圆锥曲线方程及几何性质
圆锥曲线的标准方程公式
圆锥曲线的标准方程公式
圆锥曲线的标准方程公式是数学中用于描述圆锥曲线几何性质的方程形式。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
每种曲线都有其独特的标准方程形式。
1. 圆的标准方程公式:
圆的标准方程公式是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中圆心坐标为(h, k)，半径为r。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离等于半径的点的集合。
2. 椭圆的标准方程公式:
椭圆的标准方程公式是(x²/a²) + (y²/b²) = 1，其中a和b分别代表椭圆的长轴
和短轴的半长。
这个方程描述了平面上到椭圆两个焦点的距离之和等于常数2a的
点的集合。
3. 双曲线的标准方程公式:
双曲线的标准方程公式可以分为两种形式：(x²/a²) - (y²/b²) = 1和(y²/a²) - (x²/b²) = 1，其中a和b分别代表双曲线的焦点到中心的距离和横轴/纵轴的半长。
这个方
程描述了平面上到双曲线两个焦点的距离之差等于常数2a的点的集合。
4. 抛物线的标准方程公式:
抛物线的标准方程公式可以分为两种形式：y² = 4ax和x² = 4ay，其中a为抛物线的焦点到顶点的距离。
这个方程描述了平面上到抛物线焦点的距离等于焦点到顶点距离的某个倍数的点的集合。
通过这些标准方程公式，我们可以方便地描述和理解圆锥曲线的形状和性质。
它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
椭圆的参数方程可以表示 为$x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$是参数。
椭圆的面积是$pi ab$， 周长是$4a$。
02 抛物线
定义与方程
定义
抛物线是一种二次曲线，它是由一个定点和一条定直线所决 定的平面曲线。这个定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛 物线的准线。
常见的三种圆锥曲线的图像及几何 性质
目录
• 椭圆 • 抛物线 • 双曲线 • 三种圆锥曲线的对比与联系
01 椭圆
定义与方程
定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和 $F_2$的距离之和等于常数（大于 $F_1$和$F_2$之间的距离）的点的 轨迹。
方程
对于中心在原点、焦点在x轴上的椭圆， 其标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$ 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
方程
对于开口向右的抛物线，其标准方程为 $y^2 = 2px$（$p > 0$）；对于开口向左的抛物线，其标准方程为 $y^2 = -2px$ （$p > 0$）。
性质与特征
性质
抛物线具有对称性，其对称轴为直线 $x = -frac{p}{2}$。
特征
抛物线在焦点处的曲率最大，而在准 线处的曲率最小。抛物线的离心率等 于1。
04 三种圆锥曲线的对比与联 系
定义与方程的对比
椭圆
抛物线
双曲线
定义为平面内与两定点F1、F2 的距离之和等于常数（大于 F1F2）的点的轨迹。标准方程 为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$和$b$是椭圆的半轴长，$c = sqrt{a^2 - b^2}$是焦距。
圆锥曲线与二次曲线的方程与性质分析总结
离心率的计算公式：对于椭圆，离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到椭圆中心的距离，a为长轴 半径；对于双曲线，离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到双曲线中心的距离，a为实轴半径。
曲线的导数与切线斜率
圆锥曲线的导数表示切线的斜率 二次曲线的导数可以求出切线的斜率 导数的几何意义是曲线在某点的切线的斜率 导数在研究圆锥曲线和二次曲线的性质中具有重要作用
曲线的交点与公共点个数问题
公共点的个数也是解析性质 的一个重要方面
圆锥曲线与二次曲线的交点 个数取决于它们的方程和几 何性质
二次曲线在几何图形中的应用：二次曲线常用于描述平面几何中的一些形状和结构，例 如椭圆、抛物线、双曲线等。
圆锥曲线与二次曲线的组合应用：在一些复杂的几何图形中，可能需要同时利用圆锥曲 线和二次曲线的性质来解决相关问题。
实际应用中的注意事项：在利用圆锥曲线和二次曲线的性质解决实际问题时，需要注意 一些细节和限制条件，以确保结果的准确性和可靠性。
圆锥曲线与二次曲线的解析性 质
曲线的渐近线与水平截距
圆锥曲线的渐近线：根据圆锥曲线的标准方程，求出其渐近线的方程。 二次曲线的水平截距：根据二次曲的标准方程，求出其与x轴交点的横坐标。 曲线的渐近线与水平截距的关系：分析渐近线与水平截距在曲线性质中的作用和相互影响。 解析性质的应用：举例说明解析性质在解决实际问题中的应用。
解析性质决定了曲线在平面 上的位置关系和相互交点的
个数
解析性质对于研究圆锥曲线 与二次曲线的几何性质具有
重要意义
曲线的参数方程与极坐标方程
(同步讲解)圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。
(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。
(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。
高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：+ y2 = 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x = -3于点D（-3，m）.（1）求m2 + k2的最小值；（2）若∣OG∣2 =∣OD∣·∣OE∣, ①求证：直线l过定点；②试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+ = 1相交于P（x1，y1），Q（x2，y 2）两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+和+均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求∣OM ∣·∣PQ ∣的最大值；（3）椭圆C 上是否存在三点D, E, G ，使得S △ODE = S △ODG = S △OEG =？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009年山东卷)设m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a =(mx,y+1),向量b =(x,y-1),a⊥b ,动点M(x,y)的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m=1/4,设直线l 与圆C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于A 1,且l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,当R 为何值时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值. 一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是数学中的重要概念之一，是一个由一个动点和一个定点之间的线段所确定的曲线。
它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种基本形式。
圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域均有广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于深入学习和应用这些领域的知识至关重要。
以下是圆锥曲线的一些常见知识点整理：1. 椭圆：椭圆是一个闭合的曲线，它有两个焦点和一个长轴。
定义椭圆的一个特性是到两个焦点的距离之和等于常数，这个常数被称为椭圆的短轴长度。
椭圆的方程可以表示为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴。
2. 双曲线：双曲线是一个开放的曲线，它有两个分离的分支。
双曲线的定义也与焦点有关，但与椭圆的定义不同，双曲线的焦点之间的距离差等于常数。
双曲线的方程可以表示为(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别代表双曲线的半长轴和半短轴。
3. 抛物线：抛物线是一个开放的曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。
抛物线的定义与焦点和准线之间的距离以及焦点到曲线上任意一点的距离有关。
抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b和c分别代表抛物线的系数。
4. 圆锥曲线的性质：圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点。
例如，椭圆的离心率小于1，而双曲线的离心率大于1。
抛物线的离心率等于1，它在焦点上有对称性。
此外，圆锥曲线还具有切线、法线、渐近线等几何性质，这些性质在解题和实际应用中非常重要。
5. 圆锥曲线的应用：圆锥曲线在许多领域都有广泛的应用。
在天文学中，行星的轨道可以用椭圆来描述；在工程学中，双曲线常用于天线的设计和无线通信的信号传播；在物理学中，抛物线可用于描述物体在重力作。
高一数学圆锥曲线的标准方程与几何性质
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圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线
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圆锥曲线的标准方程包括x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（椭圆）、 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（双曲线）和y = ax^2 + bx + c（抛 物线）
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椭圆的性质：对 称性、旋转性、 中心对称性、焦 点对称性
椭圆的应用：光 学、天体物理、 工程等领域
双曲线的标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点 的轨迹
双曲线的标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a>0,b>0）
双曲线的焦点：F1(c,0), F2(-c,0)
利用几何性质和代 数关系，求解标准 方程
验证求解结果是否 满足圆锥曲线的定 义和性质
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的焦点与准线
焦点：圆锥曲线上的一个特殊 点，决定了曲线的形状和性质
准线：与焦点相对应的直线， 决定了曲线的性质和位置
椭圆的焦点与准线：椭圆的焦 点在椭圆的中心，准线是垂直 于椭圆中心的直线
圆锥曲线在工程中 的应用：如建筑设 计、机械制造等
圆锥曲线在数学中 的应用：如解析几 何、微积分等
圆锥曲线在计算机 科学中的应用：如 图形学、计算机视 觉等
解析几何问题中的应用
圆锥曲线在物理中的应用：如天体运动、电磁场等 圆锥曲线在工程中的应用：如建筑设计、机械制造等 圆锥曲线在计算机图形学中的应用：如三维建模、图像处理等 圆锥曲线在数学竞赛中的应用：如奥林匹克数学竞赛、国际数学竞赛等
圆锥曲线在实际问题中 的应用
圆锥曲线的方程与性质
即 c2－2c－3＝0，解得 c＝－1(舍去)或 c＝3.
索引
所以 C1 的标准方程为3x62＋2y72 ＝1， C2的标准方程为y2＝12x.
索引
考点整合
///////
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
所以
C
的离心率
e＝ac＝22ac＝|PF|1F|－1F|2P| F2|＝
27mm＝
7 2.
索引
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为 C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线 方程为__x_＝__－__23_______. 解析 法一 由题意易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以 tan∠OPF
索引
(2)(2021·江南十校联考)已知椭圆 C：xa22＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为 F1，F2， 过 F1 的直线与椭圆交于 M，N 两点，若△MNF2 的周长为 8，则△MF1F2 面积的
最大值为( B )
3 A. 2
B. 3
C.2 3
D.3
解析 由椭圆定义|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a， 所以△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8. 则 a＝2，故 c＝ a2－1＝ 3.
圆锥曲线复习课课件
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
完整版圆锥曲线知识点总结基础
1 / 3圆锥曲线的方程与性质1．椭圆 （1）椭圆看法平面内与两个定点 F 、 F 2 的距离的和等于常数2 a （大于 | F F 2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆11的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有 | MF 1 | | MF 2 | 2a 。
椭圆的标准方程为：x 2 y 21 （a b 0y 2 x 21 （ ab 0 ）（焦点在 y 轴a 2b 2 ）（焦点在 x 轴上）或2b 2a上）。
注：①以上方程中 a,b 的大小 ab 0 ，其中 b 2 a 2c 2 ；②在 x2y 21 和 y 2x 2 1 两个方程中都有 a b 0 的条件，要分清焦点的地址，只要看x 2 和 y 2 的分a 2b 2a 2b 2母的大小。
比方椭圆 x 2 y 2 1 （ m0 ， n 0 ， m n ）当 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 m n 时m n表示焦点在 y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程x 2 y 2 1 知 | x | a ， | y | b ，说明椭圆位于直线 xa ， yb 所围成的矩形里；a2b2y 代替 y 方程不变，因此若点 (x, y) 在曲线上时，点 (x, y) 也在曲线上，②对称性：在曲线方程里，若以因此曲线关于 x 轴对称，同理，以x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。
若同时以 x 代替 x ， y 代替 y方程也不变，则曲线关于原点对称。
因此，椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③极点：确定曲线在坐标系中的地址，常需要求出曲线与x 轴、 y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令x 0 ，得 y b ，则 B 1(0, b) ， B 2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。
同理令y 0 得 xa ，即 A 1 ( a,0) ，A 2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。
第3章 圆锥曲线的方程
x
F2
同
点
标准方程
焦点坐标
相
同
点
P
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
x2 y 2
1 a b 0
a 2 b2
F1 -c ，0 ，F2 c ，0
y 2 x2
1 a b 0
a 2 b2
F1 0 ，c ，F2 0 ，- c
a2-c2=b2
分母哪个大，焦点就在相应的轴上.
的基本量.
(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点
(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可
分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满
足的方程即可求得动点的轨迹方程.
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，
再根据条件确定待定的系数.
关于x , y轴对称，关于原点对称
A1 ( a , 0), A2 (a , 0), B1 (0, b), B2 (0, b)
e
A1 ( b, 0), A2 (b, 0), B1 (0, a ), B2 (0, a )
c
(0 e 1)
a
双曲线的定义及标准方程
双曲线定义
图
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对
y 2 2 px( p 0)
p
F ( ,0)
2
y 2 2 px( p 0)
F (
x 2 py( p 0)
p
F (0, )
2
y
p
F (0, )
2
y
2
x 2 2 py( p 0)
解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质
解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质学习目标（1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程；（3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。
知识回顾及应用1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆(2)双曲线 (3)抛物线2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程(2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质4．应用所学知识解决问题：【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53(,)22-，求椭圆的方程。
答案：221106x y += 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率1e b ==,焦点在x 轴上；（2）4,a c ==焦点在y 轴上；（3）10,a b c +==。
答案：（1）22116x y +=；（2）22116y x +=；（3）2213616x y +=或2213616y x +=。
【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ； （2）经过两点3(,),(1,)242-。
答案：（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）2214x y +=。
问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）【类型一】圆锥曲线的方程例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。
解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为:由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴-= 双曲线方程为：练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。
圆锥曲线知识要点及重要结论
《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆.若212F F a =，点P 的轨迹是线段21F F .若2120F F a <<，点P 不存在.2 标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0(12222>>=+b a bx a y ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a +=. 3 几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上.若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则b y b a x a ≤≤-≤≤-,；若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，则a y a b x b ≤≤-≤≤-,.二、双曲线1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线. 若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P 不存在.2 标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0,0(12222>>=-b a by a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=. 3 几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21,A A ，实轴长为a 2，虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上.若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，则R y a x a x ∈≥-≤,或；若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a bx a y ，则R x a y a y ∈≥-≤,或.4 渐近线双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有两条渐近线x a b y =和x a by -=.即02222=-b y a x双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 有两条渐近线x b a y =和x bay -=.即02222=-b x a y双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 共渐进线的双曲线可表示为)0(2222≠=-λλby a x .直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0≠”和“0>∆”同时成立.5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的标准方程为)0(12222>=-a a y a x 或)0(12222>=-a ax a y .等轴双曲线的渐近线方程为x y ±=.6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.如：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的共轭双曲线为)0,0(12222>>=-b a ax b y ，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22b a +为半径的圆上.且它们的渐近线都是x a b y =和x ab y -=. 三、抛物线1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线F l (不在l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.2 标准方程(1) )0(22>=p px y ，焦点为)0,2(p，准线方程为2p x -=，抛物线张口向右.(2) )0(22>-=p px y ，焦点为)0,2(p -，准线方程为2p x =，抛物线张口向左.(3) )0(22>=p py x ，焦点为)2,0(p ，准线方程为2p y -=，抛物线张口向上.(4) )0(22>-=p py x ，焦点为)2,0(p -，准线方程为2p y =，抛物线张口向下.其中p 表示焦点到准线的距离.3 几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22>=p px y 或)0(22>-=p px y ，则对称轴是x 轴，若方程为)0(22>=p py x 或)0(22>-=p py x ，则对称轴是y 轴. 若抛物线方程为)0(22>=p px y ，则R y x ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则R y x ∈≤,0. 若抛物线方程为)0(22>=p py x ，则R x y ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则R x y ∈≤,0.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】1 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为椭圆上一点，则)1()()(2222020201ax b c x y c x PF -++=++=a a cx a a cx a cx a x c +=+=++=020202202)(2 因为a x a ≤≤-0，c a a acxc a c a cx c +≤+≤-<≤≤-000,， 所以a a cx PF +=01. 同理，acxa PF a PF 0122-=-=. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为双曲线上一点，则a a cx PF +=01，a acxPF -=02. 2 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为椭圆上一点，若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2tan cos 1sin 22αααb b =+. 解：根据椭圆的定义可得a PF PF 221=+ ①由余弦定理可得αcos 242122212212PF PF PF PF F F c -+== ②由①②得)cos 1(2442122α+=-PF PF c a .从而αcos 12221+=b PF PF 所以，21F PF ∆的面积为2tan cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =+=双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为其上一点，若α=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2cot cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =-=. 3 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值.解：设),(),,(1100y x M y x P ，则),(11y x N --.01010101,x x y y k x x y y k PN PM----=--=，从而2120212001010101x x y y x x y y x x y y k k PN PM --=----⋅--=⋅. 又因为),(),,(1100y x M y x P 都在椭圆上，故1,1221221220220=+=+by a x b y a x .两式相减得，022********=-+-b y y a x x ，因而2221202120ab x x y y -=--即22a b k k PN PM -=⋅.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值.【常用方法】1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法.2本章经常会碰到直线l 与圆锥曲线C 相交于两点的问题，若已知l 过定点),(00y x P ，则可设l 的方程为0x x =或)(00x x k y y -=-.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C 的方程中，整理得到关于x 或y 的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若l 的条件不明显时，则可设l 的方程为m x =或m kx y +=.3 本章还经常用到“点差法”：设直线l 与圆锥曲线C 交于点),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点坐标都满足曲线C 的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB 的斜率1212x x y y --的表达式，也经常会出现2121,y y x x ++，这样又可以与线段AB 的中点),(00y x P 联系起来！4 若三点),(),,(),,(002211y x P y x B y x A 满足以线段AB 为直径的圆经过点P 或BP AP ⊥时，常用处理方法有：①根据勾股定理可得222PB PA AB +=； ②根据AP 的斜率与BP 的斜率之积为1-，可得120201010-=--⋅--x x y y x x y y ；③根据),(),,(,002020101y y x x PB y y x x PA PB PA --=--==⋅可得0))(())((02010201=--+--y y y y x x x x .5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.。
圆锥曲线（双曲线）
圆锥曲线（双曲线）圆锥曲线（双曲线）一．双曲线的定义（第一定义）平面内与两定点F1、F2距离之差的绝对值等于定长2a注意：⑴当2a＜|21FF|时动点P的轨迹表双曲线的轨迹表双曲线若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
⑵当2a=|21FF|时动点P的轨迹表以F1、F2为端点的两条射线为端点的两条射线⑶当2a＞|21FF|时点P不存在不存在二．双曲线的标准方程及几何性质222bac+=标准方程标准方程22221(0,0)x ya ba b-=>>22221(0,0)y xa ba b-=>>图像图像焦点坐标焦点坐标 )0,(),0,(21cFcF-)0,(),0,(21cFcF-顶点坐标顶点坐标 )0,(),0,(21aAaA-),0(),,0(21aBaB-取值范围取值范围|x|≥a，RyÎ|y|≥a，RxÎ对称轴对称轴 x轴，y轴实轴为a2、虚轴为b2准线方程准线方程cax2±=cay2±=渐近线渐近线xaby±=xaby±=离心率离心率 )1(>=eace（离心率越大，开口越大）（离心率越大，开口越大）通径通径ab22三、双曲线常规题型1．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：⑴经过两点（⑴经过两点（227,3,3））、（-7-7，，-62） ⑵双曲线经过点（⑵双曲线经过点（3,93,92），离心率为310⑶双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(⑷与双曲线x 2－2y 2＝2有共同的渐近线，且经过点（2，－2） ⑸过点P （2，－1），渐近线方程是y ＝±3x. 2．双曲线221102x y -=的焦距为（的焦距为（） A ．32B ．42C ．33D ．433．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为的轨迹方程为（（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -+= C ．221(3)169x y y -+=≥ D ．221(3)169x y y -+=-≤4．到两定点(3,0))0,3(21F F 、-的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（的轨迹是（ ） A ．椭圆．椭圆 B ．线段．线段 C ．双曲线．双曲线 D ．两条射线．两条射线5．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为的值为( ( )A ．－14B B．－．－．－4C 4 C 4 C．．4 D.146．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为的值为 ．7．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（的渐近线方程是（ ） A ．x y32±=B ．x y94±=C ．x y23±= D ．x y 49±=8．已知双曲线的方程为1222=-2b y a x，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点2F ，m AB =||，1F 为另一焦点，则1ABF D 的周长为（的周长为（ ） A ． m a 22+ B ． m a 24+ C ．m a + D ． m a 42+9．已知双曲线4422=-y x上一点P 到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么P 点到另一焦点的距离等于（一焦点的距离等于（ ） A ．10 B ．10或2 C ．526+D ．526±10．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（的取值范围是（ ） A ．1-＜k ＜1 B ．k ＞0 C ．k ≥0 D ．k ＞1或k ＜1-11．双曲线14122222=--+my m x 的焦距是（的焦距是（ ） A ．4 B ．22C ．8 D ．与m 有关有关12．过双曲线191622=-y x 左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABFD （F 2为右焦点）为右焦点） 的周长是（的周长是（ ）A ．28 B ．22 C ．14 D ．12 13．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15， 则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 14．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15， 则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．与曲线1492422=+yx 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（共渐近线的双曲线方程为（）A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x16．方程151022=-+-ky k x 表示双曲线，则Îk （ ） A ．（5，10） B ．（5,¥-） C ．（10，¥+） D ．),10()5,(+¥È-¥17．双曲线112422=-y x 上点P 到左焦点的距离为6，则这样的点P 的个数为（的个数为（） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 1818．双曲线．双曲线)0,1(,x 122222222¹¹=-=-l l l by a b y a x 与双曲线有相同的（有相同的（ ）） A ．焦点．焦点 B ．准线．准线C ．离心率．离心率D ．渐近线．渐近线19．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的（表示双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件．充分不必要条件C ．充要条件．充要条件D ．非充分非必要条件．非充分非必要条件20．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为（都外切，则动圆心的轨迹为（ ）A ．抛物线．抛物线B ．圆．圆C ．双曲线的一支 D ．椭圆．椭圆21．方程22142x y t t +=--所表示的曲线为C ，有下列命题：，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则24t <<；②若曲线C 为双曲线，则4t >或2t <； ③曲线C 不可能为圆；不可能为圆； ④若曲线C 表示焦点在y 上的双曲线，则4t >。
高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.
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【解析】(ⅰ)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2 ＋ 2)＋(2－ 2)＝4，故 a＝2.
设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2， 因此 2c＝|F1F2|＝ |PF1|2＋|PF2|2
＝ （2＋ 2）2＋（2－ 2）2＝2 3.
即 c＝ 3，从而 b＝ a2－c2＝1，
故所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1. (ⅱ)方法一：连接 F1Q，如图，设点 P(x0，y0)， ∵PF1⊥PF2，则xa022＋yb022＝1，x20＋y20＝c2，
探究一 圆锥曲线的定义及应用
例1 (1)设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2 作椭
圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角 形，则椭圆的离心率是( )
A.
2 2
B.
2－1 2
C．2－ 2
D. 2－1
【解析】选 D.
x2 y2 (2)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
D.x42－1y22 ＝1
【解析】选 D.
根据对称性，不妨设 A 在第一象限，A(x，y)，
x2＋y2＝4 ∴y＝b2x
x＝
4 b2＋4
y＝
4
b，
b2＋4·2
16 b b ∴xy＝b2＋4·2＝2
b2＝12，
x2 y2 故双曲线的方程为 4 －12＝1，故选
D.
x2 y2 (2)如图，椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别 为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于 P、Q 两点，且 PQ⊥PF1. (ⅰ)若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准 方程； (ⅱ)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率 e.
( 3－1)c，∴e＝ 3＋1.故选 D.
(3)已知直线 y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点．若 FA＝2FB，则 k＝ ________．
【解析】2 3 2 抛物线 C：y2＝8x 的准线为 l：x＝
－2，直线 y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点 P(－2，0)．如图，过 A、B 分别作 AM⊥ l 于点 M，BN⊥l 于点 N.
探究二 圆锥曲线标准方程及应用
x2 y2 例 2 (1)已知双曲线 4 －b2＝1(b>0)，以原点为圆心，
双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相 交于 A、B、C、D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双 曲线的方程为( )
A.x42－34y2＝1
B.x42－43y2＝1
C.x42－y82＝1
由 FA＝2FB，则 AM＝2BN，点 B 为 AP 的中点．
1 连结 OB，则 OB＝2AF，∴OB＝BF，点 B 的横坐标为 1，
故点 B 的坐标为(1，2 2)．∴k＝1－2 （2－－20）＝2 3 2.
【点评】涉及到圆锥曲线上的点与焦点的距离一般用 定义转化化简，最值问题须充分注意动点坐标的取值范围．
【备考建议】 圆锥曲线的几何性质一直是高考命题的热点内容之 一，小题与解答题均有考查，往往具有信息量大、思维量 大、运算量大的特点．复习时不能把目标仅仅定位在知识 的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几 何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲 线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些 解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何 中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法； 而且要求考生要有不怕困难的精神，良好的心理品质，细 心认真的态度，有较强的运算能力．要善于观察、发现题 目的特点，根据圆锥曲线各基本量的几何特征，运用数形 结合，分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化等思 想方法简化计算．
3 别为 F1，F2，焦距为 2c，直线 y＝ 3 (x＋c)与双曲线的一
个交点 P 满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为 ()
A. 2
B. 3
C．2 3＋1
D. 3＋1
【解析】选 D.
易知∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴∠F1PF2＝90°， ∴PF2＝c，PF1＝ 3c.由双曲线定义知 2a＝PF1－PF2＝
第 趋势】 圆锥曲线的几何性质常与代数、三角函数、平面向量、 不等式等知识交汇在一起进行命题，综合性强，体现了在 知识的交汇点处命题的原则，新课标全国卷有关圆锥曲线 模块的命题一般是“一大两小”，以 2 道小题考查圆锥曲 线的定义，离心率，标准方程以及几何性质，其中有关双 曲线的考查大都是客观题，以一道解答题(大题)的某小问 在直线与圆锥曲线位置关系的情境中考查圆锥曲线方程 的求法．而解答题一般涉及椭圆或抛物线．预计高考对本 节知识的考查体现在：圆锥曲线内部综合，即以选择题、 填空题的形式考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，特 别是求离心率、焦点关系等．以解答题形式考查主要是解 答题的第一问，求最值及过定点问题．
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|， 有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由 PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|， 因此，4a－2|PF1|＝ 2|PF1|，得|PF1|＝2(2－ 2)a， 从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－ 2)a＝2( 2－1)a.
a 求得 x0＝±c
a2－2b2，y0＝±bc2.
由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得 x0＞0，
从而|PF1|2＝a
a2c－2b2＋c2＋bc42
＝2(a2－b2)＋2a a2－2b2＝(a＋ a2－2b2)2.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a. 从 而 由 |PF1| ＝ |PQ| ＝ |PF2| ＋ |QF2| ， 有 |QF1| ＝ 4a － 2|PF1|，
又由 PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|，因
此(2＋ 2)|PF1|＝4a，即(2＋ 2)(a＋ a2－2b2)＝4a，
于是(2＋ 2)(1＋ 2e2－1)＝4，
解得 e＝
121＋2＋4 2－12＝ 6－ 3.
方法二：连接 F1Q，如图，由椭圆的定义， |PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.