(点集拓扑学拓扑)知识点
拓扑学复习
定理：设X是一个集合，B 是X的一个子集族， 若满足(1) B X
B B
(2)如果B1，B2∈B ，x∈ B1∩B2，那么存在B3 ∈B ， 使得x∈ B3 B1∩B2 则X存在唯一拓扑T ，使得 B为T的基。 注：① 称T 为由B 生成的拓扑； ② 反之，X的基必满足以上(1)和(2)； 定理：设X是一个集合，S 是X的一个子集族， 若满足 S X 则X存在唯一拓扑T 以S为子基。 SS （例）
2、特殊集合与特殊点 设(X, T )为拓扑空间，A X，x∈ X， 1）邻域、邻域系 A称为点x的邻域 存在V ∈ T ，使得x∈ V A x的所有邻域构成的集族称为点x的邻域系，记为Ux （开邻域） 2）内点、内部 x称为A的内点 存在V ∈ T ，使得x∈ V A A的所有内点构成的集合称为A的内部，记为A0 U ∈Ux使得U∩(A-{x})≠ 3） x称为A的凝聚点 A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记为d(A) 4)闭包 A∪ d(A)称为A的闭包，记为 A U ∈Ux使得U∩A≠ 注意：(闭包点的充要条件）x∈ A 5) 边界点、边界 x称为A的边界点 U∈Ux使得U∩A≠ 且U∩ A≠ A的所边界点构成的集合称为A的边界，记为 ( A)
性、对称性和三角不等式, 则称是X的一个度量. (X, )称为度量空间, (x, y)表示两点x, y之间的 距离.
例 实数空间R. (x,y)=|x-y|,
R的通常度量.
(2)定义 设(X, )是度量空间. B(x, )={yX | (x, y)<} 称为以x为心, 为半径的球形邻域. (3)定义 X的子集A称为(X, )的开集, 若aA, ε>0, 使B(a, ε)A. 注：每一球形邻域是开集. 实数空间 R中的开区间是开集.
《点集拓扑学》课件
映射度定理
要点一
总结词
该定理给出了一个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质 的条件。
要点二
详细描述
映射度定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它提供了一 个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质的条件。具体来 说，如果一个映射在两个拓扑空间之间是同胚的，那么这 个映射将一个空间的开集映射到另一个空间的开集，或者 将一个空间的闭集映射到另一个空间的闭集。这个定理在 研究拓扑空间的性质和映射的性质时非常有用。
02
紧致性
如果一个拓扑空间中的任意开覆 盖都有有限子覆盖，则称该空间 是紧致的分离公理可以推导出紧致性，反 之则不成立。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
重要的拓扑结构
欧几里得空间
欧几里得空间是点集拓扑学中最 基础的空间，它由满足距离公理
在物理学中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数是一种定义在 点集上的复值函数。点集拓扑学为理 解波函数的性质和行为提供了重要的 理论支持。
流体动力学
流体动力学中的某些问题，如涡旋的 形成和演化，需要用到点集拓扑的知 识来描述和解释。
在计算机科学中的应用
计算几何
计算几何是计算机科学中一门研究几何对象离散表示和计算的学科。点集拓扑学为计算几何提供了基础理论和方 法。
莫尔斯-斯梅尔定理
总结词
该定理表明，对于一个可微分的闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同 胚的映射。
详细描述
莫尔斯-斯梅尔定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它指出对于一个可微分的 闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同胚的映射。这个定理在研究连续 映射和同胚映射的性质时非常有用，特别是在处理一些复杂的几何问题时。
点集拓扑知识点总结
一、点集拓扑学的基本概念1. 拓扑空间的概念拓扑空间是点集拓扑学中的一个基本概念，它是一个具有一定性质的集合，其定义是一个集合X，以及X的子集族T，称为X上的一个拓扑结构，满足以下条件：（1）空集和全集都属于T（2）任意两个元素的交集属于T（3）任意有限个元素的并集属于T拓扑结构T的元素称为开集，满足这些条件的集合X称为拓扑空间。
2. 拓扑结构的生成拓扑结构可以由邻域系统、基本开集系统或者距离函数生成。
通常我们可以通过指定一组生成元素，然后利用生成元素的运算得到拓扑结构。
3. 连通性连通性是点集拓扑学中一个重要的概念，它描述了集合的整体性质。
一个集合如果可以被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是不连通的；反之，如果一个集合不能被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是连通的。
4. 紧性紧性是一种覆盖性质，描述了集合上开覆盖的性质，一个集合如果任何开覆盖都存在有限子覆盖，则称该集合是紧的。
二、拓扑空间上的映射1. 连续映射拓扑空间之间的映射称为连续映射，一个映射如果满足对于任意开集的原像都是开集，则称该映射是连续的。
2. 同胚映射一个双射且连续的映射称为同胚映射，它描述了两个拓扑空间之间的等同性质。
3. 全局性质全局性质是指拓扑空间中全体元素的性质，例如紧性、连通性等。
1. 度量空间度量空间是一种特殊的拓扑空间，它可以通过度量函数来定义拓扑结构。
度量空间的拓扑结构由度量函数生成。
2. 离散拓扑离散拓扑是一种特殊的拓扑结构，它的开集是所有单点集和空集的组合。
它是最精细的拓扑结构。
3. 有限开拓扑有限开拓扑是一种限制了开集数量的拓扑结构，它适用于有限集的拓扑结构定义。
四、点集拓扑的应用1. 分析学拓扑学在分析学中有广泛的应用，比如连续函数的性质、紧性和连通性对于函数的性质有很大的影响。
2. 几何学拓扑学在几何学中有着举足轻重的地位，比如拓扑不变性理论、同伦理论等都是几何学中重要的研究方向。
3. 应用数学拓扑学在应用数学中有广泛的应用，比如网络结构的分析、信号传输的优化等都涉及到拓扑学的知识。
(点集拓扑学拓扑)知识点(可打印修改)
第4章 连通性重要知识点本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间本节重点: 掌握连通与不连通的定义.掌握如何证明一个集合的连通与否?掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果∅=⋂⋃⋂()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的．明显地，定义中的条件等价于 和 同时成立，也就是说，A ∅=⋂B A ∅=⋂A B 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的．又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l ）X 是一个不连通空间；（2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B= 和 A ∪B ＝ X 成立；∅（3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B= 和 A ∪B ＝ X 成立；∅ （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得A ∪B ＝X ，显然 A ∩B=，并且这时我们有∅ BB B A B B A B X B B =⋂⋃⋂=⋃⋂=⋂=)()()(因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求．（2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集，则由于这时有A ＝B /和B=，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要A '求．（3）蕴涵（4）．如果X 的子集A 和B 满足条件（3）中的要求，所以A 、B 是开集，则由A ＝和B= 易见A 和B 都是X 中的闭集，因此A 、B 是X 中既开又闭的真B 'A '（∵A 、B ≠，A ∪B=X ，∴A 、B ≠X ）子集，所以条件（4）成立．∅ （4）蕴涵（l ）．设X 中有一个既开又闭的非空真子集A ．令B=．则A 和B 都是A 'X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A ∪B=X ．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l ）成立．例4. 1．1 有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r ∈R-Q ，集合（-∞，r ）∩Q ＝（－∞，r]∩Q 是子空间Q 中的一个既开又闭的非空真子集．定理4．1．2 实数空间R 是一个连通空间．证明 我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R 是不连通空间．则根据定理4．1．1，在R 中有两个非空闭集A 和B 使得A ∩B= 和 A ∪B ＝ R 成立．任意选取a ∈A 和b ∈B ，不失一般性可设a ＜b ．令∅=A ∩[a,b]，和=B ∩[a,b]．于是和是R 中的两个非空闭集分别包含a 和b ，并且A ~B ~A ~B ~使得∩=和∪=[a ，b]成立．集合有上界b ，故有上确界，设为．由于A ~B ~∅A ~B ~A ~b ~是一个闭集，所以∈，并且因此可见＜b ，因为＝b 将导致b ∈∩，而这A ~b ~A ~b ~b ~A ~B ~与∩=矛盾．因此（，b]．由于是一个闭集，所以∈．这又导致A ~B ~∅b ~⊂B ~B ~b ~B ~∈∩，也与∩=矛盾．b ~A ~B ~A ~B ~∅ 定义4．1．3设Y 是拓扑空间X 的一个子集．如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称Y 是X 的一个不连通子集．拓扑空间X 的子集Y 是否是连通的，按照定义只与子空间Y 的拓扑有关(即Y 的连通与否与X 的连通与否没有关系.)．因此，如果，则Y 是X 的连通子集当且仅X Z Y ⊂⊂当Y 是Z 的连通子集．这一点后面要经常用到．定理4．1．3 设Y 是拓扑空间X 的一个子集，A ，B Y ．则A 和B 是子空间Y 中⊂的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔离子集．因此，Y 是X 的一个不连通子集当且仅当存在Y 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y(定义)当且仅当存在X 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y ．证明 因为))(())(())()(())()(()))((()))((())(())((A B C B A C A Y B C B Y A C A Y B C B Y A C A B C B A C X X X X X X Y Y ⋂⋃⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋃⋂因此根据隔离子集的定义可见定理成立．定理4．1．4 设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集．如果X 中有隔离子集A 和B 使得 Y A U B ，则或者 Y A ，或者 Y B ．⊂⊂⊂ 证明 如果A 和B 是X 中的隔离子集使得Y AUB ，则⊂∅=⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂⊂⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂()((()()(()((A B B A Y A Y B B Y A Y A Y B Y B Y A 这说明A ∩Y 和B ∩Y 也是隔离子集．然而（A ∩Y ）∪（B ∩Y ）＝（A ∪B ）∩Y ＝Y因此根据定理4．1．3，集合A ∩Y 和B ∩Y 中必有一个是空集．如果 A ∩Y=，据上式∅立即可见 Y B ，如果 B ∩Y ＝ ，同理可见Y A ．⊂∅⊂ 定理4．1．5设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X 满足条件．则 ⊂Y Z Y ⊂⊂Z 也是X 的一个连通子集．证明 假设Z 是X 中的一个不连通子集．根据定理4．1．3，在 X 中有非空隔离子集A 和B 使得Z=A ∪B ．因此 Y AUB ．由于Y 是连通的，根据定理4．1．4，⊂或者Y A ，⊂∅=⋂=⇒∅=⋂⊂⋂⇒⊂⊂B Z B B A B Z A Y Z Q 或者Y B,同理,。
点集拓扑的基本概念
点集拓扑的基本概念点集拓扑是数学中的一个重要分支，它研究的是集合上的拓扑结构，主要关注集合中元素之间的邻近关系和连通性质。
在点集拓扑中，最基本的概念包括拓扑空间、开集、闭集、邻域、极限点等，这些概念构成了点集拓扑的基础。
本文将介绍点集拓扑的基本概念，帮助读者更好地理解这一领域的知识。
1. 拓扑空间拓扑空间是点集拓扑理论中的核心概念，它是一个集合X上的拓扑结构。
具体来说，拓扑空间是一个有序对(X, τ)，其中X是一个集合，τ是X上的一个拓扑结构，满足以下三条性质：（1）X和空集∅都是τ的元素；（2）任意多个τ的元素的交集仍然是τ的元素；（3）任意多个τ的元素的并集仍然是τ的元素。
在拓扑空间中，τ的元素被称为开集，满足上述性质的集合族τ称为拓扑。
2. 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个基本的概念。
开集是指拓扑空间中的一个子集，满足该子集的任意一点都是该子集的内点。
闭集是指拓扑空间中的一个子集，满足该子集包含了它的所有极限点。
3. 邻域邻域是点集拓扑中的一个重要概念，它描述了一个点周围的局部结构。
给定拓扑空间X和其中的一个点x，邻域是指包含x的一个开集。
换句话说，邻域是指包含x的一个“小空间”。
4. 极限点极限点是指集合中的一个点，满足任意包含该点的邻域都与集合中的其他点相交。
换句话说，极限点是集合中的一个点，可以用来描述集合的边界性质。
5. 连通性在点集拓扑中，连通性是一个重要的性质，用来描述拓扑空间的整体连通性。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能被分解为两个非空的、不相交的开集。
换句话说，连通性描述了拓扑空间的整体连通性和完整性。
通过对点集拓扑的基本概念的介绍，我们可以更好地理解拓扑空间、开集、闭集、邻域、极限点等概念在数学中的重要性和应用价值。
点集拓扑作为数学中的一个重要分支，不仅有着深厚的理论基础，还在实际问题的建模和求解中发挥着重要作用。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解点集拓扑的基本概念，为进一步深入学习和研究打下坚实的基础。
点集拓扑知识点梳理
点集拓扑知识点梳理点集拓扑是数学中的一个分支，主要研究的是集合上的拓扑结构和性质。
在点集拓扑中，我们关注的是集合中的元素之间的关系，而不关心元素的具体性质。
点集拓扑的研究对象可以是有限集合、无限集合，甚至是无穷集合。
点集拓扑研究的核心概念是拓扑空间。
拓扑空间由一个非空集合和在这个集合上定义的一组特定的性质组成。
这些性质称为开集公理，它们描述了集合中元素之间的开放性。
在点集拓扑中，我们通常关注以下几个重要的概念：1.开集和闭集：在拓扑空间中，开集是指集合中的每个元素都是内点的集合。
闭集则是指集合中包含了所有的极限点的集合。
开集和闭集是拓扑空间中最基本的性质，它们有着重要的性质和相互关系。
2.连通性：一个拓扑空间是连通的，如果它不能被分解成两个非空不相交的开集。
连通性是点集拓扑中一个重要的性质，它可以用来描述集合的整体性质。
3.紧性：在拓扑空间中，紧性是指空间中的任意开覆盖都可以找到有限子覆盖的性质。
紧性是点集拓扑中一个重要的性质，它可以用来描述集合的紧凑性。
4.序列和极限点：在拓扑空间中，序列是指集合中的一组元素按照某种顺序排列而成的。
极限点是指序列中的元素在拓扑空间中趋向于某一点的概念。
序列和极限点是点集拓扑中用来描述元素之间距离关系的重要工具。
5.连续映射：在拓扑空间中，连续映射是指两个拓扑空间之间的映射，它保持了拓扑空间中开集的性质。
连续映射是点集拓扑中一个重要的概念，它描述了元素之间的映射关系。
点集拓扑是数学中一个重要的分支，它不仅在数学研究中有着广泛的应用，而且在其他学科中也有着重要的作用。
在物理学中，点集拓扑可以用来描述物体在空间中的形状和结构；在计算机科学中，点集拓扑可以用来描述计算机网络中的通信和连接关系。
总之，点集拓扑是数学中一个重要的分支，它研究的是集合上的拓扑结构和性质。
在点集拓扑中，我们关注的是集合中元素之间的关系，而不关心元素的具体性质。
点集拓扑的核心概念包括开集和闭集、连通性、紧性、序列和极限点以及连续映射等。
点集拓扑讲义知识点总结
点集拓扑讲义知识点总结一、拓扑空间基本概念1.1 集合和拓扑空间在点集拓扑学中，最基本的两个概念就是集合和拓扑空间。
集合是元素的无序集合，而拓扑空间是一个集合，其中定义了一种称为拓扑结构的特定结构。
这个结构用来描述集合中元素的“接近”或“相邻”的概念。
1.2 拓扑结构拓扑结构定义了哪些子集被认为是开集，从而为集合赋予了拓扑性质。
具体来说，给定一个集合X，如果满足以下条件：（1）空集和X本身是开集；（2）任意开集的任意并集仍然是开集；（3）有限个开集的任意交集仍然是开集。
那么这个集合X连同其定义的拓扑结构称为一个拓扑空间。
1.3 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个非常重要的概念。
开集是指每个点都包含在集合内部的集合，闭集则是指包含了其边界的集合。
开集和闭集的性质和运算是拓扑学中的基础。
1.4 拓扑空间的连通性拓扑空间的连通性描述了空间内部的连通性质，一个拓扑空间如果不是两个不相交开集的并，则称为连通的。
连通性质是描述空间整体结构的一种重要方式。
二、拓扑空间的结构和性质2.1 度量空间和拓扑空间度量空间是一种拥有度量的拓扑空间，度量是一种满足一系列性质的函数，用来度量空间中两点之间的距离。
度量空间可以定义一种称为度量拓扑的拓扑结构，这种拓扑结构给出了空间中点的“接近”概念。
2.2 Hausdorff空间Hausdorff空间是指任意两个不同的点都存在不相交的邻域的拓扑空间。
这种空间具有较强的分离性质，能够更好地描述空间中点的位置关系。
2.3 紧空间在拓扑学中，紧空间是指任何开覆盖都存在有限子覆盖的空间。
紧空间具有重要的性质，例如有限覆盖性质和闭性性质，这些性质在分析和拓扑学的研究中有着重要的应用。
2.4 连通空间连通空间是指空间中不存在非空且既开又闭的子集的空间。
换句话说，连通空间是指空间中的点在拓扑上是连续的，没有间断。
这是拓扑空间中另一个极为重要的性质。
2.5 分离性和局部性在拓扑学中，还存在一些描述拓扑空间性质的分离性和局部性定理，包括T0空间、T1空间、T2空间等概念。
拓扑学中的点集拓扑理论
拓扑学中的点集拓扑理论拓扑学是数学中研究空间的性质和结构的学科，而点集拓扑理论则是拓扑学的一个重要分支。
在点集拓扑理论中，我们研究的是点集及其子集之间的联系和性质，并通过定义拓扑空间，引入拓扑结构来研究这些问题。
本文将介绍拓扑学中的基本概念、基本性质以及一些相关应用。
一、基本概念1. 点集在拓扑学中，点集是指由一些点组成的集合。
这些点可以是实数、复数、向量等数学对象，也可以是一般的集合。
我们研究的对象主要是点集及其子集之间的关系。
2. 拓扑空间拓扑空间是指一个集合X以及X上的一个拓扑结构T的有序对(X, T)。
其中，X是点集，T是X上的一些子集构成的集合，满足以下性质：（a）X和空集∅都属于T；（b）任意多个集合的并集属于T；（c）有限个集合的交集属于T。
3. 开集与闭集在拓扑空间中，如果一个集合属于拓扑结构T，则称其为开集；如果一个集合的补集属于拓扑结构T，则称其为闭集。
4. 连通性连通性是指拓扑空间中无法拆分为两个非空、不相交开集的性质。
若一个空间既非空也不是整个空间，则称其为连通的；否则称其为不连通的。
二、基本性质1. 连通性的等价性对于拓扑空间X，以下三个命题是等价的：（a）X是连通的；（b）X中任意两点之间存在连通子集；（c）X中任意两点之间的道路连续子集。
2. 拓扑空间的同胚两个拓扑空间(X, T)和(Y, U)如果存在一个双射f：X→Y，使得f和f的逆映射都是连续映射，则称(X, T)与(Y, U)同胚。
同胚的概念可以理解为两个空间在拓扑结构上完全相同。
三、相关应用1. 图论中的拓扑排序拓扑排序是指对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)的所有顶点进行线性排序，使得若存在一条从顶点u到顶点v的路径，则在排序中u一定在v之前。
拓扑排序在任务调度、编译顺序以及依赖关系分析等领域有广泛应用。
2. 数据分析中的聚类与分类在数据分析中，将样本点抽象成点集，并通过拓扑结构来描述样本之间的关系。
点集拓扑讲义
连通性和道路连通性
连通性的定义：如果点集中的任意两点都可以通过点集中的一条路径相连则称该点集是连通的。
道路连通性的定义：如果存在一条路径使得点集中任意两点都可以通过这条路径相连则称该点集是道路连通的。
连通性与道路连通性的关系：如果一个点集是连通的那么它一定是道路连通的；反之则不一定成立。
连通性和道路连通性的应用：在几何学、图论等领域中连通性和道路连通性是重要的概念对于研究点集的拓扑性 质和结构具有重要意义。
定理和性质的应用
定理和性质在数学领域中 的应用
在物理问题中的具体应用
在计算机科学中的实际应 用
在其他领域中的应用和推 广
在几何学中的应用
拓扑不变性：点集拓扑学中的概念指在拓扑变换下保持不变的性质。 几何结构：研究几何对象的拓扑性质如连通性、紧致性等。 流形：在点集拓扑学中流形是一类特殊的拓扑空间可以用来研究几何对象的形状和结构。 组合几何：利用点集拓扑学中的方法研究几何形状的组合和构造。
添加标题
同胚：在点集拓扑中如果存在一个从拓扑空间到拓扑空间B的连续映射并且这个映射可以逆向地由一个 从拓扑空间B到拓扑空间的连续映射构成则称拓扑空间与拓扑空间B同胚。
分离公理和紧致性
分离公理：点集拓扑中的基本性质指对于任意两个 不同的点存在一个开邻域不包含另一个点。
紧致性：点集拓扑中的基本性质指一个点集是紧致 的当且仅当它的闭包等于自身。
基的概念：拓扑空间中一个重要的概念是用来定义空间的拓扑结构的。基由若干个开集组成 满足一定的性质。
基的分类：根据基的性质可以将基分为第一类基和第二类基。第一类基是可数的第二类基是 不可数的。
基的性质：基具有连通性、可数性、分离性等性质这些性质对于研究拓扑空间的性质和结构 非常重要。
点集拓扑知识归纳总结
第二章 拓扑空间2.1拓扑空间的概念2.1.1拓扑定义2.1.1设X 是一集合，T 是X 的一子集族。
如果T 满足：（1）,X T ∅∈；（2）有限交封闭；（3）任意并封闭。
则称T 为X 上的一拓扑，而T 的成员叫X 的开集。
例：{},T X =∅叫X 上的平庸拓扑；{}A |A T X =⊆叫X 上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 Y 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上Y 即可。
定义2.1.3 设(X,T )是拓扑空间，∼是X 上的等价关系，等价类的集合为[]{}/|X x x X =∈∼，自然投影:/p X X →∼定义为()[]p x x =。
令(){}1//|T U X p U T −=⊆∈∼∼叫/X ∼上的商拓扑，()/,/T X ∼∼叫商空间。
下面证明/T ∼是/X ∼上拓扑。
(1)由于()1p T −∅=∅∈，()1/p X X T −=∈∼，即,//X T ∅∈∼∼；(2)设/A T ⊆∼为有限集，由于()11U U U A Ap p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∩∩，且满足()1p U T −∈，由拓扑T 对有限交封闭有，()1U A p U T −∈∈∩，从而U U /AT ∈∈∼∩；(3) /A T ∀⊆∼，由于()11U U A Ap U p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪∪，类似地，由拓扑T 对任意并封闭有，()1U A p U T −∈∈∪，从而U /AU T ∈∈∼∪。
综上所述，/T ∼是/X ∼上拓扑。
定理2.1.1设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，则（1）,X F ∅∈；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。
定理2.1.2设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，Y ⊆ X，则Y |F 是Y 作为子 空间的闭集族。
2.1.2 领域系定义2.1.5设X 是拓扑空间，包含x 的开集叫x 的开领域。
定义2.1.6设X 是拓扑空间，如果A 内存在x 的开领域，则称A 是x 的领域。
点集拓扑关系知识点总结
点集拓扑关系知识点总结1. 拓扑空间拓扑空间是点集拓扑的基础概念，它是一个集合和该集合上的一组子集的组合。
这组子集需要满足一定的性质，使得在这个集合上能定义一种拓扑结构。
具体来说，拓扑空间需要满足以下几个条件：（1）空集和整个集合本身是拓扑空间的子集；（2）有限个开集的交集仍然是开集；（3）任意多个开集的并集仍然是开集。
根据这些性质，我们可以定义一个拓扑空间。
拓扑空间上的这种拓扑结构能够帮助我们研究集合内部的性质，比如连通性、紧性、收敛性等。
2. 连通性在拓扑空间中，我们可以定义连通性，用来描述集合内部的结构。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不是两个不相交的开集的并集。
换句话说，如果一个拓扑空间的任意开集要么是整个空间本身，要么是空集，那么它就是连通的。
连通性是拓扑空间中的一个基本性质，它描述了集合内部的连接程度。
比如在欧几里得空间中的直线、圆周等都是连通的，而两个不相交的点是不连通的。
3. 紧性紧性是拓扑空间的另一个重要性质，它描述了集合上的一种紧凑性。
一个拓扑空间被称为紧的，如果它的任意开覆盖都有有限子覆盖。
也就是说，如果一个拓扑空间上的任意开集族都存在有限个开集，这个有限个开集的并集覆盖了整个空间，那么这个空间就是紧的。
紧性是拓扑空间中的一个重要性质，它和连通性一样，可以帮助我们研究集合内部的结构。
在欧几里得空间中，有界闭区间是紧的，而非有界闭区间则不是紧的。
4. 度量空间度量空间是点集拓扑中的一个重要概念，它是一个集合和该集合上的一种度量的组合。
度量空间上的度量可以帮助我们定义集合上的距离，从而研究集合内部的性质。
度量空间需要满足以下几个条件：（1）非负性：对于任意两个点x和y，它们之间的距离需要大于等于零；（2）同一性：对于任意两个点x和y，它们之间的距离等于零当且仅当x和y是同一个点；（3）对称性：对于任意两个点x和y，它们之间的距离和y和x之间的距离是相等的；（4）三角不等式：对于任意三个点x、y和z，它们之间的距离满足不等式d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)。
拓扑学中的点集拓扑理论
拓扑学中的点集拓扑理论拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间和其性质的结构。
在拓扑学中，点集拓扑理论是其基础和核心部分。
本文将介绍点集拓扑理论的基本概念、性质以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念：1. 点集：在拓扑学中，点集是指一组点的集合。
可以是有限的或者无限的，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
2. 拓扑空间：拓扑空间是指一个点集，以及其上定义的一个拓扑结构。
拓扑结构由开集构成，满足一定的公理，用T表示。
3. 开集与闭集：在拓扑空间中，开集是指任意给定的点x，都存在一个包含x的开集。
闭集是指开集的补集。
4. 连通性：一个拓扑空间是连通的，如果它不能被分解为两个非空且不相交的开集。
否则，它是非连通的。
二、性质：1. Hausdorff性：一个拓扑空间满足Hausdorff性，如果任意两点都存在不相交的开集分别包含这两点。
2. 紧性：一个拓扑空间是紧的，如果它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
3. 完备性：一个拓扑空间是完备的，如果其中的任意Cauchy序列都收敛于其中的一个点。
三、应用：1. 基础数学研究：点集拓扑理论作为纯数学的一个分支，对于基础数学的研究有着重要的意义。
它与集合论、代数学等学科有着密切的联系，为数学的发展提供了坚实的基础。
2. 物理学应用：点集拓扑理论在物理学领域中有广泛的应用。
比如在凝聚态物理学中，拓扑序在材料的性质研究中起到了关键作用。
拓扑能带理论在凝聚态物理学中的应用也越来越受到关注。
3. 计算机科学应用：点集拓扑理论在计算机科学中也有着重要的应用。
在计算机图形学中，拓扑性质的研究与计算机模型的建立密切相关。
此外，在网络拓扑结构的分析和设计中，拓扑学也发挥着重要的作用。
四、结论：点集拓扑理论作为拓扑学的基础和核心部分，对于基础数学研究以及其在物理学、计算机科学等领域的应用具有重要意义。
通过对点集、拓扑空间、连通性等基本概念的理解，并且熟悉其性质与应用，我们可以更好地掌握和应用拓扑学中的点集拓扑理论。
点集拓扑知识点.doc
点集拓扑知识点【篇一：点集拓扑知识点】第二章拓扑空间 2.1 拓扑空间的概念 2.1.1 拓扑定义2.1.1 的一子集族。
如果t 满足：上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上y 即可。
定义2.1.3 ) 是拓扑空间，是x 上的等价关系，等价类的集合为叫商空间。
下面证明上拓扑。
(1)由于拓扑t 对有限交封闭有，，类似地，由拓扑t 对任意并封闭上拓扑。
定理 2.1.1 ；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。
定理 2.1.2 作为子空间的闭集族。
2.1.2 领域系定义2.1.5 的开领域。
定义 2.1.6 是拓扑空间，如果 a内存在x 的领域。
注解：由拓扑定义中，有限交封闭和任意闭封闭，有限开领域(或领域)交集仍为开领域(或领域)，任意开领域(或领域)并集仍为开领域(或领域)。
注解：不同的度量可能诱导相同的拓扑；如前面的度量是不同度量，但诱导出相同拓扑。
定义2.1.9 上的拓扑，如果存在x 上的一个度量d，使得 d 的诱导拓扑是可度量化的拓扑。
注解：集合x 上的每个度量可诱导拓扑，但每一拓扑不一定由度量诱导。
例：离散拓扑是可度量化的拓扑，由离散度量诱导，因为单点集是开球；有限拓扑可度量化该拓扑为离散拓扑。
即非离散有限拓扑不可度量化； 2.2 拓扑基和子基 2.2.1 拓扑基在欧式空间中，开球时最简单的开集，而且任何开集可由开球作并运算得到，但在非度量诱导的拓扑空间中没有球的概念，为了弥补这一缺陷，引进拓扑基。
定义2.2.1 的一个拓扑基，而拓扑基的成员叫基开集。
注解：显然t是自己的一个基；如果 b 例：离散拓扑空间，所有单点集构成拓扑基；由度量诱导的拓扑空间，所有开球构成拓扑基，实际上，以有理数为半径的球族也是拓扑基。
给定一集合，下面介绍一种判别它是否是拓扑基的方法：定理2.2.1不是拓扑基。
其实，假设 b 是拓扑不能由 b 中某些成员之并，或者说它不满足上述定理的条件。
点积拓扑讲义知识点总结
点积拓扑讲义知识点总结1. 拓扑空间的定义与性质拓扑空间是一种数学结构，它描述了空间中点的接近程度和连接情况。
拓扑空间包括一个集合X和一个称为拓扑结构的集合T，满足以下性质：（1）全集X和空集∅都属于T；（2）T的任意有限交集仍属于T；（3）T的任意并集仍属于T。
2. 点积拓扑的定义与性质点积拓扑是一种特殊的拓扑空间，定义如下：对于一个集合X和一个集合X上的映射f(x, y)，其中x, y∈X，如果它满足以下条件：（1）对于每个x∈X，都有f(x, x)=0；（2）对于每个x, y∈X，都有f(x, y)=f(y, x)；（3）对于每个x, y, z∈X，都有f(x, y)+f(y, z)≥f(x, z)；则称f(x, y)为X上的一个点积。
定义了点积的X称为点积空间。
3. 点积空间的性质点积空间具有以下性质：（1）对于每个x∈X，有f(x, x)=0；（2）对于每个x, y∈X，都有f(x, y)=f(y, x)；（3）对于每个x, y, z∈X，都有f(x, y)+f(y, z)≥f(x, z)。
4. 点积拓扑空间的构造点积拓扑空间的构造包括以下几个步骤：（1）定义点积空间X的集合和点积f(x, y)；（2）定义X上的开球B(x, r)={y∈X|f(x, y)<r}；（3）使用开球构造X上的开集合。
5. 点积空间的拓扑结构点积空间X上的拓扑结构由以下性质构成：（1）X本身和空集∅都是开集合；（2）X上的任意并集仍是开集合；（3）X上的有限交集仍是开集合。
6. 点积空间的连通性一个点积空间X是连通的，如果X不可表示为X的两个非空开集合的不交并。
换句话说，如果X不能表示为X=U∪V，其中U和V都是X的开集合，且U∩V=∅，则X是连通的。
7. 点积空间的完备性一个点积空间X是完备的，如果X上的柯西序列都收敛。
柯西序列是一种序列，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得对于所有的n, m≥N，都有f(xn, xm)<ε。
点集拓扑学知识点总结
点集拓扑学知识点总结点集拓扑学：那些让人又爱又恨的知识点咱就说，学习点集拓扑学就像在神秘森林里找宝藏，有时候感觉近在咫尺，伸手一抓却啥也没有。
今天就来唠唠点集拓扑学的那些知识点。
先说说拓扑空间这个概念吧。
这就好比给一群元素打造一个“小世界”，在这个世界里规定哪些元素关系亲近，哪些又比较疏远。
比如说，咱家里的厨房就是一个拓扑空间（嘿嘿，有点奇怪的比喻哈）。
那些锅碗瓢盆、柴米油盐都在这个空间里。
为啥这么说呢？你看，灶台上的锅和旁边的铲子，它们在做饭这个“活动范围” 里，关系就比较近。
但是和客厅里的沙发比起来，那可就远多了。
这就是一种对元素关系的规定，就像拓扑空间里定义的开集一样，规定了哪些元素组合在一起有特殊的“亲近关系”。
再讲讲基和子基。
这俩概念有点像盖房子的砖头和半块砖头（哈哈，我这比喻可能不太准确，但好理解嘛）。
有了基里的那些元素，就像有了完整的砖头，能搭出房子的基本框架。
子基呢，就像是半块砖头，虽然单个不太能成事，但是组合组合就能变成基，然后构建出整个拓扑空间的结构。
我记得有一次我想自己搭个小书架，我先找来了一些木板，这些木板就像基里的元素。
但是一开始我没有合适的工具把木板裁成合适的大小，那些原始的大木板就有点像子基，经过我的一番努力，把它们加工好，最后成功搭起了书架。
这就和基与子基的关系有点像，从一些基础的东西出发，慢慢构建出完整的结构。
连续映射也是很有趣的知识点。
就好比你给朋友寄快递，你把包裹按照快递站的规定包装好（这就像定义域里的元素满足一定的条件），然后快递经过各种站点运输（这个过程就像映射），最后完好无损地到达朋友手中（这就是在值域里也满足一定的关系）。
有一回我给在外地的朋友寄自己做的小点心，我精心包装，还在包裹上写了各种注意事项。
经过快递的一路“奔波”，朋友收到的时候点心还是好好的。
这就像连续映射一样，从一个地方到另一个地方，保持着一种“连贯性”。
在学习点集拓扑学的过程中，虽然有时候被那些复杂的概念搞得晕头转向，但是一旦想通了这些知识点之间的关系，就像突然找到了宝藏的钥匙。
点集拓扑知识点汇总
点集拓扑知识点汇总点集拓扑学是数学中的一个分支，研究的是集合中的点及其之间的关系。
在这篇文章中，我们将对点集拓扑学的一些基本知识点进行汇总和解释。
1.拓扑空间（topological space）：拓扑空间是一个集合，其中定义了开集（open set）的概念。
开集是满足一定条件的子集，在拓扑学中起到了重要的作用。
2.开集（open set）：开集是一个拓扑空间中的子集，满足以下条件：对于任意的点x属于开集U，存在一个ε>0，使得以x为中心、半径为ε的开球完全包含在U中。
3.闭集（closed set）：闭集是一个拓扑空间中的子集，其补集为开集。
换句话说，闭集包含了它的所有极限点。
4.邻域（neighborhood）：邻域是一个点的某个开集的超集。
邻域可以用来描述一个点的局部性质。
5.连通性（connectedness）：一个拓扑空间是连通的，当且仅当它不能分解为两个非空不相交的开集。
连通性是拓扑学中的一个基本概念，用来描述一个空间的整体性质。
6.紧致性（compactness）：一个拓扑空间是紧致的，当且仅当它的每个开覆盖都有有限子覆盖。
紧致性是一个重要的性质，它能够保证一些重要的结论和定理的有效性。
7.连续映射（continuous mapping）：两个拓扑空间之间的映射被称为连续的，如果对于任意的开集V，它的原像的逆映射是一个开集。
8.同胚（homeomorphism）：如果两个拓扑空间之间存在一个双射的连续映射及其逆映射也是连续的，那么这两个拓扑空间是同胚的。
同胚可以理解为两个空间之间的“形状”是相同的。
9.分离公理（separation axioms）：分离公理是用来描述拓扑空间的一些分离性质的公理。
常见的分离公理有T0公理、T1公理、T2公理等等。
10.基（basis）：拓扑空间中的基是一组开集的集合，它可以通过它们的有限交来生成拓扑空间中的所有开集。
基为拓扑学中的许多定理的证明提供了便利。
点集拓扑初步知识
点集拓扑初步知识拓扑学是数学中的一个分支，它研究的是空间和形状的性质，但不关注其度量或者大小。
点集拓扑学就是拓扑学中最基础的分支之一，它研究的是点集的性质和关系。
在点集拓扑学中，点是最基本的对象，可以是任何东西，只要能够被视为一个单独的实体，并且与其他点存在某种关系。
下面是一些点集拓扑学中的基础概念和定义。
1. 拓扑空间拓扑空间是一个元素集合和定义在元素集合上的一组特殊关系的组合。
这些特殊关系可以告诉我们哪些元素是相邻的，哪些元素是集合的一部分。
这些关系被称为拓扑结构，它们定义了集合中元素的位置和连接方式。
在拓扑空间中，元素可以是点、线、平面等等。
2. 邻域邻域是两个点之间存在的一段区域。
如果两个点之间存在一个邻域，那么它们就是相邻的。
邻域的大小和形状不一定相同，可以是一个球形区域，也可以是一个矩形或者一个多边形。
3. 函数函数是拓扑空间中的一种映射。
它可以将一个元素映射为另一个元素。
在点集拓扑中，这些元素通常是点或一些较高维度的对象，如线或平面上的点。
函数有许多不同的类型，例如连续函数、开放函数等等。
4. 连通性连通性是指拓扑空间中的一些点可以通过一些路径（曲线）连接起来。
连通性可以用来描述一个空间的形状和性质。
如果一个拓扑空间是连通的，那么它的所有部分都可以通过一些路径相连。
相反，如果一个空间不是连通的，那么它可以被分成几个相互独立的部分。
5. 闭包闭包是指所有点集内点和边界点的集合。
一个点集和它的闭包具有相同的连通性和一些其他性质。
在点集拓扑中，闭包是十分重要的，因为它可以告诉我们点集内部的性质，以及这些性质如何影响点集外部。
总结点集拓扑学是拓扑学中最基础的分支之一，它研究的是点集的性质和关系。
在点集拓扑学中，点是最基本的对象，可以是任何东西，只要能够被视为一个单独的实体，并且与其他点存在某种关系。
拓扑空间是一个元素集合和定义在元素集合上的一组特殊关系的组合。
这些特殊关系可以告诉我们哪些元素是相邻的，哪些元素是集合的一部分。
拓扑知识点总结
拓扑知识点总结1. 拓扑空间拓扑空间是拓扑学的基本对象。
它是一个集合X连同一个满足一定条件的集合T构成的二元组（X，T）。
这个集合T包含了X的某些子集，称为开集，它满足以下性质：1）空集和X本身都是开集；2）开集的任意并集仍然是开集；3）开集的有限交集仍然是开集。
闭集是开集的补集。
拓扑空间中的开集和闭集具有许多重要的性质，如开集和闭集的运算法则、开集的性质等，这些性质对于研究拓扑空间的结构和性质非常重要。
2. 连通性连通性是拓扑空间的一个重要性质。
一个空间如果不是连通的，那么它可以分解成为若干个连通的子空间。
连通性在很多领域都有重要的应用，如在微积分中，连通性是讨论函数定义域的重要性质；在代数拓扑学中，连通性是讨论拓扑空间的同伦性等。
3.紧性紧性是拓扑空间的一个重要性质。
一个拓扑空间如果满足这个性质，就称为紧拓扑空间。
紧性在很多领域都有重要的应用，如在微积分中，紧性是讨论极限的性质；在代数拓扑学中，紧性是讨论拓扑空间的完备性等。
4. 度量空间度量空间是拓扑学中的一个重要概念，它是一个集合X连同一个度量d构成的二元组（X，d）。
（1）度量空间是数学分析和实变函数中的基本概念之一，度量空间给出了“距离”的概念。
（2）度量空间是几何学中的基本概念之一，度量空间给出了点的位置的概念。
拓扑空间与度量空间有着密切的联系，在实际应用中常将拓扑空间视为度量空间来分析，或者将度量空间的公理推广到拓扑空间来研究。
5. 同胚同胚是拓扑学中的一个重要概念。
如果两个拓扑空间X和Y之间存在一个一一映射f，且f和f的逆映射都是连续的，则称X和Y是同胚的。
同胚将一个拓扑空间上的拓扑结构转移到另一个拓扑空间上，使得它们在拓扑上是相似的。
同胚是研究拓扑空间的一个重要工具，它可以帮助我们理解拓扑空间的结构和性质。
6. 康托尔集康托尔集是拓扑学中的一个重要概念。
它是一个紧集，是典型的不可数集。
康托尔集的构造方法非常巧妙，它是通过递归地删除中间的开区间来构造的。
点集拓扑知识点总结
点集拓扑知识点总结点集拓扑是数学中一个重要的分支，研究的是空间中的点和点之间的关系。
在点集拓扑中，我们主要关注的是点集之间的连通性、紧致性以及开放性等性质。
本文将从基础概念、连通性、紧致性和开放性等方面对点集拓扑进行总结。
1. 基础概念•点：点集拓扑的基本元素，可以是任意维度的对象，如点、线、面等。
•集合：由多个点组成的集合，可以是有限的也可以是无限的。
•空间：点集拓扑研究的对象，可以是欧氏空间、度量空间等。
•区域：空间中的一个开集，可以是任意维度的对象，如开区间、开球、开盘等。
2. 连通性在点集拓扑中，连通性是一个重要的概念，用来描述一个空间是否可以被分割成多个不相交的部分。
•连通集：一个空间中，如果不存在非空的开集既是它的一个子集，又是它的补集，那么这个空间就是连通的。
•连通分支：一个连通集的极大连通子集称为连通分支。
一个空间可能有多个连通分支。
•非连通集：一个空间中，如果可以被分割成多个不相交的连通集，那么这个空间就是非连通的。
3. 紧致性紧致性是点集拓扑中的另一个重要概念，用来描述一个空间中的点集是否可以被覆盖。
•紧集：一个空间中的点集，如果它的任意开覆盖都存在有限子覆盖，那么这个点集就是紧致的。
•有界集：一个空间中的点集，如果它存在一个有界的开覆盖，那么这个点集就是有界的。
4. 开放性与闭包开放性与闭包是点集拓扑中用来描述点集性质的重要概念。
•开集：在一个空间中，如果一个点集的所有点都是内点，那么这个点集就是开集。
•闭集：在一个空间中，如果一个点集包含了它的所有极限点，那么这个点集就是闭集。
•内点：在一个点集中，如果存在一个开集包含于该点集，那么这个点就是内点。
•极限点：在一个点集中，如果每一个邻域都包含除该点本身之外的点，那么该点就是极限点。
•闭包：一个点集的闭包指的是这个点集加上它的所有极限点。
5. 拓扑空间拓扑空间是点集拓扑的基础，它是由一个点集和该点集上的拓扑结构组成的。
•拓扑结构：一个点集上的拓扑结构由这个点集上的所有开集组成。
点集拓扑讲义-104页
例 3. 设 X 为任一集合, Tα α ∈ ∧ 为 X 上的一族拓扑, 令 T = Tα,
α∈∧
则 T 也为 X 上的一个拓扑.
例 4. 设 (X, T ) 为一个拓扑空间, A 为 X 的一个子集, 令
TA = E ∩ A E ∈ T ,
4
第一章 点集拓扑基础
例 5. 令 X = 1, 2, 3, 4, 5 , S = {1}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5} , 则
B1 = {1}, {2}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5} ,
B2 = {1}, {2}, {5}, {1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 5},
d(P, Q) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. 平面上以 P 为中心, r(r > 0) 为半径的开球记为 B(P ; r), 即
B(P ; r) = M (x, y) ∈ R2 d(P, M ) = (x − x1)2 + (y − y1)2 < r .
设 E 为 平 面 上 的 一 个 非 空 子 集, P0(x0, y0) 为 平 面 上 的 一 个 点, 若 存 在 某 个 δ > 0, 使 得 B(P0; δ) ⊆ E, 则 称 P0 为 集 合 E 的 一 个内点. 由 定 义 知, 若 P0 为 E 的内点, 则 p0 必须属于集合 E. 但另一方面, 集合 E 中的点并 不一定都是 E 的内点, 如: 利用有理数及无理数在实数中的稠密性可知, 集 合 E = {M (x, y) x, y ∈ Q} 甚至没有一个内点. 当然也有另一种极端的情形, 即集合 E 中的每个点都是 E 的内点, 我们称这样的集合为开集. 按这样的定义,
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第4章连通性重要知识点本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用•这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间.§ 4. 1连通空间本节重点：掌握连通与不连通的定义.掌握如何证明一个集合的连通与否？掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先通过直观的方式考察一个例子•在实数空间R中的两个区间（0, I）和］1, 2）, 尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U :1, 2） = （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1, 2）,它们的并（0, 1）U （1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, I）有一个凝聚点1在］1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中. 我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形.定义4. 1. 1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果（A - B）（B - A）二•一则称子集A和B是隔离的.明显地，定义中的条件等价于 A r B =、和B r A二.一同时成立，也就是说，A 与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1）和（1, 2）是隔离的，而子集（0, I ）和［1 , 2）不是隔离的.又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的.定义4. 1. 2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A U B,则称X 是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间.定理4. 1. 1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：（1）X是一个不连通空间；（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A A B= •一和A U B = X成立；（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A A B= •一和A U B = X成立；（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集.证明（I）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A UB = X，显然A A B= •_ ,并且这时我们有B = B 一X = B「（A 一B）=（B 一A）一（B 一B）= B因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求.（2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有 A = B，和B= A，因此A、B也是开集，所以A和B也满足条件（3）中的要求.（3）蕴涵（4）.如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B是开集，则由A = B ■和B= A易见A和B都是X中的闭集，因此A、B是X中既开又闭的真A、B丰、,A U B=X ,••• A、B丰X）子集，所以条件（4）成立.（4）蕴涵（l）.设X中有一个既开又闭的非空真子集 A .令B= A .则A和B都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得 A U B=X .易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）.因此（I）成立.例4. 1 . 1有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间•这是因为对于任何一个无理数r € R-Q，集合（-3 r）n Q=（-^, r] n Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.定理4. 1. 2 实数空间R是一个连通空间.证明我们用反证法来证明这个定理.假设实数空间R是不连通空间.则根据定理4. 1. 1,在R中有两个非空闭集A和B使得A n B= 和A U B = R成立.任意选取a€ A和b € B，不失一般性可设a v b.令A=A n [a,b]，和B=B n [a,b].于是A和B是R中的两个非空闭集分别包含a和b,并且使得A nB=0和A U B=[a, b]成立.集合A有上界b,故有上确界，设为b .由于A是一个闭集，所以~ €A ,并且因此可见~ v b，因为~ = b将导致b € A n B，而这与A n B=0矛盾.因此（b , b] uB .由于E3是一个闭集，所以b € B .这又导致b € A n B，也与A n B =0 矛盾.定义4. 1. 3设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y 是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集.拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关（即Y的连通与否与X的连通与否没有关系.）.因此，如果Y Z X，则丫是X的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集.这一点后面要经常用到.定理4. 1. 3设Y是拓扑空间X的一个子集，A , B Y .贝U A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.因此，Y是X的一个不连通子集当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得AU B = Y（定义）当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A U B = Y .证明因为（C Y（A厂B）一（C Y（B）■ A）二（（C X（A厂丫厂B）一（（C X（B厂丫厂A）二（C X（A） - （丫一B））_• （C X（B） - （丫一A））二（C X（AT B）_• （C X（B厂A）因此根据隔离子集的定义可见定理成立.定理4. 1. 4设Y是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A和B使得Y A U B，则或者Y A，或者Y B.证明如果A和B是X中的隔离子集使得Y AUB，贝U((A - Y) - B - Y) 一((B - Y) - A - Y)(A - Y - B) 一(B - Y - A)=Y - ((A - B) (B - A)=..这说明A n Y和B n Y也是隔离子集.然而(A n Y)u(B n Y)=(A U B)n Y = Y因此根据定理4. 1 . 3，集合A n Y和B n Y中必有一个是空集.如果A n Y= ,据上式立即可见丫二B，如果B n Y =、，同理可见丫二A .定理4. 1. 5设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足条件Y Z 丫 .则Z 也是X的一个连通子集.证明假设Z是X中的一个不连通子集.根据定理4. 1. 3，在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A U B .因此Y AUB .由于Y是连通的，根据定理4. 1 . 4,或者丫二A, Z 二丫二A = Z - B 二A - B - .一一B = Z - B =或者Y B,同理，A =:；一。
这两种情形都与假设矛盾.定理4. 1 . 6 设｛Y｝二是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果八三厂丫】-心，则.三厂丫是X的一个连通子集.证明设A和B是X中的两个隔离子集，使得.三厂丫，= A U B .任意选取x €…三厂丫 , 不失一般性，设x € A •对于每一个丫€『，由于丫连通，根据定理 4. 1 . 4,或者丫A 或者Y：. B ；由于x € Y n A，所以Y：A= - X 一A B =..根据定理4. 1. 3,这就证明了•三厂丫是连通的.定理4. 1 . 7设Y是拓扑空间X中的一个子集.如果对于任意x, y € Y存在X中的一个连通子集Y xy使得x, y€ Y xy Y，则Y是X中的一个连通子集.证明如果丫= •一，显然Y是连通的.下设Y工•一，任意选取a € Y ,容易验证Y = - yx Y xy并且a€ ' y Y Y ay .应用定理4. 1. 6,可见Y是连通的.我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质(参见§2. 2).所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质. 事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其它概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质.由于同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质’拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质.由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质.以下定理4. 1 . 8指出，连通性(即一个拓扑空间是连通的这一性质)是一个在连续映射下保持不变的性质.因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质.定理4. 1. 8设f: X T Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则 f ( X)是Y的一个连通子集.证明如果f (X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A和B使得1 1f (X )= A U B .于是f (A )和f (B )是X的非空子集，并且(f」(A)- f 伽)一(f'(B) - f」(A))(f」(A)十(B))- (f」(B) - f」(A))二f ^((A 一B) 一(B 一A))卞所以f」(A)和f二(B )是X的非空隔离子集.此外，111 1f ( A )U f ( B )= f (A U B) = f _(f(X))=X这说明X不连通.与定理假设矛盾.拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n>0个拓扑空间X1,X2,...X n都具有性质p,蕴涵着积空间X j M X2工...^X n也具有性质p.例如，容易直接证明，如果拓扑空间X1,X2,...X n都是离散空间(平庸空间)，则积空间X1 X2 ... X n也是离散空间(平庸空间)，因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质.根据定理3. 2. 9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质.为了证明性质p是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间.定理4. 1. 9设X1 ,X2,...X n是n个连通空间.则积空间X^ X^< ..^ X n也是连通空间.证明根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明.首先我们指出：如果x=(X1,X2), y = (y1,y2)，X1 X2两个点有一个坐标相同，则X1 X2有一个连通子集同时包含X和y不失一般性，设x^ y1定义映射k：X2 > X1 X2使得对于任何z< X2有k(z2^(x1,z2).由于p1 k : X2 > X1是取常值X1的映射，P2 k : X2 > X2为恒同映射，它们都是连续映射，其中P1，P2分别是X i X2到第1和第2个坐标空间的投射•因此，k是一个连续映射.根据定理4.1.8,k(x2)是连通的.此外易见，k(X2^{x1} X2, 因此它同时包含x和y.现在来证明：X i X2中任何两个点x =(X i,X2), y =(y i,y2)，X i X同时属于X i X2的某一个连通子集.这是因为这时若令z = (X i,y2)・X i X2，则根据前段结论，可见有X i X2的一个连通子集Y i同时包含x和乙也有X i X2的一个连通子集丫2同时包含y和z .由于z€ Y i - Y2，所以根据定理4. i. 6 , W2是连通的，它同时包含x和y.于是应用定理4. i . 7可见X i X2是一个连通空间.由于n维欧氏空间R n是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间R n是一个连通空间.作业：P.ii6 3. 5. 6. 8. i4.§ 4. 2连通性的某些简单应用本节重点：掌握实数空间R中的连通子集的”形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a, b€ E, a v b,则有[a, b]={x € R | a<x< b} E读者熟知，实数集合R中的区间共有以下九类：(-m,m) , (a,g) , :a,g) , (-g, a), (-, a](a , b), (a, b], :a , b), :a , b]因为，一方面以上九类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果E R是一个区间，可视E有无上(下)界，以及在有上(下)界的情形下视其上(下)确界是否属于 E , 而将E归入以上九类之一在定理4. 1 . 2中我们证明了实数空间R是一个连通空间.由于区间(a, g),(—g , *和(a , b)都同胚于R (请读者自己写出必要的同胚映射) ，所以这些区间也都是连通的；由于(a,：：) =[a,：：),(—：：,a)=(—：：,a](a,b) [a,b) [a,b],(a,b) (a,b] [a,b] 丽根据定理4. 1. 5可见区间［a ,R ), (—a, a ］, ［a , b ), (a , b ］和［a , b ］都是连通的.另一方面，假设 E 是R 的一个子集，并且它包含着不少于两个点•如果 E 不是一个区 间，贝U a, b • R,a ::: b ・［a,b ］二E ,也就是说，存在a<c<b,使得c - E ;从而，若令A= (—a, c )A E , B=(c ,m )n E则可见A 和B 都是E 的非空开集，并且有 A U B=E 和A n B= ，因此E 不连通.综合以上两个方面，我们已经证明了：定理4. 2 . 1设E 是实数空间R 的一个子集.E 是包含着不少于两个点的一个连通子 集当且仅当 E 是- 一个区间.定理4. 2. 2设X 是一个连通空间，f: X T R 是一个连续映射.则f(X)是R 中的一个区 间.因此，如果x , y € X ，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数 t (即当f(x) < f(y)时，f(x) w t w f(y);当 f(y) W f(x)时，f(y) < t < f(x))，存在 z € X 使得 f(z)=t .证明 这个定理的第一段是定理 4.1.8和定理4.2 . 1的明显推论.以下证明第二段.设x , y € X .如果f (x )= f (y ),则没有什么要证明的.现在设f (x )工f (y ),并且不失一 般性，设f (x )v f (y ).由于f (X )是一个区间，所以［f (x ), f (y ) u f (X ).因此 对于任何t , f(x) w t w f(y)，有t € f(X)，所以存在z € X,使得f ( z ) =t.根据定理4. 2. 2,立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理.定理4. 2. 3 ［介值定理］设f: ［a , b ］T R 是从闭区间［a , b ］到实数空间R 的一个连续 映射.则对于f (a )与f (b )之间的任何一个实数r ,存在z €［ a , b ］使得f(z)=r . 定理4. 2. 4［不动点定理］设f:［0 , 1］T ［ 0, 1］是一个连续映射.则存在 z € ［0 , 1］使 得 f(z)=z证明 如同数学分析中的证法那样，只须构造F(x)=x-f(x),再利用介值定理即可证得. 2 1 2 2 2 R 中的单位圆周 S ={( x, yr R |x y = 1}是连通的•这是因 1t € R 有 f(t)=(cos2 n t,sin2 n t) € S ,则易于验证 f1 1 是一个连续映射，并且 f(R) = S .因此 S 是连通空间R 在一个连续映射下的象，所以它 是连通的._ 1 1 1设点x =(为，X 2), -x = ( -X 1, -X 2) S 称为点x 的对径点.映射r ： S —• S 使得任何有l (X )= -X ，容易验证(请读者自行验证 )是一个连续映射.定理425 ［Borsuk-Ulam 定理］设f: S I T R 是一个连续映射.则在S 1中存在一对对I 2x € S ,有r(x)=-x ，称为对径映射.对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面 R 至洎容易证明欧氏平面为如果定义映射 f: R T R 2使得对于任意身的反射I: R 2 > R 2在单位圆周上的限制. 其中，映射I 定义为对于任何x =(X 1, X 2) • R 2,径点X和-X，使得f(x)=f(-x).证明（略）我们已经知道n维欧氏空间R II是连通空间，下面进一步指出:定理4.2.6 n> 1维欧氏空间R n的子集R n-{0}是一个连通子集，其中0=（0,0,…，0）€ R n.2证明我们只证明n = 2的情形.根据定理4. 1. 9, R中的子集（-R, 0）X R和（0, g）x R 都是连通的.由于（0,：：） R 二［0,：：） R-{0}二［0,：：） R=（0,：J R所以根据定理4. 1 . 5, R2中的子集A= : 0,m）x R-{0}是连通的；同理，子集2B=（-汽0］X R-{0}是连通的.由于A n B M 以及A U B= R -{0},所以根据定理4. 1. 6可见，R2-{0}是连通的.一般情形的证明类似，请读者自行补证定理4. 2. 6可以得到进一步的改善（参见习题第4题.）2II 2我们有g（R -{0}）二R-{f（0）} •但根据定理4.2.6,R -{0}是连通的，而根据定理4.2.1,R-{f（0）}是不连通的.这与定理4. 1. 8矛盾.定理4. 2. 7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例定理4. 2. 4,定理4. 2. 5和定理4. 2. 7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下：定理4. 2. 8 ［Brouwer不动点定理］设f: D n“ D n是一个连续映射，其中D n是n维球体.则存在z€ D n使得f （z）= z.定理4. 2. 9［Borsuk —Ulam定理］设f: S n> R m是一个连续映射，其中n》m,则存在x€ S n使得f （x）=f （-x）.定理4. 2. 10如果n M m，则欧氏空间R n和R m不同胚.这些定理的证明（除去我们已经证明过的情形）一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书籍籍曰.定理4. 2. 7欧氏平面R和实数空间R不同胚.2 2证明假设R与R同胚，并且设f: R T R是一个同胚.因此对于连续映射2g 二f 4。