代．全线23个站厅的设计，有机融合了“晋阳古八景”、“锦绣太原城”等文化元素，打造成一条亮丽的“地下艺术走廊”在一幅比例尺为1：200000的设计图纸上，测得地铁线路全长约11.8cm，则地铁线路的实际长度约为（）A．5.9km B．11.8km．C．23.6km D．57.2km5．（3分）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）A．B．C．D．6．（3分）一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外，其余都相同．在不倒出来的情况下，为了估计袋中两种颜色球的个数，小亮和同学们进行了多次摸球试验，统计分析后发现摸到黄球的频率稳定在0.3．由此估计袋中黄球有（）A．9个B．12个C．21个D．24个7．（3分）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为l，当蜡烛火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A'B'高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏（）A．3l B．2l C．l D．l8．（3分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3）三点都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3，的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3 9．（3分）在园林化城市建设期间，某市2018年绿化面积约为1000万平方米，2020年绿化面积约为1210万平方米．如果近几年绿化面积的年增长率相同，则2021年绿化面积约为（）A．1221万平方米B．1331万平方米C．1231万平方米D．1323万平方米10．如图，矩形ABCD中，过对角线AC上一点M作EF∥AB，分别交AD于点E，交BC 于点F，连接DM，BM，已知DE＝2，ME＝5．从下面A、B两题中任选一题作答．．A．△DEM与△BFM的面积和等于．B．若AM＝2MC，则△ABM的面积等于．二、填空题（本大题含5个小题，每小题3分，共15分）把答案写在题中横线上11．（3分）一元二次方程x（x+2）＝0的根为．12．（3分）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形，若△A'B'C'的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB'：OB等于．13．（3分）如图，矩形ABCD的面积为4，顶点A和D在x轴的正半轴上，顶点B，C分别落在反比例函数y1＝和y2＝的图象上，则k的值等于．14．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个“岔路口”都是随机选择一条路径，食物的位置在点M和点N附近，则它爬行一次能获得食物的概率是．15．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，AB＝8，点E在边DC上．将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处．从下面A、B两题中任选一题作答．．A．当点D'在对角线AC上时，DE的长为．B．当点D'在对角线DB上时，DE的长为．三、解答题（本大题含8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。

山西省阳泉市2020_2021学年高二上学期期末考试数学(文)试卷

山西省阳泉市2020_2021学年高二上学期期末考试数学（文）试卷一、选择题1.命题:p x R ∃∈，||0x x +≥，则命题p 的否定是( ) A ．x R ∀∈，||0x x +> B ．x R ∀∈，||0x x +< C ．x R ∀∈，||0x x +≤D ．x R ∀∈，||0x x +≥2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是( ) A ．28y x =-B ．28y x =C ．24y x =-D ．24y x =3.若a R ∈，则“21a -≥”是“0a ≤”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设椭圆22221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为( )A ．6B ．2C ．12D 5.若0mn ≠，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是图中的( )A ．B ．C ．D ．6.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( )A B ．1 C D ．27.若椭圆22221x y a b+=（其中0a b ＞＞）的离心率为35，两焦点分别为12,F F ，M 为椭圆上一点，且12F F M 的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A ．2211625x y +=B ．221259x y +=C ．221925x y +=D ．2212516x y +=8.曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为( ) A ．1B ．2C ．eD ．1e9.设()sin f x x x =-，则()f x =( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数10.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件二、填空题11.已知,a b ∈R ，命题“若a b >，则22ac bc >”是___________命题(填“真”或“假”). 12.曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．13.抛物线的顶点和椭圆221259x y +=的中心重合，抛物线的焦点和椭圆221259x y +=的右焦点重合，则抛物线的方程为___________.14.若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为__________．15.已知命题[]:1,1p m ∀∈-，2532a a m --≥+，且p 是真命题，则实数的取值范围是______．16.已知双曲线228y x k -=的一个焦点为()0,3-，则k 的值为________．渐近线方程为_____．17.已知函数()(),f x g x 满足()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，若()()()2f x h x g x +=，则()5h '=_________．18.若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．三、解答题19.焦点在x 轴上的椭圆的方程为2214x y m+=，点P 在椭圆上.（1）求m 的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 20.已知0m >，2:4120p x x --≤，:22q m x m -≤≤+. （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若5m =，命题,p q 其中一个是真命题，一个是假命题，求实数x 的取值范围．21.设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于,M N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．22.已知2()f x x bx c =++为偶函数，曲线()y f x =过点(2,5)，()()()g x x a f x =+．（1）若曲线()y g x =有斜率为0的切线，求实数的取值范围；（2）若当1x =-时函数()y g x =取得极值，确定()y g x =的单调区间． 23.已知函数()()2x x f x e e a a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．参考答案1.答案：B 解析：2.答案：B解析：由所给的抛物线顶点在原点，为标准抛物线，且由准线方程为2x =-，结合抛物线的定义，方程22(0)y px p =>，它表示的抛物线的焦点在轴的正半轴上，焦点坐标是,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，它的准线方程是2px =-，则4p =，故所求抛物线方程为28y x =. 3.答案：B 解析： 4.答案：B解析：由椭圆第一定义知2a =，所以24m =，椭圆方程为22111342x y e d +=⇒==，所以2d =，故选B. 5.答案：C 解析： 6.答案：C 解析： 7.答案：D 解析： 8.答案：A解析： 9.答案：B解析：()f x 的定义域为R ，()sin()sin ()f x x x x x f x -=---=-+=-，∴ 函数()f x 为奇函数. ()1cos 0f x x -'=≥， ()f x ∴在R 上为增函数.(0)0f =，∴ 函数()f x 有零点.故选B.10.答案：C解析：令导数2810'y x =-+>，解得09x <<；令导数2810'y x =-+<，解得9x >，所以函数31812343y x x =-+-在区间(0,9)上是增函数，在区间(9,)+∞上是减函数，所以在9x =处取得极大值，也是最大值，故选C. 11.答案：假解析：12.答案：22y x =- 解析：13.答案：216y x = 解析：14.答案：22(2)16x y -+= 解析：15.答案：6a ≥或1a ≤- 解析：16.答案：-1；y =± 解析： 17.答案：516解析： 18.答案：-3解析：解： '()2(3),(0,)f x x x a x =⋅-∈+∞ 当0a ≤时， '()0f x > ()f x ∴在(0,)+∞递增，(0)1f =时，则在(0,)+∞为零点，舍去当0a >时，()f x 在(0,)3a 递减，(,)3a +∞递增，又()f x 只有一个零点， ()033af a =⇒=32()231f x x x =-+ []'()6(1),1,1f x x x x =-∈-19.答案：（1）由题意，点P 在椭圆上，代入，211m+=，解得2m = （2）由（1）知，椭圆方程为22142x y +=，则2,a b c ==椭圆的长轴长24a =；短轴长2b =焦距2c =离心率c e a =解析：20.答案：解：解不等式24120x x --≤，解得26x -≤≤，即:26p x -≤≤. （1）p 是q 的充分条件，[]2,6∴-是2,2m m -+的子集，故02226m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得：4m ≥，所以m 的取值范围是[)4,+∞；（2）当5m =时，:37p m -≤≤，由于命题,p q 其中一个是真命题，一个是假命题，分以下两种情况讨论： ①p 真q 假时，2673x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，解得x ∈∅；②p 假q 真时，6237x x x ><-⎧⎨-≤≤⎩或，解得32x -≤<-或67x <≤.所以实数x 的取值范围为[)(]3,26,7--．解析：21.答案：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-．所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）设l 的方程为2x ty =+，()()1122,,,M x y N x y ，由222x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-．直线,BM BN 的斜率之和为 ()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y y k k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知,BM BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. 综上，ABM ABN ∠=∠. 解析： 22.答案：（1）2()f x x bx c =++为偶函数，故对x R ∀∈，总有()()f x f x -=，易得0b =又曲线()y f x =过点(2,5)，得225c +=，得1c =，2()1f x x ∴=+32()()()g x x a f x x ax x a =+=+++曲线()y g x =有斜率为0的切线，故2()3210g x x ax =++='有实数解此时有24120a ∆=-≥，解得()a ∈-∞⋃+∞ （2）因1x =-时函数()y g x =取得极值，故有(1)0g '-=，解得2a = 又2()341(31)(1)g x x x x x ==+'+++，令()0g x '=，得1211,3x x =-=-．当1x <-时，()0g x '>()g x ∴在(),1-∞-上为增函数当113x -<<-时，()0g x '<，()g x ∴在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上为减函数当13x >-时，()0g x '>，()g x ∴在1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为增函数从而()1-∞-，和1+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，为()g x 的单调递增区间，113⎛⎫-- ⎪⎝⎭，为()g x 的单调递增区间．解析：23.答案：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()2222x x x x f x e ae a e a e a =--=+-'，①若0a =，则()2xf x e =，在(),-∞+∞单调递增.②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增.③若0a <，则由()0f x '=得ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当,ln 2a x ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当ln ,2a x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增.（2）①若0a =，则()2xf x e =，所以()0f x ≥.②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为()2ln ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.③若0a <，则由（1）得，当ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值，最小值为23ln ln 242a a f a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.从而当且仅当23ln 042a a ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即342a e ≥-时()0f x ≥.综上，的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

山西省阳泉市北舁中学2020-2021学年高三数学文下学期期末试题含解析

山西省阳泉市北舁中学2020-2021学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或参考答案：2. (2015·广州执信中学期中)下列说法正确的是( )A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“x≥0，x2＋x－1＜0”的否定是“x0＜0，＋x0－1＜0”C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为假命题D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题参考答案：D“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；否命题既否定条件，又否定结论；而命题的否定只否定命题的结论．“x≥0，x2＋x－1<0”的否定是“x0≥0，使＋x0－1≥0”，故B错；命题“若A，则B”的逆否命题是“若綈B，则綈A”，因此“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为“若sinx≠siny，则x≠y”，这是一个真命题；“p∨q”为真命题时，p与q中至少有一个为真命题，故选D.3. 下列说法错误的是（）A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】A．根据不等式的基本性质，“a＞b”不一定“ac2＞bc2”结论，因为必须有c2＞0这一条件；反过来若“ac2＞bc2”，说明c2＞0一定成立，一定可以得出“a＞b”，即可得出答案；B．利用复合命题的真假关系进行判断；C．根据特称命题的否定是全称命题．即可得到结论．D．x=2，4时，命题不正确．【解答】解：当c=0时，a＞b?ac2＞bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，由c2＞0，得ac2＞bc2?a＞b，故“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件，正确．若命题p∨q是假命题，则p，q都是假命题，所以命题p∧q是假命题，正确；∵命题是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题．得到命题的否定是：对任意的x∈R，2x＞0，x=2，4时，命题不正确．故选：D．【点评】本题考查不等式的性质和充要条件的判断，考查复合命题，考查命题的否定与真假判断，是一道好题，本题是基本概念题．4. 已知函数，则（）A. 2017B. 1513C.D.参考答案：D5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.参考答案：略6. 在中，，则向量与夹角余弦值为A．B．C．D．参考答案：D7. 偶函数满足,且在x∈[0,1]时,,则关于x的方程,在x∈[0,4]上解的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A8.在的展开式中项的系数是首项为 -2，公差为3的等差数列的第项，则为A．22 B．19 C．20 D．21（）参考答案：答案：C9. 数列{a n}满足a n+1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830参考答案：D略10. “”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m列从下到上第n行的数记为A（m，n），如A（3，1）=4，A（4，2）=12，则A（1，n）= ；A（10，10）= ．参考答案：，181。

2020-2021学年山西省阳泉市高三(上)期末数学试卷(文科)

2020-2021学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x≥﹣1}D．{x|x≥0}2．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数（）A．﹣3B．﹣1C．1D．33．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）如图，AB是单位圆O的直径，且满足AC＝CD＝DB，则＝（）A．1B．C．D．5．（5分）“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人（）A．720B．960C．1020D．16806．（5分）若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.过F1作斜率为1的直线交y轴于点A，与双曲线右支交于点B，若，则该双曲线的离心率是（）A．B．2C．D．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则（x﹣3）2+（y﹣1）2的最小值为（）A．2B．3C．4D．108．（5分）在等差数列{a n}中，a3，a9满足不等式x2+24x+12＜0的解集为{x|a3＜x＜a9}，则数列{a n}的前11项和等于（）A．66B．132C．﹣66D．﹣1329．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.001，则输出S的值等于（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数，若a＝log34，b＝log68，c＝log912，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（b）＞f（c）＞f（a）11．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，现有命题：①f（x）的最大值为0；②f（x）是偶函数；③f（x）的周期为π；④f（x）的图象关于直线对称．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知曲线y＝xlnx在点（x0，y0）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，则x0＝．14．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝52的面积为．15．（5分）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的．会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小锐角为θ，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1＝a，其前n项和为S n，且满足S n+S n﹣1＝n2（n≥2，n∈N*），若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题（共60分）17．（12分）某工厂为生产一种标准长度为40cm的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为acm，只要“长度误差”不超过0.03cm就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产．每天每批次各生产1000件．已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取20件（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值．18．（12分）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，．（Ⅰ）若，求sin A；（Ⅱ）若AB边上的中线长为，求AB的长．19．（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥NP；（Ⅱ）求四面体DMNP的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B （Ⅰ）若|AF|+|BF|＝4，求直线l的方程；（Ⅱ）若，求的值．21．（12分）已知函数f（x）＝me x﹣ln（x+1）+lnm．（Ⅰ）若f（x）在x＝0处取到极值，求m的值及函数f（x）；（Ⅱ）若f（x）≥1，求m的取值范围．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程，并求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等3c+c3a+a3b＞abc．2020-2021学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x≥﹣1}D．{x|x≥0}【分析】推导出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤7}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|y＝＝{x|x≥3}，∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．【解答】解：∵＝（a﹣6）﹣i是纯虚数，∴a﹣3＝0，解得a＝8．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．3．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：行人至少等待25秒才出现绿灯，说明行人到的时间为0～35秒之间，则对应的概率为＝，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，结合几何概型的概率公式是解决本题的关键，是基础题．4．（5分）如图，AB是单位圆O的直径，且满足AC＝CD＝DB，则＝（）A．1B．C．D．【分析】利用已知条件得＝，利用向量数量积公式能求出．【解答】解：如图，AB是单位圆O的直径，四边形ACDB是正六边形的一半，＝，则＝•（+）＝＝1+2×1×cos60°＝．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的应用，几何图形的判断，是基础题．5．（5分）“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人（）A．720B．960C．1020D．1680【分析】设该校高一年级学生人数为x人，由对应的比例关系求出该校高一年级学生人数．【解答】解：设该校高一年级学生人数为x人，则＝，解得x＝960．所以该校高一年级学生人数为960人．故选：B．【点评】本题考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.过F1作斜率为1的直线交y轴于点A，与双曲线右支交于点B，若，则该双曲线的离心率是（）A．B．2C．D．【分析】易知F1（﹣c，0），A（0，c），且A为线段F1B的中点，从而得B的坐标，将其代入双曲线的方程，再结合b2＝c2﹣a2和e＝，即可得解．【解答】解：由题意知，F1（﹣c，0），c），因为，即A为线段F1B的中点，所以B（c，将其代入双曲线的方程中，有﹣＝1，即﹣，又e＝，所以e2﹣＝12＝5+2或4﹣2，因为e＞2，所以e2＝3+5，所以e＝1+．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质，还涉及平面向量的运算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则（x﹣3）2+（y﹣1）2的最小值为（）A．2B．3C．4D．10【分析】由约束条件作出可行域，再由（x﹣3）2+（y﹣1）2的几何意义，即可行域内的动点到点P（3，1）距离的平方求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，（x﹣3）2+（y﹣5）2的几何意义为可行域内的动点到点P（3，7）距离的平方，则（x﹣3）2+（y﹣6）2的最小值为．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．8．（5分）在等差数列{a n}中，a3，a9满足不等式x2+24x+12＜0的解集为{x|a3＜x＜a9}，则数列{a n}的前11项和等于（）A．66B．132C．﹣66D．﹣132【分析】由一元二次不等式的性质得a3，a9是方程x2+24x+12＝0的两个根，由韦达定理得a3+a9＝﹣24，由此能求出数列{a n}的前11项和．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a3，a9满足不等式x6+24x+12＜0的解集为{x|a3＜x＜a7}，∴a3，a9是方程x3+24x+12＝0的两个根，由韦达定理得a3+a2＝﹣24，则数列{a n}的前11项和等于：S11＝＝＝＝﹣132．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前11项和的求法，考查一元二次不等式的性质、韦达定理、等差数列前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.001，则输出S的值等于（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入的ε为0.001，x＝1，执行如图的程序框图，如果输入的ε为6.05，S＝0，第一次执行循环体后，S＝1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S＝1+，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S＝1++，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S＝1+++，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，S＝1++++，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后，S＝1+++++，不满足退出循环的条件；第七次执行循环体后，S＝1++++++，不满足退出循环的条件；第八次执行循环体后，S＝1+++++++，不满足退出循环的条件；第九次执行循环体后，S＝1++++++++，不满足退出循环的条件；第十次执行循环体后，S＝1+++++++++，x＝，满足退出循环的条件；则输出S＝2﹣，故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．（5分）已知函数，若a＝log34，b＝log68，c＝log912，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（b）＞f（c）＞f（a）【分析】根据条件判断函数的单调性，结合对数的运算法则和换底公式将对数进行化简，再利用函数的单调性比较大小即可．【解答】解：当x≤1时，f（x）＝（x﹣1）5为增函数，且f（x）≤0，当x＞1时，f（x）＝lnx为增函数，综上f（x）在R上为增函数，a＝log34＝log3（5×）＝3+log3＞1，b＝log65＝log6（6×）＝1+log7＞7，c＝log912＝log9（5×）＝5+log9＞1，∵log3＜log7，∴＞＞，∴＜＜，∴log3＞log6＞log9，∴1+log3＞1+log4＞5+log9，∴a＞b＞c＞1，∵当x＞1时，f（x）＝lnx为增函数，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，结合对数的运算法则和换底公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．11．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．【分析】由三视图知该几何体是正三棱柱，根据三棱柱的两个底面中心的中点与三棱柱的顶点连线是外接球的半径，求出半径即可．【解答】解：由三视图知，该几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C6，且三棱柱的底面是边长为2的正△ABC，侧棱长是1，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO是外接球的半径，如图所示：因为△ABC是边长为4的等边三角形，MN＝1，所以AM＝×＝，OM＝，所以外接球的半径为R＝＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝．故选：B．【点评】本题考查了三棱柱外接球的表面积计算问题，外接球的半径是解题的关键，也考查了运算求解能力，是基础题．12．（5分）已知函数，现有命题：①f（x）的最大值为0；②f（x）是偶函数；③f（x）的周期为π；④f（x）的图象关于直线对称．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】①求出最大值判断，②用偶函数定义判断，③用周期函数定义判断，④用对称条件判断．【解答】解：＝sin2x﹣．对于①，因为函数y＝，+∞）上，sin2x≤1⇒sin7x﹣≤3时等号成立；对于②，因为f（x）＝sin2x﹣⇒f（﹣x）＝f（x），所以②对；对于③，因为f（x）＝sin2x﹣⇒f（x+π）＝f（x），所以③对；对于④，因为f（x）＝sin2x﹣⇒f（2•对称；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数周期性、对称性、奇偶性的基本概念，考查了函数最值问题，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知曲线y＝xlnx在点（x0，y0）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，则x0＝e．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在切点处的导数值，结合题意列式得答案．【解答】解：由y＝xlnx，得y′＝lnx+1，∴，由曲线y＝xlnx在点（x0，y2）处的切线与直线x+2y+1＝3垂直，得lnx0+1＝6，即x0＝e．故答案为：e．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．14．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝52的面积为5．【分析】由椭圆的方程即可求出a，b，c的值，设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求出|AB|，进而求出直线的方程，再利用点到直线的距离求出点F2到直线AB的距离，进而可以求解．【解答】解：由椭圆的方程可得：a2＝9，b8＝5，则a＝3，c＝2，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），设直线的方程为：y＝k（x+2），与椭圆方程联立可得：（6+9k2）x3+36k2x+36k2﹣45＝4，设A（x1，y1），B（x7，y2），则x，所以|AB|＝＝＝＝5，即k＝，所以直线AB的方程为：y＝，所以点F2到直线AB的距离为d＝，所以三角形ABF5的面积为S＝，故答案为：5．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到点到直线的距离公式的应用，考查了学生的运算转化能力，所以中档题．15．（5分）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的．会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小锐角为θ，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时2﹣．【分析】根据三角函数的定义求出直角三角形的两个直角边，结合三角形的面积进行计算即可．【解答】解：设大正方形的边长为1，则面积为1，∵小正方形的面积是大正方形面积的一半时，∴小正方形的面积S＝，则直角三角形的两个直角边分别为sinθ，cosθ，则小直角三角形的面积S＝sinθcosθ，则四个小直角三角形面积之和为4×sinθcosθ＝2sinθcosθ＝sin2θ＝，则2θ＝30°，即θ＝15°，则tanθ＝tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝＝＝＝2﹣，故答案为：7﹣．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1＝a，其前n项和为S n，且满足S n+S n﹣1＝n2（n≥2，n∈N*），若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（，）．【分析】利用数列的递推关系S n+S n﹣1＝n2（n≥2，n∈N+），可得S2+S1＝4，a1＝a，可得2a1+a2＝4，a2＝4﹣2a．S n+1+S n＝（n+1）2，可得：a n+1+a n＝2n+1，变形为：a n+1﹣（n+1）＝﹣（a n﹣n），进一步对a分类讨论，利用等比数列的通项公式及其已知条件对任意n∈N+，a n＜a n+1恒成立即可得出．【解答】解：∵S n+S n﹣1＝n2（n≥8，n∈N+），∴S2+S1＝7，a1＝a，可得2a3+a2＝4，∴a5＝4﹣2a．S n+2+S n＝（n+1）2，可得：a n+6+a n＝2n+1，变形为：a n+3﹣（n+1）＝﹣（a n﹣n），①a≠1时，数列{a n﹣n}是从第二项开始为等比数列，a4﹣2＝2﹣8a，公比为﹣1的等比数列．∴a n﹣n＝（2﹣3a）×（﹣1）n﹣2，∴a n＝n+（3﹣2a）×（﹣1）n﹣7，∵对任意n∈N+，a n＜a n+1恒成立，∴n+（2﹣6a）×（﹣1）n﹣2＜（n+2）+（2﹣2a）×（﹣6）n﹣1，化为：1+（2﹣2a）×（﹣1）n﹣2＞0，n＝2k（k∈N*）时，可得：2﹣（2﹣2a）＞6．n＝2k+1（k∈N*）时，可得：1+（3﹣2a）＞0．∴＜a＜．由a7＜a2可得：a＜4﹣3a，解得a＜，综上可得：＜a＜．②a＝1时，a1＝2，a2＝2，由a n+4﹣（n+1）＝﹣（a n﹣n），可得：a n＝n，a n+1＝n+3，对任意n∈N+，a n＜a n+1恒成立．综上①②可得：＜a＜．∴a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，恒成立问题的应用，参数的取值范围的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题（共60分）17．（12分）某工厂为生产一种标准长度为40cm的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为acm，只要“长度误差”不超过0.03cm就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产．每天每批次各生产1000件．已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取20件（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值．【分析】（1）根据合格的长度为39.97cm∽40.03cm，根据概率公式即可求出；（2）分别计算出昼批次的利润和夜批次的利润，即可求出这台车床一天的总利润的平均值．【解答】解：（1）因为合格的长度为39.97cm∽40.03cm，所以昼批次有2件不合格产品，故昼批次生产的产品的合格率为1﹣＝，所以夜批次有4件不合格产品，故夜批次生产的产品的合格率为7﹣＝，（2）昼批次的利润：1000×＝900件，夜批次的利润：1000×＝800件，则昼夜总利润为：4000+3000＝7000元，故这台车床一天的总利润的平均值为7000元．【点评】本题考查了茎叶图的知识和概率公式，考查了运算能力，属于基础题．18．（12分）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，．（Ⅰ）若，求sin A；（Ⅱ）若AB边上的中线长为，求AB的长．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan C＝，结合C∈（0，π），可得C＝，由正弦定理即可解得sin A的值．（Ⅱ）设AB边上的中线为CD，则2＝+，两边平方，利用余弦定理可得b2+3b ﹣28＝0，解得b的值，根据余弦定理即可求解AB的值．【解答】解：（Ⅰ）因为a＝3，由正弦定理可得＝＝，整理可得：cos B+cos A cos C＝sin A cos C，因为cos B＝﹣cos（A+C）＝sin A sin C﹣cos A cos C，可得sin A sin C＝sin A cos C，因为sin A≠0，可得tan C＝，由于C∈（0，π），由正弦定理，可得．（Ⅱ）设AB边上的中线为CD，则2＝+，所以4||4＝（+）2＝b2+a5+2ab cos∠ACB，可得37＝b2+2+3b，整理可得b2+6b﹣28＝0，解得b＝4，或﹣5（舍去），所以AB＝c＝＝＝．【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力、推理论证能力、转化与化归思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，属于中档题．19．（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥NP；（Ⅱ）求四面体DMNP的体积．【分析】（Ⅰ）证明MN∥AC，求解三角形证明MN⊥NP，则结论得证；（Ⅱ）证明四边形DMB1P为平行四边形，再由等体积法求四面体DMNP的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C5D1中，M，N，P分别为棱A1D8，C1D1，BC的中点．∴MN∥A5C1，又A1C2∥AC，∴MN∥AC，MN＝A2C1＝＝，MP＝＝，NP＝＝＝，∴MN7+NP2＝MP2，则MN⊥NP，∴AC⊥NP；（Ⅱ）解：连接MB8，B1P，取B1C8中点Q，连接MQ，由B1Q∥CP，B1Q＝CP，可得四边形CPB4Q为平行四边形，得到CQ∥PB1，CQ＝PB1，同理可证MD∥CQ，MD＝CQ5，MD＝PB1，则四边形DMB1P为平行四边形，则＝＝×．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，训练了利用等体积法求多面体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B （Ⅰ）若|AF|+|BF|＝4，求直线l的方程；（Ⅱ）若，求的值．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y＝（x﹣t），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线的方程可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2＝2t+①，x1x2＝t2②，再由抛物线的定义推出2t+＝4，解得t，进而可得直线l的方程．（Ⅱ）由＝3，推出y1＝﹣3y2，即x1＝﹣3x2+4t③，由①②③解得t＝1，x1＝3，x2＝，进而得点P坐标，再分析＝，进而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y＝（x﹣t）3，y1），B（x2，y5），联立抛物线y2＝3x的方程可得x2﹣（t+3）x+t2＝7，所以x1+x2＝＝2t+①，x1x5＝t2②，由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x8+p＝2t+＝3，解得t＝，所以直线l的方程为y＝x﹣．（Ⅱ）若＝61＝﹣3y8，所以（x3﹣t）＝﹣3×（x2﹣t），化简得x1＝﹣2x2+4t③，由①②③解得t＝3，x1＝3，x7＝，所以点P坐标为（8，0），所以＝＝＝＝＝4．【点评】本题考查抛物线的性质，向量与抛物线的综合，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝me x﹣ln（x+1）+lnm．（Ⅰ）若f（x）在x＝0处取到极值，求m的值及函数f（x）；（Ⅱ）若f（x）≥1，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（0）＝0，求出m的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，得到满足f（x）≥1时x的范围，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞）x﹣，∵f（x）在x＝0处取到极值，∴f′（0）＝m﹣1＝3，m＝1时，f′（x）＝e x﹣，f″（x）＝e x+＞0，故f′（x）在（﹣1，+∞）递增，故x＜4时，f′（x）＜0，f′（x）＞0，f（x）在（﹣3，0）递减，+∞）递增，故x＝0是f（x）的极小值点，符合题意；（Ⅱ）f（x）＝me x﹣ln（x+4）+lnm＝e x+lnm﹣ln（x+1）+lnm≥1，⇔e x+lnm+x+lnm≥ln（x+4）+x+1①，设g（x）＝e x+x，则g（x+lnm）＝e x+lnm+x+lnm，g（ln（x+1））＝x+8+ln（x+1），故①式等价于g（x+lnm）≥g（ln（x+1）），∵g′（x）＝e x+4＞0，∴g（x）递增，故只需证明x+lnm≥ln（x+1），即证明lnm≥ln（x+4）﹣x＝h（x），而h′（x）＝﹣3＜0，故h（x）＜h（0）＝0，故lnm≥5，m≥1，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程，并求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【分析】（Ⅰ）由同角的平方关系先将C1的参数方程化为直角坐标方程，再由x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得C1的极坐标方程；由ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y，可得C2的直角坐标方程；（Ⅱ）将ρ＝2sinθ代入ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0，由同角的平方关系，解方程可得θ，进而得到ρ，可得所求极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），可得（x﹣6）2+（y﹣5）4＝25cos2t+25sin2t＝25，即为x8+y2﹣8x﹣10y+16＝8，由x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝5；曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，可得ρ3＝2ρsinθ，由ρ2＝x7+y2，ρsinθ＝y，可得x2+y8﹣2y＝0；（Ⅱ）将ρ＝8sinθ代入ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝3，可得cosθ（cosθ﹣sinθ）＝0，即有cosθ＝0，或cosθ＝sinθ，因为ρ≥2，0≤θ＜2π，由cosθ＝7，可得θ＝；由tanθ＝1，可得θ＝，解得ρ＝，或ρ＝﹣，则C1与C2交点的极坐标为（，），（6，）．【点评】本题考查参数方程和直角坐标方程、极坐标方程的互化，考查方程思想和运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等3c+c3a+a3b＞abc．【分析】（1）法1：去绝对值，化为分段函数，求出最值，法2：根据绝对值三角不等式，求出最值，（2）法1：根据基本不等式即可证明，法2：根据柯西不等式即可证明．【解答】解：（1）因为a＝b＝c＝1，所以f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝2|x+4|+|x﹣1|，法1：由上可得：所以，当x＝﹣5时；法2：f（x）＝）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝|x+1|+|x+3|+|x﹣1|≥|x+1|+|x+6﹣x+1|＝2+|x+3|≥2，当且仅当，即x＝﹣1时取得最小值2；证明（2）：因为a，b，c为正数，即证明就行了，法1：因为＝≥2+2，当且仅当a＝b＝c时取等号．又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，所以，即，法2：因为（a+b+c）（++）≥1＝＝取等号，又因为f（0）＝3即a+b+c＝1且a，b，所以，即．【点评】本题考查重要不等式的应用，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力．。

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