信号与系统第三章习题答案

f (-t ) « F (- jw ) f (t )e ± jw0t « F ( j (w m w0 ) 可得： f (t + 3) « e jw 3 F ( jw ) 1 jw 3 w f (3 + 2t ) « e 2 F ( j ) 2 2 3 1 - jw w f (3 - 2t ) « e 2 F (- j ) 2 2 (w -1) 1 - j3 (w - 1) jt e f (3 - 2t ) « e 2 F (- j ) 2 2
p 3p p u (t ) = 2 + 2 cos(t + ) + cos(2t + ) + cos(3t + ) 4 4 3
根据振幅谱和相位谱的定义可得单边振幅谱为：
A0 = 2
j0 = 0 j1 =
A1 = 2
p 4 j2 =
A2 = 1
3p 4
A3 = 1
j3 = p 3
单边幅度频谱 An
nw0
d F ( jw ) dw
1 jw + a d 1 -j [ ]= d w jw + a ( jw + a ) 2 d 1 -j - jte - atU (t ) « [ ]= d w jw + a ( jw + a ) 2 1 \ te - atU (t ) « ( jw + a ) 2 e - atU (t ) «
(1) f (3t - 5) 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) f (at ) « 可得： f (t - 5) « e - jw 5 F ( jw ) 1 - jw 5 w f (3t - 5) « e 3 F ( j ) 3 3 1 w F( j ) a a
(6) (2t - 2) f (t ) 由题（5）可得： d tf (t ) « j F ( jw ) dw 根据傅里叶变换的线性性质： d 2tf (t ) « 2 j F ( jw ) dw \ (2t - 2) f (t ) = 2tf (t ) - 2 f (t ) « 2 j
3.36 已知 LTI 系统的微分方程如下：
3.27 已知 f (t ) « F ( jw ) ，利用傅里叶变换的性质，求下列信号的傅里叶变换。
(1) f (3t - 5) (5) (1 - t ) f (1 - t )
解：
(2) f (1 - t )
(3) tf (3t )
(4) e jt f (3 - 2t )
(6) (2t - 2) f (t )
(2) f (1 - t ) 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e± jwt0 F ( jw ) f (-t ) « F (- jw ) 可得： f (1 + t ) « e jw f (1 - t ) « e- jw
(3) tf (3t ) 根据傅里叶变换的性质 1 w f (at ) « F ( j ) a a dn (-jt ) f (t ) « F ( jw ) dw n 可得：
(6) e -2(t -1)d (t - 1)
(8) U (t ) - U (t - 3)
t (2) U ( - 1) 2 U (t ) « pd (w ) + 1 jw 1 ) jw f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) f (at ) « 1 w F( j ) a a
d (t - 1) « e- jw
\ e-2( t -1)d (t - 1) « e- jw
(8) U (t ) - U (t - 3) Q 根据傅里叶变换的线性性质可得： 1 U (t ) « p d (w ) + jw 1 U (t - 3) « e - j 3w (p d (w ) + ) jw \ U (t ) - U (t - 3) « ( 1- e - j 3w )(p d (w ) + 1 ) jw
3.7 一连续周期信号 f (t ) ，周期 T=8，已知其非零傅里叶复系数是：F1 = F-1 = 2 ，
F3Βιβλιοθήκη Baidu= F-*3 = 4 j ，试将 f (t ) 展开成三角型傅里叶级数，求 An 并画出单边幅度谱和相
位谱。 解：根据复指数形式的傅里叶级数与三角型傅里叶级数的关系
Fn = Fn e jjn
jw =-2
= -1
d [Y ( jw )g( jw + 2) 2 ] =2 j w =2 dw
jw =-3
K 3 = Y ( jw )g( jw + 3)
即
= -2
Y ( jw ) =
-1 2 -2 + + ( jw + 2) 2 jw + 2 jw + 3
根据傅里叶变换的性质：
- jtf (t ) «
=
jw =-3
1 2
= jw =-1
=
jw =-1
1 2
1 1 -1 Y ( jw ) = + 2 + 2 jw + 2 jw + 3 jw + 1
1 1 y f (t ) = F -1[Y ( jw )] = ( -e -2t + e -3t + e - t )U (t ) 2 2
方程 2：
y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
由已知得：
F ( jw ) =
1 jw + 2
Y ( jw ) = F ( jw )g H ( jw ) =
1 1 + jw g jw + 2 ( jw + 3)( jw + 2) K11 K12 K2 = + + ( jw + 2) 2 jw + 2 jw + 3
采用部分分式展开法：
K11 = Y ( jw )g( jw + 2) 2 K2 =
(5) (1 - t ) f (1 - t ) 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e± jwt0 F ( jw ) dn (-jt ) f (t ) « F ( jw ) dw n 可得：
n
d F ( jw ) dw d tf (t ) « j F ( jw ) dw - jtf (t ) « d F ( jw ) dw d d (1 - t ) f (1 - t ) « je - jw F ( - jw ) = - je - jw F ( - jw ) = - je- jw F '(- jw ) dw d ( -w ) (t + 1) f (t + 1) « je jw
p 4
3p 4
单边相位谱 j n
p 3
nw0
根据单边谱和双边谱的关系， Fn = F- n = 点奇对称，可得：
1 An ， 双边相位谱是单边相位谱关于原 2
双边幅度频谱 An
nw0
3 4 4 3
双边相位谱jn
p 4
3p 4
0
1
2
3
n
p 4
0
3.24 求下列信号的傅里叶变换 t (2) U ( - 1) (4) e- jtd (t - 2 ) 2 解：
（2）若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，系统的零状态响应 y f (t ) = f (t ) * h(t ) ，或者
y f (t ) = F -1[Y ( jw )] = F -1[ F ( jw )g H ( jw )]
由已知得：
F ( jw ) =
1 jw + 2
Y ( jw ) = F ( jw )g H ( jw ) =
U (t - 1) « e - jw (pd (w ) +
t 1 U ( - 1) « 2e - j 2w (pd (2w ) + ) 2 j 2w Q d (aw ) = 1 d (w ) a
\ 2e- j 2wpd (2w ) = 2pd (2w )w =0 = pd (w ) \ 2e - j 2w (pd (2w ) +
n
1 w f (3t ) « F ( j ) 3 3 1 d w - jtf (3t ) « F( j ) 3 dw 3 j d w \ tf (3t ) « F( j ) 3 dw 3
(4) e jt f (3 - 2t ) 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) f (at ) « 1 w F( j ) a a
h(t ) = F -1[ H ( jw )] = (2e -3t - e -2t )U (t )
（2）若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，系统的零状态响应 y f (t ) = f (t ) * h(t ) ，或者
y f (t ) = F -1[Y ( jw )] = F -1[ F ( jw )g H ( jw )]
（1）对上式两边取傅里叶变换得：
( jw ) 2 Y ( jw ) + 5( jw )Y ( jw ) + 6Y ( jw ) = ( jw ) F ( jw ) + F ( jw )
H ( jw ) = Y ( jw ) 1 + jw 1 + jw 2 1 = = = F ( jw ) ( jw ) 2 + 5( jw ) + 6 ( jw + 3)( jw + 2) ( jw + 3) ( jw + 2)
(4) e - jtd (t - 2 ) Q 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) f (t ) e ± jw0t « F ( j (w m w0 )) 可得： d (t ) « 1
1 1 ) = pd (w ) + e - j 2w j 2w jw
d (t - 2) « e- j 2w
1 1 g jw + 2 ( jw + 3)( jw + 1) K3 K1 K2 = + + jw + 2 jw + 3 jw + 1
用部分分式展开法：
K1 = Y ( jw )g( jw + 2) K 2 = Y ( jw )g( jw + 3) K 3 = Y ( jw )g( jw + 1)
所以
d F ( jw ) - 2 F ( jw ) dw
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t ) y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
（1） 求系统的频率响应 H（jw）和冲激响应 h（t） ； （2） 若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，求系统的零状态响应 y f (t ) 。 解： 方程 1：
jw =-2
= =
1 1 g g( jw + 2) jw + 2 ( jw + 3)( jw + 1) 1 1 g g( jw + 3) jw + 2 ( jw + 3)( jw + 1) 1 1 g g( jw + 1) jw + 2 ( jw + 3)( jw + 1)
= -1
jw =-2
jw =-3
e - jtd (t - 2 ) « e - j 2(w +1)
(6) e -2( t -1)d (t - 1) Q 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) 可得： e -2( t -1)d (t - 1) = d (t - 1) d (t ) « 1 (t = 1)
可得：
Fn =
1 An 2
\
A1 = 4
Q
F1 = F1 e F1 = 2
jj1
= 2e = 2
j0
F3 = F3 e
jj3
= 4e
j
p 2
=4j
F3 = 4
j1 = 0 j3 = p 2
A3 = 8
单边幅度谱（即 An 对应的函数波形）
单边幅度频谱 An
nw0
单边相位谱 j n
p 2
nw0
p p p 3.9 已知周期电压 u (t ) = 2 + 2 cos(t + ) - sin(2t + ) + cos(3t + ) ，试画出其单边、 4 4 3 双边振幅谱和相位谱。 p 解：由三角关系式 cos(a + ) = - sin(a ) 可将原式化为： 2
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t )
（1）对上式两边取傅里叶变换得：
( jw ) 2 Y ( jw ) + 4( jw )Y ( jw ) + 3Y ( jw ) = F ( jw )
1 1 Y ( jw ) 1 1 2 2 H ( jw ) = = = = 2 F ( jw ) ( jw ) + 4( jw ) + 3 ( jw + 3)( jw + 1) ( jw + 1) ( jw + 3) 1 h(t ) = F -1[ H ( jw )] = (e- t - e-3t )U (t ) 2