必修5解三角形+数列公式总结

一、解三角形
1、 正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆的外接圆半径） 变形：②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（边化角公式）
③sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R
=
==(角化边公式) ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤
2sin sin sin sin sin sin a b b c c a
R A B B C C A +++===+++
⑥
2sin sin sin a b c
R
A B C ++=++
2、 余弦定理：
定义式：2222
2
2
2222cos 2cos 2cos c a b ab C
a b c bc A b c a ac B
=+-=+-=+-
变形：222222222
cos ,cos ,cos 222a b c c a b b c a C B A ab ac bc
+-+-+-===
3.三角形面积公式：111
sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =
A ==
B 设a 、b 、c 是
C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若2
2
2
a b c +=，则90C =； ②若2
2
2
a b c +>，则90C <，cosC>0；③若2
2
2
a b c +<，则90C >,cosC<0。

二、数列
1.递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +->
2.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-<
3.数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．
4.数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式
5.等差数列：
● 等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+- ● 通项公式的变形：()n m a a n m d =+-；n m
a a d n m
-=
-等差中项：由三个数a ，A ，b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项． ● 若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） ● 若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） ● 若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈
● 若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 ● 若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列 6.等差数列前n 项和：
● 等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=
；②()
112
n n n S na d -=+
● 若项数为()
*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，
1n n S a
S a +=奇偶． ● 若项数为()
*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，
1
S n
S n =
-奇偶 ● 若{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别是n S 和n T ，则有21
21
n n n n a S b T --= 7.等差数列与函数关系：
● 等差数列通项（一次函数形式）
由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

● 等差数列前n 项和公式（二次函数形式）()
112
n n n S na d -=+
可以写成2122n d d S n a n ⎛⎫=
+- ⎪⎝
⎭ 若令1,,22d d
A a
B =-=Bn An n +=2S 8.等比数列：
● 若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则1
1n n a a q -=
● 通项公式的变形：n m n m a a q -=；n m
n
m
a q
a -=
● 等比中项：在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的
等比项。

若2
G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．
● 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*
q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；
若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*
q ∈N ），则2
n p q a a a =⋅
● 公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比
仍为q
● 若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则m n p q a a a a = ● 若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以1
q 为公比的等比数列 ● 等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列 ● 若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列 9.等比数列与指数函数的关系
等比数列{}n a 的通项公式1
11n n
n a a a q
q q
-==
当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q
=
则n
n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。

根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论： （1） 等比数列{}n a 递增⇔
{
101
a q >> 或
{
1001
a q <<< （2） 等比数列{}n a 递减⇔
{
1001
a q ><< 或
{
101
a q <>
（3） 等比数列{}n a 为常数列⇔1q = （4）等比数列{}n a 为摆动数列⇔0q < 9.等比数列求和
等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪
=-⎨-=≠⎪
--⎩
等比数列的前n 项和的性质：
● 等比数列中，连续m 项的和（如232,,,...m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（公比
1q ≠-）
●
{}n a 是公比不为1的等比数列()0n n S Aq B A B ⇔=++=
● 若等比数列的项数为()2k k N +∈，则
S q S =偶奇
；
若等比数列的项数为()21k k N ++∈ ，则S a
S
- 奇/偶q =。