大学物理课件第2章 第二讲

f d = CρAv2 2 C = 0.6 已知： ρ = 1 .2 kg/m 3 , A = 0 .6 m 2
1 解：mg − CρAv 2 = ma v 2 fd
a = 0 v = vL
vL = 2 mg C ρA
v mg
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y
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例 已知一物体质量 m 沿水平方向运动，初速度 沿水平方向运动， 求停止运动时， 为 v0 ，所受的阻力为 f = − kv ，求停止运动时， 物体运动的距离。 物体运动的距离。
y v N
v f
v F F
θ
x
F cos θ − µ N = 0 N + F sin θ − mg = 0
o
µ mg v 联立求解： 联立求解： F = mg cos θ + µ sin θ 分母有极大值时， 有极小值， 分母有极大值时，F 有极小值， y = cos θ + µ sin θ d y / d θ = 0 , d 2 y / dθ 2 > 0, θ = arctgµ
v v v FT + P = m a
2
v 2 FT sin θ = man = m = mrω r A FT cos θ − P = 0 v P
v lθ FT
r = l sin θ
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r v v et v
v en
o
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v lθ FT
A v P
l θ θ
l
r v v et v
∫
v
v0
v d v = − gl ∫ sin θ d θ
0
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θ
v FT = m( − 2 g + 3g cosθ ) l
2 0
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质量为m的物体在摩擦系数为 例 质量为 的物体在摩擦系数为 µ 的平面上作匀 速直线运动， 角多大时最省力？ 速直线运动，问当力与水平面成θ角多大时最省力？ 建立坐标系， 解： 建立坐标系， 受力分析，列受力方程。 受力分析，列受力方程。
dv 解： f = −kv = ma = m dt dv dv dv =v − kv = mv dt dx dx
k − dx = dv m
k − x = υ − v0 m
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k x − ∫ dx = m 0
令
∫
υ
v0
dv
υ =0
m x = v0 k
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例 如图长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球, 的轻绳， 的小球, 时小球位于最低位置， 另一端系于定点 o ， t = 0 时小球位于最低位置，并具 v 求小球在任意位置的速率及绳的张力. 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力. 解
v 0 FT
v F T
a1
a2 = - ar - a
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v Py 1
v P 2
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设有一质量为m 的汽车, 例2 设有一质量为 = 2500kg 的汽车 在平直的高 的速度行驶. 速公路上以每小时 120km 的速度行驶 若欲使汽车平稳 地停下来, 驾驶员启动刹车装置, 地停下来 驾驶员启动刹车装置 刹车阻力是随时间线 性增加的 , 即Ff = −bt , 其中 b = 3500N·s . 试问此车 经过多长时间停下来. 经过多长时间停下来
v ar
v v a a
r
设两物体相对于地面的加速度分别 v v ，且相对电梯的加速度为 v 为a、 a a
m1 m 2
m1 g − FT = m1a1
1
2
r
a1 = ar - a
m2 g - FT = - m2a2
m1 − m2 ar = ( g + a) m1 + m2
2m1m2 FT = ( g + a) m1 + m2
F k dv a= =− 证明： 证明： Q F = ma 2 = m mx dt a 中不显含时间 t，要进行积分变量的变换 adx = vdv ，
k vdv = − 2 dx mx
v2 k 1 1 = − 2 m x x0
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a=0
轾 r1 - r 2 )g 4π( vL = 犏 r 犏 3´ 0.87 臌
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12
ì 4.86 m?s-1 ï ï ï ï 6.88m?s-1 =í ï ï 8.41m?s-1 ï ï î
r
0.5mm
r 1.0mm r 1.5mm
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高台跳水游泳池的深度. 例4 高台跳水游泳池的深度 为保证跳水运动员从 10m 高台跳入游泳池中的安全 , 规范要求水深必须在 4.50 ~ 5.50m 之间 为什么要做这样的规定呢 ? 之间. 解：1）运动员自由落体入水，速度 ）运动员自由落体入水，
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的物体， 例 质量为 m 的物体，在 F = F0−kt 的外力作用下 沿 x 轴运动，已知 t = 0 时，x0= 0,v0= 0, 求：物体在任 轴运动， 意时刻的加速度 a，速度 v 和位移 x 。 ， 解：
dv F0 − kt = dt
∫
v
0
dv =
由
∫
t
b = 0.5, ρ水 = 1.0 ×103 kg ⋅ m −3 , A = 0.08m 2
水中安全速度
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v0 = 2 gh = 14.0 m/s v v 2）Q r 水 » r 人， F + P = 0 ） \ 1 2 设所受阻力： 设所受阻力： Ff = − b ρ A v 2
−1
v v F F f
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v F Ff
v v v
P
浮 力v
y
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3 ρ1 = 103 kg ⋅ m −, ρ 2 = 1.0kg ⋅ m −3 已知： 已知： Ff = 0.87 r v , .
2 2
解: 雨滴的密度为ρ1, 空气的密度为ρ2 .
dv 浮 v mg − F − Ff = m v 力F dt f 4 3 4 3 dv F 2 2 πr r 1 g - πr r 2 g - 0.87 r v = m 3 3 dt dt v 4 3 dv 2 2 v πr ( ρ1 − ρ 2 ) g − 0.87 r v = m v 3 dt y P 雨滴匀速时
v P
v = 2.0m ⋅ s ；人体质量 m = 50kg = 0.5, ρ水 = 1.0 ×103 kg ⋅ m −3 , A = 0.08m 2 已知：
v0 = 14.0 m/s v = 2.0m ⋅ s
令: k = bρA / 2
−1
m = 50 kg
Ff = − k v
FT − mg cos θ = ma n
− mg sin θ = ma t 2 FT − mg cos θ = mv / l
dv − mg sin θ = m dt dv dv dθ v dv = = dt dθ dt l dθ
o
v v FT e
θ
v v
v et
n
v v 0 mg
2 v = v0 + 2lg (cos θ − 1)
2
dv 2 入水后 Fr = m = − kv dt dv dy dv dv dv k 由 得 ⋅ =v = − dy dt dy dy v m v dv k y ∫v 0 v = − m ∫0 d y
m v 0 50 14 .0 y = ln = ln = 4 .86 m 20 2 .0 k v
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t
0
F0 − kt dt m
有
F0 − kt ∴ dv = dt m F0 k 2 v= t− t m 2m
dx v= dt
dx = vdt
F0 2 k 3 x= t − t 2m 6m
∫0
x
F0 k 2 dx = ∫ ( t − t )d t 0 m 2m
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的物体， 一质量为 m 的物体，最初静止于 x0 处, 在 的作用下沿直线运动， 力 F = − k/x2 的作用下沿直线运动， k 1 1 试证明： 试证明：物体在任意位置 v = 2 − m x x 0 x 处的速度为 例
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雨滴的收尾速度. 例3 雨滴的收尾速度 设半径为r质量为
m的雨滴 从距地面高空某处以速度 140m/s 的雨滴,
落下（相当于声速的 ） 如果这样的雨滴 落下（相当于声速的1/3）.如果这样的雨滴 密集的打在人的身上, 密集的打在人的身上 将会对人造成很大的 伤害. 幸好, 由于大气对雨滴的阻力作用, 伤害 幸好 由于大气对雨滴的阻力作用 使 雨滴的落地速度大为减小, 雨滴的落地速度大为减小 并使雨滴匀速地 落向地面, 这个速度也叫做收尾速度. 收尾速度 落向地面 这个速度也叫做收尾速度 空气 与很多因素有关, 对雨滴的阻力 Ff 与很多因素有关 作为一般 计算, 计算 常用从实验得到的经验公式即 Ff = 0.87r2v2, 式 r 和 v 中分别是雨滴的半 径和速度. 径和速度 试求雨滴的半径分别为 0.5mm、 、 1.0mm 和 1.5mm 时的收尾速度是多少 ?
习题选讲
例 一跳空运动员质量为 80kg，一次从 4000m 高空的飞机 ， 上跳出，以雄鹰展翅的姿势下落， 上跳出，以雄鹰展翅的姿势下落，有效横截面积 A 为 0.6m2。以 计算，他下落的终极 空气密度为 1.2kg/m3，和阻力系数 C = 0.6 计算，他下落的终极 多大？ 速率多大 速率多大？