第19届华杯赛初赛小高组卷及参考答案

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛（A）卷
1、平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线相互平行。
(A)0
(B)2
(C)3
(D)4
2、某次考试有 50 道试题，答对一道题得 3 分，答错一道题扣 1 分，不答题不得分。小龙得 分 120 分，那么小龙最多答对了（ ）道试题。
总结:行程问题始终是围绕“路程=速度×时间”展开的，碰到行程问题，首先画出行程图， 明确题目的已知条件，可以通过其隐含的等量关系列方程求解。

6.解析：【知识点】平面几何，割补法
正方形 ABCD 被分成了四个三角形和一个不规则的四边形，我们设法将不规则阴影部分分割 成规则图形，如图过 E 点作 AB 的平行线，过 F 点作 BC 的平行线，过 G 点作 AB 的平行线，过 H 点作 BC 的平行线，四条辅助线的交点为 I、J、K、M ；
3.解析：【知识点】数独，平均数
题目要求的是 A， B， C， D 这四个方格中数的平均数，没必要求出 A， B， C， D 各自对 应的数是多少，求出它们的和即可；
如下图所示，将第四行的四个数字设为分别为 E，F，G，H，每行、每列的四个数都不重复， 且每个纸板内四个格子里的数也不重复，所以，我们可以得到：
行程问题中，有一个重要的公式“路程=速度×时间”，当路程一致时，速度与时间成反比， 我们假定两种情况下都是匀速运动，那么两种情况下，从甲地到丙地的速度比等于从丙地到 乙地的速度比；
从甲地到丙地， t原计划
: t实际
x : (x 5) ，则
v原计划 v实际
x5 x
，
同理，从丙地到乙地， t原计划
: t实际
A B E F 16 C D G H 16
两式相加，得到 A B C D E F G H 32 ，而 E F G H 16 ，所以 A B C D 16 ， 那么，A， B， C， D 四个方格中数的平均数为16 4 4 ； 故正确答案选 A
总结：本题是将数独与平均数放在一起来考，题中只涉及到 1,3,5,7 四个数字，我们可以尝 试着写出符合条件的一种形式，得到 A， B， C， D 的具体值，然后求出平均数；也可以从 整体考虑，直接求出 A， B， C， D 的和，然后求出平均数。
(A)4
(B)5
(C)6
(D)7
4、小明所在班级的人数不足 40 人，但比 30 人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（ ）。
(A)2:3
(B)3:4
(C)4:5
(D)3:7
5、某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地，但出发晚 了 5 分钟，却早到达了 4 分钟。甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的， 那么到达 丙地的时间是（ ）。
那么，根据题目所给出的条件，可以得到：
y x 50 3y (x y) 120
化简得到
y
120 4
x
，当
x
50
时，
ymax
120 4
50
42.5
所以，小龙最多答对 42 道题，并且有两道题没有做；
故正确答案选 B
总结：本题考查的是学生对方程和不等式的理解和应用，求最值问题，我们要考虑极端情况， 并且要满足题目中的一些其他限制条件，比如本题中小龙答对的题目应该是整数。
（1）当四条直线都不平行的时候，图 a 将平面分成 8 部分，图 b 将平面分成 10 部分，图 c 将平面分成 11 部分； （2）当有两条直线平行时，图 d 将平面分成 10 部分，图 e 将平面分成 9 部分，图 f 将平面 分成 9 部分；
（3）当有三条直线平行时，图 g 将平面分成 8 部分； （4）当四条直线都平行时，图 h 将平面分成 5 部分； 上面列出了四条直线能将平面分成几部分的所有可能，只有当四条直线都交于一点，或者有 三条直线平行的时候，平面可以被分成 8 部分； 所以，平面上的四条直线将平面分割成八个部分，这四条直线中至多有 3 条直线相互平行； 另外，我们考虑当四条直线都平行时，平面被分成 5 部分，那么 4 显然不满足题意，而当有 三条直线平行时，构成一个“丰”字形，平面恰好被分成 8 部分； 所以，平面上的四条直线将平面分割成八个部分，这四条直线中至多有 3 条直线相互平行； 故正确答案选 C 总结：本题考查得是平面想象能力，属于“切蛋糕问题”中的平面分割题，我们只需要将所 有可能列举出来，找出符合条件的选项；也可以采用排除法，将“4”这个选项排除，而“3” 恰好满足条件，那么，至多就是 3 个。 2.解析：【知识点】方程，不等式，最值问题 设这 50 道题中，小龙做了 x 道题，也就是说 50 x 道题没有做，而在这 x 道题中，假设小龙做 对了 y 道题，也就是说他做错了 x y 道题；
被标记在点上。每个点可能不只标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是 ________。 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛（A）卷 1.解析：【知识点】空间想象能力，实际操作能力 平面上总共有四条直线，那么这四条直线的位置关系总共有四种可能，即四条直线都不平行， 有两条直线相互平行，有三条直线相互平行，四条直线相互平行； 针对每一种情况，我们画图分析，如下：
（B）男、女生人数的比为 3:4，那我们设男生 3 份，女生 4 份，总人数为 7 份，而总人数大 于 30 且小于 40，当每份的人数为 5 人，即男生 15 人，女生 20 人时，总人数为 35 人，符合 题意；
（C）男、女生人数的比为 4:5，那我们设男生 4 份，女生 5 份，总人数为 9 份，而总人数大 于 30 且小于 40，当每份的人数为 4 人，即男生 16 人，女生 20 人时，总人数为 36 人，符合 题意； （D）男、女生人数的比为 3:7，那我们设男生 3 份，女生 7 份，总人数为 10 份，而大于 30 且小于 40 的数里面没有能被 10 整除的，不符合题意； 故正确答案选 D 总结：本题是将比例应用题与数论中的整除放在一起来考查，碰到比例问题，通常我们设“份 数”来解决，而本题中每份的人数应该是整数，所以要满足整除这一条件。 5.解析：【知识点】行程问题 题目给出了原计划和实际两种情况下从甲地到乙地所花费的时间，一个主体，两次运动；碰 到行程问题，我们首先要画出行程图，然后根据题目所给出的条件来求解，下面分别画出原 计划与实际情况下，从甲地到乙地的运动状况；
原计划：从甲地到乙地，所花费的时间为 180 分钟，我们设从甲地到丙地所用时间为 x 分钟， 则从丙地道乙地所用时间为180 - x 分钟； 实际：从甲地到乙地，所花费的时间为 180-9=171 分钟，而到达丙地的时间与原计划时间一 致，那么实际情况下，从甲地到丙地所用的时间为 x 5 分钟，则从丙地道乙地所用时间为 171 (x 5) 176 x 分钟；
(180
x) : (176
x) ，则
v原计划 v实际
176 180
x x
，
那么，可以得到 x 5 176 x ，化简得到 x 100 ，
x 180 x
所以，原计划从甲地到丙地所用时间为 100 分钟，而原计划是 10:10 出发的，所以到达丙地 的时间为 11:50；
故正确答案选 B
(A)11 点 40 分
(B)11 点 50 分
(C)12 点
(D)12 点 10 分
6、如右图所示， AF 7cm, DH 4cm, BG 5cm, AE 1cm ，若正方形 ABCD 内四边形 EFGH 的面 积为 78cm2 ，则正方形的边长为（ ）。
(A)10
(B)11
(C)12
(D)13
8、甲乙同时出发，他们的速度如下图所示，30 分钟后，乙比甲一共多行走了________米。
9、四个黑色 1×1×1 的正方体和四个白色 1×1×1 的正方体可以组成________种不同的 2×2×2 的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）。
10、在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2， 隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作， 直到 1，2，3，…，2014 都
(A)40
(B)42
(C)48
(D)50
3、用左下图的四张含有 4 个方格的纸板拼成了右下图所示的图形。 若在右下图的 16 个方格 分别填入 1， 3， 5， 7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复， 且每 个纸板内四个格子里的数也不重复，那么 A， B， C， D 四个方格中数的平均数是（ ）。
4.解析：【知识点】比例问题，整除的概念及意义
题目要选出四个选项中不可能的那一个，那我们就逐个来分析；
（A）男、女生人数的比为 2:3，那我们设男生 2 份，女生 3 份，总人数为 5 份，而总人数大 于 30 且小于 40，当每份的人数为 7 人，即男生 14 人，女生 21 人时，总人数为 35 人，符合 题意；
我们发现，甲、乙的速度都是随时间而变化的，但是在每一小段时间里，速度又是恒定的， 通过划分时间段求出他们每一小段时间内形式的路程，各段相加，求出 30 分钟行驶的总路程；
时间段 速度（米/ 路程（米） （分） 分）
时间段 速度（米/ 路程（米）
（分）
分）
甲
0 ~ 10
100
1000
0 ~ 20
100
已知，AF 7cm, DH 4cm ，那么 IJ KM 7 4 3cm ，BG 5cm, AE 1cm ，JK MI 5 1 4cm ， 那么矩形 IJKM 的面积为 4 3 12cm2 ，则除去矩形 IJKM ，阴影部分剩余的面积为 78 -12 66cm2 ， 因为 SAFE SEFJ ， SFBG SFKG ， SGCH SGMH ， SDHE SEHI ，所以阴影部分剩余的面积就 等于空白部分的面积，即 S空白 66cm2 ，那么正方形 ABCD 的面积为 66 2 12 144cm2 ，则正 方形正方形 ABCD 的边长为12cm 。