圆锥曲线方程及几何性质

【备考建议】 圆锥曲线的几何性质一直是高考命题的热点内容之 一，小题与解答题均有考查，往往具有信息量大、思维量 大、运算量大的特点．复习时不能把目标仅仅定位在知识 的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几 何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲 线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些 解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何 中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法； 而且要求考生要有不怕困难的精神，良好的心理品质，细 心认真的态度，有较强的运算能力．要善于观察、发现题 目的特点，根据圆锥曲线各基本量的几何特征，运用数形 结合，分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化等思 想方法简化计算．
a 求得 x0＝±c
a2－2b2，y0＝±bc2.
由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得 x0＞0，
从而|PF1|2＝a
a2c－2b2＋c2＋bc42
＝2(a2－b2)＋2a a2－2b2＝(a＋ a2－2b2)2.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a. 从 而 由 |PF1| ＝ |PQ| ＝ |PF2| ＋ |QF2| ， 有 |QF1| ＝ 4a － 2|PF1|，
( 3－1)c，∴e＝ 3＋1.故选 D.
(3)已知直线 y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点．若 FA＝2FB，则 k＝ ________．
【解析】2 3 2 抛物线 C：y2＝8x 的准线为 l：x＝
－2，直线 y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点 P(－2，0)．如图，过 A、B 分别作 AM⊥ l 于点 M，BN⊥l 于点 N.
【解析】(ⅰ)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2 ＋ 2)＋(2－ 2)＝4，故 a＝2.
设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2， 因此 2c＝|F1F2|＝ |PF1|2＋|PF2|2
＝ （2＋ 2）2＋（2－ 2）2＝2 3.
即 c＝ 3，从而 b＝ a2－c2＝1，
故所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1. (ⅱ)方法一：连接 F1Q，如图，设点 P(x0，y0)， ∵PF1⊥PF2，则xa022＋yb022＝1，x20＋y20＝c2，
D.x42－1y22 ＝1
【解析】选 D.
根据对称性，不妨设 A 在第一象限，A(x，y)，
x2＋y2＝4 ∴y＝b2x
x＝
4 b2＋4
y＝
4
b，
b2＋4·2
16 b b ∴xy＝b2＋4·2＝2
b2＝12，
x2 y2 故双曲线的wk.baidu.com程为 4 －12＝1，故选
D.
x2 y2 (2)如图，椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别 为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于 P、Q 两点，且 PQ⊥PF1. (ⅰ)若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准 方程； (ⅱ)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率 e.
3 别为 F1，F2，焦距为 2c，直线 y＝ 3 (x＋c)与双曲线的一
个交点 P 满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为 ()
A. 2
B. 3
C．2 3＋1
D. 3＋1
【解析】选 D.
易知∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴∠F1PF2＝90°， ∴PF2＝c，PF1＝ 3c.由双曲线定义知 2a＝PF1－PF2＝
第 13 讲 圆锥曲线方程及几何性质
【命题趋势】 圆锥曲线的几何性质常与代数、三角函数、平面向量、 不等式等知识交汇在一起进行命题，综合性强，体现了在 知识的交汇点处命题的原则，新课标全国卷有关圆锥曲线 模块的命题一般是“一大两小”，以 2 道小题考查圆锥曲 线的定义，离心率，标准方程以及几何性质，其中有关双 曲线的考查大都是客观题，以一道解答题(大题)的某小问 在直线与圆锥曲线位置关系的情境中考查圆锥曲线方程 的求法．而解答题一般涉及椭圆或抛物线．预计高考对本 节知识的考查体现在：圆锥曲线内部综合，即以选择题、 填空题的形式考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，特 别是求离心率、焦点关系等．以解答题形式考查主要是解 答题的第一问，求最值及过定点问题．
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|， 有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由 PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|， 因此，4a－2|PF1|＝ 2|PF1|，得|PF1|＝2(2－ 2)a， 从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－ 2)a＝2( 2－1)a.
探究一 圆锥曲线的定义及应用
例1 (1)设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2 作椭
圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角 形，则椭圆的离心率是( )
A.
2 2
B.
2－1 2
C．2－ 2
D. 2－1
【解析】选 D.
x2 y2 (2)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
由 FA＝2FB，则 AM＝2BN，点 B 为 AP 的中点．
1 连结 OB，则 OB＝2AF，∴OB＝BF，点 B 的横坐标为 1，
故点 B 的坐标为(1，2 2)．∴k＝1－2 （2－－20）＝2 3 2.
【点评】涉及到圆锥曲线上的点与焦点的距离一般用 定义转化化简，最值问题须充分注意动点坐标的取值范围．
又由 PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|，因
此(2＋ 2)|PF1|＝4a，即(2＋ 2)(a＋ a2－2b2)＝4a，
于是(2＋ 2)(1＋ 2e2－1)＝4，
解得 e＝
121＋2＋4 2－12＝ 6－ 3.
方法二：连接 F1Q，如图，由椭圆的定义， |PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.
探究二 圆锥曲线标准方程及应用
x2 y2 例 2 (1)已知双曲线 4 －b2＝1(b>0)，以原点为圆心，
双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相 交于 A、B、C、D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双 曲线的方程为( )
A.x42－34y2＝1
B.x42－43y2＝1
C.x42－y82＝1