实验四 多元函数的极值.
多元函数的极值及其求法
定理 设A是一个n n对称矩阵,
A正定 所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内 有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2
多元函数的极值分析
多元函数的极值分析在数学中，多元函数的极值分析是研究多元函数在特定范围内的最大值和最小值的问题。
它是微积分的重要内容，有着广泛的应用。
本文将介绍多元函数的极值分析方法和应用。
一、多元函数的定义多元函数是含有多个自变量的函数，通常用 f(x1, x2, ..., xn) 表示。
其中，x1, x2, ..., xn 是自变量，f 是函数的取值。
多元函数可以表示为在多维空间中的曲面。
二、局部极值点的判定1. 梯度为零的点对于一个具有连续偏导数的多元函数，其极值点通常出现在梯度为零的点上。
梯度是一个向量，其方向指向函数增长最快的方向。
当梯度为零时，函数在该点上可能是极大值、极小值或鞍点。
2. 黑塞矩阵的判别黑塞矩阵是多元函数的二阶偏导数构成的方阵。
通过计算黑塞矩阵的特征值，可以判断一个点是极大值点、极小值点还是鞍点。
三、全局极值点的判定当一个多元函数在特定范围内的所有局部极值点被找到后，还需要判定是否存在全局极值点。
1. 边界点的判定当多元函数在一个有界区域内进行极值分析时，需要考虑边界点。
边界点通常是通过检查给定区域的边界条件来判断的。
2. 偏导数的判别对于一个有界区域内的多元函数，可以通过计算边界点处的偏导数，来判定是否存在全局极值点。
四、应用案例多元函数的极值分析在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个应用案例。
1. 经济学中的效用函数在经济学中，效用函数描述了人们对商品或服务的偏好程度。
通过分析效用函数的极值，可以确定最大化消费者的满意程度。
2. 物理学中的能量函数在物理学中，能量函数描述了物体的能量随时间的变化。
通过分析能量函数的极值，可以确定物体的平衡位置和运动方程。
3. 工程学中的优化问题在工程学中，常常需要解决各种优化问题，如资源分配、路径规划等。
多元函数的极值分析可以为工程师提供最优解决方案。
五、总结多元函数的极值分析是数学中重要的内容，可以通过梯度为零的点和黑塞矩阵的判别来确定局部极值点。
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题多元函数极值问题是数学中常见的一类问题，一般来说，我们希望在给定的变量限制条件下找到使得多元函数取得最大值或者最小值的变量值，这样的问题被称为多元函数的极值问题。
由于多元函数在不同的情况下可能存在很多局部最大值和局部最小值，因此我们需要在一定条件下，确保找到的最优解是全局最优解。
一阶必要条件根据微积分的一阶必要条件，我们可以求解多元函数的偏导数，寻找使偏导数等于零的点。
对于一个二元函数$f(x,y)$，偏导数为：$$\frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial y}=0$$这些方程的解，就是函数的极值点。
而对于一个多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们需要找到使得所有偏导数为零的点，即：$$\frac{\partial f}{\partial x_1}=0,\frac{\partial f}{\partialx_2}=0,...,\frac{\partial f}{\partial x_n}=0$$这些方程的解，就是函数的极值点。
需要注意的是，这些点仅仅是可能的极值点，并不能确定是否为极大值或极小值点。
二阶必要条件在一阶必要条件得到的极值点处，我们希望进一步判断是极大值还是极小值。
此时，就需要使用微积分的二阶必要条件来判定。
对于二元函数$f(x,y)$，我们可以得到一个Hessian矩阵：$$H=\begin{bmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x^2} &\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial^2f}{\partialy\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial y^2}\\ \end{bmatrix}$$对于任意一个方向$\vec{v}=[x_1,y_1]$，我们可以得到一个二次型：$$Q(x_1,y_1)=\begin{bmatrix} x_1&y_1\\ \end{bmatrix} H\begin{bmatrix} x_1\\y_1\\ \end{bmatrix}$$二阶必要条件就是，如果Hessian矩阵在极值点处是正定的，则这个点是极小值点；如果是负定的，则是极大值点；如果是奇异的，则是鞍点；如果是不定的，则无法确定。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
4多元函数的极值
4多元函数的极值及其求法一、无条件极值1、f(x，y)=sin x+cos y+cos(x－y)(0≤x，y≤π/2)P116 8.8.4解：f x= cos x－sin(x－y)f y= －sin y+sin(x－y)⇒cos x=sin y解得驻点：P1(0，π/2)、P2(π/2，0)、P3(π/3，π/6)、P4(π/6，π/3)、P5(π/4，π/4)只有P3上A= f xx= －sin x－cos(x－y)|P3=－√3B= f xyx= cos(x－y)|P3=√3/2C= f yy= －cos y－cos(x－y)|P3=－1AC－B2= (－√3)(－1)－(√3/2)2=√3－3/4>0，P3极大值点极大值f(π/3，π/6)=3√3/22、求由x2＋y2+z2－2x+2y－4z－10 = 0 确定的隐函数z=z(x，y)的极值解：P116 8.8.5[一] 2x+2zz x－2－4z x= 0 z x=(1－x)/(z－2)2y+2zz y－2y－4z y= 0 z y=(1＋y)/(z－2)⇒驻点(1，－1)对应P(1，－1，6)、Q(1，－1，－2)A= z xx= [－(z－2)－(1－x) z x ]/(z－2)2|P=－1/4B= z xyx=－(1－x) z x/(z－2)2|P=0C= z yy= [－(z－2)－(1+y)z y]/(z－2)2|P=－1/4AC－B2= (－1/4)(－1/4)－02>0，A<0，在P达到极大值6A= z xx= [－(z－2)－(1－x) z x ]/(z－2)2|Q =1/4B= z xyx=－(1－x) z x/(z－2)2|Q =0C= z yy= [－(z－2)－(1+y)z y]/(z－2)2|Q=1/4AC－B2= (1/4)(1/4)－02>0，A>0，在Q达到极小值－2[二] (x－1)2＋(y＋1)2＋(z－2)2=42z极大=2＋4=6，z极小=2－4=－2二、条件极值1、求z=x2＋y2，在条件x＋y=1下的条件极值。
多元函数的极值
（4）求出函数z=f(x, y)对应极值点(x0, y0)的函数值f (x0, y0)，即为极值。
例1 求 f (x ，y) x3 y3 3xy 的极值。
解 fx(x ，y) 3x2 3y，f y(x ，y) 3y2 3x
例2 要用铁板做一个体积为2 m3的，有盖长方体水箱，问 当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。
解 设水箱的长为x m，宽为y m，则其高应为 2 m xy
此水箱所用材料的面积为
A
2
xy
y
2 xy
x
2 xy
(x 0 ，y 0)
即
A
2
要用铁板做一个体积为2 m3的，有盖长方体水箱，问 当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。
整理结果，各驻点对应的极值判别如表所示。
驻点
(x ，y)
A
B
C
B2 AC f (x ，y)
(0 ，0)
0
-3
0
不是极
90
值
(1，1)
6
-3
是极小
6
27 0
值
由上表可知，(1, 1)点是极小点，f(1, 1)=-1是函数的极小 值．
二、二元函数的最大值和最小值
与一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的 最大值和最小值．如果函数z=f(x, y)在有界闭区域D上连续， 则函数z=f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值，且函数 最大值点或最小值点必在函数的极值点或在D的边界上。 因此，只需求出f(x, y)在各驻点和不可导点的函数值及在边 界上的最大值和最小值，将这些值加以比较即可。
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。
与一元函数的极值类似，多元函数的极值问题也是求函数在一定范围内取得最大值或最小值的问题。
在实际问题中，多元函数的极值问题有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。
本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理。
一、多元函数的定义首先，我们来回顾一下多元函数的定义。
在数学中，多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
二、多元函数的极值定义对于多元函数$z=f(x,y)$，极值的定义与一元函数类似，分为最大值和最小值。
具体定义如下：1. 最大值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最大值，点$(x_0,y_0)$是最大值点。
2. 最小值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最小值，点$(x_0,y_0)$是最小值点。
三、多元函数的极值求解方法求解多元函数的极值问题，通常可以通过以下步骤进行：1. 求偏导数：对多元函数$z=f(x,y)$，分别对$x$和$y$求偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。
2. 解方程组：令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$，解出方程组$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{cases}$，得到极值点$(x_0,y_0)$。
多元函数的极值
定理 2. 若函数z = f (x, y)在某 U ( P0 ) 内存在连续的二阶 偏导数, 且 f x ( P0 ) = f y ( P0 ) = 0, 记 A = f xx ( P0 ), B = f xy ( P0 ), C = f yy ( P0 ), 则当 AC B 2 0 时, 若 A 0 , P0 为极小值点; 若 A 0 , P0 为极大值点。 AC B 2 0 时, P0 非为极值点。
AC B 2 = 0 时, P0 是否极值点需进一步讨论。
f ( x , y ) = (1 e y ) cos x y e y 的极值。 例 1. 求
f x = (1 e y ) sin x = 0 解： 由 解得驻点 (2n , 0) , y f y = e (cos x 1 y ) = 0 (( 2n 1) , 2) , 其中 n Z . 那么 A = f xx = (1 e y ) cos x ,
2 2 2
在点 P1 (1, 1, 2) 的某邻域内方程可确定一个隐函数,此时， 1 1 A = z xx | P1 = = 0 . B = z xy | P1 = 0, 2 z z = 2 4 1 1 1 2 0. C = z yy | P1 = = . AC B = 16 2 z z = 2 4 因此 (1, 1) 为隐函数的极小值点, 极小值为 z = 2 . 在点 P2 (1, 1, 6) 的某邻域内方程也可确定一个隐函数。 对应地, A = z xx | P2 = 1 4 0, B = z xy | P2 = 0, C = z yy | P2 = 1 4 . AC B 2 = 1 16 0 . 因此 (1, 1) 为隐函数的极大值点, 极大值为 z = 6 .
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。
研究多元函数的极值和条件极值可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，在各种实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、判别法以及求解方法，以深入探讨这一重要数学概念。
一、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
对于具有两个自变量的函数，通常使用偏导数的概念来进行讨论。
偏导数是指将函数对于某一个自变量求导时，将其他自变量看作常数，得到的导数。
考虑一个具有两个自变量的多元函数 f(x, y)，其中 x 和 y 是定义域内的变量。
函数 f(x, y) 的极值点可以通过以下步骤确定：1. 求出函数 f(x, y) 的偏导数，即 f 对于 x 的偏导数∂f/∂x 和 f 对于 y 的偏导数∂f/∂y；2. 解方程组∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0，得到可能的极值点；3. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。
当二阶偏导数的行列式D = ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² 大于 0 时，判断该点为极值点，否则不是。
二、多元函数的条件极值条件极值是指多元函数在满足一定条件下取得的极值。
通常在实际问题中，函数的自变量受到一定的限制条件约束。
此时，我们需要使用拉格朗日乘子法来求解条件极值。
假设有一个多元函数 f(x, y) 和一个条件方程 g(x, y) = 0。
使用拉格朗日乘子法求解条件极值的步骤如下：1. 构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子；2. 求出 L 对于 x、y 和λ 的偏导数∂L/∂x，∂L/∂y 和∂L/∂λ；3. 解方程组∂L/∂x = 0，∂L/∂y = 0 和∂L/∂λ = 0，得到可能的条件极值点；4. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。
实验四 多元函数的极值
3. 求函数偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数。
diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。
实验方法与步骤
练习1、求函数 z x4 8xy 2y2 3 的极值点和极值。
练习1、求函数 z x4 8xy 2y2 3 的极值点和极值。
%***************************************** Imax=imregionalmax(I); Imin=imregionalmin(I); Imax=double(Imax); Imin=double(Imin);
[Nmax,xmax,ymax,zmax]=extremanum(I,Imax); [Nmin,xmin,ymin,zmin]=extremanum(I,Imin); %********************************************** xr=1:row; yr=1:col; [x1,y1]=meshgrid(xr,yr); u=griddata(xmax',ymax',zmax',x1',y1','cubic'); v=griddata(xmin',ymin',zmin',x1',y1','cubic');
%******************************************** t=etime(clock,t1)
function [Num,x,y,z]=extremanum(I,Ima) width=size(Ima,2); height=size(Ima,1); k=1; for h=1:height
09-10_多元函数的极值
2 f 2 f 2 x 1 x 2 Q xy R2 (x, y ) 2! f 2 f y yx y 2 余项 (x , y )
0 0
f 记 A 2 x
2
2 f ( x0 , y0 ) , B xy
z 1 x y z
2
2
z x y z
2
2
y x z
o
y
x
o x y
z xy
先以二元函数为例, 叙述结果, 然后将它 推广到一般的 n 元函数.
若 X 0 ( x0 , y0 ) 是函数 f ( x , y ) 的极值点, 则
x0 是一元函数 f ( x , y0 ) 的极值点; y0 是一元函数 f ( x0 , y) 的极值点,
但函数 f ( x , y ) 在极值点 X 0 ( x0 , y0 ) 处偏导数可 能存在, 也可能不存在, 故可得到结论: 如果偏导数存在, 则极值点处的偏导数必为零. 使偏导数不存在的点, 也可能是函数的极值点.
定理
(二元可导函数取极值的必要条件)
若 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在
故
•
( 2 ,1 )
= 36 x - y ） （
2 2
> 0 , A ( 2,1) = 12 > 0,
点 ( 2, 1) 是极小点, 极小值为 f ( 2 ,1 ) 28
•
( - 2 , -1 )
>0, A(
- 2, -1)
= 12 < 0,
点 (2,1) 是极大点, 极大值为 f ( 2, 1) 28 .
当 AC B 2 0 时, 二次型 Q 是半定的, 运 用二阶泰勒公式已不能判定 f ( x0 , y0 ) 是否 为函数的极值.
多元函数的极值
定义1: 定义
为对称的， 设矩阵 A = ( a ij ) n × n 为对称的，即 a ij = a ji , x = ( x 1 , x 2 , L , x n ) ∈ R n , 则称 f ( x ) = xAx 为 ( 实 ) 二次型 .
T
=
i , j =1
∑a
n
ij
xi和( − ,− ) , 得驻点( 2 2 2 2
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x+ y =0 因为 lim 2 2 x →∞ x + y + 1 y →∞
即边界上的值为零. 即边界上的值为零
1 1 1 z( , ) = , 2 2 2
1 1 1 z(− ,− ) = − , 2 2 2
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x+ y 例 求z = 2 的最大值和最小值. 的最大值和最小值 2 x + y +1
( x 2 + y 2 + 1) − 2 x ( x + y ) 解 由 zx = = 0, 2 2 2 ( x + y + 1) ( x 2 + y 2 + 1) − 2 y( x + y ) zy = = 0, 2 2 2 ( x + y + 1)
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结束
例 求二元函数 z = f ( x , y ) = x 2 y (4 − x − y ) 在直线 x + y = 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值. 上的最大值与最小值
解
如图, 如图
内的驻点， 先求函数在 D 内的驻点，
y
多元函数的极值实验报告
实验报告院（系）课程名称：数学模型与数学实验日期：年月日班级学号实验室专业姓名所用软件MATLAB 实验名称多元函数的极值成绩评定实验目的1.多元函数偏导数的求法。
2.多元函数自由极值的求法3.多元函数条件极值的求法.4.学习掌握MATLAB软件有关的命令。
实验内容1.求1444+-+=xyyxz的极值。
2.求函数(),f x y xy=在圆周122=+yx的最大值和最小值。
3.在球面1222=++zyx求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。
实验过程1.程序命令：首先用diff命令求z关于x,y的偏导数clear; syms x y;z=x^4+y^4-4*x*y+1;diff(z,x)diff(z,y)结果为：ans =4*x^3-4*yans =4*y^3-4*x再求解方程，求得各驻点的坐标。
一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。
求解方程的MA TLAB代码为：clear;[x,y]=solve('4*x^3-4*y=0','4*y^3-4*x=0','x','y')结果为：x =i-i-11(1/2-1/2*i)*2^(1/2)(-1/2+1/2*i)*2^(1/2)(1/2+1/2*i)*2^(1/2)(-1/2-1/2*i)*2^(1/2)-ii-11-1/2*2^(1/2)-1/2*i*2^(1/2)1/2*2^(1/2)+1/2*i*2^(1/2)-1/2*2^(1/2)+1/2*i*2^(1/2)1/2*2^(1/2)-1/2*i*2^(1/2)结果有三个驻点，分别为p（0,0），（-1，-1），（1,1）下面再求判别式中的二阶偏导数：clear; syms x y;z=x^4+y^4-4*x*y+1;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)结果为：A =12*x^2B =-4C =12*y^2由判别法可知（-1，-1）和（1,1）都是函数的极小值点，而(0,0)不是极值点。
多元函数的极值与最值
z
该函数在原点处连续，但有
f xy (0,0) 1
f yx (0,0) 1
问题：曲面在点(0,0)附近 的形状是怎样的呢 ？
在Dxy: x y 1 上考虑
2 2
.
o
曲面过x轴 ，过y轴 曲面关于x轴对称，
.
x
y
曲面关于y轴对称 y x y x 曲面关于直线 对称,关于直线 对称 z0 z0
函数在D内只有唯一的驻点 3 2 , 3 2 ), ( 因此可断定当x 3 2 , y 3 2时，A取得最小值。
3 3
2 当水箱的长为 2m、宽为 2m、高为3 3 2m时，水箱 2 3 2 所用的材料最省。 (即体积一定的长方体中 立方体的表面积最小 )
例5
有一宽为24cm的长方形铁板，把它两 多元函数最值举例 边折起来做成一断面为 等腰梯形的水槽。问怎 样的折法才能使断面的 面积最大？
一、多元函数极值
2. 引例 引例1
z (0, y ) x0
z
z ( x,0) y0
o
δ
y
z
1 4 1 2
2
e
x2 y2 2
x
( 1、 2 0, 常数) (( x, y ) )
2
z (0,0) 1 /(2 1 2 ) z 故z (0,0)
设f ( x, y) x y 3x 3 y 9 x的极值。
3 3 2 2
3 x 2 6 x 9 0且f y 3 y 2 6 y 0 解：f x P ( 3,0), P2 (3,2), P3 (1,0), P4 (1,2)为驻点 1 A f xx 6 x 6, B f xy 0, C f yy 6 y 6
多元函数的极值解读
3
又
定义域为 r 0, h 0. 解方程组
S 2 rH 2 r r 2 h2 2V 4 rh 2 r r 2 h2 r 3
S 2V 4 4 r 2 2 h 2 2 h 0 2 2 r 3 r r h S 4 r 2 rh 0 3 r 2 h2 h
所以 B AC 4 0, 而A 0, 故函数在点（0，1） 取得极小值，为0。
2
例2 求函数z x 4 y 4 x 2 2 xy y 2 的极值。 解：此函数的定义域为 {( x, y) | x R, y R}
解方程组
z 3 4 x 2x 2 y 0 x z 4 y3 2 x 2 y 0 y
z 62 (8)2 12 6 16 (8) 100
在D的边界上，将 x 5 cos , y 5 sin , 0 2 代入函数中得
由于 0 2 , 所以在边界上函数的最大值为 125，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上 的最大值为125，最小值为-100。 例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等的 圆锥形中空浮标，如图。 在体积V是一定量的情况 下，如何选择圆柱和圆锥 的尺寸，才能使制作的材 料最省？
( 1)
k
( 1)
k
2 1 e 1 )(1) k 2
k为 奇 数 k为 偶 数 k为 奇 数 k为 偶 数
2 e 1 [(1) k (1) k 1 2] 1
2 2 2 B AC 0 ( 1 e ) ( e ) 0, z无极值。 k 故当 为奇数时，
二 多元函数的最值
多元函数的极值
L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y),
(2) 解方程组
Lx ( x, y, ) Ly ( x, y, )
fx( x, y) x ( x, y) 0, f y( x, y) y ( x, y) 0,
L ( x, y, ) ( x, y) 0.
求 L( x, y, ) 的驻点坐标 ( x0 , y0 , z0 );
1 000xy 2 000x 3 000 y 1 000x2 500 y2 1 000 ( x 0, y 0)
解方程组
Lx 1 000 y 2 000 2 000x 0
Ly
1
000 x
3
000
1
000 y
0
求得唯一驻点(5, 8).
由于 A Lxx (5,8) 2000, B Lxy(5,8) 1000, C Lyy (5,8) 1 000, B2 AC 1 000 000 0, A 2000 0,
例4 求函数 f ( x, y) sin x sin y sin( x y) 在有 界闭区域 D 上的最大值和最小值, 其中 D 是由直线 x y 2π, x 轴和 y 轴所围成的有界闭区域.
解 先求 f ( x, y) 在 D 内部的极值.
解方程组
fx( x, y) cos x cos( x y) 0
一、多元函数的极值
定义7.7 设 f ( x, y) 在点 P0( x0 , y0 ) 的某一邻域 O (P0 ) 内有定义, 若 ( x, y) O (P0 ) f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ( f ( x, y) f ( x0 , y0 )), (7 20)
则称 f ( x0, y0 ) 是 f ( x, y) 的一个极小值( 极大值), 这时称 ( x0, y0 ) 是 f ( x, y) 的一个极小值点( 极大值点). 极小值和极大值统称为极值.
多元函数的极值及其求法
解 fx(x, y) 3x2 3 y, f y(x, y) 3 y2 3x.
求解方程组：
3 3
x2 y2
3 3
y x
0, 0.
x2
y
2
y, x.
得驻点 (0, 0), (1, 1).
f xx ( x, y) 6x, f xy ( x, y) 3, f yy ( x, y) 6 y. 在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0, B f xy (0,0) 3,
22
22
因为
lim
x
x2
x y y2 1
0
y
即边界上的值为零.
因为
Hale Waihona Puke limx x2
x y y2 1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )具有偏导数，且在 点( x0, y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0.
f
y
(
x,
y)
多元函数的极值
课堂练习 求函数 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 xy 的极值 . 解 取到极值的必要条件 : f x ( x , y ) = 3 x 2 − 3 y = 0, x 2 − y = 0, 定理1 用P110定理 定理 即 2 2 y − x = 0. f y ( x , y ) = 3 y − 3 x = 0, y = x2, y = x2, y = x2, 即 2 2 即 即 3 ( x ) − x = 0 . x ( x − 1 ) = 0 . x = 0 或 x = 1 . 得驻点 (1,1), ( 0,0 ).
又, A = f xx( x, y) = 6x, B = f xy ( x, y) = −3, C = f yy ( x, y) = 6 y.
∵ AC − B2 = 6 ⋅ 6 − (−3)2 > 0, 又 A > 0, 点(1,1 )处 ,
定理2 用P110定理 定理
∴ f (1,1) = − 1是极小值 ;
又设 又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导 数的 隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 15
又设 又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导 数的 隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 代入得 z = f [ x , y( x )], 化成了无条件极值 一元函 数 z = f [ x , y ( x )] 在 x 0 处取得极值的 dz 由隐函数求导公式得到 必要条件是 x = x0 = 0, dx dy 即 [ f x ( x , y ( x )) + f y ( x , y ( x )) ⋅ ] x = x 0 = 0, dx dx ϕ x ( x 0 , y0 ) ) = 0, 即 f x ( x0 , y0 ) + f y ( x0 , y0 )( − ϕ y ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 令 即 = =− λ, ϕ x ( x 0 , y0 ) ϕ y ( x 0 , y0 )
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L( x, y, z, , ) x y z ( x2 y 2 z 2 ) ( x y z 1) 求Lagrange函数的极值。先求 L( x, y, z, , ) 关
if p==0 disp('无法判别') elseif and(p>0,A>0) disp('极小值点,极小值是') fmin=x^4-8*x*y+2*y^2-3 elseif and(p>0,A<0) disp('极大值点,极大值是') fmax=x^4-8*x*y+2*y^2-3 elseif (p<0) disp('不是极值点') end end 由判别法可知 (-2,-4)和 (2,4)都是函数的极小值点， 而点 (0,0)不是极值点。
首先用diff命令求z关于x, y的偏导数 clear; syms x y zx zy; z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; zx=diff(z,x); zy=diff(z,y); 结果为zx =4*x^3-8*y，zy =-8*x方程，得到驻点的坐标
一般方程组的符号解用solve命令，当方程 组不存在符号解时，solve将给出数值解。
Ex4_5
clear;
syms x y k; L=x*y+k*(x+y-1); Lx=diff(L,x) Ly=diff(L,y) Lk=diff(L,k) clear; [x1,y1,k1]=solve(‘y+k=0’,’x+k=0’,’x+y1=0’，’x’, ’y’, ’k’); 所以，极大值点为（1/2，1/2），极大值点为1/4 运行得到
练习2、求函数 z xy 在条件 x y 1 下的极 大值。 构造Lagrange函数
L( x, y, ) xy ( x y 1)
求Lagrange函数的极值。先求 L( x , y, ) 关 于 x , y , 的一阶偏导数，相应的matlab代 码为
（ 4 ）对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 计 算 判 别 式 AC B 2。 A 0 极 小 值 2 AC B 0, 是 极 值 点 A 0 极 大 值 如 果 AC B 2 0, 不 是 极 值 点 2 AC B 0, 无 法 判 别
3. 求函数偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数。
diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。
实验方法与步骤
4 2 z x 8 xy 2 y 3 的极值点和极值。 练习1、求函数
4 2 z x 8 xy 2 y 3 的极值点和极值。 练习1、求函数
求解正规方程的matlab代码为:
Ex4_2
clear; [x1,y1]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y'); 得到三个驻点，分别为 (-2,-4)， (0,0)， (2,4)
下面再求判别式中的二阶偏导数: Ex4_3 clear;
syms x y;
实验准备
1、计算多元函数的极值 对于多元函数的极值问题，根据多元 函数极值的必要条件和充分条件，可分 为以下几个步骤： （1）定义多元函数 z f ( x, y ) ； （2）求解正规方程 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0 得到驻点；
（ 3 ）对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求 出 二 阶 偏 导 数 2z 2z 2z A 2 ,B , C 2 在驻点处的值 ; x xy y
Lx =y+k Ly =x+k Lk =x+y-1 解正规方程，
1 1 1 x , y , 2 2 2
练习3 抛物面 z x y 被平面 x y z 1截成了一个 椭圆，求这个椭圆到原点的最长距离与最短距离。
2 2
这个问题实际上就是求函数
f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 在条件 z x 2 y 2 及 x y z 1 下的最大值和最小值。 构造Lagrange函数
2. 计算二元函数在区域D内的最大值和最小值 设函数z=f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y) 在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D 上的最大 值和最小值的一般步骤为： a) 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值； b) 计算f(x,y)在D的各个边界线上的最大值和最 小值； c) 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D 内的最大值和最小值。
实验4 多元函数的极值
实验目的
了解多元函数偏导数的求法
了解多元函数极值的求法
了解多元函数条件极值的求法
了解多元函数插值的方法
学习、掌握MATLAB软件有关的命令
实验内容
4 2 z x 8 xy 2 y 3 的极值点和极值。 1、求函数
2、求函数 z xy 在条件下 x y 1 的极值。 3、已知曲面上一些点(2,2,80)，(3,2,82)，(4,2,84） (0,3,79)，(2,3,61)，(3,3,65)，(0,4,84)，(1,4,84)， (4,4,86)，将这些点用二元函数插值的方法画出完 整的曲面。 4、求图像的极值点，并通过这些极值点对图像 进行插值。
z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;
运行结果为： A=12*x^2 B =-8 C =4
A=diff(z,x,2)
B=diff(diff(z,x),y) C=diff(z,y,2)
最后，对于点（-2，-4），（0，0）和（2，4） Ex4_4 分别判别是否是极值点 clear; N=input('please input points number,N='); for i=1:N x=input('x='); y=input('y='); A=12*x^2; B=-8; C=4; p=A*C-B*B;