自动控制原理第2章习题解
自动控制原理习题及其解答 第二章
自动控制原理习题及其解答第一章（略） 第二章例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。
解：(1) 设输入为y r ，输出为y 0。
弹簧与阻尼器并联平行移动。
(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足∑=0F ，则对于A 点有021=-+K K f F F F其中，F f 为阻尼摩擦力，F K 1，F K 2为弹性恢复力。
(3) 写中间变量关系式220110)()(y K F Y Y K F dty y d f F K r K r f =-=-⋅=(4) 消中间变量得 020110y K y K y K dtdy f dt dy f r r=-+- (5) 化标准形 r r Ky dtdyT y dt dy T +=+00 其中:215K K T +=为时间常数，单位[秒]。
211K K K K +=为传递函数，无量纲。
例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。
(1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程 解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角θ ，摆球质量为m 。
（2）由牛顿定律写原始方程。
h mg dtd l m --=θθsin )(22其中，l 为摆长，l θ 为运动弧长，h 为空气阻力。
（3）写中间变量关系式)(dtd lh θα= 式中，α为空气阻力系数dtd l θ为运动线速度。
（4）消中间变量得运动方程式0s i n 22=++θθθmg dt d al dtd ml （2-1) 此方程为二阶非线性齐次方程。
（5）线性化由前可知，在θ ＝0的附近，非线性函数sin θ ≈θ ，故代入式（2-1）可得线性化方程为022=++θθθmg dt d al dtd ml 例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。
解：（1）设输入量作用力矩M f ，输出为旋转角速度ω 。
（2）列写运动方程式f M f dtd J+-=ωω式中， f ω为阻尼力矩，其大小与转速成正比。
自动控制原理C作业(第二章)答案
4 3
0.1
图 3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应
解 在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是 3。系统模型为
(s)
s2
3
2 n
2n s
2 n
然后由响应的 p % 、 t p 及相应公式，即可换算出 、 n 。
p%
c(t p ) c() c()
4
3
3
33%
t p 0.1（s）
P1 G1G2
1 1
P2 G2G4
2 1
因此，传递函数为
C(s) P11 P2 2
R(s)
G2G1 G4G2 1 G1G2G3
3
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
2.4 用梅森公式求系统传递函数。
R(S)
－
_
＋ G1(s)
－ _
G2(s)
+ C(S)
+
图 2－4 解： 单独回路 5 个，即
L1
1 R
1 C1S
1 R1C1S
11
1
L2
R2
C2S
R2C2 S
L3
1 C1S
1 R2
1 R2C1S
回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则
L12
L1L2
1 R1C1R2C2S 2
由上式可写出特征式为：
1
( L1
L2
L3 )
L1 L2
1
1 R1C1S
1 R2C2 S
1 R2C1S
1 R1C1R2C2S 2
益 K1 和速度反馈系数 Kt 。同时，确定在此 K1 和 Kt 数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
黄家英自动控制原理第二版第二章习题答案
6 s
部分分式展开 5 1 −4 Y(s) = + + s+3 s+2 s
∴ y (t ) = −4e −3 t + 5e −2t + 1 , t ≥ 0
已知控制系统的微分方程(或微分方程组) B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为
式中r(t)为输入量，y(t)为输出量， (t)、 (t)和 式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t) r(t)为输入量 为输出量 为中间变量， 均为常数。 为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。 试求： a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含 各系统的传递函数Y(s)/R(s) 试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含 有哪些典型环节? 有哪些典型环节?
在图B2.4所示的电路中电压u (t)为输入量 B2.4所示的电路中电压 为输入量， B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电 (t)或 (t)作为输出量 分别列写该系统的微分方程。 作为输出量， 压u2(t)或uC2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。
B 2.4解： u 2作为输出，应用网络的 复阻抗法： 作为输出， 复阻抗法： Q U 2 (s ) = U 1 (s ) 1 R1 1 C1s + R2 + 1 C 2s R1 + C1s 1 (R 2 + ) C 2s
B2.8 设系统的微分方程为
试用拉氏变换法进行求解。 试用拉氏变换法进行求解。
B 2.8解： 进行拉氏变换 & s 2 Y(s) - (sy(0) + y(0)) + 5sY(s) - 5y(0) + 6Y(s) =
胡寿松自控习题答案 第二章习题解答
（2）
iC 2
=
uC1
+ iC1R R
K 2 x0 = f (x& − x&0 )
消去中间变量 x，可得系统微分方程
f (K1
+
K
2
)
dx0 dt
+
K1K2 x0
=
K1 f
dxi dt
对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为
X 0 (s) =
fK1s
X i (s) f (K1 + K2 )s + K1K2
③图 2—57(c)：以 x0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
u0
= (iC
+ iR1 )R2
=
C
duC dt
+
uC R1
R2
=
C
d
(ui −
dt
u0
)
+
ui
− u0 R1
R2
整理得：
CR2
du0 dt
+ C
R2 R1
+ 1u0
= CR2
dui dt
+C
R2 R1ui − u0 = uC1 （1）
iC1
=
C1
duC1 dt
K
=
1
K2
( f1 s + 1)( f 2 s + 1) + f1
K 1
K2
K2
所以图 2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。 2—4 试分别列写图 2-59 中个无源网络的微分方程式。
解：（a） :列写电压平衡方程：
孙亮版《自动控制原理》课后习题答案
t
F ( s ) = F1 ( s) + F2 ( s ) =
− s Aω ⋅ (1 + e ω ) 2 2 s +ω
π
（c） 由于信号 f (t ) 为周期信号，第一周期的信号如图所示， 其拉氏变换为
F1 ( s ) =
M 2 M −ηTs M −Ts M − e + e = (1 − 2e −ηTs + e −Ts ) s s s s F (s) = 1 ⋅ F1 ( s ) 1 − e −Ts
• •
忽略二次以上各项有
F ( x, i ) = F0 ( x0 , i0 ) + F x ( x, i ) x = x0 ⋅ ( x − x0 ) + F i ( x, i ) x = x0 ⋅ (i − i0 )
i =i0 i =i0
令
ΔF = F ( x, i ) − F0 ( x0 , i0 ) K x = F x ( x , i ) x = x0
→ F2 ( s ) = −
t0 f3(t)
f2(t)
1 1 −t 0 s 1 −t0 s 1 − e − t0 s (1 + t0 s ) F ( s ) = F1 ( s ) + F2 ( s ) + F3 ( s ) = 2 − 2 ⋅ e − t0 ⋅ ⋅ e = s s s s2 （b） 由于信号 f (t ) 可以分解为信号的组合如图所示， f(t) f1(t) f2(t) A Aω f1 (t ) = A sin ωt → F1 ( s ) = 2 2 s +ω 0 π π − s Aω π ω → F2 ( s ) = 2 ⋅e f 2 (t ) = sin ωt ⋅1(t − ) 2 ω s +ω ω
自动控制原理课后习题答案第二章
解:由图可得
联立上式消去中间变量U1与U2,可得:
2-8某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。已知电位器最大工作角度,功率放大级放大系数为K3,要求:
(1) 分别求出电位器传递系数K0、第一级与第二级放大器得比例系数K1与K2;
(2) 画出系统结构图;
(3) 简化结构图,求系统传递函数。
证明:(a)根据复阻抗概念可得:
即 取A、B两点进行受力分析,可得:
整理可得:
经比较可以瞧出,电网络(a)与机械系统(b)两者参数得相似关系为
2-5 设初始条件均为零,试用拉氏变换法求解下列微分方程式,并概略绘制x(t)曲线,指出各方程式得模态。
(1)
(２)
2-7由运算放大器组成得控制系统模拟电路如图2-6所示,试求闭环传递函数Uｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。
2-10试简化图2-9中得系统结构图,并求传递函数C(s)/R(s )与C(s)/N(s)。
图2-9 题2-10系统结构图
分析:分别假定R(s)=0与N(s)=0,画出各自得结构图,然后对系统结构图进行等效ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ换,将其化成最简单得形式,从而求解系统得传递函数。
解:(a)令N(s)＝0,简化结构图如图所示:
可求出:
令R(s)＝0,简化结构图如图所示:
所以:
(b)令N(s)＝0,简化结构图如下图所示:
所以:
令R(s)＝0,简化结构图如下图所示:
2-12 试用梅逊增益公式求图2-8中各系统信号流图得传递函 数C(s)/R(s)。
图2-11 题2-12系统信号流图
解:
（a）存在三个回路:
存在两条前向通路:
所以:
(3)简化后可得系统得传递函数为
自动控制原理第 章课后习题及解答
dt 2
- 12 -
对 B 点有
k(x
−
y)
=
m
d2y dt 2
联立式（3）、（4）消去中间变量 x 可得
（4）
d4y dt 4
+
2K m
d2y dt 2
= mK2 F (t)
图解 2-1(c)
2-2 应用复数阻抗方法求图 2-33 所示各无源网络的传递函数。
C
C
R1
L
R1
ur(t)
R2 uc(t)
（2） 画出系统的结构图；
（3） 求系统的闭环传递函数 Qc (s) Qr (s) 。
图 2-39 系统原理框图
解 (1) 电位器的传递函数
= k0
= E Qm
33003×018π0=0
180 11π
根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为
k1 = − 1300××110033 = −3 ， k2 = − 1200××110033 = −2
，
试求系统在输入 r(t) = 1(t) 作用下的输出 c(t) 。
解 系统的微分方程为
d 2c(t) + 3 dc(t) + 2c(t) = 2r(t)
dt 2
dt
考虑初始条件，对式（1）进行拉普拉斯变换，得
s 2C(s) + s + 3sC(s) + 3 + 2C(s) = 2 s
C(s) = − s 2 + 3s − 2 = 1 − 4 + 2 s(s 2 + 3s + 2) s s + 1 s + 2
h=
h0 +
第2章-自动控制原理习题答案
习题2-1 试证明图2-1(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
1C 1f 1(a)电网络(b)机械系统图2-1解：对于电网络系统有：电路中的总电流：dtu u d C R u u i o i o i )(11-+-=对o u ：)()()(1211121222o i o i o i o i to u u C C R t u u C dt u u d C R R u u R idt C i R u -+-+-+-=+=⎰综上得：dtdu C R u R tC C C R R dt du C R u R t C C C R R i i o o 1211211212112112)()1(+++=++++对机械系统：并联部分受力：dtx x d f x x k F )()(211211-+-= 对串联部分的位移：)()()()(21212121212121212x x f f t x x f k dt x x d k f x x k k x -+-+-+-=整理得：dtdx k f x f f t f k k k dt dx k f x f f t f k k k 12122121212211212121)()1(+++=++++所以，两系统具有相同的数学模型2-5求图2-2中RC 电路和运算放大器的传递函数c ()/()i U s U s 。
1R1R(a) RC 电路 (b) RC 电路1R(c) RC 电路 (d) 运算放大器图2-2解：21212)()()R sCR R R R s u s u a r c ++=οο1)()()()()()()3122112322121121211231212112++++++++=S R C R C R C S R R C C R R C C SR C R C S R R C C R R C C s u s u b rc οο2121212)()()()R R S CR CR R R CS R s u s u c r c +++=οο21212112)()()()S LCR R R S CR R LR R LS s u s u d r c ++++=οο2-6求图2-3所示系统的传递函数C(s)/D(s)和E(s)/D(s)。
自动控制原理第二章课后习题答案(免费)
自动控制原理第二章课后习题答案（免费）离散系统作业注明：*为选做题2-1 试求下列函数的Z 变换 （1）()E z L =();n e t a = 解：01()[()]1k k k z E z L e t a z z z aa∞-=====--∑ （2） ();at e t e -= 解：12211()[()][]1...1atakT k aT aT aTaT k z E z L e t L ee z e z e z z e e z∞----------=====+++==--∑2-2 试求下列函数的终值：（1）112();(1)Tz E z z --=-解： 11111()(1)()1lim lim lim t z z Tz f t z E z z---→∞→→=-==∞- （2）2()(0.8)(0.1)z E z z z =--。
解：211(1)()(1)()0(0.8)(0.1)lim lim limt z z z z f t z E z z z →∞→→-=-==-- 2-3* 已知()(())E z L e t =,试证明下列关系成立：（1）[()][];n z L a e t E a =证明：0()()nn E z e nT z∞-==∑00()()()()[()]n n n n n n z z E e nT e nT a z L a e t a a ∞∞--=====∑∑ （2）()[()];dE z L te t TzT dz=-为采样周期。
证明：11100[()]()()()()()()()()()nn n n n n n n n n L te t nT e nT zTz ne nT z dE z de nT z dz dz e nT n zne nT z ∞∞---==∞-=∞∞----======-=-∑∑∑∑∑所以：()[()]dE z L te t Tzdz=- 2-4 试求下图闭环离散系统的脉冲传递函数()z Φ或输出z 变换()C z 。
自动控制原理胡寿松第四版课后题答案
ui − u0 = uC
iC = C
du C dt
i R1 =
uC R1
du d (u i − u 0 ) u i − u 0 u u 0 = (iC + i R1 ) R2 = C C + C R2 = C + R2 R1 dt R1 dt
整理得：
CR2
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
2—1
设水位自动控制系统的原理方案如图 1—18 所示，其中 Q1 为水箱的进水流量，
Q2 为水箱的用水流量，
H 为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为 F，希望水面高度 为 H 0 ，与 H 0 对应的水流量为 Q0 ，试列出
水箱的微分方程。
解
当 Q1 = Q2 = Q0 时， H = H 0 ；当 Q1 ≠ Q2 时，水面高度 H 将发生变化，其变化率与流量差 Q1 − Q2 成
正比，此时有
F
d (H − H 0 ) = (Q1 − Q0 ) − (Q2 − Q0 ) dt
于是得水箱的微分方程为
F
dH = Q1 − Q2 dt
2—2 设机械系统如图 2—57 所示，其中 xi 为输入位移， x0 为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式
及传递函数。
图 2—57 机械系统 解 ①图 2—57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得
[f
1
= f1 f 2 s + ( f1 K 2 + K1 f 2 ) s + K1 K 2 X i ( s)
2
[
f 2 s 2 + ( f1 K 2 + K1 f1 + K1 f 2 ) s + K1 K 2 X 0 ( s)
自动控制原理第2章 习题及解析
第二章 习题解析2-4 当系统处于零初始条件下时，给系统输入单位阶跃响应信号，其输出响应为2()1t t y t e e --=-+试求该系统的传递函数。
参考解答：2111421()()21(2)(1)s s Y s R s s s s s s s s++=-+==++++ 22()42()()32Y s s s G s R s s s ++==++2-5 某可控硅整流器的输出电压d 2cos U KU αΦ=式中，K 为常数；2U Φ为整流变压器副边相电压有效值；α为可控硅的控制角。
设α在0α附近作微小变化，试将d U 与α的关系式线性化。
参考解答：将非线性微分方程d 2cos U KU αΦ=进行线性化，即在平衡点α0 附近将其展为泰勒级数取一次近似，线性化后用变量增量的线性方程ΔU d = C Δα 代替原来的非线性方程，式中常数2020sin sin dd dU C KU U KU d ααααααΦΦ===-→∆=-∆略去增加量符号“Δ”，上式可简写为20sin d U KU ααΦ=- 2-6 试求图2-70所示电路的传递函数()/()y r U s U s 。
参考解答：图 a)可作出该无源电路的动态结构图（图a-1）亦可作成图（图a-2）所示由结构图等效变换可求得传递函数212()11()()11c r U s R Cs bTs U s R R Cs Ts ++==+++式中21212(),1R T R R C b R R =+=<+ ，该网络称为滞后网络。
图 b)由图（b ）网络可作出其动态结构图（b-1），简化为（b-2）即可得传递函数：112221122112212()(1)(1)()()1y r U s R C s R C s U s R C R C s R C R C R C s ++=++++该网络称为滞后-超前网络（滞后-超前电路）。
2-7 试求图2-71所示有源电路的传递函数y r ()/()U s U s 。
自动控制原理 第二章习题及答案
h = h0 +
代入原方程可得
1 d h | h0 ⋅Δh = h0 + ⋅ Δh dt 2 h0
（1）
d (h0 + Δh) α 1 1 + ( h0 + ⋅ Δh) = (Qr 0 + ΔQr ) dt S S 2 h0
在平衡工作点处系统满足
（2）
dh0 + α h0 = Qr 0 dt
式（2） ， （3）相减可得 Δh 的线性化方程
2-9
试用结构图等效化简求图 2-7 所示各系统的传递函数
C ( s) 。 R( s)
图 2-7 解 （a）
系统结构图
所以： （b）
G1G2 G3G4 C ( s) = R( s ) 1 + G1G2 + G3 G4 + G2 G3 + G1G2 G3G4
所以： （c）
C ( s ) G1 − G2 = R ( s ) 1 − G2 H
（c）图中有 1 条前向通路，3 个回路
P1 = G1G2 G3， Δ 1 = 1， L1 = −G1G2 ， L2 = −G2 G3， L3 = −G1G2 G3， Δ = 1 − ( L1 + L2 + L3 )，
2-8
已知系统方程组如下：
⎧ X 1 ( s ) = G1 ( s ) R( s ) − G1 ( s )[G7 ( s ) − G8 ( s )]C ( s ) ⎪ X ( s ) = G ( s )[ X ( s ) − G ( s ) X ( s )] ⎪ 2 2 1 6 3 ⎨ ⎪ X 3 ( s ) = [ X 2 ( s ) − C ( s )G5 ( s )]G3 ( s ) ⎪ ⎩ C ( s) = G4 ( s) X 3 ( s )
自动控制原理 第2章习题解答
C(s) =
G2 (s) − G1(s)G2 (s)H1(s)
F (s) 1− G2 (s)H2 (s) + G1(s)G2 (s)H3 (s)
2-22 求图示电路的传递函数
解：原图可等效为
U1(s) 1 − R1
−1
C1s
−
C2 s
+
1 R2
A
R3 U2 (s)
U1(s) 1 − R1
−1
C1s
G1 ( s )
X1(s) − −
G2 (s) X 2 (s) −
G3 (s) X3(s) G4 (s)
C(s)
G5 (s)
经变换化简可得：
G1 ( s )
+
G7 (s)
−
G8 (s)
R(s)
G1(s)
G6 (s)
G 4 (s)
−
−
G2 (s)
−
G3 (s)
G4 (s)
G5 (s)
C(s)
G1(s)[G7 (s) − G8 (s)]
U2 (s)
于是可得：
U1(s) − 1
1+ R1C1s
R1 R3
(R2C2s +1)R3 R2R3C2s + R2 + R3
U2 (s)
C(s) =
(R2C2s +1) ⋅ R3 ⋅ R3
R(s) (1+ R1C1s)(R2R3C2s + R2 + R3 ) ⋅ R3 + R1 ⋅ R3 ⋅ (R2C2s +1)
R2
C2
R1
解： 由图可得：
ui
R0
u0
胡寿松自控习题答案 第二章习题解答
1 (T2 s + 1) U 0 ( s) Z2 C2 s (T1 s + 1)(T2 s + 1) = = = 所以： R1 1 U i ( s) Z1 + Z 2 R1C 2 s + (T1 s + 1)(T2 s + 1) + (T2 s + 1) T1 s + 1 C 2 s
即 F − F0 = K 1 ( y − y 0 )
其中 K 1 = = 12.65 × 1.1y 0 dy y= y
0
dF
0.1
0.1 = 13.915 × 1.1y 0
2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为：
ed = E d 0 cos α
xi (0) = x0 (0) = 0
则系统传递函数为
X 0 (s) fs + K 1 = X i ( s ) fs + ( K 1 + K 2 )
2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
2
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
图 2-58
电网络与机械系统
1 C1 s R1 R1 1 解：（a）：利用运算阻抗法得： Z 1 = R1 // = = = 1 C1 s R1C1 s + 1 T1 s + 1 R1 + C1 s R1
& (t ) + x(t ) = t ; (1) 2 x
解：对上式两边去拉氏变换得： （2s+1）X（s）=1/s2→ X ( s ) =
自动控制原理——习题解
G1G2G3(1 G4) G(s) 1 G4 G1G2 G1G2G4 G1G4G5 H 1H 2
第二章习题解
2)：求出 Xi2 +
+
X 02 ( s ) X i 2 (s)
+
解：第一步，方框图整理 ③ ② G4 G1 G2
+
-
G5
H1
G6
X02
H2
① -
第二步，消去回路 ① ，对回路 ② 整理得： Xi2
+
G1
-
G( s )
G1G 2G3 1 G3 H 3 G 2G3 H 2 G1G 2G3 H 1
第二章习题解
（ b） ① Xi +
+ +
G4
+
G1 ②
+
G2
G3 H2
+
X0
-
-
③
H1
④
第一步：回路 ② 的引出点前移
①
Xi +
+
G4
+
G1 ② G 2 H1
+
+
G2
G3
+
X0
-
-
H2
④
第四步：消去回路 ② Xi +
+
G1（G2 G3 +G4 )
1+(G2 G3 +G4 )H2 +G1G2 H1 ④
X0
-
第五步：消去回路 ④
Xi
G1（G2 G3 +G4 )
X0
1+(G2 G3 +G4 )H2 +G1G2 H1+G1（G2 G3 +G4 )
自动控制原理第2章习题解
习 题 22-1 试证明图2-77(a ）所示电气网络与图2 77（b ）所示的机械系统具有相同的微分方程。
图2-77习题2—1图证明:首先看题2-1图中(a ）()()()s U s U s U C R R -=()()()()s U Cs R s CsU s U R s I R R R R ⎪⎭⎫⎝⎛+=+=11 ()()s I s C R s U C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=221()()()[]s U s U s C R s C R s U C R C -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=112211 ()()s U s C R s C R s U s C R s C R R C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1122112211111 ()()()()()()s U R s C R s C s C R s U R s C R s C s C R R C11122211122211111+⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯+2—2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。
图2-78 习题2-2图解： （a ）()()()t u R t u R dt t du Co r r 211-=+ （b ）()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t u R dt t du C t u R r o 2o 111(c)()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t u dt t du C R t u R r c c 211 2—3某弹簧的力一位移特性曲线如图2—79所示。
在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x 0=-1.2，0，2.5时,试求弹簧在工作点附近的弹性系数。
解：由题中强调“仅存在小扰动"可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。
于是有，在x 0=—1.2,0，2。
5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：1)()()35.5625.2805.175.040402.1==----=-=x dx df2）20020400=--==x dx df 3）65.2155.0320355.2==--==x dx df2- 4图2—80是一个转速控制系统，其中电压u 为输入量，负载转速ω为输出量。
自动控制原理 夏超英 第2章+习题解答
第二章 习题解答2-1试求下列各函数的拉氏变换。
（a ）()12f t t =+，（b ）2()37()f t t t t δ=+++，（c ）23()2ttt f t e ete ---=++，（d ）2()(1)f t t =+，（e ）()sin 22cos 2sin 2tf t t t e t -=++，（f ）()2cos tf t te t t -=+，（g ）()sin32cos f t t t t t =-，（h ）()1()2cos 2f t t t t =+ 解：（a ）212()F s s s=+（b ）23372()1F s s s s =+++（c ）2121()12(3)F s s s s =+++++ （d ）2()21f t t t =++，3221()F s s s s=++（e ）222222()44(1)4s F s s s s =++++++ （f ）2222211621()11(1)s d s s F s s ds s s ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=+=++++ （g ）2222222223262231()(3)(1)s d d s s s s F s ds ds s s ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=-+=-++（h ）2222211684()(4)s d s s F s s ds s s ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=+=++2-2试求图2.54所示各信号的拉氏变换。
（a ） （b ） （c ） （d ）图2.54 习题2-2图解：（a ）021()t s e X s s s -=+（b ）000221()t s t se e X s t s s s--=-+- （c ）33112212()()t s t st s t s t s t s t s t s a ae be be ce ce a b a c b ce X s e e s s s s s s s s s s----------=-+-+-=++-（d ）11()1()1()1()()1()1()11()1()(2)1(2)1(2)1111()21()2()1()(2)1(2)1(2)x t t t T t t t T t T t T T Tt T t T t T t T t T T Tt t T t t T t T t T t T t T T T T=--+--------+--+-=-⨯-+---+--+-所以22222222211111111()222Ts Ts TsTsTs Ts s s s e e e e T T T X s e e s s T s T s T s s s s s------+++=-+-++=-+2-3运用部分分式展开，求下列各像函数的原函数。
自动控制原理课后习题答案第二章资料讲解
第 二 章2-3试证明图2-5(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
分析 首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找出两者之间系数的对应关系。
对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统，关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列出系统的方程，最后联立求微分方程。
证明：(a)根据复阻抗概念可得：2221212112212211212112212122111()1()111oiR u C s R R C C s R C R C R C s R u R R C C s R C R C R C C sR C s R C s+++++==+++++++即220012121122121212112222()()i i o id u du d u duR R C C R C R C R C u R R C C R C R C u dt dt dt dt++++=+++取A 、B 两点进行受力分析，可得：o 112()()()i o i o dx dx dx dx f K x x f dt dt dt dt -+-=- o 22()dx dxf K x dt dt -= 整理可得：2212111221121212211222()()o o i i o id x dx d x dx f f f K f K f K K K x f f f K f K K K x dt dt dt dt ++++=+++经比较可以看出，电网络（a ）和机械系统（b ）两者参数的相似关系为1112221211,,,K f R K f R C C ::::2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。
(1) ;)()(2t t x t x =+&(２)）。
自动控制原理习题详解(任彦硕版)-第2章
第二章题2-1 :题2-1图中a 、b 所示电路为RC 无源网络，图c 和图d 为RC 有源网络试求以u r (t)为输入量，u c (t)为输出量的各电网络的传递函数。
ZZHF R 2 C 2R1-U c (t)c)u r (t)'I —□R b电网络C U2' 2RCn IT -> +d)题2-1图 (a) T(s 宀 U r (s)(b)T(S)庖 U r (S) (c) U r (s) R 1 (d) U r (s) R 1+ sC 2 1 1 R 1 R 2sC 1 sC 2 R 2 R 2C 1C 2s C 1 (R 1 R 2)C 1C 2S C 1 C 2•丄sC 2 1 1 // R , R ,SC 1sC ?R 2R&CGs 2 +(2 +R 2C 2)S + 1一 2R 1R 2C 1C 2s (R 1C 1 R 2C 2 R 1C 2 )s 1R 2C 2S 1 _^L = T(s)斗 R 2 丄 UgsC 2U c (s )二 T(s)-U c (s)』1) U r (s) % RC s 1R 1C 2S Bl自U j(t)至U o(t)信号传输的传递函数a) LC网络b) RLC网络U i(s)=sL1l L1(s)+U c(s)、U c(s) =sL2L2(s)+U°(s) u°(s) 1sGU c=l L1(s) -l L2(s) U j(s) LL2GC2S4 (L1C1 L2C2 LC2)S2 1S C Q U。
NGU i(s)=Rj R1(s)+U c(s厂U c(s) =S LI R2(S)+U°(s) u°(s) R2sCU c=I R1(S)—l R2(s) U i(s) LCR1S2+(RR2C+L)S +R1+& U0 =R21R2(s)题2-3：热敏电阻随温度变化的特性为R=10000eq2T，其中T为温度，R为阻值。
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习 题 22-1 试证明图2-77(a)所示电气网络与图2 77(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。
图2-77习题2-1图证明：首先看题2-1图中(a)()()()s U s U s U C R R -=()()()()s U Cs R s CsU s U R s I R R RR ⎪⎭⎫⎝⎛+=+=11 ()()s I s C R s U C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=221()()()[]s U s U s C R s C R s U C R C -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=112211 ()()s U s C R s C R s U s C R s C R R C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1122112211111 ()()()()()()s U R s C R s C s C R s U R s C R s C s C R R C11122211122211111+⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯+2-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。
图2-78 习题2-2图解： (a)()()()t u R t u R dt t du Co r r 211-=+ (b)()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t u R dt t du C t u R r o 2o 111(c) ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=tudttduCRtuR r cc2112-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。
在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x0=-1.2，0，2.5时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。
解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。
于是有，在x0=-1.2，0，2.5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：1）()()35.5625.2805.175.040402.1==----=-=xdxdf2）20240=--==xdxdf3）65.2155.0320355.2==--==xdxdf2- 4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u为输入量，负载转速ω为输出量。
试写出该系统输入输出间的微分方程和传递函数。
解：根据系统传动机构图可列动态如下：()()()tuKdttdiLtRire=++ω(1)iKTTem=(2)dtdJTiKTTLTLemω=-=-(3) 将方程(3)整理后得：dtdKJTKiTLTω+=1(4) 将方程(4)代入方程(1)后得：()tuKdtdKLJdtdTKLdtdKRJTKRreTLTTLT=++++ωωω22(5)将方程(5)整理后得：()dtdT K L T K R t u K dt d K RJ dt d K LJ LT LT r e T T --=++ωωω22 (6) 2-5 系统的微分方程组如下式中，r ，K-，K2，K 。
，Kn ，Kj ，T 均为常数。
试建立系统r(f)对c(f)的结构图，并求系统传递函数 C(s)／R(s)。
解：首先画系统结构图，根据动态方程有：然后，根据梅逊公式得：()()()()()()()()()()()()()()11111111111543314321432543343214321++++++++++++=++++++++=Ts s K K K Ts s Ts K Ts s K s K K K Ts s Ts s Ts s K s K K K Ts s K K K s K Ts K s K K K s Ts K s K K K s s R s C ττττ()()()()()543343213432214321K K K K K K K K s T K K K K Ts K s K K K s R s C +++++++=ττ 2 6 图2-8l 是一个模拟调节器的电路示意图。
X 1(s)X 2(s)X 2(s)X 3(s)X 4(s)X 5(s)C (s)τs+K 1K 2K 3/sK 4/(Ts+1)K 5① 写出输入u i ，与输出u o 之间的微分方程； ② 建立该调节器的结构图； ③ 求传递函数U o (s)／U r (s)。
解：根据电路分析需要，引入中间变量v o1(t )，v o2(t )，然后，由电路图可知：()()()s U s C R R s U R s U i o1121o 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+ （1） ()()s sU C R s U o223o1-= （2） ()()s U R R s U o245o -= （3） 采用代入法，将上述3个方程联立求解得：()()()[]()()()[]s U s U s C R s C R R R R R s U s U R s C R R s C R R R s U o i 12243152o i 11222345o 1111++-=++⨯⨯-= ()()()s U sC R R s C R s C R R R R R s U i 15212243152o 1++-=()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⨯=++-=12243115224311243151522431212243152i o 1C R C R R R C R R C R R R s s C C R R R R s C R R s C R R R s C R C R R R R R s U s U 2-7某机械系统如图2-82所示。
质量为m 、半径为R 的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定圆筒在倾角为α的斜面上滚动(无滑动)，求出其运动方程。
解：首先，对圆辊进行受力分析；根据分析结果可知：-K x 1mg sin α-Bd x /dtmgmg cos αN21211sin dt x d m dt dx B Kx mg =--ααsin 11212mg Kx dtdxB dt x d m =++ 2 8 图2-83是一种地震仪的原理图。
地震仪的壳体固定在地基上，重锤M 由弹簧K 支撑。
当地基上下震动时，壳体随之震动，但是由于惯性作用，重锤的运动幅度很小，这样它与壳体之间的相对运动幅度就近似等于地震的幅度，而由指针指示出来。
活塞B 提供的阻尼力正比于运动的速度，以便地震停止后指针能及时停止震动。
①写出以指针位移y 为输出量的微分方程； ②核对方程的量纲。
解：首先，对重锤进行受力分析；根据分析结果可知：22dt yd m dt dy B Ky mg =--mg Kx dt dxB dtx d m =++112122 9 试简化图2-84中各系统结构图，并求传递函数c(s)／R(s)。
图2-84习题2-9图解：(a)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数P k ：()()s G s G P 211=；()()s G s G P 232=回路通道传递函数L i ：()()()s H s G s G L 2211-=；()()s H s G L 122-=特征方程△：()()()()()s H s G s H s G s G L i 1222111++=∑-=∆由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。
余子式：121=∆=∆ 系统传递函数为：()()()()()()()()()()()()s H s G s H s G s G s G s G s G s G s R s C s 1222132211+++==Φ (b)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数P k ：()()s G s G P 211=；回路通道传递函数L i ：()()s H s G L 111-=；()()s H s H L 212-= 特征方程△：()()()()s H s H s H s G L i 211111++=∑-=∆由于回路传递函数L 2与前向通路相“不接触”，所以。
余子式：()()s H s H 2111+=∆ 系统传递函数为：()()()()()()()()()()()()s G s H s H s H s G s H s H s G s R s C s 2211121111+++==Φ(c)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数P k ：()()()()s G s G s G s G P 43211=； 回路通道传递函数L i ：()()()()()s H s G s G s G s G L 143211=；()()()()s H s G s G s G L 23212-= ()()()s H s G s G L 3323-= ()()()s H s G s G L 4434-=特征方程△：()()()()()()()()()()()()()()()s H s G s G s H s G s G s H s G s G s G s H s G s G s G s G L i 44333223211432111+++-=∑-=∆ 由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。
余子式：11=∆系统传递函数为：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()s H s G s G s H s G s G s H s G s G s G s H s G s G s G s G s G s G s G s G s R s C s 44333223211432143211+++-==Φ2-10试用梅逊公式求解习题2-9所示系统的传递函数C(s)／R(s)。
2-11 系统的结构如图2-85所示。
① 求传递函数C 1(s)/R I (s)，C 1(s)/R 2(s)，C 2(s)/R I (s)，C 2(s) R 2(s)，② 求传递函数阵G (s)C (s)= G (s)R (s)，其中()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s G s G s 21G ，()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s R s R s 21R 。
解：C 1(s)/R I (s)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数P k ：()()()s G s G s G P 3211=；()()()()()s G s G s G s G s G P 385712=；回路通道传递函数∑L i ：()()s G s G L 331-=；()()()s G s G s G L 8572= ()()s H s G L 253-=相互“不接触”回路∑L i L j ：()()()()()s G s G s G s G s G L L 8573321-= ()()()()s H s G s G s G L L 253331=特征方程△：ji i L L L ∑+∑-=∆1()()()()()()()()()()()()()()()()s H s G s G s G s G s G s G s G s G s H s G s G s G s G s G s G 25338573325857331--++-+=由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。