实验四 多元函数的极值.

练习2、求函数 z xy 在条件 x y 1 下的极 大值。 构造Lagrange函数
L( x, y, ) xy ( x y 1)
求Lagrange函数的极值。先求 L( x , y, ) 关 于 x , y , 的一阶偏导数，相应的matlab代 码为
实验4 多元函数的极值
实验目的
了解多元函数偏导数的求法
了解多元函数极值的求法
了解多元函数条件极值的求法
了解多元函数插值的方法
学习、掌握MATLAB软件有关的命令
实验内容
4 2 z x 8 xy 2 y 3 的极值点和极值。 1、求函数
2、求函数 z xy 在条件下 x y 1 的极值。 3、已知曲面上一些点(2,2,80)，(3,2,82)，(4,2,84） (0,3,79)，(2,3,61)，(3,3,65)，(0,4,84)，(1,4,84)， (4,4,86)，将这些点用二元函数插值的方法画出完 整的曲面。 4、求图像的极值点，并通过这些极值点对图像 进行插值。
L( x, y, z, , ) x y z ( x2 y 2 z 2 ) ( x y z 1) 求Lagrange函数的极值。先求 L( x, y, z, , ) 关
实验准备
1、计算多元函数的极值 对于多元函数的极值问题，根据多元 函数极值的必要条件和充分条件，可分 为以下几个步骤： （1）定义多元函数 z f ( x, y ) ； （2）求解正规方程 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0 得到驻点；
（ 3 ）对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求 出 二 阶 偏 导 数 2z 2z 2z A 2 ,B , C 2 在驻点处的值 ; x xy y
2. 计算二元函数在区域D内的最大值和最小值 设函数z=f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y) 在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D 上的最大 值和最小值的一般步骤为： a) 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值； b) 计算f(x,y)在D的各个边界线上的最大值和最 小值； c) 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D 内的最大值和最小值。
z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;
运行结果为： A=12*x^2 B =-8 C =4
A=diff(z,x,2)
B=diff(diff(z,x),y) C=diff(z,y,2)
最后，对于点（-2，-4），（0，0）和（2，4） Ex4_4 分别判别是否是极值点 clear; N=input('please input points number,N='); for i=1:N x=input('x='); y=input('y='); A=12*x^2; B=-8; C=4; p=A*C-B*B;
Ex4_5
clear;
syms x y k; L=x*y+k*(x+y-1); Lx=diff(L,x) Ly=diff(L,y) Lk=diff(L,k) clear; [x1,y1,k1]=solve(‘y+k=0’,’x+k=0’,’x+y1=0’，’x’, ’y’, ’k’); 所以，极大值点为（1/2，1/2），极大值点为1/4 运行得到
首先用diff命令求z关于x, y的偏导数 clear; syms x y zx zy; z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; zx=diff(z,x); zy=diff(z,y); 结果为zx =4*x^3-8*y，zy =-8*x+4*y
Ex4_1
其次，求解正规方程，得到驻点的坐标
一般方程组的符号解用solve命令，当方程 组不存在符号解时，solve将给出数值解。
Fra Baidu bibliotek
Lx =y+k Ly =x+k Lk =x+y-1 解正规方程，
1 1 1 x , y , 2 2 2
练习3 抛物面 z x y 被平面 x y z 1截成了一个 椭圆，求这个椭圆到原点的最长距离与最短距离。
2 2
这个问题实际上就是求函数
f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 在条件 z x 2 y 2 及 x y z 1 下的最大值和最小值。 构造Lagrange函数
3. 求函数偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数。
diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。
实验方法与步骤
4 2 z x 8 xy 2 y 3 的极值点和极值。 练习1、求函数
4 2 z x 8 xy 2 y 3 的极值点和极值。 练习1、求函数
（ 4 ）对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 计 算 判 别 式 AC B 2。 A 0 极 小 值 2 AC B 0, 是 极 值 点 A 0 极 大 值 如 果 AC B 2 0, 不 是 极 值 点 2 AC B 0, 无 法 判 别
求解正规方程的matlab代码为:
Ex4_2
clear; [x1,y1]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y'); 得到三个驻点，分别为 (-2,-4)， (0,0)， (2,4)
下面再求判别式中的二阶偏导数: Ex4_3 clear;
syms x y;
if p==0 disp('无法判别') elseif and(p>0,A>0) disp('极小值点,极小值是') fmin=x^4-8*x*y+2*y^2-3 elseif and(p>0,A<0) disp('极大值点,极大值是') fmax=x^4-8*x*y+2*y^2-3 elseif (p<0) disp('不是极值点') end end 由判别法可知 (-2,-4)和 (2,4)都是函数的极小值点， 而点 (0,0)不是极值点。