相似三角形性质及其应用

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相似三角形性质及其应用

知识点相似三角形性质，直角三角形中成比例线段 要求 1. 掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三 角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。 2. 掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项； 每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的 简单问题。 考查重点与常见题型 1. 相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如： 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是 1 : 2，则这两个三角形的对应高线之比是 ―― 对应中线之比是 ，周长之比是----—，面积之比是 ，若两个相似三角形的面积之 比是1 : 2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是 -――，对应边上的高线之比是 ----- 对应边上的中线之比是----—，周长之比是 ， 2. 考查直角三角形的性质，常以选择题或填空题形式出现，如： 如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , CDL AB 与 D, AC=6 BC=8 贝U AB=— ，CD=—， AD=-— ，BD=_—。， 3. 综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。 预习练习 1 . 2. 3. 4. 已知两个相似三角形的周长分别为 8和6,则他们面积的比是( ) 有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是 60cm 面积是250cm 2，则这

个地区的实际周长--—m ，面积是---—-m 有一个三角形的边长为 3，4，5,另一个和它相似的三角形的最小边长为 7,则另一个三 角形的周长为---—，面积是—— 两个相似三角形的对应角平分线的长分别为 10cm 和20cm,若它们的周长的差是 60cm,则 较大的三角形的周长是 ----—，若它们的面积之和为 260cm 2

，则较小的三角形的面积为

2 -- cm 如图，矩形 ABCD 中, AE1 BD 于E ,若BE=4, DE=9,则矩形的面积是 12,则这两直角边在

5. 6. 已知直角三角形的两直角边之比为 斜边上的射影之比 ------ 考点训练 1•两个三角形周长之比为 95,则面积比为

(A ) 9 : 5 2. Rt △ ABC 中，/ 形共有

(A)1 个 (B)2 3 .在 Rt △ ABC 中， (A ) AD? BD=C D

(B ) 81 : 25 ACB=90， (C ) 3 ••岳 (D )不能确定 CDL AB 于 D, DEL AC 于E ,那么和 △ ABC 相似但不全等的三

角 ()

(D)4 个 下列等式中错误的是( (C)3 个

/ C=90°, CDL AB 于 D, (B) AC?BD=CBAD (C) A C=AD ?AB (D) A ^A C+B C

A F 1 CG

4.在平行四边形 ABCD 中, E 为AB 中点，EF 交AC 于G 交AD 于F,，^=-则的比值是(

FD 3 GA

(A ) 2 ( B ) 3 ( C ) 4 ( D ) 5

5 .在Rt A ABC 中，AD 是斜边上的高， BC=3AC 则A ABD 与 A

ACD 勺面积的比值是

(C ) 4 ( D ) 8

,CDI AB 于 D,贝U BD ： AD 等于

(C) @ : Q b ( D )不能确定 13CM 两条直角边的和为

17CM 则斜边上的高的长度为

9. Rt A ABC 中，CD 是斜边上的高线，，AB=29b AD=25 贝U DC=-—

10. 平行四边形 ABCD 中, E 为BA 延长线上的一点，CE 交AD 于F 点，若AE ： AB=1 ： 3

2.如图，已知 A ABC 中，AD 为BC 边中线，E 为AD 上一点，并且 CE=CD,/ EAC 玄B, 求证：A AE3 A BDA, DC 2

=AD?AE

(A ) 2

( B ) 3

6 .在 Rt A ABC 中，/ ACB=90

2 2

(A ) a : b ( B ) a : b

7 .若梯形上底为 4CM 下底为 是 ___________ .

8. 已知直角三角形的斜边长为

贝U S A BCF ： S CDF =

11.如图，PLMN 为矩形，ADI BC 于 D, PL ： LM=5 ： 9, 且BC=36CM AD=12CM 则矩形 PLMN 勺周长为 ________________ . 12 .如图，在 A ABC 中，D 为AC 上一点，E 为延长线上一点, 且 BE=AD ED 和 AB 交于 F 求证：

EF : FD=AC ： BC

13.如图，在 A ABC 中，/ ABC= 90°, CE B C 求证：Ai=AS

CDI AB 于 D DEI AC 于 E ,

解题指导

1.如图，在 Rt A ABC 中，/ ADB=90

,CD 丄 AB 于 C, AC=20CM,BC=9C 求 AB 及 BD 的长

6CM 面积为5CM,则两腰延长线与上底围成的三角形的面积 C

3

3.如图，已知 卩为厶

ABC 的BC 边上的一点，PQ//AC 交AB 于Q , PR//AB 交AC 于R , 求证：

△ AQR 面积为△ BPQ 面积和△ CPQ 面积的比例中项。 C

4.如图，已知 PA ABC 中，AD BF 分别为BC AC 边上的高，过 BF 于G,交AC 延长线于 H,求证：D E=EG>EH D 作AB 的垂线交 AB 于E ,

5.如图，已知正方形 ABCD 且AF =4 AD ,于，(1)求证: E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点, 1 2

CE 平分/ BCF,(2) - AB =CG?FG

EGICF

独立训练 1. 用一个2倍的放大镜照一个 (A ) △ ABC 放大后是原来的2倍

(B ) △ ABC 放大后周长是原来的 2倍; (C ) △ ABC 放大后面积是原来的 2倍 (D )以上的命题都不对 2. 边长为a 的正三角形被平行于一边的直线分成等积的两部分， 截得的梯形一底的长为

牙a (D 则 S AABC : S AACD 为 10 : 1 (D ) △ ABC 下列命题中正确的是 1 (A ) 2 a 3.在 Rt △ ABC 中， (A ) 4 : 3 (B ) V 2 a

CD 是斜边上的高线, (B ) 9 : 1

AC ： BC=3： 1 (C ) 10 : 5 如图，Rt △ BAC 中,/ BAC=90 , AD 丄 BC 于 D, DE! AB 于E , DF 丄AC 于F ,下列中正确的个数是 2 2 2 AB BD 2 2

AB=BC?BC, DE=AE?BD, A C=DC?BC,无=，AD =BD?DC B D=BE?AB (A ) 6 ( B ) 5 (C ) 4 (D ) 3 D C