(点集拓扑学拓扑)知识点

第4章连通性重要知识点

本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用•这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间.

§ 4. 1连通空间

本节重点：掌握连通与不连通的定义.

掌握如何证明一个集合的连通与否？

掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。

我们先通过直观的方式考察一个例子•在实数空间R中的两个区间（0, I）和］1, 2）, 尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U :1, 2） = （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1, 2）,它们的并（0, 1）U （1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, I）有一个凝聚点1在］1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中. 我们通过以下的定义，用

术语来区别这两种情形.

定义4. 1. 1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果

（A - B）（B - A）二•一

则称子集A和B是隔离的.

明显地，定义中的条件等价于 A r B =、和B r A二.一同时成立，也就是说，A 与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.

应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1）和（1, 2）是隔离的，

而子集（0, I ）和［1 , 2）不是隔离的.

又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个

无交的子集都是隔离的.

定义4. 1. 2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A U B,则称X 是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.

显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间.

定理4. 1. 1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：

（1）X是一个不连通空间；

（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A A B= •一和A U B = X成立；

（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A A B= •一和A U B = X成立；

（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集.

证明（I）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得

A U

B = X，显然A A B= •_ ,并且这时我们有

B = B 一X = B「（A 一B）=（B 一A）一（B 一B）= B

因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B

满足条件（2）中的要求.

（2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于

这时有 A = B，和B= A，因此A、B也是开集，所以A和B也满足条件（3）中的要求.

（3）蕴涵（4）.如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B是开集，则由A = B ■和B= A易见A和B都是X中的闭集，因此A、B是X中既开又闭的真

A、B丰、,A U B=X ,••• A、B丰X）子集，所以条件（4）成立.

（4）蕴涵（l）.设X中有一个既开又闭的非空真子集 A .令B= A .则A和B都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得 A U B=X .易见两个无交的闭子集必定是隔离的

（因为闭集的闭包仍为自己）.因此（I）成立.

例4. 1 . 1有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间•这是因为对于任何一个无理数r € R-Q，集合（-3 r）n Q=（-^, r] n Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.

定理4. 1. 2 实数空间R是一个连通空间.

证明我们用反证法来证明这个定理.

假设实数空间R是不连通空间.则根据定理4. 1. 1,在R中有两个非空闭集A和B

使得A n B= 和A U B = R成立.任意选取a€ A和b € B，不失一般性可设a v b.令A=A n [a,b]，和B=B n [a,b].于是A和B是R中的两个非空闭集分别包含a和b,并且使得A n

B=0和A U B=[a, b]成立.集合A有上界b,故有上确界，设为b .由于A是一个闭集，所以~ €

A ,并且因此可见~ v b，因为~ = b将导致b € A n B，而这与A n B=0矛盾.因此（b , b] u

B .由

于E3是一个闭集，所以b € B .这又导致b € A n B，也与A n B =0 矛盾.

定义4. 1. 3设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y 是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集.

拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关（即Y的连通与否与X的连通与否没有关系.）.因此，如果Y Z X，则丫是X的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集.这一点后面要经常用到.

定理4. 1. 3设Y是拓扑空间X的一个子集，A , B Y .贝U A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.

因此，Y是X的一个不连通子集当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A

U B = Y（定义）当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A U B = Y .

证明因为

（C Y（A厂B）一（C Y（B）■ A）二（（C X（A厂丫厂B）一（（C X（B厂丫厂A）二（C X（A） - （丫一B））_• （C X（B） - （丫一A））二（C X

（AT B）_• （C X（B厂A）因此根据隔离子集的定义可见定理成立.

定理4. 1. 4设Y是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A和B使

得Y A U B，则或者Y A，或者Y B.

证明如果A和B是X中的隔离子集使得Y AUB，贝U

((A - Y) - B - Y) 一((B - Y) - A - Y)

(A - Y - B) 一(B - Y - A)

=Y - ((A - B) (B - A)=..

这说明A n Y和B n Y也是隔离子集.然而