第五章空间力系
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理论力学课件：空间力系
空间力系
空间力系
4.1 空间汇交力系 4.2 力对点之矩及力对轴之矩 4.3 空间力偶系 4.4 空间力系向一点简化 主矢与主矩 4.5 空间力系的平衡方程及应用 4.6 物体的重心 思考题
空间力系
4.1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影与分解 1)直接投影法(一次投影法) 在图4-1所示的直角坐标系中,已知力F 与x 轴、y 轴、z
空间力系
2.空间力偶系的合成 作用面不共面的力偶系称为空间力偶系。由于力偶矩矢 是自由矢量,故空间力偶系合成的方法与空间汇交力系相同。 即空间力偶系合成的结果是一个合力偶,合力偶矩等于各分 力矩的矢量和,即
空间力系 将式(4-16)中的矩矢分别向x,y,z 上投影,有
即合力偶矩矢在x,y,z 轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴 上投影的代数和。
空间力系
图4-15
空间力系
空间力系
4)空间力系简化为力螺旋 当力系向一点简化时,R'≠0,MO ≠0,且R'与MO 不垂直而成 任一角α,这是最一般的情形。将 MO 分解为分别与R'平行、 垂直的两个分量 MO//、MO⊥ ,如图4-16(a)所示。其中, MO//=MOcosα、MO⊥ =MOsinα。 MO⊥ 与R'进一步合成为作用在A 点的一个力R, OA=MOsinα/R。由于力偶矩为自由矢量,将 MO//平移到A 点 与R重合,如图4-16(c)所示。最终的简化结果为一个力R 和一 个力偶MO//。这种由一个力和在与之垂直平面内的一力偶所 组成的力系称为力螺旋。
空间力系 合力偶矩矢的大小和方向为
式(4-18)中,α、β、γ 为M 在xyz 坐标系中的方向角。
空间力系 【例4-4】 在图4-12所示的直角三棱柱上,作用着力
空间力系
4.1 空间汇交力系 4.2 力对点之矩及力对轴之矩 4.3 空间力偶系 4.4 空间力系向一点简化 主矢与主矩 4.5 空间力系的平衡方程及应用 4.6 物体的重心 思考题
空间力系
4.1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影与分解 1)直接投影法(一次投影法) 在图4-1所示的直角坐标系中,已知力F 与x 轴、y 轴、z
空间力系
2.空间力偶系的合成 作用面不共面的力偶系称为空间力偶系。由于力偶矩矢 是自由矢量,故空间力偶系合成的方法与空间汇交力系相同。 即空间力偶系合成的结果是一个合力偶,合力偶矩等于各分 力矩的矢量和,即
空间力系 将式(4-16)中的矩矢分别向x,y,z 上投影,有
即合力偶矩矢在x,y,z 轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴 上投影的代数和。
空间力系
图4-15
空间力系
空间力系
4)空间力系简化为力螺旋 当力系向一点简化时,R'≠0,MO ≠0,且R'与MO 不垂直而成 任一角α,这是最一般的情形。将 MO 分解为分别与R'平行、 垂直的两个分量 MO//、MO⊥ ,如图4-16(a)所示。其中, MO//=MOcosα、MO⊥ =MOsinα。 MO⊥ 与R'进一步合成为作用在A 点的一个力R, OA=MOsinα/R。由于力偶矩为自由矢量,将 MO//平移到A 点 与R重合,如图4-16(c)所示。最终的简化结果为一个力R 和一 个力偶MO//。这种由一个力和在与之垂直平面内的一力偶所 组成的力系称为力螺旋。
空间力系 合力偶矩矢的大小和方向为
式(4-18)中,α、β、γ 为M 在xyz 坐标系中的方向角。
空间力系 【例4-4】 在图4-12所示的直角三棱柱上,作用着力
空间一般力系
Fy = −Fxy cos β = −F cosα cos β n
机械设计基础
§5-2 力对轴的矩
y
平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。 平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。
z
r r Mz (F) = Mo (Fxy ) =±Fxy ⋅ h
x
空间的力对轴之矩： 空间的力对轴之矩：
（a）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； ）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； ）、（c） （b）、（ ）力与轴相交，力对轴的力矩等于零； ）、（ 力与轴相交，力对轴的力矩等于零；
X Y Z 方向： 方向： cosα = , cos β = , cosγ = F F F
机械设计基础
⒍ 注意 力在坐标轴上的投影是代数量； 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。 力在坐标平面上的投影是矢量。 二、空间汇交力系的合成 ⒈ 几何法 与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求 与平面汇交力系的合成方法相同， 合力。 合力。
⒊ 二次投影法（间接投影法） 二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易 确定时， 面上， 确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴 上。 X =F⋅sinγ ⋅cosϕ=F ⋅cosϕ=F⋅cosθ⋅cosϕ 即：
Y =F⋅sinγ ⋅sinϕ=Fxy ⋅sinϕ=F⋅cosθ⋅sinϕ Z = F ⋅ cosγ = F ⋅ sinθ
Fxy
作用点： 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。 的接触之点。
机械设计基础
一次投影法（直接投影法） ⒉ 一次投影法（直接投影法） 由图可知： 由图可知： X =F⋅cosα,
5章空间力系(交)
Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
工程力学第五章 空间力系
cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ， 它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。
空间力系PPT课件
MO(F)
定位矢量
2. 力对轴的矩
Mz(F)
Mz(F) = MO(Fxy) =±Fxy h = ±2 △OAb
★ 力对轴的矩等于力在垂直于该 x 轴的平面上的投影对轴与平面交
点的矩。
z
O h
F
Fz
B
b
A
Fxy
y
力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。
☆ 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
M
z
(F
)
xFy
yFx
● 力对点的矩矢在通过 该点的某轴上的投影，等 于力对该轴的矩。
MO (F )x MO (F )y
M x(F) M y(F)
MO (F )z
M
z
(F )
MO (F ) 2OAB
Mz(F) = MO(Fxy) = ±2 △Oab
M=M1+M2+…+Mn=∑Mi
M Mxi My j Mzk
M x M1x M 2x L M nx Mix M y M1y M 2 y L M ny Miy M z M1z M 2z L M nz Miz
x
Fx Fy
F F
sin sin
cos sin
Fz F cos
F
Fx2
Fy2
Fz2
cos(F , i) Fx F
ห้องสมุดไป่ตู้
cos(F , j) Fy
F
cos(F , k) Fz F
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
空间力系
o •d xy
B A
§5.3 力对轴之矩 一 力对轴之矩的概念 xy平面 m (F) = ±Fd 0
z A
F
o•d 过o点作xy平面的垂线z轴. xy F对o点之矩,可以看作是F对z轴之矩.
若力为任意将力分解为Fxy和Fz.
m (F) = m (F ) z 0 xy
z
F z
F
F xy
= ±F d xy
m 2
yz平面
∑m
Z
A
=0 −50Q +200F B +300F =0 z Z Z
F B = 2040N Z
x z y
∑F =0 Q +F
z
ZA
+F B +F =0 Z Z
FA Z
FA Y
FB Z
F A =385N Z
F y
∑F =0
Y
F A −F = 0 Y y
F A =352N Y
Q z
F z
解:作受力简图图示.
FB m Z 2
Q= 746N
F x
m 3
F y
Q z
m 1
F z
m 2
x
解:作受力简图图示.
∑m =0
Y
m −m =0 1 2
100Qcos20 −50F = 0 z
0
z y x
m 1
Q x
z y
FA Z FA X FA Y FB X
FB m Z 2
Q= 746N
F x
m 3
F y
Q z
m 1
F z
§5.3 力对轴之矩 一 力对轴之矩的概念 xy平面 m (F) = ±Fd 0
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
工程力学第五章 空间力系(2)
l l l
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
理论力学03空间力系的简化和平衡1.
r F1 r F2 r Fn
Fn A
F2
mO (F1) mO (F2 ) mO (Fn )
O
r F1
n
y
mO (F )
i 1
x
31
n
将 mO (R ) mO (F ) 向坐标轴投影，得 i 1 n mx (R ) mx (Fi ) i 1 n my (R ) my (Fi ) i 1 n mz (R ) mz (Fi ) i 1
习题课
3
§3-1 空间汇交力系
一、空间力的投影（与力的分解）：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：X Fcos, Y Fcos , Z Fcosg
20
①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空
间汇交力系：F '1,F2 ',F3'Fn ' 和附加力偶系 m1,m2 ,mn [注意] m1,m2 ,mn 分别是各力对O点的矩。
②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。
21
③合成 F '1,F2 ',F3'Fn ' 得主矢 R ' 即 R 'Fi 'Fi （主矢 R ' 过简化中心O，
且与O点的选择无关） 合成 m1,m2 ,mn 得主矩 M O
即：mO mi mO (F i（) 主矩 M O 与简化中心O有关）
五、空间力系
F1
z
F2
o x
y
Fn
FR F
7
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
FRx cos FR
二、空间汇交力系的平衡
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等
于零。由此得平衡方程：
Fx 0 Fy 0 F 0 z
A
a
M C
B
P
a
D
y
3
m
DD '
F3 2P 0;
F3 F 4 1A´ a F2 F
D´
F5
C´
F6
B´
y
x
2 F5 a Pa M 0, 2
F5 2 2P
27
m
C 'D'
0;
z
B P A F1 F5 0, F1 2 2P a M F6 mBD 0; D C F5 F3 F 2 B´ 4 F 2 P F F4 F5 0, 4 a F2 1A´ y 2 D´ C´ mB'C ' 0;
'
o x
mn
=
y
m2
F
' n
o x
y
F1' F1 F2' F2 ; ; m1 mo ( F1 ) m2 mo ( F2 )
Fn' Fn mn mo ( Fn )
14
F1
z
F2
z
o x
=
y
Fn
F1
'
m1
Mo
F2'
z
工程力学-第五章
F F
sin γ cos φ
sin
γ
sin
φ
Fz F cos γ
应当指出：力在坐标轴上的投影是代数量，有正、负两种可能；而力在平面上的投影为矢量。
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
1．空间汇交力系的合成
设有空间汇交力系 F1，F2，…，Fn，利用力的四边形法则，可将其逐步合成为合力矢 R，
某轴之矩等于各分力对同轴的矩的代数和，即
M x FR M x F1 M x F2 M y FR M y F1 M y F2 M z FR M z F1 M z F2
Mx My
Fn Fn
Mx My
FFii
M
z
Fn
M
z
Fi
5.2.3 空间力系的合力矩定理
如图所示，设力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对 这一点之矩可用矢量来表示，称为力矩矢，用MO（F）表 示。力矩矢MO（F）的始端为O点，它的模（即大小）等 于力F与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平 面，指向可用右手法则来确定。于是可得：
MO (F ) Fd 2A OAB
5.2.1 力对点之矩
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
例 5-1 如图所示，在正方体的顶角 A 和 B 处分别作用有力 F1 和 F2，试求此二力在 x，y，z 轴上的
投影。
F1x F1 sin cos F1
2 3
1 2
3
3
F1
解：首先，求 F1 在 x，y，z 轴上的投影，即 F1y F1 sin sin F1
5.2.4 力对点之矩与力对轴之矩的关系
以矩心 O 为原点，取直角坐标系 Oxyz，如图所示。设力 F 在各坐标轴上的投影为 Fx，Fy，Fz；力作 用点 A 的坐标为（x，y，z），则有 F Fxi Fy j Fzk
《空间力系》课件
研究人体结构和生物力学特 性时，空间力系的概念和方 法也是重要的工具。
总结
通过本课件的学习，我们了解了空间力系的定义和重要性，以及其组成要素、 分类、特点和应用领域。空间力系是研究物体运动和变形的基础，对科学和 工程具有重要意义。
《空间力系》PPT课件
本课件将介绍空间力系的定义、重要性和组成要素，分类为线性、平面和立 体空间力系，以及其特点和应用领域。
空间力系的定义
空间力的概念与性质以及对物体或系统的影响。它是研究空间中物体相互作用和力的传递的力学分支。
空间力系的重要性
1 理解物体行为
2 解决实际问题更好地理解物体 在力的作用下的运动和 变形。
空间力系中的力可以以不同的强度作用于物体。
3 力的合成与分解
空间力系中的多个力可以通过合成和分解来影响物体的运动和形态。
空间力系的应用
机械力学中的应用
空间力系理论在机械设计、 工程结构分析和机器运动研 究中起着重要作用。
工程中的应用
空间力系的知识被广泛应用 于各种工程项目的设计和施 工中。
生物力学中的应用
力的方向是指力的作用方向，可以是直线、 平面或空间中的任意方向。
空间力系的分类
线性空间力系
力和物体的运动方向在同 一直线上。
平面空间力系
力和物体的运动方向在同 一平面上。
立体空间力系
力和物体的运动方向不在 同一平面上。
空间力系的特点
1 方向性
空间力系具有明确的力的方向，指示物体受力的作用方向。
2 力的大小
应用空间力系的知识， 可以帮助解决工程、力 学和生物力学中的实际 问题。
空间力系的研究对于推 动科学和技术的发展具 有重要意义。
空间力系的组成要素
总结
通过本课件的学习，我们了解了空间力系的定义和重要性，以及其组成要素、 分类、特点和应用领域。空间力系是研究物体运动和变形的基础，对科学和 工程具有重要意义。
《空间力系》PPT课件
本课件将介绍空间力系的定义、重要性和组成要素，分类为线性、平面和立 体空间力系，以及其特点和应用领域。
空间力系的定义
空间力的概念与性质以及对物体或系统的影响。它是研究空间中物体相互作用和力的传递的力学分支。
空间力系的重要性
1 理解物体行为
2 解决实际问题更好地理解物体 在力的作用下的运动和 变形。
空间力系中的力可以以不同的强度作用于物体。
3 力的合成与分解
空间力系中的多个力可以通过合成和分解来影响物体的运动和形态。
空间力系的应用
机械力学中的应用
空间力系理论在机械设计、 工程结构分析和机器运动研 究中起着重要作用。
工程中的应用
空间力系的知识被广泛应用 于各种工程项目的设计和施 工中。
生物力学中的应用
力的方向是指力的作用方向，可以是直线、 平面或空间中的任意方向。
空间力系的分类
线性空间力系
力和物体的运动方向在同 一直线上。
平面空间力系
力和物体的运动方向在同 一平面上。
立体空间力系
力和物体的运动方向不在 同一平面上。
空间力系的特点
1 方向性
空间力系具有明确的力的方向，指示物体受力的作用方向。
2 力的大小
应用空间力系的知识， 可以帮助解决工程、力 学和生物力学中的实际 问题。
空间力系的研究对于推 动科学和技术的发展具 有重要意义。
空间力系的组成要素
静力学第五章空间力系)
FRz = ∑ Fziபைடு நூலகம்
合力F 的大小为: 合力FR的大小为:
FR = ( ∑ Fxi ) + ( ∑ Fyi ) + ( ∑ Fzi )
2 2
2
合力F 的方向余弦为: 合力FR的方向余弦为:
∑ Fxi cos( FR ,i ) = FR cos( FR , j ) = ∑ Fyi FR
∑ Fzi cos( FR ,k ) = FR
球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两 球铰链固定在地面上， 端则用绳CB和DB拉住， 拉住 绳分别系在墙上的C点和D 连线CD平行于 平行于x 绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已 CE=EB=DE, CDB平面与水平面间的夹角 知CE=EB=DE, 角α = 30o ，CDB平面与水平面间的夹角 EBF= 重物G kN。如不计起重杆的重量, ∠EBF= 30o ,重物G = 10 kN。如不计起重杆的重量,试 求起重杆所受的力和绳子的拉力。 求起重杆所受的力和绳子的拉力。
F1r1+ F2r2
F1 + F2 ∑Fi ri
∑F
zC
矢量式
i
确定n个平行力的力系中心C 确定n个平行力的力系中心C的投影式
xC
∑Fx = ∑F
i
i i
yC
∑F y = ∑F
i i
i
∑Fz = ∑F
i
i i
2、重心
重心看成平行力系的中心 C（重力作用点）。 重力作用点）。 rC =
∑P ri ∑P
空间力偶系合成
矢量式： 矢量式： M=Σ M i
投影式： 投影式：
ΣM x
Mx=Σ M ix My=Σ M iy Mz=Σ M iz
合力F 的大小为: 合力FR的大小为:
FR = ( ∑ Fxi ) + ( ∑ Fyi ) + ( ∑ Fzi )
2 2
2
合力F 的方向余弦为: 合力FR的方向余弦为:
∑ Fxi cos( FR ,i ) = FR cos( FR , j ) = ∑ Fyi FR
∑ Fzi cos( FR ,k ) = FR
球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两 球铰链固定在地面上， 端则用绳CB和DB拉住， 拉住 绳分别系在墙上的C点和D 连线CD平行于 平行于x 绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已 CE=EB=DE, CDB平面与水平面间的夹角 知CE=EB=DE, 角α = 30o ，CDB平面与水平面间的夹角 EBF= 重物G kN。如不计起重杆的重量, ∠EBF= 30o ,重物G = 10 kN。如不计起重杆的重量,试 求起重杆所受的力和绳子的拉力。 求起重杆所受的力和绳子的拉力。
F1r1+ F2r2
F1 + F2 ∑Fi ri
∑F
zC
矢量式
i
确定n个平行力的力系中心C 确定n个平行力的力系中心C的投影式
xC
∑Fx = ∑F
i
i i
yC
∑F y = ∑F
i i
i
∑Fz = ∑F
i
i i
2、重心
重心看成平行力系的中心 C（重力作用点）。 重力作用点）。 rC =
∑P ri ∑P
空间力偶系合成
矢量式： 矢量式： M=Σ M i
投影式： 投影式：
ΣM x
Mx=Σ M ix My=Σ M iy Mz=Σ M iz
工程力学第四版电子课件gclx5
解：solution
Pz = P⋅sin45° Pxy = P⋅cos45° Px = − Pcos45°⋅sin60° Py = P⋅cos45°⋅cos60°
9
m z ( P ) = m z ( P x ) + m z ( P y ) + m z ( P z ) = 6× Px + ( −5× Py ) + 0 = 6 Pcos45°sin60° − 5Pcos45°cos60° = 38.2( N ⋅m)
∑X =0 Y ∑ =0 ∑Z =0
说明： 三个独立平衡方程， 说明：①空间汇交力系只有 三个独立平衡方程，只能求解 三个未 知量。 知量。 we can determine three unknown forces by using three independent equations.
15
∑X =0, ∑mx (F)=0 ∑Y =0, ∑my (F)=0 ∑Z=0, ∑mz (F)=0
12
2、解析法： 、解析法 由于 Fi = X ii + Y i j + Z i k 合力 由 ∴ 代入上式
R = ∑ X i i + ∑Y i j + ∑ Z i k
为合力在x轴的投影，
∑Xi
Rx = ∑ X i
R ymethod By using the theorem of resultant projection to determine the resultant force.
5
5-2 力对轴的矩
the moment of a force about an axis 一、力对轴的矩的概念与计算
the concepts and the calculation of the moment of a force about an axis
第五章空间力系 第二节 力对轴的矩
=
MO (F )x
即 MO (F )x yFz zFy M O ( F ) y zFx xFz
MO (F )z xFy yFx
x
=
M O (F ) y
=
MO (F )z
MO F
z
B F
k
O
j
h
r
A x, y, z
y
i
一、力对轴的矩的定义 力对轴的矩定义为力在垂直于 轴的平面上的投影对轴与平面 交点的矩，即
将力 F 作正交分解，分力大小
Fx F sin
Fz F cos
根据力对轴的合力矩定理，即有
Fx
Fz
M x F M x Fx M x Fz 0 Fz AB CD F l a cos
M y F M y Fx M y Fz 0 Fz BC Fl cos
M z F M z Fx M z Fz Fx AB CD 0 F l a sin
解法二：利用力对轴的矩的解析算式求解 力的作用点的坐标为
x l
y la
z0
力F 在 x、y 、z 轴上的投影为
力与力臂的乘积第二节力对轴的矩与力对点的矩的矢量定义yfzfzfxfxfyfxfyfyfzfxfzfxyxy力对轴的矩定义为力在垂直于轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩即说明
第二节
力对轴的矩与力对点的矩的矢量定义
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
MO F = r F
B F
三要素：
（1）大小:力 F 与力臂的乘积
静力学(空间力系)
§5-3 空间力偶
有关平面力偶的回顾
力
偶 : 大小相等,方向相反,不共线的 两个力所组成的力系.
F1
F2
力偶的作用面与力偶臂
力偶作用面 :
二力所在平面。
力偶臂 d:二力作
F1
用线之间的垂直距离
F2
力偶矩的大小
M F d
力偶的特点
特点一 : 力偶无合力,即主矢FR=0.
z C
A x B Fy
D
E
F
θ Fz y
本问题中
Fx F sin Fy 0 Fz F cos
x l yla z0
M x F yFz zFy F cos l a
M y F zFx xFz F cos l M z F xFy yFx F sin l a
Fx
Fxy
例题 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
z 4m
解： F1 、F2 可用直接投影法 Fx F cos Fy F cos F1 Fz F cos
Fx1 0 Fy1 0 Fz1 F1 500 N
Fx 2 Fy 2
FR
i 1
xi
n
Fi 0
2
由于
FR
F
Fyi Fzi
2
2
F 空间汇交力系的平衡条件： F F
x y
0 0 0
z
例题：已知： CE EB ED, 30 , P 10kN 求：起重杆AB及绳子的拉力
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力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力 ,力 在三根轴上的分力 用点的坐标 x, y, z ， ， ，力 作
求：力
对 x, y, z轴的矩
=0
=
（5-7）
= =
+0
（5-8）
= =
+ 0 （5-9）
比较（5-5）、（5-7）、（5-8）、（5-9）式可得
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。
0 0 0
FOx Fx 0
FOy Fy 0
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效
(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
如同右图
有
为合力偶矩矢，等于各分 力偶矩矢的矢量和。
合力偶矩矢的大小和方向余弦
又： Fr 0.36 F , 结果：F 10.2kN, F 3.67kN,
FAx 15.64kN, FAz 31.87kN, FBx 1.19kN, FBy 6.8kN, FBz 11.2kN,
研究对象2：工件 受力图如图 列平衡方程
F F F
x y
力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向
(3)作用面：力矩作用面。
（ 5 –3 ） 即：力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢 径与该力的矢量积。
空间力对点之矩特征
• （1）力对点之矩依赖于矩心的位置，是定位 矢量。矩心相同的各力矩矢量符合矢量合成 的平行四边形法则。 • （2）力矩的大小 MO ( F ) F h 2SOAB （3）力矩的方向 力矩矢量的方位沿力矩作用面的法线，指向 由右手螺旋法则确定，即以右手四指弯曲的 方向表示力矩的转向，大拇指的指向即表示 力矩矢量的指向。 或：从这个矢量的末端来看，物体有该力所 引起的转动是逆时针方向。 力对点之矩矢量以带圆弧箭头的有向线段表示。
例5-8 已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
F F F
x y
0 0 0
§5–4 重
1． 计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理
心
有 对x轴用合力矩定理
有
再对x轴用合力矩定理
则计算重心坐标的公式为 （5–14） 对均质物体，均质板状物体，有
Vi xi Vi yi Vi z i xc ; yc ; zc V V V
称为重心或形心公式
2． 确定重心的悬挂法与称重法 （1） 悬挂法
力偶矩
因
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
M ( F1 , F1) rBA F1
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的 作用效果不变。
力螺旋中心轴过简化中心
当
成角
且
既不平行也不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
（4）平衡
当
时，空间力系为平衡力系
§5–3 空间力系的平衡方程及其应用
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、 主矩分别为零。 1.空间任意力系的平衡方程 （5–12）
空间平行力系的平衡方程
（5–13） 2.空间约束类型举例 3.空间力系平衡问题举例
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
直接投影法
Fx F cos
间接（二次）投影法
2、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力
合矢量（力）投影定理：合矢量在任何轴上的投影 等于各个分矢量在同一轴上的投影的代数和。
合力的大小 方向余弦
cos( FR , j )
Fy FR
（ 5 –1 ）
Fz cos( FR , k ) FR
z
例5-3
已知：F , l , a,
M x F , M y F , M z F 求：
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos
M y F Fl cos
M z F F l sin
例5-4 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N· m。 求：工件所受合力偶矩在 解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A 。 列力偶平衡方程 轴上的投影 。
四、空间力偶理论
1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
力偶矩矢
（5–10）
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。
其中，各
，各
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。
空间汇交力系的合力 称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
称为空间力偶系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
式中，各分别表示各 对 ， ， ,轴的矩。
力
—有效推进力 —有效升力 —侧向力 —滚转力矩 —偏航力矩 —俯仰力矩
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
（2） 称重法
则 有 整理后，得
若汽车左右不对称，如 何测出重心距左（或右） 轮的距离？
空间任意力系例题 例5-1 已知： Fn 、 、 求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影。
Fz Fn sin Fxy Fn cos Fx Fxy sin Fn cosபைடு நூலகம் sin Fy Fxy cos Fn cos cos
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零，即
有 M ix 0 简写为
M iy M ix cos cos M M
M iz cos M
M iy 0
M iz 0
（5–11）
称为空间力偶系的平衡方程。
§5–2 空间力系的简化
1． 空间任意力系向一点的简化
列平衡方程
Fz 0 F
y
F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0
0
00
Fz 0
x
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
M F 0
F1 cos 30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0
解得
FAx FBx 1.5N
FAz FBz 2.5N
例5-6 已知：P=8kN, P 1 10kN, 求： A、B、C 处约束力 解：研究对象：小车
各尺寸如图
受力：P , P 1 , FA , FB , FD , 列平衡方程
F
z
0
M F 0 M F 0 0.8P1 0.6 P 1.2 FB 0.6 FD 0
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1） 合力 当 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 当 时，
最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点 之矩的矢量和。 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。 （2）合力偶 当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。 当 ∥ 时 （3）力螺旋
x
y
PP 1 FA FB FD 0 0.2P 1.2P 1 2 FD 0
结果：FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
例5-7 F 2 F , 30 , 60 , 各尺寸如图 F 2000 N , 2 1 已知： 求： F1 , F2 及A、B处约束力 解：研究对象， 曲轴 受力：F , F1 , F2 , FAx , FAz , FBx , FBz
又 则
（ 5 –4 ）
力对点O的矩 在 三个坐标轴上的投影为
（ 5 –5 ）
• 平面力对点之矩是空间力对点之矩 的特殊情况，其计算公式可以由上 式推出。 • 由于力矩矢量的大小和方向与矩心O 的位置有关，故力矩矢的始端必须 在矩心，不可任意挪动，这种矢量 称为定位矢量。
三、力对轴的矩
（ 5–6 ） 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零。
空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即 由式（5–1）
(5-2)
称为空间汇交力系的平衡方程。
• • • •
二、空间力对点之矩 平面内力对点之矩和空间力对点之矩的异同： （1）平面情况 在平面力系中，各力的作用线与矩心决定的力矩作 用面都相同，因此只要知道力矩的大小和力矩的转 向，就足以表明力使物体绕矩心转动的效应，因而 用代数量表示力对点之矩。 • （2）空间情况 • 在空间力系中，各力的作用线与同一矩心决定的力 矩作用面不一定相同，因此空间力对点之矩对物体 的转动效应由三个方面决定： • 力矩的大小；力矩的转向；力矩作用面的方位。这 称为空间力对点之矩的三要素。用矢量表示，以力 矩矢来表示。