第五章—经典辨识方法

参数模型辨识方法就其不同的基本原理来说又 可分成三种不同的类型： 第一种称作最小二乘类法。它利用最小二乘 原理，通过极小化广义误差的平方和函数来确 定模型的参数。 第二种称作梯度校正法。它利用最速下降法 原理，沿着误差准则函数关于模型参数的负梯 度方向，逐步修改模型的参数估计值，直至误 差准则函数达到最小值。随机逼近法是颇受重 视的方法之一。 第三种为极大似然法。它根据极大似然原理， 通过极大化似然函数来确定模型的参数。
分子分母阶次根据先验知识和精度事先 选定，定义 G ( s) = K 1
P( s )
a n s n + a n −1 s n −1 + P( s ) = bm s m + bm −1 s m −1 +
∞ + a 2 s 2 + a1 s + 1 = 1 + ∑ ci s i + b2 s 2 + b1 s + 1 i =1
∞
0
( −t )i dt [1 − h ∗ (t )] i!
由于
1 1 = (1 − h (t )) = − s sP( s )
∗
∑c s
i =1 i ∞ i =1
∞
i −1
ci = Ai
∑ ci s
i =1 ∞ i =1 ∞ i −1
1 + ∑ ci s i
1 + ∑ ci s i
= ∑ Mis ⇒
δV1 δ y (t ) δ y ( t ) dθ V1 = = y (t ) δ y (t ) δ t δθ dt
经验表明，多数情况下，沿着 V1 的负梯度方 向调整模型参数 θ ，可使 V1 趋于零或达到最 小值。即参数 θ 的导数取为
第五章 经典的辨识方法
5．1 引
言
•辨识方法的分类 非参数模型辨识方法—经典 辨识方法 参数模型辨识方法-现代辨 识方法
常用的非参数模型
频率特性模型 以频率为自变量的曲线 脉冲响应模型 以单位脉冲信号作为激励信 号的响应曲线，时间作为自变量 阶跃响应模型 以单位阶跃信号作为激励信 号的响应曲线，时间作为自变量
5.3 脉冲响应辨识法
一、系统脉冲响应的辨识 方法一：脉冲响应可由阶跃响应经差分 处理后求得，即 1
g (k ) = T0 [h ( k ) − h ( k − 1)]
T0为采用周期，应充分小。
这是因为对于线性时不变连续系统，当 d δ (t ) = 1(t ) ，其响应也是导数关系 g (t ) = d h(t ) 输入 dt
二、参数模型辨识方法——现 代辨识方法
必须假定一种模型结构，通过极小化模型与系 统之间的误差准则函数来确定模型的参数。如 果模型的结构无法事先确定，则必须利用结构 辨识方法先确定模型的阶次、纯迟延等结构参 数，再进一步确定模型参数。
特点：形式简洁，辨识前一般需要有一定 的先验知识 方法:必须假定一种数学模型，通过极小化 模型与过程之间的误差准则函数来确定模 型的参数。若结构参数未知（阶次、纯延 迟），则应用结构参数辨识方法先确定结 构参数。
An −1 An An + m −2
0 0 A1
An −m −1 ⎤ An −m −2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ An ⎦
−1
⎡ An +1 ⎤ ⎢A ⎥ ⎢ n+2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ An + m ⎦
利用面积法求系统传递函数的关键是计算各阶面积
Ai ,(i = 1, 2, , n + m)
⎡ b1 ⎤ 0⎤ ⎢ ⎥ ⎡ A1 ⎤ ⎥ ⎢ b2 ⎥ ⎢ A ⎥ 0 ⎥⎢ ⎥ + ⎢ 2⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢bm ⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣ An ⎦ ⎢0⎥ ⎣ ⎦
⎡ ∞ F (τ )u(t − τ )dτ ⎤ 1 ⎥ ⎡ S1 (t ) ⎤ ⎢ ∫0 ⎥ ⎢ S (t ) ⎥ ⎢ ∞ 2 ⎢ ∫0 F2 (τ )u(t − τ )dτ ⎥ = ∞ F (τ )u(t − τ )dτ ⎥= S (t ) = ⎢ ⎥ ∫0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ S N (t ) ⎦ ⎢ ∞ ⎥ FN (τ )u(t − τ )dτ ⎥ ⎢ ∫0 ⎣ ⎦
∗ i −1
+ ci −1s i −1 )
∵ e − st
s s2 = 1 + ( −t ) + ( − t ) 2 + 1! 2!
∞ 0
si + ( −t ) i + i!
∞
∴ (1 − h∗ (t )) = ∫ [1 − h∗ (t )]e − st dt =∑ M i s i
i =0
Mi = ∫
当系统能用 来近似描述系统特性时，参 数也可以直接从阶跃响应 曲线上求得。
K G( s) = e −τ s (1 + Ts )n
2、面积法
转化成无因次的形式
当阶跃响应曲线不规则时 （1）面积法的基本原理
bm s m + bm −1s m −1 + + b2 s 2 + b1s + 1 B( s) G(s) = *K = K n n −1 2 an s + an −1s + + a2 s + a1s + 1 A( s ) ( n ≥ m)
1 1 (1 − h∗ (t )) = − = s sP ( s )
ci s i −1 ∑
i =1
∞
1 + ∑ ci s i
i =1
∞
利用终值定理
∞
lim e(t ) = lim sE ( s )
t →∞ s →0
∞ i =1
一阶面积 A1 = ∫ [1 − h∗ (t )] = lim [1 − h∗ (t )] = lim
∑c s
i =1 i
∞
i−2 ∞
(1 + c1s )(1 + ∑ ci s i )
i =1
= c2 定义二阶面积
∗ 再令： {h2 (t )} =
1 s (1 + c1s + c2 s 2 )
t
定义：A3 = ∫
∞
0
∫∫
τ
0 0
∗ [h2 (τ ) − h∗ (τ )]dτ 2 dt = c3
1 其中： {h (t )} = s (1 + c1s + c2 s 2 +
g (t , θ ) = ∑ θi Fi (t ) = F T (t )θ
i =1
N
θ = [θ1 , θ 2 ,
, θ N ]T 是待辨识参数
根据卷积定理，有
N N ∞ ∞ ⎧ y (t ) = ∫ g (τ , θ 0 )u (t − τ )dτ = ∑θ 0i ∫ Fi (τ )u(t − τ )dτ = ∑θ 0i Si (t ) = S T (t )θ 0 ⎪ 0 0 ⎪ i =1 i =1 ⎨ N N ∞ ∞ ⎪ y (t ) = g (τ , θ )u (t − τ )dτ = θ F (τ )u(t − τ )dτ = θ S (t ) = S T (t )θ ˆ ∑ i ∫0 i ∑ii ∫0 ⎪ ⎩ i =1 i =1
0 0 0. 5 1 1.5 2 2.5 3
（3）考虑到实际系统的非线性，应在不 同负荷、不同设定值、不同极性下多次 测定。至少有两条以上的曲线基本一致。 （4）如果过程不允许长时间加阶跃干扰， 应改用矩形波作输入信号。
二、由阶跃响应求过程的传递 函数
近似法 半对数法 切线法 两点法 面积法 特点：阶跃响应只能确定较简单的传递函数。
ˆ ∴ y (t ) = y (t ) − y (t ) = S T (t )(θ 0 − θ ) = S T (t )θ
当 y (t ) 趋于零或达到最小值时所对应的模型参 数就是所需求的系统参数估计值。利用 Lyapunov函数 1 2
V1 = 2 y (t )
Leabharlann Baidu
可以实现这个目标。显然，V1 > 0 ，只要V1 < 0 ， y (t ) 就趋于零或达到最小值。
2 m
m −1
+
+ b2 s + b1 s + 1)(1 + ∑ Ai s i )
2 i =1
∞
比较s的各次幂的系数，有 ⎧
则可求出所有的系数 ai , b j
⎪ a 2 = A2 + b2 + b1 A1 ⎪ ⎪ a 3 = A3 + b3 + b2 A1 + b1 A2 ⎨ ⎪ i −1 ⎪ i = 1,2, , n + m ⎪ai = Ai + bi + ∑ b j Ai − j j =1 ⎩
∞ an s n + an −1s n −1 + + a2 s 2 + a1s + 1 ∵ P( s) = = 1 + ∑ ci s i ⇒ bm s m + bm −1s m −1 + + b2 s 2 + b1s + 1 i =1
a n s + a n −1 s
n
n −1
+
+ a 2 s + a1 s + 1 = (bm s + bm −1 s
0 s →0 s →0
ci s i −1 ∑ 1 + ∑ ci s i
i =1 ∞
= c1
再令
A2 = ∫ = lim
s →0 ∞ t ∗ 1
1 {h (t )} = s (1 + c1s )
∗ 1
∗ t ∗ 1 ∗
0
{h1∗ (t )} − {h∗ (t )} ∫0 [h (τ ) − h (τ )]dτ dt = lim {∫0 [h (t ) − h (t )]dt} = lim s →0 s →0 s
i i =0
∞
ci s i ∑ 1 + ∑ ci s i
i =1 i =1 ∞
∞
= ∑ Mis
i =0
∞
i +1
⇒ (1 + ∑ Ai s )(1 − ∑ M i s i +1 ) = 1
i i =1 i =0
∞
∞
A = M0 ⎧ 1 上式s各次幂项的系数均应为零，故有 ⎪ A = M + AM 2 1 1 0 ⎪ ⎪A3 = M2 + AM1 + A2M0 1 ⎨ j i −1 i −2 ∞ ∞ ( −t ) ( −t ) ⎪ ∗ ∗ Aj = ∫ [1 − h (t )] dt + ∑ Ai − j −1 ∫ [1 − h (t )] ⎪ dt i−2 0 0 (i − 1)! j! = M + A M j =0 ⎪ Ai i−1 ∑ i− j−1 j j=0 ⎩
常用的参数模型
传递函数 状态方程
一、非参数模型辨识方法—经 典辨识方法
前提: 假定系统是线性的，事先不必确定模型 的具体结构，因而这类方法可适用于任意复 杂的系统，工程上至今仍经常采用它。 特点：假定线性的前提下，不必事先确定模 型结构，可适用于任意复杂的线性过程，得 到模型是非参数模型 方法：通过施加特定的实验信号，通过测定 过程输出，可求得这些非参数模型。进而获 得参数模型→传递函数。例如：G ( jω )
dt
方法二：学习法
系统的脉冲响应可以用一族已知的正交 函数集 {F (t )} 表示成 N
i
g (t , θ 0 ) = ∑ θ 0i Fi (t ) = F T (t )θ 0
i =1
同理，模型的脉冲响应表示为
⎧ θ0 = [θ01 ,θ02 , ,θ0 N ]T ⎨ F (t ) = [ F1 (t ), F2 (t ), , FN (t )]T ⎩
1、当阶跃响应曲线比较规则时，近似法， 半对数法、切线法、两点法都能比较有效 地导出传递函数。特别的当能用一个带纯 延时的一阶惯性环节 K −τ s
G( s) = 1 + Ts e
来近似描述系统特性时，参数可以直接从阶 跃响应曲线上求得。使用切线法：
h (∞ ) K= U (∞ )
τ和T由拐点作切线确定
1.5
5．2 阶跃响应法
1
0.5
一、实验测取过程的阶跃响应 实验测量过程中，要做的工作及其注意事项包 括 （1）合理选择阶跃扰动信号的幅度。过小会 造成测试结果不可靠，过大则影响正常工作甚 至危及生产安全。 （2）试验开始前应处于稳定工况。并避免其 它扰动。实验开始后，系统进入新的稳态，实 验才可结束，得到的记录曲线就是过程的阶跃 响应
a1 = A1 + b1
) 注意到 ai = 0(i > n及bi = 0(i > m)，则上式可写成矩阵形式
⎡ b1 ⎤ ⎡ An ⎢b ⎥ ⎢ A ⎢ 2 ⎥ = − ⎢ n +1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ bm ⎦ ⎣ An + m −1
⎡ a1 ⎤ ⎡ 1 ⎢a ⎥ ⎢ A ⎢ 2⎥= ⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ am ⎦ ⎣ An −1 0 1 An −2
经典的辨识方法。
一般方法是： 对系统施加特定的实验信号——测 定过程的输出——非参数模型—— 数学处理——参数模型（传递函 数）。
经典的辨识方法包括五种方法：
·阶跃响应法
脉冲响应法 ·频率响应法 ·相关分析法 ·谱分析法
仅研究SISO线性时不变最小相位系统的辨 识方法。假设噪声是平稳的随机过程，包括 所有可能出现的噪声，且与输入信号是独立 的。并假定已将纯延时时间扣除。